1、普通高中教科书S H U X U E上 海 教 育 出 版 社必修第二册版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系. 电话021-64373213全国物价举报电话：12315 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定， 我们已尽量寻找著作权人支付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 邹建兵 周子翔 朱胜林 肖登鹏 陈兴义 刘 攀 邹佳晨 况亦军责任编辑 潘迅馨 缴 麟
2、蒋徐巍装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 图虫网（封面一幅图，封底一幅图，P1一幅图，P47一幅图， P51一幅图，P94一幅图，P133一幅图）；全景网 （P57一幅图，P87一幅图）；上海教育出版社有限公司（P73一幅图）插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇普通高中教科书 数学 必修 第二册上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市闵行区号景路159弄C座）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2020年12月第1版印次2021年12月第2次开本8901240 1/16印张11字数180 千字书号978-7-5720-0184-0/G01
3、41定价13.60 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础，编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那
4、种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精” “简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程
5、怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了数学吗？ ！为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理
6、念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本套教材涵盖普通高中数学课程标准（ 年版 年修订） 所规定的必修课程和选择性必修课程的内
7、容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 第章三角 正弦、余弦、正切、余切 常用三角公式 解三角形 内容提要 复习题 第章三角函数 正弦函数的图像与性质 余弦函数的
8、图像与性质 函数狔犃狊 犻 狀（狓） 的图像 正切函数的图像与性质 内容提要 复习题 第章平面向量 向量的概念和线性运算 向量的数量积 向量的坐标表示 向量的应用 内容提要 复习题 目录 第章复数 复数及其四则运算 复数的几何意义 实系数一元二次方程 复数的三角形式 内容提要 复习题 书 书 书第章三角在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论在初中，当一个角为锐角时，已经对有关的概念及结论做了
9、初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础三角 正弦、余弦、正切、余切锐角的正弦、余弦、正切、余切如图，将直角三角形犃犅犆中（其中犆 ）犃、犅、犆的对边边长分别记作犪、犫、犮在初中我们已经知道，锐角犃的正弦、余弦、正切、余切的定义分别为 犃犪犮， 犃犫犮， 犃犪犫， 犃犫犪由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论： 犃 犃， 犃 犃
10、 犃， 犃 犃 犃， 犃 犃， （ 犃） 犃， （ 犃） 犃， （ 犃） 犃， （ 犃） 犃我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值（表） ：表角度 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 任意角及其度量在小学和初中我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从图 正弦、余弦、正切、余切 初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形（图）我们以前学习过的锐角、直角、钝角、平角和周角，其大小都在 到 之间不过在体操、跳水等体育运动中，会听到转体 、转体 等术语；当手表比标准时间慢或者快 分钟的时候，只需要将分针旋转 就可以调节准确，但也有
11、按顺时针和逆时针方向旋转的差异因此，要准确地刻画这些现象，对于角而言，不但要考察旋转量，而且要考察旋转方向，这就需要适当推广角的概念习惯上规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的（图）特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，称为零角零角的始边与终边重合这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过 的角为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边与狓轴的正半轴重合此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第
