人教版义务教育教科书（五•四学制）·数学九年级下册.pdf

1、数学九年级 下册数学数学SHUXUEYIWU JIAOYU JIAOKESHU义务教育教科书（五四学制）义务教育教科书（五四学制）九年级下册下册九年级3绿 色 印 刷 产 品 数学九年级下(五四)封面.indd 12014.9.24 2:07:39 PM统编版九年级下册数学义 务 教 育 教 科 书（ 五 四学制）人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著北 京统编版义务教育教科书（五四学制） 数学 九年级 下册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）网 址 http:/重

2、印 出版社发 行 新华书店印 刷 印刷厂版 次 2014 年 10 月第 1 版 印 次 年 月第 次印刷开 本 787 毫米 1092 毫米 1/16印 张 6字 数 98 千字印 数 册书 号 ISBN978-7-107-29044-2定 价 元版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话： - 主 编 ： 林 群副 主 编 ： 田载今 薛 彬 李海东本册主编 ： 章建跃主要编写人员 ： 宋莉莉 李龙才 刘长明 邓泾河责任编辑 ： 张劲松美术编辑 ： 王俊宏封面设计

3、 ： 吕 旻 王俊宏插 图 ： 王俊宏 文鲁工作室（封面）统编版本册导引亲爱的同学，新学期又开始了。这是你在初中阶段要学习的最后一册数学教科书。日常生活中，我们常常会见到一些形状相同的图形。它们具有什么共同的特征？怎样从数学的角度去认识这种现象？在“相似”一章，你将会得到答案。类似于全等，相似是图形之间的一种特殊关系。与平移、轴对称、旋转一样，它还是图形之间的一种基本变化。学完了这一章，你将会对上述问题有更深刻的理解，并利用相似去解决一些实际问题。测量长度或角度是我们日常生活中经常遇到的问题。在前面的学习中，我们学习了一些利用全等或相似来测量的方法，但都要用到两个三角形。“锐角三角函数”将带我

4、们去研究直角三角形中的边角关系，利用它，就可以很方便地解决与直角三角形有关的测量问题了。在建筑施工和机械制造中，常常要使用三视图。在七年级上册，我们已初步了解了从不同方向看立体图形可以得到不同的平面图形。在“投影与视图”一章，我们将了解投影的基础知识，借助投影来认识视图，并进一步利用视图来认识立体图形与平面图形的关系。学完了本章，相信你对空间图形的认识一定会有进一步的提高。过了这个学期，你就要初中毕业了，我们这套义务教育教科书（五四学制）数学伴你走过了四年的初中学习生活。回忆一下，在这四年里，你学到了哪些数学知识？对数学有了进一步的认识吗？今后，无论你是继续学习还是参加工作，都希望你能用数学的

5、眼光去观察世界，用数学的头脑去思考问题，用所学的数学知识去解决问题。愿你今后取得更大的进步。统编版书 书 书目录第三十三章相似 图形的相似 相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形 位似 信息技术应用探索位似的性质 数学活动 小结 复习题 第三十四章锐角三角函数 锐角三角函数 阅读与思考一张古老的“三角函数表” 解直角三角形及其应用 阅读与思考山坡的高度 数学活动 小结 复习题 统编版第三十五章投影与视图 投影 三视图 阅读与思考视图的产生与应用 课题学习制作立体模型 数学活动 小结 复习题 部分中英文词汇索引 统编版统编版书 书 书第三十三章相似在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形如国旗上大小

6、不同的五角星、不同尺寸同底版的相片等下图中两张大小不同的万里长城图片，它们的各部分都是按一定比例对应的在“全等三角形”一章中，我们研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法类似地，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？对应线段（如高、中线和角平分线等）和面积有什么关系？如何判断两个三角形的形状是否相同？如何按要求放大或缩小一个图形呢？要回答上面的问题，就进入这一章的学习吧！在实验、探索和论证之后，你就能得到问题的答案统编版? 图形的相似你能再举出一些相似图形的例子吗？图 中有汽车和它的模型，也有大小不同的足球，还有同一张底版洗出的不同尺寸的照片，以及排版印刷时使用不

7、同字号排出的相同文字所有这些，都给我们以形状相同的形象我们把形状相同的图形叫做相似图形（ ） 图 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上图形的放大；用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图形，都与原来的图形相似图 中有对图形，每对图形中的两个图形相似其中较大（小）的图形可以看成是由较小（大）的图形放大（缩小）得到的图 统编版?图 是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗？图 0123456789101112（第题）(c)(f)(e)(d)(b)(a)(1)(2)（第题） 如图，从放大镜里看到的三角尺和原

