1、九年级 上册数学数学SHUXUEYIWU JIAOYU JIAOKESHU义务教育教科书（五四学制）九年级上册3定价：10.00元义务教育教科书（五四学制）上册九年级数学绿 色 印 刷 产 品 数学九年级上五四制封面.indd 119-5-31 下午1:47统编版九年级上册数学义 务 教 育 教 科 书（ 五 四学制）人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著北 京统编版主 编：林 群副 主 编：田载今 薛 彬 李海东本册主编：张劲松主要编写人员：薛 彬 张劲松 俞求是 李海东 张唯一 王玉起责任编辑：王 嵘美术编辑：王俊宏封面设计：吕 旻 王俊宏插 图：王俊宏 文鲁工作室
2、（封面）义务教育教科书（五四学制） 数学 九年级 上册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心 编著出版发行 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）网 址 http:/重 印 黑龙江出版集团发 行 黑龙江省新华书店印 刷 黑龙江省教育厅印刷厂版 次 2014 年 3 月第 1 版 印 次 2018 年 7 月第 5 次印刷开 本 787 毫米 1092 毫米 1/16印 张 9.75字 数 164 千字书 号 ISBN978-7-107-28022-1定 价 10.00 元版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发
3、现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与当地新华书店或印厂联系调换。厂址：哈尔滨市南岗区汉广街 97 号 电话：0451-86313074 邮编：150080质量监督电话：0451-84632411统编版本册导引亲爱的同学，祝贺你升入九年级。你将要学习的这本书是我们根据义务教育数学课程标准（ 年版）编写的教科书，这是你在六九年级要学习的八册数学教科书中的第七册。函数是描述现实世界中变化规律的数学模型。这里，你将认识函数家族中的两个新成员 “二次函数”和“反比例函数” 。与前面学习一次函数一样，你将研究它们的图象和性质，利用它们来描述某些变化规律，解决一
4、些实际问题，进一步提高对函数的认识和应用能力。你已经认识了平移、轴对称等图形的变化，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形的变化又增添了一名新成员 旋转。学了“旋转”一章，你就可以综合运用平移、轴对称、旋转进行图案设计了，你设计出的图案会更加丰富多彩。圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，你将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，你解决图形问题的能力将会进一步提高。将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢？学了“概率初步”一章，你就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，你还会解决更多的实
5、际问题。数学伴着我们成长、数学伴着我们进步、数学伴着我们成功，让我们一起随着这本书，畅游神奇、美妙的数学世界吧！统编版目录第二十八章二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数与一元二次方程 信息技术应用探索二次函数的性质 二次函数与实际问题 阅读与思考推测滑行距离与滑行时间的关系 数学活动 小结 复习题 第二十九章反比例函数 反比例函数 信息技术应用探索反比例函数的性质 反比例函数与实际问题 阅读与思考生活中的反比例关系 数学活动 小结 复习题 统编版第三十章旋转 图形的旋转 中心对称 信息技术应用探索旋转的性质 课题学习图案设计 阅读与思考旋转对称 数学活动 小结 复习题 第三十一章圆 圆的有
6、关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 实验与探究圆和圆的位置关系 正多边形和圆 阅读与思考圆周率 弧长和扇形面积 实验与探究设计跑道 数学活动 小结 复习题 统编版第三十二章概率初步 随机事件与概率 用列举法求概率 阅读与思考概率与中奖 用频率估计概率 实验与探究的估计 数学活动 小结 复习题 部分中英文词汇索引 统编版书 书 书Oxyy=ax2+bx+c第二十八章二次函数函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，用一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系我们再来看另一些问题中变量之间的关系如果改变正方体的棱长狓，那么正方体的表面积狔会随之改变，狔与狓之间有什么关系？从地面竖直向上抛出一小球，小球