12、几象限如图， 和 都是第一象限的角， 和 都是第二象限的角当角的终边在坐标轴上时，就不说这些角属于哪一象限图例如，若角是第一象限的角，将其终边绕原点逆时针旋转 后，所得的角 是第二象限的角；将其终边绕原点逆时针旋转 后，所得的角 是第三象限的角；而将其终边绕原点顺时针旋转 后，所得的角 则是第四象限的角从角的形成过程中可以看到，与某一个角的始边相同且终边重合的角有无数个，它们的大小与角都相差 的整数倍在图中， 的角和 的角的终边重合，前者与后者之差为 ； 的角和 的角的终边重合，前者与后者之差为 进一步，我们可以把所有与角的终边重合的角（包括图为简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简
13、记作“”三角 角本身）的集合表示为犽 ，犽犣例判断下列各角分别属于哪个象限：（） ；（） 解（）因为 ，而 的角属于第二象限，所以 的角属于第二象限（）因为 ，而 的角属于第四象限，所以 的角属于第四象限例写出与 的终边重合的所有角组成的集合犛，并列举犛中满足不等式 的所有元素解因为犛犽 ，犽犣 ，所以当 时， 或 或 练习 （）判断下列命题是否正确：（）终边重合的两个角相等；（）锐角是第一象限的角；（）第二象限的角是钝角；（）小于 的角都是锐角分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于狔轴正半轴上的所有角在 范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角：
14、（） ；（） ；（） ；（） 度量长度可以用米为单位，度量质量可以用千克为单位，适当的单位制会给解决问题带来极大的便利度量角的大小与度量其他量一样，也要选择一个同类的量作为度量的单位在平面几何中，我们把周角的 作为度用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制表示角的方法，用角度制虽很直观，但很多情况下并不一定方便下面我们引入一种度量角的新方法观察不难发现：在半径为狉的圆中，当圆心角为 时，圆的周长为 狉；当圆心角为 时，半圆的弧长为狉；而当圆心角为 时，四分之一圆的弧长为狉由初中所学习的计算扇形弧长公式可知，在给定半径的圆中，弧的长度与相应圆心角的大小成正比例关系，因此我 正弦、余弦、正切、余
15、切 们不仅可以用角度来度量弧的长度，而且可以用弧长来度量角的大小具体来说，在半径为狉的圆周上，弧长犾与以角度度量的圆心角之间的关系式为犾 狉 ，即犾狉 ，这说明比值犾狉仅由角的大小决定这样我们就可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小相应地，把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度（ ）的角（图）用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制一般地说，如果一个半径为狉的圆的圆心角所对的弧长为犾，那么犾狉就是角的弧度的绝对值，即犾狉，这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定零角的弧度数为从弧度的定义不难得知，周角为 弧度，即 弧度；平角为弧度，即 弧度从而有 弧度，弧度 例按下列
16、要求，将 换算成弧度：（）精确值；（）近似值（结果精确到 ）解（） 弧度 弧度（）计算得 ，从而 弧度例将 弧度换算成角度（用度数表示，结果保留两位小数）解 弧度 请同学们根据一些常用特殊角的角度与弧度的对应关系，填写下表表角度 弧度 在弧度和角度的换算过程中，应当注意角度制为 进位制例如， 应先换算成 ，再换算成弧度在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，这就构成了角的集合与实数集合之间的一图在学习微积分后可以更明显地看出弧度制的优点三角 个一一对应关系在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数例如，角和角的互补关系可以表示为，而 则表
17、示 弧度的角的正弦引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮，更使微积分中的许多公式变得格外简明例如，如图，当扇形的圆心角为狀，而半径为狉时，扇形的弧长犾和面积犛的公式分别为犾狀 狉狀狉 及犛狀 狉狀狉 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为 狀狀 ，因此上述公式可分别简化为扇形的弧长犾 狉，扇形的面积犛 狉例写出终边在狓轴上的所有角组成的集合（用弧度制表示）解当角的终边在狓轴正半轴上时，犽，犽犣；而当角的终边在狓轴负半轴上时，犽，犽犣所以，所求的角的集合为犽，犽犣例设是第二象限的角，判断是哪个象限的角解因为是第二象限的角，所以犽犽，犽犣，从而有犽犽，犽犣（）当犽为奇数时，设犽狀，狀犣，就有狀