8、来的三角尺相似吗？ 如图，图形（）（）中，哪些与图形（）或（）相似？统编版?对于四条线段犪，犫，犮，犱，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如犪犫犮犱（即犪 犱犫 犮） ，我们就说这四条线段成比例下面我们研究特殊的相似图形 相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形（ ）相似多边形对应边的比叫做相似比（ ）例如，图 中的两个大小不同的四边形犃犅犆犇和四边形犃犅犆犇中，犃犃，犅犅，犆犆，犇犇，两个大小不同的正方形相似吗？为什么？犃犅犃犅犅犆犅犆犆犇犆犇犇犃犇犃，因此四边形犃犅犆犇与四边形犃犅犆犇相似ABCDA1B1C1D

9、1图 由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例例如图 ，四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，求角，的大小和犈犎的长度狓ABC182178e83eDH24EFG118ex图 解：因为四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，所以它们的对应角相等，由此可得犆 ，犃犈 在四边形犃犅犆犇中， （ ） 因为四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，所以它们的对应边成比例，由此可得统编版?犈犎犃犇犈犉犃犅，即狓 解得狓 在比例尺为 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 ，求两地的实际距离 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？1010553cd52ba697.5（第题）（第题） 如图所示的两个五边形相似，求犪，犫，犮，犱

10、的值习题 Ay7CB128xEF4D（第题） 两地的实际距离是 ，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？ 任意两个矩形相似吗？为什么？ 如图，犃犅犆与犇犈犉相似，求狓，狔的值 如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形你用的是什么方法？与同学交流一下（第题）统编版书 书 书? 如图，犇犈犅犆，（）求犃犇犃犅，犃犈犃犆，犇犈犅犆的值；（）证明犃犇犈与犃犅犆相似ACB9ED52.5234（第题）（第题） 如图，矩形草坪长 、宽 沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由 如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定相似，请举出反

11、例 如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形都相似吗？（第题）统编版? 相似三角形CABBCA图 相似三角形的判定在相似多边形中，最简单的就是相似三角形（ ）如图 ，在犃犅犆和犃 犅 犆 中，如果如果犽，这两个三角形有怎样的关系？犃犃 ，犅犅 ，犆犆 ，犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆 犽，犃 犅 犆 与犃犅犆的相似比为犽即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说犃犅犆与犃 犅 犆 相似，相似比为犽相似用符号“”表示，读作“相似于”犃犅犆与犃 犅 犆 相似记作“犃犅犆犃 犅 犆 ”判定两个三角形

12、全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（ ，）类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题ABEFCDl1l2l3l4l5图 如图 ，任意画两条直线犾，犾，再画三条与犾，犾都相交的平行线犾，犾，犾分别度量犾，犾，犾在犾上截得的两条线段犃犅，犅犆和在犾上截得的两条线段犇犈，犈犉的长度，犃犅犅犆与犇犈犈犉相等吗？任意平移犾，犃犅犅犆与犇犈犈犉还相等吗？统编版?可以发现，当犾犾犾时，有犃犅犅犆犇犈犈犉，犅犆犃犅犈犉犇犈，犃犅犃犆犇犈犇犉，犅犆犃犆犈犉犇犉等一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得

13、的对应线段成比例把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况（图 ）ABECDl1l2l3l4l5ABECDl1l2l3l4l5（）（）图 在图 （）中，把犾看成平行于犃犅犆的边犅犆的直线；在图 （）中，把犾看成平行于犃犅犆的边犅犆的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例ADEBC图 如图 ，在犃犅犆中，犇犈犅犆，且犇犈分别交犃犅，犃犆于点犇，犈，犃犇犈与犃犅犆有什么关系？直觉告诉我们，犃犇犈与犃犅犆相似，我们通过相似的定义证明它，即证明犃犃，犃犇犈犅，犃犈犇犆，犃犇犃犅犃犈犃犆犇犈犅犆由前面的结论可得，犃犇犃