7、的高度犺随小球运动时间狋的变化而变化，犺与狋之间有什么关系？再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度狔与它距离喷头的水平距离狓之间有什么关系？回答上述问题就要用到二次函数像学习一次函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，并由此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题通过上述过程，我们对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会有进一步的体会统编版? 二次函数的图象和性质 二次函数图 我们看引言中正方体的表面积的问题正方体的六个面是全等的正方形（图 ） ，设正方体的棱长为狓，表面积为狔显然，
8、对于狓的每一个值，狔都有一个对应值，即狔是狓的函数，它们的具体关系可以表示为狔狓我们再来看几个问题问题狀个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛比赛的场次数犿与球队数狀有什么关系？每个队要与其他（狀）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数犿狀（狀） ，即犿狀狀式表示比赛的场次数犿与球队数狀的关系，对于狀的每一个值，犿都有一个对应值，即犿是狀的函数问题某种产品现在的年产量是 ，计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加狓倍，那么两年后这种产品的产量狔将随计划所定的狓的值而确定，狔与狓之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是 ，一年后的产量是 （狓）
9、，再经过一年后的产量是 （狓） （狓），即两年后的产量狔 （狓），即统编版?狔 狓 狓 式表示了两年后的产量狔与计划增产的倍数狓之间的关系，对于狓的每一个值，狔都有一个对应值，即狔是狓的函数函数有什么共同点？在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的一般地，形如狔犪 狓犫 狓犮（犪，犫，犮是常数，犪）的函数，叫做二次函数（ ）其中，狓是自变量，犪，犫，犮分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项30 mxm20 mx m（第题） 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积犛与底面半径狉之间的关系式 如图，矩形绿地的长、宽各增加狓，写出扩充后的绿地的面积狔与狓的关系式 二次函数狔犪 狓的
10、图象和性质在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法我们将从最简单的二次函数狔狓开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质先画二次函数狔狓的图象在狔狓中，自变量狓可以是任意实数，列表表示几组对应值：狓 狔狓 统编版?根据表中狓，狔的数值在坐标平面中描点（狓，狔） （图 ） ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到狔狓的图象（图 ）还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？Oxy-33369Oxy-33369y=x2图 图 可以看出，二次函数狔狓的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷
11、铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上这条曲线叫做抛物线狔狓实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下一般地，二次函数狔犪 狓犫 狓犮的图象叫做抛物线狔犪 狓犫 狓犮在抛物线狔狓上任取一点（犿，犿） ，因为它关于狔轴的对称点（犿，犿）也在抛物线狔狓上，所以抛物线狔狓关于狔轴对称还可以看出，狔轴是抛物线狔狓的对称轴，抛物线狔狓与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线狔狓的顶点，它是抛物线狔狓的最低点实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点顶点是抛物线的最低点或最高点从二次函数狔狓的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛
12、物线从左到右上升也就是说，当狓时，狔随狓的增大而减小；当狓时，狔随狓的增大而增大例在同一直角坐标系中，画出函数狔狓，狔狓的图象解：分别列表，再画出它们的图象（图 ）统编版?Oxy-2y=2x2-442246821y=x2图 狓 狔狓 狓 狔狓 （）函数狔狓，狔狓的图象与函数狔狓（图 中的虚线图形）的图象相比，有什么共同点和不同点？（）当犪时，二次函数狔犪 狓的图象有什么特点？一般地，当犪时，抛物线狔犪 狓的开口向上，对称轴是狔轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，犪越大，抛物线的开口越小类似地，我们可以研究当犪时，二次函数狔犪 狓的图象和性质（）在同一直角坐标系中，画出函数狔狓，狔狓，狔狓的图
