1、第十七章 排列组合与二项式定理171 乘法原理和加法原理基础练习1个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有_种不同的报名方法解：每位学生可以有种报考重点院校的方式，由乘法原理可得： 2在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有_个解：（1）百位和十位一样，有种，（2）百位和个位一样，有种，（3）十位和个位一样，有种，一共种3由，组成的没有重复数字的六位奇数的个数是_解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排，则4从到这个数字中选个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数四位数中奇数的个数四位数中偶数的个数四位数中能被整除的个数四位数中大于的个数四
2、位数中小于的个数解：按首位是否为零分类，5从，这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母有几个是真分数?几个是假分数?解：（1）按照分母可以取，分类，则（2）按照分母可以取，分类，6已知，且方程是表示中心在原点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?解：，则分，和，则能力提高7在一张平面上画了2 007条互不重合的直线，始终遵循垂直、平行交替的规则进行：,，这条互不重合的直线的交点共有多少个?解：8个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?解：由于先让一人甲去拿一种有种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有种方
3、法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去这样两人只有一种拿法，故答案为9一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则，数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则，则有种不同排课方法10如果一个三位正整数形如“”满足且，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数解：对进行分类讨论，由题意，当中间数是时，首位可取，个位可取，故总的种数有，当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有，当中间数为9时，首位
4、可取1，2，8，个位可取0，1，2，8，故总的种数共有，故所有凸数个数为，故答案为：240172 排列基础练习1解方程：解：将排列写为分数形式，则，210个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法?解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则3一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单?解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共种，3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有种4一铁路线上原有”个车站为适应客运需要，新增加了个车站，客运车票因此增加了62种问现有多少个车站?（来回的车票不同）解：，则54位男生和4位女
5、生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法?解：66颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法?解： （项链可以翻转）7有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?解：能力提高82010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都人选，则有选法，根据分类计数原理知共有选法36种故答案为：369甲、乙、丙3人站到共有7级的台
6、阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数解：由题意知本题需要分组解决，由于对于7个台阶上每一个只站一人有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人共有种，则根据分类计数原理知共有不同的站法种数是336种故答案为：33610在的黑白相间的棋盘上，有多少种方法将8只互不攻击的车放在同色的格子里?（称放在棋盘的同一行或同一列的2只车是互相攻击的）解：先考虑8只互不攻击的车放在黑色格里的方法种数，再考虑放在白色格里的方法种数注意到，放在奇数行的黑格的车与放在偶数行的黑格的车不能互相攻击；同理：放在奇数行的白格的车与放在偶数行的白格的车不能互相攻击（1）将原棋盘中奇数行的黑
7、格拼成一个的棋盘，有种方法放置5只互不攻击的车在此棋盘里将原棋盘中偶数行的黑格拼成一个的棋盘，有种方法放置4只互不攻击的车在此棋盘里 从而，共有种方法将9只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里再从9只车中拿走任意一只车满足条件且其中没有重复，于是共有种方法将8只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里（2）将原棋盘中奇数行的白格，偶数行的白格分别拼成一个的棋盘，有种方法放置4只互不攻击的车在各自棋盘里，于是，共有种方法将8只互不攻击的车放在棋盘的白格里于是一共有种方法173 组合基础练习1圆上有8个点，任意两点可连成弦，两弦交点在圆内的有_个解：两弦的交点就是两弦的四个顶点构成的四边形的对角线的交点于是两弦的
8、交点数就是四边形的个数于是，两弦交点在圆内的有2以正方体的顶点为顶点的四面体个数是_个解：正方体的八个顶点构成12个矩形，于是310个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?解：由挡板法可得，4100件产品中有4件次品，现抽取3件检查，（1）恰好有一件次品的取法有_种（2）既有正品又有次品的取法有_种解：（1）（2）512名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有_种解：6从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有多少种不同的取法?解：4只鞋配成一双或配成两双，则7如图17-2，点，分别是四面体顶点或棱的中点，那
9、么在同一平面上的四点组有多少个？解：个8，试证明：解：构造数学模型证明全班有个人，从中选出个人当志愿者。原式等价于先把全班人分成两组，组人数为，组人数为然后从，组中共选出人9将两个和两个共4个字母填在的小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使用相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种?解：10平面上给定5个点，已知连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合过每个点向其余四点的连线作垂线，这些垂线的交点最多能有多少个（不计已知的5个点）?解：垂线共有条，交点共有个，由于同一点所作垂线无交点，且同一直线的垂线无交点共扣除个点则实际有个174 其他几种排列组合基础练习1有一排5个信号的显