14、犅犃犈犃犆而犇犈犅犆中的犇犈不在犃犅犆的边犅犆上，不能直接利用前面的结论但从要证的犃犈犃犆犇犈犅犆可以看出，除犇犈外，犃犈，犃犆，犅犆都在犃犅犆的边上，因此统编版?只需将犇犈平移到犅犆边上去，使得犅犉犇犈，再证明犃犈犃犆犅犉犅犆就可以了（图 ）只要过点犈作犈犉犃犅，交犅犆于点犉，犅犉就是平移犇犈所得的线段先证明两个三角形的角分别相等如图 ，在犃犇犈与犃犅犆中，犃犃犇犈犅犆，犃犇犈犅，犃犈犇犆再证明两个三角形的边成比例ADEBCF图 过点犈作犈犉犃犅，交犅犆于点犉犇犈犅犆，犈犉犃犅，犃犇犃犅犃犈犃犆，犅犉犅犆犃犈犃犆四边形犇犅犉犈是平行四边形，犇犈犅犉犇犈犅犆犃犈犃犆犃犇犃犅犃犈犃犆犇犈犅犆这样

15、，我们证明了犃犇犈和犃犅犆的角分别相等，边成比例，所以犃犇犈犃犅犆因此，我们有如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似ABEFCDG（第题）ABCDE（第题） 如图，犃犅犆犇犈犉，犃犉与犅犈相交于点犌，且犃犌，犌犇，犇犉，求犅犆犆犈的值 如图，在犃犅犆中，犇犈犅犆，且犃犇，犇犅写出图中的相似三角形，并指出其相似比统编版?类似于判定三角形全等的 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的犽倍度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否

16、有同样的结论可以发现，这两个三角形相似我们可以利用上面的定理进行证明如图 ，在犃犅犆和犃 犅 犆 中，犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆 ，求证犃犅犆犃 犅 犆 ABCDECAB图 证明：在线段犃 犅 （或它的延长线）上截取犃 犇犃犅，过点犇作犇犈犅 犆 ，交犃 犆 于点犈根据前面的定理，可得犃 犇犈犃 犅 犆 犃 犇犈是证明的中介，它把犃犅犆与犃 犅 犆 联系起来犃 犇犃 犅 犇犈犅 犆 犃 犈犃 犆 又犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆 ，犃 犇犃犅，犇犈犅 犆 犅犆犅 犆 ，犃 犈犃 犆 犃犆犃 犆 犇犈犅犆，犃 犈犃犆犃 犇犈犃犅犆犃犅犆犃 犅 犆 相似三角形判定定理的证明都是选学内容

17、统编版?由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理（图 ） ：ABCCAB图 犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆 犃犅犆犃 犅 犆 三边成比例的两个三角形相似类似于判定三角形全等的 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？事实上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理（图 ） ：ABCCAB图 犃犅犃 犅 犃犆犃 犆 ，犃犃 犃犅犆犃 犅 犆 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似怎样证明这个定理呢？它的证明思路与证明前面定理的思路类似先用同样的方法作一个与犃 犅 犆 相似的三角形，再用相似三角形对应边成比例和已知条件证明所作三角形与犃犅犆全等对于犃犅犆和犃 犅 犆 ，如果犃犅犃

18、犅 犃犆犃 犆 ，犅犅 ，这两个三角形一定相似吗？试着画画看例根据下列条件，判断犃犅犆与犃 犅 犆 是否相似，并说明理由：（）犃犅，犅犆，犃犆，犃 犅 ，犅 犆 ，犃 犆 ；（） ，犃犅，犃犆 ， 统编版?犃 ，犃 犅 ，犃 犆 这两个三角形的相似比是多少？解：（）犃犅犃 犅 ，犅犆犅 犆 ，犃犆犃 犆 ，犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆 犃犅犆犃 犅 犆 （）犃犅犃 犅 ，犃犆犃 犆 ，犃犅犃 犅 犃犆犃 犆 又犃犃 ，犃犅犆犃 犅 犆 B54ACED453630452736202515（）（）（第题） 根据下列条件，判断犃犅犆与犃 犅 犆 是否相似，并说明理由：（）犃 ，犃犅，犃犆 ，犃

19、 ，犃 犅 ，犃 犆 ；（）犃犅 ，犅犆，犃犆 ，犃 犅 ，犅 犆 ，犃 犆 图中的两个三角形是否相似？为什么？ 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为，和，另一个三角形框架的一边长为，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？ 统编版?观察两副三角尺（图 ） ，其中有同样两个锐角（ 与 ，或 与 ）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的0123456789101112012345678910111201234567891011120123456789101112图 一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理（图 ） ：ABCCAB图 犃犃 ，犅犅