13、象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点（）当犪时，二次函数狔犪 狓的图象有什么特点？Oxy-2-4 42-2-4-6-821y=x2y= 2x2y=x2图 你画出的图象与图 中的图象相同吗？一般地，当犪时，抛物线狔犪 狓的开口向下，对称轴是狔轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，犪越小，抛物线的开口越小统编版?一般地，抛物线狔犪 狓的对称轴是狔轴，顶点是原点当犪时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当犪时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点对于抛物线狔犪 狓，犪越大，抛物线的开口越小从二次函数狔犪 狓的图象可以看出：如果犪，当狓时，狔随狓的增大而减小，当狓时，狔随狓的增大而增大；如
14、果犪，当狓时，狔随狓的增大而增大，当狓时，狔随狓的增大而减小说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（）狔狓；（）狔狓；（）狔狓；（）狔狓 二次函数狔犪（狓犺）犽的图象和性质例在同一直角坐标系中，画出二次函数狔狓，狔狓的图象解：先列表：y=2x2+1y=2x2-1xyO246810-2213-2-1-3图 狓 狔狓 狔狓 然后描点画图，得狔狓，狔狓的图象（图 ）统编版?（）抛物线狔狓，狔狓的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（）抛物线狔狓，狔狓与抛物线狔狓有什么关系？可以发现，把抛物线狔狓向上平移个单位长度，就得到抛物线狔狓；把抛物线狔狓向下平移个单位长度，就得到抛物线狔狓 抛物线狔犪 狓犽与抛
15、物线狔犪 狓有什么关系？在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：狔狓，狔狓，狔狓 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点你能说出抛物线狔狓犽的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线狔狓有什么关系？在同一直角坐标系中，画出二次函数狔（狓），狔（狓）的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点先分别列表：狓狔（狓） 统编版?狓狔（狓） 然后描点画图，得狔（狓），狔（狓）的图象（图 ）yO-2-442-2-4y=(x+1)221y=(x-1)221x= 1xx=1图 可以看出，抛物线狔（狓）的开口向下，对称轴是经过点（，）且与狓轴垂直的直线，把它记作狓，顶点是（，） ；
16、抛物线狔（狓）的开口向下，对称轴是狓，顶点是（，）抛物线狔（狓），狔（狓）与抛物线狔狓有什么关系？可以发现，把抛物线狔狓向左平移个单位长度，就得到抛物线狔（狓）；把抛物线狔狓向右平移个单位长度，就得到抛物线狔（狓）统编版?抛物线狔犪（狓犺）与抛物线狔犪 狓有什么关系？在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：狔狓，狔（狓），狔（狓）观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点例画出函数狔（狓）的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点怎样移动抛物线狔狓就可以得到抛物线狔（狓）？解：函数狔（狓）的图象如图 所示yO-2-442-2-4y=x2211y=x221y=(x+1)2
17、211x图 抛物线狔（狓）的开口向下，对称轴是狓，顶点是（，）还有其他平移方法吗？把抛物线狔狓向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，就得到抛物线狔（狓） 统编版?一般地，抛物线狔犪（狓犺）犽与狔犪 狓形状相同，位置不同把抛物线狔犪 狓向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线狔犪（狓犺）犽平移的方向、距离要根据犺，犽的值来决定抛物线狔犪（狓犺）犽有如下特点：（）当犪时，开口向上；当犪时，开口向下（）对称轴是狓犺（）顶点是（犺，犽）从二次函数狔犪（狓犺）犽的图象可以看出：如果犪，当狓犺时，狔随狓的增大而减小，当狓犺时，狔随狓的增大而增大；如果犪，当狓犺时，狔随狓的增大而增大，当狓犺时，狔随狓的
18、增大而减小我们来看一个与章前图有关的问题例要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？解：如图 ，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为狓轴，水管所在直线为狔轴，建立直角坐标系Ox /my /m13123321图 点（，）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是狔犪（狓）（狓）由这段抛物线经过点（，） ，可得犪（）， 统编版?解得犪因此狔（狓）（狓）当狓时，狔 ，也就是说，水管应 长说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（）狔（狓）；（）
