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初中数学专题 专题14 锐角三角函数(第01期)2019年初中毕业考试真题数学试题分项汇编(解析版).docx

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资源描述

1、专题14 锐角三角函数1(2019广州)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是BAC,若tanBAC=,则此斜坡的水平距离AC为A75mB50mC30mD12m【答案】A【解析】BCA=90,tanBAC=,BC=30m,tanBAC=,解得AC=75,故选A【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答2(2019广西)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知

2、sin350.6,cos350.8,tan350.7,sin650.9,cos650.4,tan652.1)A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米【答案】C【解析】如图,过点O作OEAC于点E,延长BD交OE于点F,设DF=x,tan65=,OF=xtan65,BF=3+x,tan35=,OF=(3+x)tan35,2.1x=0.7(3+x),x=1.5,OF=1.52.1=3.15,OE=3.15+1.5=4.654.7,故选C【名师点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义,本题属于中等题型3(2019甘肃)在ABC中,C=90,tanA=,则cosB=_【答案】

3、【解析】tanA=,A=30,C=90,B=60,cosB=cos60=故答案为:【名师点睛】在解决解直角三角形形的问题中,牢记特殊角的三角函数值可以快速准确解题4(2019杭州)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=_【答案】或【解析】若B=90,设AB=x,则AC=2x,所以BC=x,所以cosC=;若A=90,设AB=x,则AC=2x,所以BC=,所以cosC=;综上所述,cosC的值为或故答案为:或【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义:熟练掌握锐角三角函数的定义,灵活运用它们进行几何计算5(2019深圳)如图所示,某施工队要测量隧道长度BC,AD=600米,ADBC,施

4、工队站在点D处看向B,测得仰角为45,再由D走到E处测量,DEAC,ED=500米,测得仰角为53,求隧道BC长(sin53,cos53,tan53)【答案】隧道BC长为700米【解析】如图,在RtABD中,AB=AD=600,作EMAC于M,则AM=DE=500,BM=100,在RtCEM中,tan53=,CM=800,BC=CMBM=800100=700(米)答:隧道BC长为700米【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键6(2019海南)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60方向上有一小岛C,小岛C在观

5、测站B的北偏西15方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里(1)填空:BAC=_度,C=_度;(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号)【答案】(1)30,45;(2)观测站B到AC的距离BP为(55)海里【解析】(1)由题意得:BAC=9060=30,ABC=90+15=105,C=180BACABC=45;故答案为:30,45;(2)BPAC,BPA=BPC=90,C=45,BCP是等腰直角三角形,BP=PC,BAC=30,PA=BP,PA+PC=AC,BP+BP=10,解得BP=55答:观测站B到AC的距离BP为(55)海里【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题,通过

6、解直角三角形得出方程是解题的关键7(2019河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度如图所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60,求炎帝塑像DE的高度(精确到1m参考数据:sin340.56,cos34=0.83,tan340.67,1.73)【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m【解析】ACE=90,CAE=34,CE=55m,tanCAE=,AC=82.1(m),AB=21m,BC=ACAB=61.1(m),在RtBCD中,tan60=,CD=BC1.7361.1105.7

7、(m),DE=CDEC=105.75551(m).答:炎帝塑像DE的高度约为51m【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形,利用三角函数的知识求解,难度适中8(2019甘肃)为了保证人们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制中小学楼梯宽度的范围是260mm300mm含(300mm),高度的范围是120mm150mm(含150mm)如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,各踏步互相平行,AB=CD,AC=900mm,ACD=65,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定(结果精确到1mm,参考

8、数据:sin650.906,cos650.423)【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定【解析】如图,连接BD,作DMAB于点M,AB=CD,AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,ABCD,AB=CD,四边形ABDC是平行四边形,C=ABD,AC=BD,C=65,AC=900,ABD=65,BD=900,BM=BDcos65=9000.423381,DM=BDsin65=9000.906815,3813=127,120127150,该中学楼梯踏步的高度符合规定,8153272,260272300,该中学楼梯踏步的宽度符合规定,由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定【名师点睛】本题