20、犃犅犆犃 犅 犆 两角分别相等的两个三角形相似这个定理的证明方法与前面两个定理的证明方法类似试一试，如何完成证明例如图 ， 犃犅犆中，犆 ，犃犅 ，犃犆犈是犃犆上一点，犃犈，犈犇犃犅，垂足为犇求犃犇的长ABCDE图 解：犈犇犃犅，犈犇犃 又犆 ，犃犃，犃犈犇犃犅犆犃犇犃犆犃犈犃犅犃犇犃犆犃犈犃犅 由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似 统编版?我们知道，两个直角三角形全等可以用“”来判定那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ABCCAB图 事实上，这两个直角三角形相似下面我们给出证明如图 ，在 犃犅犆和 犃 犅

21、 犆 中，犆 ，犆 ，犃犅犃 犅 犃犆犃 犆 求证 犃犅犆 犃 犅 犆 分析：要证 犃犅犆 犃 犅 犆 ，可设法证犅犆犅 犆 犃犅犃 犅 犃犆犃 犆 若设犃犅犃 犅 犃犆犃 犆 犽，则只需证犅犆犅 犆 犽证明：设犃犅犃 犅 犃犆犃 犆 犽，则犃犅犽犃 犅 ，犃犆犽犃 犆 由勾股定理，得犅犆犃犅犃犆槡，犅 犆 犃 犅 犃 犆 槡犅犆犅 犆 犃犅犃犆槡犅 犆 犽犃 犅 犽犃 犆 槡犅 犆 犽犅 犆 犅 犆 犽犅犆犅 犆 犃犅犃 犅 犃犆犃 犆 犃犅犆 犃 犅 犆 ABCD（第题） 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论 如图， 犃犅犆中，犆犇是斜边犃犅上的高求证

22、：（）犃犆犇犃犅犆；（）犆犅犇犃犅犆 如果 犃犅犆的两条直角边分别为和，那么以犽和犽（犽是正整数）为直角边的直角三角形一定与 犃犅犆相似吗？为什么？ 统编版? 相似三角形的性质三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系如图 ，犃犅犆犃 犅 犆 ，相似比为犽，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ABCDCAB D图 如图 ，分别作犃犅犆和犃 犅 犆 的对应高犃

23、犇和犃 犇 犃犅犆犃 犅 犆 ，犅犅 又犃犅犇和犃 犅 犇 都是直角三角形，犃犅犇犃 犅 犇 犃犇犃 犇 犃犅犃 犅 犽类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于犽这样，我们得到：相似三角形的周长有什么关系？相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比 统编版?相似三角形面积的比与相似比有什么关系？如图 ，由前面的结论，我们有犛犃犅犆犛犃 犅 犆 犅犆犃犇犅 犆 犃 犇 犅犆犅 犆 犃犇犃 犇 犽犽犽这样，我们得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方例如图 ，在犃犅犆和犇犈犉中，犃犅犇犈，犃犆犇犉，犃犇若犃

24、犅犆的边犅犆上的高为，面积为 槡 ，求犇犈犉的边犈犉上的高和面积ABCDEF图 解：在犃犅犆和犇犈犉中，犃犅犇犈，犃犆犇犉，犇犈犃犅犇犉犃犆又犇犃，犇犈犉犃犅犆，犇犈犉与犃犅犆的相似比为犃犅犆的边犅犆上的高为，面积为 槡 ，犇犈犉的边犈犉上的高为，面积为（） 槡 槡 统编版?ABCDEABECD（第题） 判断题（正确的画“” ，错误的画“”）（）一个三角形的各边长扩大为原来的倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的倍；（）（）一个三角形的各边长扩大为原来的倍，这个三角形的面积也扩大为原来的倍（） 如图，犃犅犆与犃 犅 犆 相似，犃犇，犅犈是犃犅犆的高，犃 犇 ，犅 犈 是犃 犅 犆 的高，求证犃

25、犇犃 犇 犅犈犅 犈 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的变成了，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？ 相似三角形应用举例利用三角形的相似，可以解决一些测量问题下面来看几个例子例据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度如图 ，木杆犈犉长，它的影长犉犇为，测得犗犃为 ，求金字塔的高度犅犗怎样测出犗犃的长？A(F)BEDO图 统编版?解：太阳光是平行光线，因此犅犃犗犈犇犉又犃犗犅犇犉犈 ，犃犅犗犇犈犉犅犗犈犉犗犃犉犇，犅犗犗犃犈犉犉犇 （）因此金字塔的高度为 PRSTab