19、狔（狓）；（）狔（狓）；（）狔（狓） 二次函数狔犪 狓犫 狓犮的图象和性质先研究一个具体的二次函数狔狓狓 的图象和性质我们已经知道二次函数狔犪（狓犺）犽的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数狔狓狓 的图象和性质？还有其他平移方法吗？配方可得：狔狓狓 （狓） 根据前面的知识，我们可以先画出二次函数狔狓的图象，然后把这个图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数狔狓狓 的图象 统编版?如果直接画二次函数狔狓狓 的图象，可按如下步骤进行由配方的结果可知，抛物线狔狓狓 的顶点是（，） ，对称轴是狓 先利用图象的对称性列表：狓狔（狓） 然后描点画图，得到狔（狓）的图象（图 ）yO5
20、x1021y=x2x6 +21(63)510图 从图 中二次函数狔狓狓 的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升也就是说，当狓时，狔随狓的增大而减小；当狓时，狔随狓的增大而增大你能用上面的方法讨论二次函数狔狓狓的图象和性质吗？一般地，二次函数狔犪 狓犫 狓犮可以通过配方化成狔犪（狓犺）犽的形式，即狔犪（狓犫犪）犪 犮犫犪因此，抛物线狔犪 狓犫 狓犮的对称轴是狓犫犪，顶点是（犫犪，犪 犮犫犪） 统编版?如图 ，从二次函数狔犪 狓犫 狓犮的图象可以看出：如果犪，当狓犫犪时，狔随狓的增大而减小，当狓犫犪时，狔随狓的增大而增大；如果犪，当狓犫犪时，狔随狓的
21、增大而增大，当狓犫犪时，狔随狓的增大而减小Oxyy=ax2+bx+cx=-b2a(a 0)!Oxyy=ax2+bx+cx=-b2a(a 0)（）（）图 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（）狔狓狓；（）狔狓狓；（）狔狓狓；（）狔狓狓 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式对于二次函数，探究下面的问题：（）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（）如果一个二次函数的图象经过（， ） ，（，） ，（，）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式 本部分内容为选学内容统编版书 书 书?分析：
22、（）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式狔犽 狓犫，需求出犽，犫的值用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于犽，犫的二元一次方程组就可以求出犽，犫的值类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式狔犪 狓犫 狓犮，需求出犪，犫，犮的值由不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与狔轴平行）的坐标，列出关于犪，犫，犮的三元一次方程组就可以求出犪，犫，犮的值（）设所求二次函数为狔犪 狓犫 狓犮由已知，函数图象经过（， ） ，（，） ，（，）三点，得关于犪，犫，犮的三元一次方程组犪犫犮 ，犪犫犮，犪犫犮烅烄烆解这个方程组，得犪，犫，犮所求二次函数是狔狓狓求二次函数的解析式狔
23、犪 狓犫 狓犮，需求出犪，犫，犮的值由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于犪，犫，犮的方程组，求出犪，犫，犮的值，就可以写出二次函数的解析式 一个二次函数，当自变量狓时，函数值狔，当狓与时，狔求这个二次函数的解析式 一个二次函数的图象经过（，） ，（，） ，（，）三点求这个二次函数的解析式 统编版?习题 一个矩形的长是宽的倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式 某种商品的价格是元，准备进行两次降价如果每次降价的百分率都是狓，经过两次降价后的价格狔（单位：元）随每次降价的百分率狓的变化而变化，狔与狓之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：狔狓，狔
24、狓，狔狓 分别写出抛物线狔狓与狔狓的开口方向、对称轴和顶点 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列各组二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：（）狔狓，狔狓；（）狔（狓），狔（狓）；（）狔（狓），狔（狓） 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：（）狔狓 狓；（）狔狓 狓 ；（）狔狓狓；（）狔狓狓 填空：（）已知函数狔（狓），当狓时，狔随狓的增大而减小，当狓时，狔随狓的增大而增大；（）已知函数狔狓狓，当狓时，狔随狓的增大而增大，当狓时，狔随狓的增大而减小ABCP4（第题） 如图，在犃犅犆中，犅 ，犃犅 ，犅犆 ，动点犘从点犃开始沿边犃犅向点犅以的速度移动，动点犙从点犅开始沿边犅犆向点犆
