1、 第 1页（共 15 页） 四边形四边形强化强化练习题练习题 学而思网校 徐德直老师 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题；共小题；共 4040 分）分） 1. 下列命题： 平行四边形的对边相等； 对角线相等的四边形是矩形； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 其中真命题的个数是 A. B. C. D. 2. 如图，菱形 的周长为 ，高 长为 ，则 A. B. C. D. 3. 如图，已知某广场菱形花坛 的周长是 米，则花坛对角线 的长等于 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，延长 到
2、，使得 ，那么四边形 是 A. 等腰梯形 B. 直角梯形 C. 矩形 D. 菱形 第 2页（共 15 页） 5. 下列性质中，菱形对角线不具有的性质是 A. 对角线互相垂直 B. 对角线所在直线是对称轴 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 6. 如图，已知四边形 为等腰梯形， 为 中点，连接 ，且 ，作 交 于 ，则 A. B. C. D. 7. 如图，正方形 中，点 ， 分别在 ， 上， 是等边三角形，连接 交 于点 ，下列结论： ， ， ， ， ，其中结论正确的个数为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，正方形纸片 中，对角线 ， 交于点 ，折叠正方形纸片 ，使 落在
3、上，点 恰好与 上的点 重合，展开后折痕 分别交 ， 于点 ， ，连接 ，给出下列结论： ； ； ；四边形 是菱形； ；若 ，则正方形 的面积是 ，其中正确的结论个数为 A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 7 7 小题；共小题；共 3535 分）分） 9. 在梯形 中， ， 分别是边 ， 的中点，如果 ，那么 10. 已知四边形 中， ，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 第 3页（共 15 页） 11. 如图，在梯形 中， 与 相交于点 ，如果 ，那么 的值为 12. 如图，已知四边形 为平行四边形，对角线 ， 相交于点 ，要使四边形 为菱形，需要增
4、加的一个条件是： （只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母） 13. 如图所示，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作正方形 ，记作第一个正方形；然后延长 与直线 相交于点 ，再以 为边作正方形 ，记作第二个正方形；同样延长 与直线 相交于点 ，再以 为边作正方形 ，记作第三个正方形； 依此类推，则第 个正方形的边长为 14. 如图，梯形 中，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则 15. 如图，在等腰 中，点 是 内的一点，连接 ，以 为直角边在 的右上方作等腰直角三角形 连接 ，若 ，且四边形 的面积为 ，则 的长为 第 4页（共 15 页） 三、解答题（共三、解答题（共
5、 7 7 小题；共小题；共 9191 分）分） 16. 如图，在 中， 分别是 ， 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ，求证：四边形 是菱形 17. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，将对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 后得直线 ，直线 与 ， 两边分别相交于点 和点 （1）求证：； （2）当 时，求线段 的长度 18. 如图，四边形 中，动点 从点 出发以 的速度沿 的方向运动，动点 从点 出发以 的速度沿 方向运动， ， 两点同时出发，当 到达点 时停止运动，点 也随之停止，设运动的时间为 （1）求线段 的长； （2） 为何值时，线段 将四边形 的面积分为 两部分? 第
6、5页（共 15 页） 19. 如图 ，在 中，点 为射线 上一动点，连接 ，以 为一边且在 的右侧作正方形 解答下列问题： （1）当点 在线段 上时（与点 不重合），如图 ，线段 ， 之间的位置关系为 ，数量关系为 （2）当点 在 线段 的延长线上时，如图 ，（ ）中的结论是否仍然成立，为什么? 20. 在正方形 外侧作直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，其中 交直线 于点 （1）依题意补全图 1； （2）若 ，求 的度数； （3）如图 2，若 ，用等式表示线段 ， 之间的数量关系，并证明 第 6页（共 15 页） 21. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂
7、三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图 1，图 2，图 3 中， 是 的中线， 于点 ，像 这样的三角形均为“中垂三角形”设 ， （1）【特例探究】 如图 ，当 ， 时， ， ； 如图 ，当 ， 时， ， ； （2）【归纳证明】 请你观察（1）中的计算结果，猜想 、 、 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 证明你的结论 （3）【拓展证明】 如图 4， 平行四边形 中， 、 分别是 、 的三等分点，且 ，连接 、 、 ，且 于 ， 与 相交点 ，求 的长 22. 综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们对一张长 ，宽 的矩形纸片 进行剪拼操作，如图（1），希望小组沿对角
8、线 剪开得到两张三角形纸片 和 （1）操作与发现 将这两张三角形纸片按如图（2）摆放，连接 ，他们发现 ，请证明这个结论； 第 7页（共 15 页） （2）操作与探究 在图（2）中，将 纸片沿射线 的方向平移，连接 ，在平移的过程中： 如图（3），当 与 平行时判断四边形 的形状，说明理由并求出此时 平移的距离； 当 经过点 时，直接写出 平移的距离 （3）操作与实践 请你参照以上操作过程，利用图（1）中的两张三角形纸片，拼摆出新的图形在图（4）中画出图形，标明字母，说明构图方法，并直接写出所要探究的问题，不必解答 第 8页（共 15 页） 答案答案 第一部分第一部分 1. C 【解析】答案：
9、C 2. D 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 第二部分第二部分 9. 10. 11. 12. 答案不唯一，如 13. 【解析】由一次函数可得 ，即第一个正方形边长为 ，第二个正方形边长 ，第三个正方形边长为 ，第四个正方形边长为 ， 14. 15. 第三部分第三部分 16. 点 是边 的中点， 又 ， 四边形 是平行四边形 又 点 ， 分别是边 ， 的中点， 又 ， 四边形 是菱形 17. （1） 四边形 是菱形， ， 在 和 中， （） （2） ， 是等边三角形， ，此时 ， 当 时， 第 9页（共 15 页） 在 中， ， 由（1）， 18. （1） 如图 ，作
10、 于 ，则四边形 是矩形 ， ， 在 中， （2） 点 的速度为 ，点 的速度为 ，运动时间为 秒， ， 且 ， 作 于点 ，如图 ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， 分两种情况讨论： 当 时，即 ， 第 10 页（共 15 页） 解得 ，（舍去）； 时， ，即 ， ， 方程无解， 当 为 秒时，线段 将四边形 的面积分为 两部分 19. （1） 垂直；相等 （2） 当点 在 的延长线上时（ ）中的结论仍成立 理由： 四边形 是正方形， ， ， ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ， 即 20. （1） （2） 如图，连接 ， 第 11 页（共 15 页） 则 ， 四边形 是正方形， ，
11、（3） 如图，连接 ， 由轴对称的性质可得 ， 21. （1） ，；， 【解析】如图 1 中， ， ， ， ， ， 如图 2 中，连接 ， ， ， ， 第 12 页（共 15 页） 在 中， ， ， ， ， （2） 结论 如图 3 中，连接 、 是中线， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， （3） 如图 4 中，在 和 中， ， ， 取 中点 ，连接 并且延长交 的延长线于 点 第 13 页（共 15 页） 同理可证 ， ， 即 ， 四边形 是平行四边形， ， ， ，即 ， 是中垂三角形， 由（2）可知 ， ， ， 22. （1） 方法一： 由矩形的性质可得：， 在 中，由等腰三角形“三线合一”的性质可得： 【解析】方法二： 由矩形的性质可得：， 则 为 的垂直平分线，则 （2） 四边形 为矩形， 理由如下： ， 又 ， 又 ， 又 ， 四边形 为平行四边形 又 ， 平行四边形 为矩形 过点 作 交 于点 第 14 页（共 15 页） 易证 ， 平移的距离为 平移的距离为 【解析】过点 作 交 于点 易证 易证 ， 平移的距离为 第 15 页（共 15 页） （3） 答案不唯一例如：如图，将 纸片沿射线 的方向平移，当 与 重合时，连接 ，计算四边形 的面积