26、图 例如图 ，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点犘，在近岸取点犙和犛，使点犘，犙，犛共线且直线犘犛与河垂直，接着在过点犛且与犘犛垂直的直线犪上选择适当的点犜，确定犘犜与过点犙且垂直犘犛的直线犫的交点犚已测得犙犛 ，犛犜 ，犙犚 ，请根据这些数据，计算河宽犘犙解：犘犙犚犘犛犜 ，犘犘，犘犙犚犘犛犜犘犙犘犛犙犚犛犜，即犘犙犘犙犙犛犙犚犛犜，犘犙犘犙 ，犘犙 （犘犙 ） 解得犘犙 （）因此，河宽大约为 例如图 ，左、右并排的两棵大树的高分别为犃犅和犆犇 ，两树底部的距离犅犇，一个人估计自己眼睛距地面 她沿着正对这两棵树的一条水平直路犾从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就

27、看不到右边较高的树的顶端犆了？分析：如图 （） ，设观察者眼睛的位置为点犉，画出观察者的水 统编版书 书 书?平视线犉犌，分别交犃犅，犆犇于点犎，犓视线犉犃与犉犌的夹角犃犉犎是观察点犃时的仰角类似地，犆犉犓是观察点犆时的仰角由于树的遮挡，区域和，观察者都看不到ABCHDKFGlABCHDKEGl （）（）图 解：如图 （） ，假设观察者从左向右走到点犈时，她的眼睛的位置点犈与两棵树的顶端犃，犆恰在一条直线上犃犅犾，犆犇犾，犃犅犆犇犃犈犎犆犈犓犈犎犈犓犃犎犆犓，即犈犎犈犎 解得犈犎（）由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端犆ABCDE（第

28、题） 在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为 ，这栋楼的高度是多少？ 如图，测得犅犇 ，犇犆 ，犈犆 ，求河宽犃犅 统编版书 书 书?习题 有一块三角形的草地，它的一条边长为 在图纸上，这条边的长为，其他两条边的长都为，求其他两边的实际长度4 cm4 cm5 cm（第题） 根据下列条件，判断犃犅犆与犃 犅 犆 是否相似，并说明理由：（）犃犅 ，犅犆 ，犃犆 ，犃 犅 ，犅 犆 ，犃 犆 ；（）犃 ，犅 ，犃 ，犆 如图，（）判断两个三角形是否相似；（）求狓和狔的值ABEFCDABxye3960C98e2640DE27（） （）（第题） 如图，犃犅犆中，犇犈犅犆，犈犉犃

29、犅，求证犃犇犈犈犉犆ABCFDEABCFGEDABCD（第题）（第题）（第题） 如图，犃犅犆中，犇犈犉犌犅犆，找出图中所有的相似三角形 如果把两条直角边分别为 ， 的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？ 统编版? 如图，犃犇是 犃犅犆斜边上的高若犃犅，犅犆 ，求犅犇的长ABODCl（第题） 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚犃犇和犅犆交叉构成利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度的地方（即同时使犗犃犗犇，犗犅犗犆） ，然后张开两脚，使犃，犅两个尖端分别在线段犾的两个端点上，这时犆犇与犃犅有什么关系？为

30、什么？ 如图，利用标杆犅犈测量建筑物的高度如果标杆犅犈高 ，测得犃犅 ，犅犆 ，楼高犆犇是多少？ABCDEMSKTL（第题）（第 题） 如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部这时犔犕犓等于犛犕犜吗？如果王青身高 ，她估计自己眼睛距地面 ，同时量得犔犕 ，犕犛，这栋楼有多高？ 如图，四边形犃犅犆犇是矩形，点犉在对角线犃犆上运动，犈犉犅犆，犉犌犆犇，四边形犃犈犉犌和四边形犃犅犆犇一直保持相似吗？证明你的结论ABCDGFEABCDE（第 题）（第 题） 如图，平行于犅犆的直线犇犈把犃犅犆分成面积相等的两部分，试确定点犇（或犈）的位置 统编

31、版? 如图，犃犅犆中，犆犇是边犃犅上的高，且犃犇犆犇犆犇犅犇，求犃犆犅的大小ABCDABCyDE（第 题）（第 题） 如图，犃犅犆中，犃犅，犃犆，犅犆如果动点犇以每秒个单位长度的速度，从点犅出发沿边犅犃向点犃运动，此时直线犇犈犅犆，交犃犆于点犈记狓秒时犇犈的长度为狔，写出狔关于狓的函数解析式，并画出它的图象 统编版?奇妙的分形图形下面是两幅奇妙的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？图图图叫做谢尔宾斯基地毯，它最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的个小正三角形再分别重复以上做法将这种做法继续进行下去，就能得到小格子越来