25、以的速度移动，如果犘，犙两点分别从犃，犅两点同时出发，那么犘犅犙的面积犛随出发时间狋如何变化？写出犛关于狋的函数解析式及狋的取值范围 统编版? 一辆汽车的行驶距离狊（单位：）关于行驶时间狋（单位：）的函数解析式是狊狋狋，经过 汽车行驶了多远？行驶 需要多少时间？ 根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式：（）（，） ，（，） ，（，） ；（）（，） ，（，） ，（，） ；（）（，） ，（，） ，（，） ；（）（，） ，（，） ，（， ） 抛物线狔犪 狓犫 狓犮经过（， ） ，（，） ，（，）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点（第 题） 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒
26、增加 （）写出滚动的距离狊（单位：）关于滚动的时间狋（单位：）的函数解析式（提示：本题中，距离平均速度狏时间狋，狏狏狏狋，其中，狏是开始时的速度，狏狋是狋秒时的速度）（）如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 统编版? 二次函数与一元二次方程以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系先来看下面的问题问题如图 ，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度犺（单位：）与飞行时间狋（单位：）之间具有函数关系犺 狋狋考虑以下
27、问题：图 （）小球的飞行高度能否达到 ？如果能，需要多少飞行时间？（）小球的飞行高度能否达到 ？如果能，需要多少飞行时间？（）小球的飞行高度能否达到 ？为什么？（）小球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于小球的飞行高度犺与飞行时间狋有函数关系犺 狋狋，所以可以将问题中犺的值代入函数解析式，得到关于狋的一元二次方程如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中犺的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中犺的值你能结合图 指出为什么在两个时间小球的高度为 吗？解：（）解方程 狋狋，狋狋，狋，狋 当小球飞行和时，它的飞行高度为 统编版?你能结合图 指出为什么只在一个时间小球的高度为 吗
28、？（）解方程 狋狋，狋狋，狋狋 当小球飞行时，它的飞行高度为 （）解方程 狋狋，狋狋 因为（） ，所以方程无实数根这就是说，小球的飞行高度达不到 （）小球飞出时和落地时的高度都为，解方程 狋狋，狋狋，狋，狋当小球飞行和时，它的高度为这表明小球从飞出到落地要用从图 来看，时小球从地面飞出，时小球落回地面从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切例如，已知二次函数狔狓狓的值为，求自变量狓的值，可以看作解一元二次方程狓狓（即狓狓）反过来，解方程狓狓又可以看作已知二次函数狔狓狓的值为，求自变量狓的值一般地，我们可以利用二次函数狔犪 狓犫 狓犮深入讨论一元二次方程犪 狓犫 狓犮下列二次函数的图象与狓
29、轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当狓取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（）狔狓狓；（）狔狓狓；（）狔狓狓 统编版?这些函数的图象如图 所示yOx1y=x2-x+1y=x2-6x+9y=x2+x-2图 可以看出：反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与狓轴的位置关系（）抛物线狔狓狓与狓轴有两个公共点，它们的横坐标是， 当狓取公共点的横坐标时，函数值是由此得出方程狓狓的根是， （）抛物线狔狓狓与狓轴有一个公共点，这点的横坐标是 当狓时，函数值是由此得出方程狓狓有两个相等的实数根 （）抛物线狔狓狓与狓轴没有公共点由此可知，
30、方程狓狓没有实数根一般地，从二次函数狔犪 狓犫 狓犮的图象可得如下结论（）如果抛物线狔犪 狓犫 狓犮与狓轴有公共点，公共点的横坐标是狓，那么当狓狓时，函数值是，因此狓狓是方程犪 狓犫 狓犮的一个根（）二次函数狔犪 狓犫 狓犮的图象与狓轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程犪 狓犫 狓犮的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根 统编版?由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的y-1123x(-0.7,0)(2.7,0)Oy=x2x22图 例利用函数图象求方程
31、狓狓的实数根（结果保留小数点后一位）解：画出函数狔狓狓的图象（图 ） ，它与狓轴的公共点的横坐标大约是 ， 所以方程狓狓的实数根为狓 ，狓 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根观察函数狔狓狓的图象，可以发现，当自变量为时的函数值小于（点（，）在狓轴的下方） ，当自变量为时的函数值大于（点（，）在狓轴的上方）因为抛物线狔狓狓是一条连续不断的曲线，所以抛物线狔狓狓在狓这一段经过狓轴也就是说，当自变量取，之间的某个值时，函数值为，即方程狓狓在，之间有根我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围例如，取，的平均数 ，用计算器算得自变量为 时的函数值为 ，与自变量为时的函数值异号，
