1、22圆内接四边形的性质与判定定理1圆内接多边形的定义如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做_，这个圆叫做多边形的_2圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角_圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的_3圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点共圆4判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的_，那么这个四边形四个顶点共圆5如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求证：A、B、C、D四点共圆预习导学1圆内接多边形外接圆2互补对角3互补4对角5证明：四边形ABCD为矩形，OAOC，OBOD，ACDB，OAOBOCOD.
2、点A、B、C、D到O点的距离相等，A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上一层练习 1已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有()如果AC，则A90；如果AB，则四边形ABCD是等腰梯形；A的外角与C的外角互补；ABCD可以是1234.A1个 B2个C3个 D4个1B 2圆内接平行四边形一定是()A正方形 B菱形C等腰梯形 D矩形2.D3下列命题中，真命题的个数为()任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；矩形有唯一的外接圆；菱形有外接圆；正多边形有外接圆A1个 B2个C3个 D4个3解析：错误，任意三角形有唯一的外接圆；正确，因为矩形对角线的交点到各顶点
3、的距离相等；错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等答案：B4如图所示，四边形ABCD为O内接四边形，已知BOD60，则BAD_，BCD_.430150二层练习5在圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是()A4231 B4312C4132 D以上都不对5.B6如图所示，四边形ABCD是O的内接四边形，过C作CEAB交AD的延长线于E，那么与BCE互补的角是()ABADBADCCCDEDDEC6.C7如图所示，四边形ABCD为O的内接四边形，点E为AB延长线上一点，CBE40，则AOC等于()A20B40C80D1007.C8如图所示，PA为O直径，PC为
4、O的弦，过的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B.若HB6，BC4，则O的直径为()A10B13C15D208解析：连PH及CH，由圆内接四边形的性质定理有BCHA，则PAHHCB，又CHHA，则PA13.答案：B9若圆内接四边形中3个相邻的内角比为564，则这个四边形中最大的内角为_，最小的内角为_91206010如图，O的内接四边形BCED，延长ED、CB交于点A，若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE_，CE_10解析：由圆内接四边形的性质定理有ADBC，ABDE.则ABDAEC，则代入数据即得DE5，CE2.答案：52三层练习11如下图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB
5、和DC相交于点P.若PB1，PD3，则的值为_11.12如图所示，在ABC中，ADDB，DFAB交AC于点F，AEEC，EGAC交AB于点G.(1)求证：点D、E、F、G四点共圆；(2)求证：点G、B、C、F四点共圆12证明：(1)连接GF，由DFAB，EGAC，知GDFGEF90，GF中点到点D、E、F、G四点距离相等点D、E、F、G四点共圆(2)连接DE.由ADDB，AEEC，知DEBC，ADEB.又由(1)中点D、E、F、G四点共圆，ADEGFE.GFEB.BGFC180.点G、B、C、F四点共圆13如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(
6、1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形13证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)如图设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形14如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(
7、2)若A90，且m4，n6，求C、B、D、E所在圆的半径14解析：(1)连接DE，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.1当题目中出现圆内接四边
8、形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明2判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)3圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相等、四点共圆等典型问题4判定四边形为圆内接四边形除定理及推论两种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相等来证明【习题2.2】1证明：ADBC，BEAC，ABD和ABE均为直角三角形设O是AB的中点，连接OE，OD，如图所示，则OEAB，ODAB，OEODOAOB，A，B，D，E四点共圆，CEDABC.2已知：如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H为各边的中点求证：E，F，G，H四点共圆证明：如图所示，连接EF，FG，GH，HE，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，FGBD，GHAC，又ACBD，FGGH.同理可证HEEF.HEFFGH180，F，G，H，E四点共圆3证明：如图所示，A，B，C，D四点共圆，FCEA.CFGFCECEF，DGFAAEG，而AEGCEF，CFGDGF.