32、越多的谢尔宾斯基地毯（图）这种图形中大大小小的三角形之间有什么关系？图图叫做雪花曲线，它可以从一个等边三角形开始画：把一个等边三角形的每边分成相同的三段，再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形，这样一来就做成了一个六角星然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，出现了一个有 个尖角的图形如此继续下去，就能得到分支越来越多的曲线（图）继续重复上面的过程，图形的外边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致、越来越复杂，越来越像雪花、越来越美丽了这种图形的产生过程中大大小小的三角形之间有什么关系？图猜想：上面这样的图形中，存在多种相似关系，例如其中大大小小的三角形是相 统

33、编版?似的事实上，上面的图形中都存在自相似性，即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系，这样的图形叫做分形图形分形图形具有奇特的性质，例如，如果把上面那样画雪花曲线的做法无限地继续下去，雪花曲线的周长可以无限长，但它却可以画在一个小小的格子中；它的尖端可以无限多，无数小尖尖布满了整个曲线，但它们彼此却不会相交从 世纪 年代起，一个新兴的数学分支 分形几何逐步形成，它的研究对象就是具有自相似性的图形再看一个分形图形的例子画一个大的正五边形，接着画出内嵌的个小正五边形（如果算上中间的一个小正五边形，则正好是个） ；在每个小正五边形内再画出个更小的正五边形（图） ；继续下去，不断重复此过程，就可

34、以得到有无穷自相似结构的分形图形（图）你愿意试着画画吗？图图 统编版? 位似在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的影像缩小在底片上这样的放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和照片下面，我们来研究这类相似的图形OABPABP图 如图 ，如果一个图形上的点犃，犅，犘，和另一个图形上的点犃 ，犅 ，犘 ，分别对应，并且它们的连线犃犃 ，犅犅 ，犘犘 ，都经过同一点犗，犗犃 犗犃犗犅 犗犅犗犘 犗犘，那么这两个图形叫做位似图形（ ） ，点犗

35、是位似中心位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形利用位似，可以将一个图形放大或缩小CDCADBBAO图 例如，要把四边形犃犅犆犇缩小到原来的，我们可以在四边形犃犅犆犇外任取一点犗（图 ） ，分别在线段犗犃，犗犅，犗犆，犗犇上取点犃 ，犅 ，犆 ，犇 ，使得犗犃 犗犃犗犅 犗犅犗犆 犗犆犗犇 犗犇，顺次连接点犃 ，犅 ，犆 ，犇 ，所得四边形犃 犅 犆 犇 就是所要求的图形 统编版?如果在四边形犃犅犆犇外任取一点犗，分别在犗犃，犗犅，犗犆，犗犇的反向延长线上取点犃 ，犅 ，犆 ，

36、犇 ，使得犗犃 犗犃犗犅 犗犅犗犆 犗犆犗犇 犗犇，四边形犃 犅 犆 犇 与四边形犃犅犆犇有什么关系？如果点犗取在四边形犃犅犆犇内部呢？分别画出得到的四边形犃 犅 犆 犇 如图，犗犃犅和犗犆犇是位似图形，犃犅与犆犇平行吗？为什么？CDBAOOCBA（第题）（第题） 如图，以点犗为位似中心，将犃犅犆放大为原来的倍我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转（中心对称）类似地，位似也可以用两个图形坐标之间的关系来表示如图 （） ，在直角坐标系中，有两点犃（，） ，犅（，）以原点犗为位似中心，相似比为，把线段犃犅缩小观察对应点之间坐标的变化，

37、你有什么发现？ 统编版书 书 书?5AyOBx-4(1)(2)AB642-2-5AB642-2-4-6-55Oxy10-10810-8-10ACAACC图 如图 （） ，犃犗犆三个顶点的坐标分别为犃（，） ，犗（，） ，犆（，）以点犗为位似中心，相似比为，将犃犗犆放大观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？用不同方法得到的图形坐标是不同的可以看出，图 （）中，把犃犅缩小后，犃，犅的对应点为犃 （，） ，犅 （，） ；犃 （，） ，犅 （，）图 （）中，把犃犗犆放大后，犃，犗，犆的对应点为犃 （，） ，犗（，） ，犆 （ ，） ；犃 （，） ，犗（，） ，犆 （ ，）一般地，在平面直角坐标系中，如