18、狀，狀犣，所以是第三象限的角；（）当犽为偶数时，设犽狀，狀犣，就有狀狀，狀犣，所以是第一象限的角由上可知，是第一象限或第三象限的角角度和弧度不可混用在使用计算器的时候，要注意所指的是角度制还是弧度制图 正弦、余弦、正切、余切 练习 （）分别将下列角度化为弧度： ； ； 分别将下列弧度化为角度： ；（结果精确到 ）已知扇形的弧所对的圆心角为 ，且半径为 求该扇形的弧长和面积如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角任意角的正弦、余弦、正切、余切我们将锐角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点犗重合，始边与狓轴的正半轴重合，那么它的终边必在第一象限如图，在角的终边上任取异于原点的一点犘（狓，狔）
19、，它与原点的距离狉狓狔槡过点犘作狓轴的垂线，设垂足为犕，则线段犗犕的长度犗犕为狓，而线段犕犘的长度犕犘为狔根据锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义，有 犕犘犗犘狔狉， 犗犕犗犘狓狉 犕犘犗犕狔狓， 犗犕犕犘狓狔这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切图图线段犗犕的长度通常用犗犕表示在不引起混淆的前提下，也可用犗犕表示三角 如图，在任意角的终边上任取异于原点的一点犘，设其坐标为（狓，狔） ，并令犗犘狉，必有狉狓狔槡这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切、余切为 狔狉， 狓狉， 狔狓（狓） ， 狓狔（狔）应当注意
20、的是：当犽（犽犣） ，即角的终边位于狔轴上时， 狔狓无意义；而当犽（犽犣） ，即角的终边位于狓轴上时， 狓狔无意义例已知角的终边经过点犘（，） ，求角的正弦、余弦、正切及余切值解由狓，狔，有狉 （）槡槡 ，从而 狔狉槡 ， 狓狉槡 ， 狔狓， 狓狔例已知角的终边经过点犘（，） ，求角的正弦、余弦、正切及余切值解由狓，狔，有狉（）槡，从而 狔狉， 狓狉， 狔狓， 不存在由于角的正弦、余弦、正切及余切值可以由其终边上一点犘的坐标求出，因此不难根据点犘的坐标来判断角的正弦、余弦、正切及余切的符号，如表所示表角所属的象限点犘的坐标狓狔 第一象限第二象限第三象限第四象限由相似三角形知识可知，角的正弦、余
21、弦、正切及余切值只与角的终边有关，而与在终边上所取的点犘的位置无关 正弦、余弦、正切、余切 上表的结果可用图直观表示 图例若角满足 ，且 ，则角属于第几象限？解由 ，知角属于第一象限或第二象限或其终边位于狔轴的正半轴上又由 ，知属于第二象限或第四象限因此，角属于第二象限练习 （）已知角的终边过点犘（犪，犪） （犪） ，求角的正弦、余弦、正切及余切值已知角的终边过点犘（，） ，则下列值不存在的是（） ； ； ； 根据下列条件，分别判断角属于第几象限：（） 且 槡 ；（） 且 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余切值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点犘的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离
22、为的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值半径为个单位的圆称为单位圆（ ）本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以原点为圆心，以为半径的圆将角的顶点置于坐标原点犗，始边与狓轴的正半轴重合，三角 则角的终边与以原点为圆心的单位圆交于唯一的一点犘（狓，狔） ，如图所示这样，任意一个角对应于单位圆上一点犘；反之，单位圆上一点犘可对应无穷多个角，但这些角的弧度数之差必为 的整数倍由定义可知，狓 ，狔 因此，单位圆上点犘的坐标必可以写为（ ， ）例 求角 的正弦、余弦和正切值解设角 的终边交以原点为圆心的单位圆于点犘，过点犘作狓轴的垂线，其垂足为犕，如图 所示在直角三角形犗犕犘中，犕犗犘，由
23、此可得犗犕槡 ，犕犘槡 ，所以点犘的坐标为（槡 ，槡 ）于是， 槡 ， 槡 ，而 对终边与坐标轴重合的角，设终边与以原点为圆心的单位圆的交点为犘，请同学们完成以下表格（表）表点犘的坐标 犽（犽犣）（，）不存在（，）（，）（，）设角的终边经过异于原点的一点犘（狓，狔） ，并记狉狓狔槡由定义，有 狔狉， 狓狉， 狔狓（狓） ， 狓狔（狔）由狓狔狉，就有 当 时，有 当 时，有图图 正弦、余弦、正切、余切 当 、 都有意义时，有 根据以上关系，如果知道角的正弦、余弦、正切及余切之中的一个值，就可以求出其他值例 已知 ，且为第二象限的角求 ， 及 解因为为第二象限的角，所以 由 ，得 槡，从而 ， 例
24、 已知 ，求 、 及 解 因为 ，所以为第二象限或第四象限的角因为 ，所以 又因为 ，解方程组 ， ，烅烄烆得 ， ，或 ， 于是，当为第二象限的角时， ， ；而当为第四象限的角时， ， 练习 （）求角的正弦、余弦、正切及余切值能否利用直角三角形知识与角的正弦、余弦、正切和余切值在各象限的符号，快速给出例 的答案？三角 分别求 犽（犽犣）和 犽（犽犣）的值已知为第三象限的角， 槡 求 、 及 已知 ，求 、 及 利用任意角的正弦、余弦、正切及余切之间的关系，可以化简表达式并证明一些恒等式例 （）已知 ，求 的值；（）已知 ，求 的值解（）因为（ ） ，即 ，所以 （）因为 ，所以 ，从而有 例