10、示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有多少种?解：每个窗有3种亮灯方式，由乘法原理可知：一共种方式2组成的13个字母，可以组成多少个不同的13字母的单词？解：中有个，个，个，个，于是共有个不同的单词3晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目则有多少种不同的节目顺序表?解：4求的正整数解的组数解：，然后用挡板法解题，得到：5，有组正整数解，求的最大值解：6在1到之间有多少个整数的各位数字之和等于9?解：转化成方程的自然数解个数的问题，等价于方程的正整数解个数的问题，73 570有多少不同的偶数因子?解：，偶数因子里一定有2，3，5，7，1
11、7四个质数的每一个质数可能有，可能没有则能力提高8如果从1，2，14中，按从小到大的顺序依次取出以，使同时满足：，那么所有符合要求的不同取法有多少种?解：种9有多少种方法将100表示成3的非负幂次的和的形式?（加数的不同排列是作同一种的表示方法）解：40210由数字1，2，3组成位数，且在位数中，1，2，3每一个至少出现1次，那么，这样的”位数有多少个?解：位数有个175 排列与组合的综合应用基础练习1电梯里有7名乘客，在10层楼房的每一层停留，如果恰有3个乘客在同一层出去，有2个乘客在另一层同时出去，这样的下客方法有多少种?解：2把2000个不加区分的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第个
12、盒子里至少有个球，则不同的方法总数是多少?解：，即的正整数解的组数，等价于把1 955个一样的球分给10个人，每人至少得一个球然后利用挡板法解题，3路上有编号为1，2，3，10共十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的关灯方法共有多少种?解：插空法解题，47粒相同的骰子扔在桌面上，可能出现多少种不同的结果?解：此问题为可重取组合数问题，用证明多元一次方程非负整数解的隔板模型做此问题即是求：的七元可重组合数的个数建立模型：7个相同的球排成一排，向八个间隔中插入5块隔板，一个间隔中可插多块此时，第一块隔板左侧球的个数
13、为1的个数，第一块和第二块间的球的个数为2的个数，依次类推求插法总数为简化问题，在每块隔板左侧加一个球，题目变成12个球排成一排，向除了第一个球左边的间隔以外的12个间隔中插5块隔板，每个间隔只能插一块，求插法总数53个白球，6个红球排成一个圆环，共有多少种排法?解：10种6从，中任取若干个数相加，使其和为偶数，问共有多少种不同的取法？解：能力提高7个人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，问有几种不同的坐法？解：将甲乙两人视作一个整体，8在圆周上顺时针方向依次放置着数，10，从中取三个数，要求其中任意两个都不圆周上相邻的数，则共有多少种取法？解：由容斥原理得（，）9如图17-
14、4所示，平面被分成六个区域，进行六染色，旋转后重合视为同一种，求染法总数解：10空间有个平面，其中任意2个不平行，任意3个不共线，任意4个不共点，则空间被划分成多少个区域?解：11若四位数，的各位数码以，中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数解：称为的数码组，则，1，2，9；一、当数码组只含一个值，为，2，9，共得9个值二、当数码组恰含两个值以，（1）数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个2，9，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个（2）数码组为型，据构成三角形条件，有的取值中的个数0共得16个数码组，对
15、于每组，有4种占位方式，于是这种有个（3）数码组为型，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个以上共计个三、当数码组恰含三个值，（1）数码组为型，据构成三角形条件，则有这种有14组，每组中，有种占位方式，于是这种有个（2）数码组为型，此条件等价于1，2，9中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中，有种占位方式，于是这种有个（3）数码组为（，）型，同情况（2），有个值以上共计个值四、，互不相同，则有，这种，有16组，每组有个排法，共得个值综上，全部四位三角形数的个数为个176 二项式定理基础练习1求的展开式中系数最大的项解：2已知的展开式中的系数
16、为，求常数的值解：，则，得出：3的展开式和第项小于第4项，求的取值范围解：，则，4若的展开式的常数项为，求解：当为正数时，常数项为，解得：当为负数时，常数项为，解得：综上：5求在的展开式中含项的系数解：，则，则，则含项的系数为6求展开式中含项的系数解：能力提高7在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项解：，则，则，有理项为，8已知的展开式中项的系数与的展开式中项的系数相等，求解解：，9的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解：，依题意有的展开式中，二项式系数最大的项为设第项系数最大，则有则系数最大的项为，最大的项为：，10已知的展
17、开式中有连续三项的系数之比为，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为，求的值解：，联立：这三项是第，项展开式的倒数第二项为：则，或177 二项式定理的性质与应用基础练习1记展开式中的项系数为，求解：，则2若，（1）求的值（2）求的值（3）求的值解：（1）求二项展开式中各项系数之各，相当于去掉展开式中的示知字母，这可由赋值法令实现则（2）若要求二项展开式中奇数项系数之和，可由赋值法令，则将，两式相加得：，则（3）将，两式相减得：，则3（1）求理论上：能被整除（2）求除以的余数解：（1）由于，则原式能被整除（2），故被除的余数为4的末尾连续零的个数是几个解：则的末尾连续零的个数是个5若，求证：解：
18、又，从而所以故6设，求数的个位数字解：令，则由二项式定理知，对任意正整数，为整数，且个位数字为零因此，是个位数字为零的整数下面对估值因为，且，所以故的个位数字为7已知能被整除，求，解：能力提高8设，（1）用，表示（2）当时，求（3）设，证明：数列是等比数列解：（1），（2）（3），数列是等比数列9已知，均为正整数，且，（其中），求证：对一切，均为整数解：因为，且，所以显然为的虚部，所以从而为的虚部因为、为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，为整数10观察下列等式：；由以上等式推测一个一般的结论：对于，解：分别将，代入，即可得11某市2005年底人口为万，人均住房面积为平方米，计划2009年底人均住房面积达到10平方米，如果该市将人口平均增长率控制在，则要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新建住房面积为多少万平方米？（结果以万平方米为单位，保留两位小数）解：高每年平均新增住房平方米，则2010年住房面积为，年人口数为，依题意知，解之得（万平方米）