9、考查解直角三角形的应用,解答本题的关键是明确题意,利用锐角三角函数和数形结合的思想解答9(2019江西)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm(结果精确到0.1)(1)如图2,ABC=70,BCOE填空:BAO=_求投影探头的端点D到桌面OE的距离(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求ABC的大小(参考数据:sin700.94,cos2

10、00.94,sin36.80.60,cos53.20.60)【答案】(1)160;投影探头的端点D到桌面OE的距离为27cm;(2)当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,ABC的大小为33.2【解析】(1)过点A作AGBC,如图1,则BAG=ABC=70,BCOE,AGOE,GAO=AOE=90,BAO=90+70=160,故答案为:160;过点A作AFBC于点F,如图2,则AF=ABsinABF=30sin7028.2(cm),投影探头的端点D到桌面OE的距离为:AF+AOCD=28.2+6.88=27(cm);(2)过点DHOE于点H,过点B作BMCD,与DC延长线相交于点M,过A

11、作AFBM于点F,如图3,则MBA=70,AF=28.2cm,DH=6cm,BC=35cm,CD=8cm,CM=AF+AODHCD=28.2+6.868=21(cm),sinMBC=0.6,MBC=36.8,ABC=ABMMBC=33.2【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,充分体现了数学与实际生活的密切联系,解题的关键是构造直角三角形10(2019安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图1,明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB长为6米,OAB=41.3,若点C为运行轨道的

12、最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离(参考数据:sin41.30.66,cos41.30.75,tan41.30.88)【答案】点C到弦AB所在直线的距离为6.64米【解析】如图,连接CO并延长,与AB交于点D,CDAB,AD=BD=AB=3(米),在RtAOD中,OAB=41.3,cos41.3=,即OA=4(米),tan41.3=,即OD=ADtan41.3=30.88=2.64(米),则CD=CO+OD=4+2.64=6.64(米)【名师点睛】此题考查了解直角三角形的应用,垂径定理,以及圆周角定理,熟练掌握各自的性质是解本题的关键11(2019吉林)墙壁及淋浴花

13、洒截面如图所示已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角CAD为43求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm)(参考数据:sin43=0.68,cos43=0.73,tan43=0.93)【答案】花洒顶端C到地面的距离CE为192cm【解析】如图,过点C作CFAB于F,则AFC=90,在RtACF中,AC=30,CAF=43,cosCAF=,AF=ACcosCAF=300.73=21.9,CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9192(cm)答:花洒顶端C到地面的距离CE为192cm【名师点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是正确理解题

14、意以及灵活运用锐角三角函数的定义,本题属于中等题型12(2019新疆)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处(1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号);(2)若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处,试判断海轮能否在5小时内到达B处,并说明理由(参考数据:1.41,1.73,2.45)【答案】(1)海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里;(2)海轮以每小时30海里的速度从A处到B处,不能在5小时内到达B处【解析】(1)作PCAB于C,如图所示:则PCA=PCB=90

15、,由题意得:PA=80,APC=45,BPC=90-30=60,APC是等腰直角三角形,B=30,AC=PC=PA=40答:海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里;(2)海轮以每小时30海里的速度从A处到B处,海轮不能在5小时内到达B处,理由如下:PCB=90,B=30,BC=PC=40,AB=AC+BC=40+40,海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=5.15(小时)5小时,海轮以每小时30海里的速度从A处到B处,不能在5小时内到达B处【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质,正确作出辅助线是解答此题的关键13(2019天津)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31,再向东继续航行30m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数)参考数据:sin310.52,cos310.86,tan310.60【答案】这座灯塔的高度CD约为45m【解析】在RtCAD中,tanCAD=,则AD=CD,在RtCBD中,CBD=45,BD=CD,AD=AB+BD,CD=CD+30,解得CD=45,答:这座灯塔的高度CD约为45m【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键

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