32、所以这个根在 ，之间再取 ，的平均数 ，用计算器算得自变量为 时的函数值为 ，与自变量为 时的函数值异号，所以这个根在 ， 之间重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 ， 之间，在 ， 之间可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 时，由于 ，我们可以将 作为根的近似值你能用这种方法得出方程狓狓的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 ）？这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程 统编版书 书 书?习题 已知函数狔狓狓 （）画出这个函数的图象；（）观察图象，当狓取哪
33、些值时，函数值为？ 用函数的图象求下列方程的解：（）狓狓；（）狓狓 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度狔（单位：）与水平距离狓（单位：）yx（第题）之间的关系是狔 狓狓（）画出上述函数的图象；（）观察图象，指出铅球推出的距离 抛物线狔犪 狓犫 狓犮与狓轴的公共点是（，） ，（，） ，求这条抛物线的对称轴 画出函数狔狓狓的图象，利用图象回答：（）方程狓狓的解是什么？（）狓取什么值时，函数值大于？（）狓取什么值时，函数值小于？ 如果犪，抛物线狔犪 狓犫 狓犮的顶点在什么位置时，（）方程犪 狓犫 狓犮有两个不等的实数根？（）方程犪 狓犫 狓犮有两个相等的实数根？（）方程犪 狓犫 狓犮无实数根？如果犪
34、呢？ 统编版?探索二次函数的性质(1-4)yOxP图用某些计算机画图软件，可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质如图，用计算机软件画出函数狔狓狓的图象，拖动图象上的一点犘，让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：图象最低点的坐标是（，） ，也就是说，当狓时，狔有最小值；当狓时，狔随狓的增大而减小，当狓时，狔随狓的增大而增大又如图，用计算机软件画出函数狔狓狓的图象，拖动图象上的一点犘，可以发现：(-21)yOxP图图象最高点的坐标是（，） ，也就是说，当狓时，狔有最大值；当狓时，狔随狓的增大而增大，当狓时，狔随狓的增大而减小借助计算机软件的画图功能，很容易利用二次函
35、数的图象解一元二次方程要解方程犪 狓犫 狓犮，只要用计算机软件画出相应抛物线狔犪 狓犫 狓犮，再让计算机软件显示抛物线与狓轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根利用图、图中的图象试一试，分别求出方程狓狓，狓狓的根 统编版? 二次函数与实际问题对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度犺（单位：）与小球的运动时间狋（单位：）之间的关系式是犺 狋狋（狋）小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？Ot/sh/m5204064321图 可以借助函数图象解决这个问题画出函数犺
36、 狋狋（狋）的图象（图 ）可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当狋取顶点的横坐标时，这个函数有最大值因此，当狋犫犪 （）时，犺有最大值犪 犮犫犪 （） 也就是说，小球运动的时间是时，小球最高小球运动中的最大高度是 一般地，当犪（犪）时，抛物线狔犪 狓犫 狓犮的顶点是最低（高）点，也就是说，当狓犫犪时，二次函数狔犪 狓犫 狓犮有最小（大）值犪 犮犫犪我们再来解决一些实际问题用总长为 的篱笆围成矩形场地，矩形面积犛随矩形一边长犾的变化而变化当犾是多少米时，场地的面积犛最大？ 统编版?分析：先写出犛关于犾的函数解析式，再求出使犛最大的犾值矩
37、形场地的周长是 ，一边长为犾，所以另一边长为（ 犾）场地的面积犛犾（ 犾） ，即犛犾 犾（犾 ）因此，当犾犫犪 （） 时，犛有最大值犪 犮犫犪 （） 也就是说，当犾是 时，场地的面积犛最大某商品现在的售价为每件 元，每星期可卖出 件市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出 件；每降价元，每星期可多卖出 件已知商品的进价为每件 元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况我们先来看涨价的情况（）设每件涨价狓元，则每星期售出商品的利润狔随之变化我们先来确定狔随狓变化的函数解析式涨价狓元时，每星期少卖 狓件，实际卖出（ 狓）件，销售额为（ 狓）（ 狓）元，买进商品需付