38、果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为犽，那么与原图形上的点（狓，狔）对应的位似图形上的点的坐标为（犽 狓，犽 狔）或（犽 狓，犽 狔）2yx-42-2OBBAA64图 例如图 ，犃犅犗三个顶点的坐标分别为犃（，） ，犅（，） ，犗（，）以原点犗为位似中心，画出一个三角形，使它与犃犅犗的相似比为分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标根据前面总结的规律，点犃的对应点犃 的坐标为，烄烆烌烎，即（，）类似地，可以确定其他顶点的坐标 统编版?还可以得到其他图形吗？自己试一试解：如图 ，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点犃 （，） ，犅 （，）

39、 ，犗（，）顺次连接点犃 ，犅 ，犗，所得犃 犅 犗就是要画的一个图形2-2645ACByxDO（第题）Oyx642-2-4-6AB（第题） 如图，把犃犗犅缩小后得到犆犗犇，求犆犗犇与犃犗犅的相似比 如图，犃犅犗三个顶点的坐标分别为犃（，） ，犅（，） ，犗（，）以原点犗为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到犃 犅 犗 写出犃 犅 犗 三个顶点的坐标至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式你能在图 所示的图案中找到它们吗？图 统编版?习题 如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心（第题）P（第题） 如图，以点犘为位似中心，将五角星的边长缩小

40、为原来的 犃犅犆三个顶点的坐标分别为犃（，） ，犅（，） ，犆（，）以原点犗为位似中心，将犃犅犆缩小得到犇犈犉，使犇犈犉与犃犅犆对应边的比为，这时犇犈犉各个顶点的坐标分别是多少？ 如图，正方形犈犉犌犎，犐 犑犓犔都是正方形犃犅犆犇的位似图形，点犘是位似中心（）哪个图形与正方形犃犅犆犇的相似比为？（）正方形犐 犑犓犔是正方形犈犉犌犎的位似图形吗？如果是，求相似比（）正方形犈犉犌犎与正方形犃犅犆犇的相似比是多少？H2GDCEFABP22222222222IJKL2xyO45BCA（第题）（第题） 如图，矩形犃犗犅犆各点的坐标分别为犃（，） ，犗（，） ，犅（，） ，犆（，）以原点犗为位似中心，将这

41、个矩形缩小为原来的，写出新矩形各顶点的坐标 统编版? 如图，图中的图案与“”字图案（虚线图案）相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？yx24688642O(2,4)(4,4)yx248642O(2,8)(2,4)（）（）（第题） 如图，以点犙为位似中心，画出与矩形犕犖犘犙的相似比为 的一个图形yMOx55NP（第题） 统编版?探索位似的性质利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质下面以几何画板软件为例说明如图，任意画一个犃犅犆，以点犗为位似中心，自选新旧图形的相似比为犽，得到犃 犅 犆 BCA(9,3)BO-52465110CA (6

42、,2)Bx2.85xB4.27yB4.43By2.95Bx0.67xBBy0.67yByxB ABA0.67图 度量对应边的比，观察结果与犽的关系 以犗为原点建立平面直角坐标系，分别度量点犃，犃 的横坐标，并计算比值；分别度量点犃，犃 的纵坐标，并计算比值观察比值与犽的关系其他对应点呢？ 作线段犗犃，犗犃 ，犗犅，犗犅 ，犗犆，犗犆 ，度量它们，你有什么发现？ 任意改变犃犅犆的位置，你对上面问题得出的结论是否仍然成立？由此，你能得出位似的一些性质吗？ 统编版? 图利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度图显示了测量旗杆高度的几种方法，你能说出各种方法的道理吗？用类似的方法，与同学合作

43、，测量校园中一些物体（如旗杆、树木等）的高度（）（）图ABCDCA BD图观察图（）（）中的美术字，你会发现（）中的字更有立体感量一量这两幅图中每个美术字上端的各条线段，你能否发现其中对应线段的比（相当于图中犃犅犃 犅 ，犆犇犆 犇 ）有什么关系？图（）（）给出一种图中由第一种美术字写出第二种美术字的方法，请找出其中的位似图形以及位似中心，并解释上面所说的对应线段的比的关系 统编版?OlOl（）（）图请你利用位似写出一些立体美术字，并与同学交流 统编版?小结一、本章知识结构图二、回顾与思考本章我们先由生活实例认识了相似图形，并了解了相似多边形的特征然后，重点研究了相似三角形的判定、性质和它在解