38、（ 狓）元因此，所得利润怎样确定狓的取值范围？狔（ 狓） （ 狓） （ 狓） ，即狔 狓 狓 ，其中，狓 根据上面的函数，填空：当狓时，狔最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价元，即定价元时，利润最大，最大利润是（）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（）的讨论，自己得出答案由（） （）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 统编版?4 m2 m图 图 中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽水面下降，水面宽度增加多少？xyO-1-1-2211-2-3图 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数为解题简便，以抛物线的顶点
39、为原点，以抛物线的对称轴为狔轴建立直角坐标系（图 ）设这条抛物线表示的二次函数为狔犪 狓由抛物线经过点（，） ，可得犪，犪这条抛物线表示的二次函数为狔狓当水面下降时，水面的纵坐标为请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度水面下降，水面宽度增加习题 下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标：（）狔狓狓；（）狔狓狓 某种商品每件的进价为 元，在某段时间内若以每件狓元出售，可卖出（ 狓）件，应如何定价才能使利润最大？ 统编版? 飞机着陆后滑行的距离狊（单位：）关于滑行的时间狋（单位：）的函数解析式是狊 狋 狋飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 已知直角三角形两条直角边的和等于，两条直角边
40、各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 如图，四边形犃犅犆犇的两条对角线犃犆，犅犇互相垂直，犃犆犅犇 ，当犃犆，犅犇的长是多少时，四边形犃犅犆犇的面积最大？DABCCABDFEACEBFDGH（第题）（第题）（第题） 一块三角形材料如图所示，犃 ，犆 ，犃犅 用这块材料剪出一个矩形犆犇犈犉，其中，点犇，犈，犉分别在犅犆，犃犅，犃犆上要使剪出的矩形犆犇犈犉的面积最大，点犈应选在何处？ 如图，点犈，犉，犌，犎分别位于正方形犃犅犆犇的四条边上四边形犈犉犌犎也是正方形当点犈位于何处时，正方形犈犉犌犎的面积最小？ 某宾馆有 个房间供游客居住当每个房间每天的定价为 元时，房间会全部住满；当每
41、个房间每天的定价每增加 元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 元的各种费用房价定为多少时，宾馆利润最大？ 分别用定长为犔的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？推测滑行距离与滑行时间的关系一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离狊（单位：）与滑行时间狋（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下页表） 统编版?滑行时间狋滑行距离狊 s/mO4t/s1020304050321图为观察狊与狋之间的关系，建立坐标系，以狋为横坐标，狊为纵坐标，描出表中数据对应的个点，并用平滑曲线连接它们（图）可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分于是，我们用二次函数来近似地表示狊与狋的关
42、系设狊犪 狋犫 狋犮因为当狋时，狊，所以犪犫犮，得犮又当狋时，狊 ；当狋时，狊 ，即犪犫 ，犪犫 烅烄烆解得犪 ，犫 烅烄烆这样我们得到二次函数狊 狋狋，可以用它近似描述狊与狋之间的关系上面我们根据实际问题中的有关数据，数形结合地求出表示变量间关系的函数，这属于建立模拟函数描述实际问题有时这样的函数可能只是近似地反映实际规律，但是它对认识事物有一定作用 统编版? （）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是，个位上的数的和等于 ） ，猜想其中哪个积最大 ， ， ， （）观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 ） ，猜想其中哪个积最大 ，
43、 ， ， 对于（） （） ，你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1-1-2-3-4-5OA(0, 2)xy图（）如图，在平面直角坐标系中，点犃的坐标是（，）在狓轴上任取一点犕，完成以下作图步骤：连接犃犕，作线段犃犕的垂直平分线犾，过点犕作狓轴的垂线犾，记犾，犾的交点为犘在狓轴上多次改变点犕的位置，用的方法得到相应的点犘，把这些点用平滑的曲线连接起来观察画出的曲线犔，猜想它是我们学过的哪种曲线（）对于曲线犔上任意一点犘，线段犘犃与犘犕有什么关系？设点犘的坐标是（狓，狔） ，你能由犘犃与犘犕的关系得到狓，狔满足的关系式吗？你能由