44、决实际问题中的应用最后，利用相似的知识研究了位似图形的特征全等形是相似比为的相似图形，因此全等是特殊的相似利用从特殊推广到一般的方法，由研究全等三角形的思路，可以提出相似三角形的问题和研究方法请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧 相似三角形有哪些性质？位似图形呢？ 三角形的相似与三角形的全等有什么关系？如何判断两个三角形相似？ 举例说明三角形相似的一些应用 如何利用位似将一个图形放大或缩小？你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同，并举出一些它们的实际应用的例子吗？ 统编版?复习题 如图，四边形犈犉犌犎相似于四边形犓犔犕犖，求犈，犌，犖的度数以及狓，狔，狕的值143e6x4EFGH101

45、067ey107e35KLMN（第题） 犃犅犆的三边长分别为， ， ，与它相似的犇犈犉的最小边长为 ，求犇犈犉的其他两条边长和周长 根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出狓和狔的值Jy8HFIGx5312612Fy124e72H484832GKxe22J（）（）（第题）（第题） 李华要在报纸上刊登广告，一块 的长方形版面要付 元的广告费如果他要把版面的边长扩大为原来的倍，要付多少广告费（假设每平方厘米版面的广告费相同）？ 将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为 某同学的座位到黑板的距离是，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距 的教科书

46、上的字的感觉相同（教科书上的小四号字大小约为 ）？ 如图，已知零件的外径为犪，现用一个交叉卡钳（两条尺长犃犆和犅犇相等）测量零件的内孔直径犃犅如果犗犃犗犆犗犅犗犇狀，且量得犆犇犫，求犃犅以 统编版?及零件厚度狓ABCDbxOaACDBPO（第题）（第题） 如图，犆犇是犗的弦，犃犅是直径，且犆犇犃犅，垂足为犘，求证犘犆犘犃犘犅 如图，犃犇犅犆，垂足为犇，犅犈犃犆，垂足为犈，犃犇与犅犈相交于点犉，连接犈犇你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？ABCDFE（第题）ABCABCO（第 题） 如图，犃犅犆的三条边与犃 犅 犆 的三条边满足犃 犅 犃犅，犅 犆 犅犆，犃 犆 犃犆，且犗犅犗犅

47、犃犅犆的面积与犃 犅 犆 的面积之间有什么关系？ 如图，一块材料的形状是锐角三角形犃犅犆，边犅犆 ，高犃犇 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在犅犆上，其余两个顶点分别在犃犅，犃犆上，这个正方形零件的边长是多少？ABCDGFKEHABCDGFHEK（第 题）（第 题） 统编版? 如图，为了求出海岛上的山峰犃犅的高度，在犇处和犉处树立标杆犆犇和犈犉，标杆的高都是丈，犇，犉两处相隔 步（丈 尺，步尺） ，并且犃犅，犆犇和犈犉在同一平面内从标杆犆犇后退 步的犌处，可以看到顶峰犃和标杆顶端犆在一条直线上；从标杆犈犉后退 步的犎处，可以看到顶峰犃和标杆顶端犈在一条直线上求山峰的高度犃犅及它和标杆犆犇的

48、水平距离犅犇各是多少步？（提示：连接犈犆并延长交犃犅于点犓，用含犃犓的式子表示犓犆和犓犈）（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著重差 ，后作为唐代的海岛算经中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何唐代的尺约等于现在的 ） 统编版书 书 书第三十四章锐角三角函数意大利比萨斜塔在 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 年比萨地区发生地震，这座高 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至 ，而且还在继续倾斜，有倒

49、塌的危险当地从 年起对斜塔维修纠偏， 年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角（如图）”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？本章将通过锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题统编版? 锐角三角函数问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现

50、测得斜坡的坡角（犃）为 ，为使出水口的高度为 ，需要准备多长的水管？ABCBAC图 这个问题可以归结为：在 犃犅犆中，犆 ，犃 ，犅犆 ，求犃犅（图 ）根据“在直角三角形中， 角所对的边等于斜边的一半” ，即犃的对边斜边犅犆犃犅，可得犃犅犅犆 （）也就是说，需要准备 长的水管在上面的问题中，如果出水口的高度为 ，那么需要准备多长的水管？在上面求犃犅（所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于A?B?C?图 如图 ，任意画一个 犃犅犆，使犆 ，犃 ，计算犃的对边与斜边的比犅犆犃犅由此你能得出什么结论？