44、此确定曲线犔是哪种曲线吗？你得出的结论与先前你的猜想一样吗？（提示：根据勾股定理用含狓，狔的式子表示线段犘犃的长） 统编版?小结一、本章知识结构图y=ax +bx+c2二、回顾与思考本章我们首先认识了二次函数，研究了它的图象与性质，然后从函数的角度对一元二次方程又进行了讨论，最后运用二次函数分析和解决了一些实际问题我们按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序，讨论了二次函数的图象和性质：先讨论函数狔犪 狓的图象和性质；再将函数狔犪 狓的图象上下、左右平移就得到狔犪（狓犺）犽的图象，并观察图象得到性质；又通过配方，将函数狔犪 狓犫 狓犮化成狔犪（狓犺）犽的形式，从而把问题转化成已解决的问题在此过程中，
45、配方、图象平移等起着重要作用借助二次函数的图象得到它的性质，又一次体现了数形结合思想，让我们领悟到几何直观的作用二次函数狔犪 狓犫 狓犮的图象与狓轴的位置关系，与一元二次方程犪 狓犫 狓犮的根的情形有密切联系如果函数图象与狓轴有公共点，那么公共点的横坐标就是方程的根揭示这些联系可以加深对一元二次方程的认识运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的图象与性质求解，从而获得实际问题的答案对此，可以结合本章知识结构图加以体会请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧 统编版? 举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列出函数解析式并画出图象
46、 结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点，说明二次函数在什么情况下取得最大（小）值 结合抛物线狔犪 狓犫 狓犮与狓轴的位置关系，说明方程犪 狓犫 狓犮的根的各种情况 在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值请举例说明如何分析、解决这样的问题 回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在反映现实世界的运动变化中的作用复习题 ABCD FGE（第题） 如图，正方形犃犅犆犇的边长是犈是犃犅上一点，犉是犃犇延长线上的一点，犅犈犇犉四边形犃犈犌犉是矩形，矩形犃犈犌犉的面积狔随
47、犅犈的长狓的变化而变化，狔与狓之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 某商场第年销售计算机 台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率狓，写出第年的销售量狔关于每年增加的百分率狓的函数解析式 选择题在抛物线狔狓狓上的一个点是（）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，） 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：（）狔狓狓；（）狔狓狓；（）狔狓狓；（）狔狓狓 汽车刹车后行驶的距离狊（单位：）关于行驶的时间狋（单位：）的函数解析式是狊 狋狋汽车刹车后到停下来前进了多远？ 统编版? 根据下列条件，分别确定二次函数的解析式：（）抛物线狔犪 狓犫 狓犮过点（，） ，（，） ，（，） ；（）抛物
48、线狔犪 狓犫 狓犮与狓轴的两交点的横坐标分别是，与狔轴交点的纵坐标是18m（第题） 如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 已知矩形的周长为 ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 如图，点犈，犉，犌，犎分别在菱形犃犅犆犇的四条边上，犅犈犅犉犇犌犇犎，连接犈犉，犉犌，犌犎，犎犈，得到四边形犈犉犌犎（）求证：四边形犈犉犌犎是矩形（）设犃犅犪，犃 ，当犅犈为何值时，矩形犈犉犌犎的面积最大？ABCDFGEH（第题） 对某条路线的长度进行狀次测量，得到狀个结果狓，狓，狓狀
49、如果用狓作为这条路线长度的近似值，当狓取什么值时，（狓狓）（狓狓）（狓狓狀）最小？狓所取的这个值是哪个常用的统计量？ 统编版书 书 书第二十九章反比例函数同一条铁路线上，由于不同车次列车运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢由狊狏 狋可知，在路程狊一定的前提下，平均速度狏与运行时间狋成反比例从函数角度看，平均速度狏随运行时间狋的变化而变化的规律，可表示为狏狊狋（狊为常数） ，这类函数就是本章要研究的反比例函数与研究一次函数、二次函数类似，我们将在反比例函数定义的基础上，研究反比例函数的图象和性质，并运用反比例函数解决一些实际问题统编版书 书 书? 反比例函数 反比例函数下列问题中，变量间
50、具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？（）京沪线铁路全程为 ，某次列车的平均速度狏（单位：）随此次列车的全程运行时间狋（单位：）的变化而变化；（）某住宅小区要种植一个面积为 的矩形草坪，草坪的长狔（单位：）随宽狓（单位：）的变化而变化；（）已知北京市的总面积为 ，人均占有面积犛（单位：人）随全市总人口狀（单位：人）的变化而变化问题（）中，有两个变量狋与狏，当一个量狋变化时，另一个量狏随着它的变化而变化，而且对于狋的每一个确定的值，狏都有唯一确定的值与其对应问题（）（）也一样所以这些变量间具有函数关系，它们的解析式分别为狏 狋，狔 狓，犛 狀上述解析式都具有狔犽狓的形式，其中犽是非