25、 证明下列恒等式：（） ；（） ；（） ；（） 证明（） （） 通常记 ， 例 （）与（）中的公式就可简写为 ， 正弦、余弦、正切、余切 （）因为 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ，所以原式成立（）因为左边 （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） 右边，所以原式成立练习 （）已知 ，求 的值化简：（） ；（） （ ）证明： 诱导公式犽（犽犣） ，这些角都与角有特殊的关系已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能否快速给出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题由于角犽（犽犣）的终边与角的终边重合，因此由定义有如下诱导公式： （犽） ， （犽） ， （犽） ， （犽） （
26、犽犣）由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求， ）范围内一个角的相应值三角 角的终边与角的终边关于狓轴对称（图 ） ，角的终边与单位圆交于点犘（ ， ） ，而角的终边与单位圆交于点犘 （ （） ， （） ）由于点犘与点犘 关于狓轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式： （） ， （） ， （） ， （） 由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值将角的终边绕着原点犗按逆时针方向旋转弧度，得到角的终边（图 ） ，这说明角和角的终边在同一条直线上，但方向相反角的终边与单位圆交于点犘（ ， ） ，角的终边与单位圆交于点犘 （
27、 （） ， （） ）由于点犘与点犘 关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式： （） ， （） ， （） ， （） 由这组诱导公式，求， ）范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到，）范围内一个角的相应值角的终边与单位圆交于点犘（ ， ） ，而角的终边与单位圆交于点犘 （ （） ， （） ）由于角的终边和角的终边关于狔轴对称（图 ） ，点犘与点犘 关于狔轴对称，其横坐标为相反数，而纵坐标相等，因此有如下诱导公式： （） ， （） ， （） ， （） 由这组诱导公式，求，）范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到，）范围内一个角的相应值利用以上四组诱导公式，就可
28、以将终边不位于坐标轴上的任意角的正弦、余弦、正切及余切值，与初中已学过的锐角的相应值有机地联系起来以上四组诱导公式说明，犽（犽犣） ，的正图 图 图 正弦、余弦、正切、余切 弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角的相应量的绝对值，但这两个值之间可能差一个正负号由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个很简单的方法可以加以判断，即：当为锐角时，等式两边必须同时为正数或同时为负数例如， （）的绝对值应该同 的绝对值相等，即成立 （） 但当为锐角时，是第二象限的角，这时 （），而 ，所以前式中应该取负号，即有 （） 例 利用诱导公式求值：（） ；（） （）；（） （ ）解（） （ ） （）
29、槡 （） （） （） 槡 （） （ ） （ ） （） 例 化简： （ ） （） （） （） （ ）解因为 （ ） （） ， （） ， （） （） ， （） ， （ ） （） ，所以原式（ ） （ ）（ ） （ ） 练习 （）证明：（） （ ） ；（） （ ） ；（） （ ） ；（） （ ） 到底使用哪一个诱导公式求值，可以有多种选择三角 利用诱导公式求值：（） ；（） （）； （） （ ）化简：（） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （）；（） （） （） （ ） （）角的终边与角的终边关于直线狔狓对称（图 ） ，角的终边与单位圆交于点犘（ ， ） ，而角的终边与单位圆交于点犘 （ （）
30、， （）由于点犘与点犘 关于直线狔狓对称，即点犘的横坐标与点犘 的纵坐标相等，而点犘的纵坐标与点犘 的横坐标相等，因此有如下诱导公式： （） ， （） ， （） ， （） 在以上公式中将用代换，就有 （） （） ，即 （） 同理，有如下诱导公式： （） ， （） ， （） ， （） 上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以互相转化，正切和余切也可以互相转化以上两组诱导公式说明角的正（余）弦、正（余）切值的图 角的终边和角的终边关于角（）的终边所在直线（狓轴）对称；角的终边和角的 终 边 关 于 角（）的终边所在直线（狔轴）对称一般地，角的终边和角的终边关于角的终边所在直线对称 正弦、余弦、正切、余切
31、 绝对值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的绝对值，但这两者可能差一个正负号这个正负号的确定方法是：当为锐角时，等式两边必须同时为正数或同时为负数例如， （）的绝对值应该同 的绝对值相等，即成立 （） 但当为锐角时，是第二象限的角，这时 （），而 ，所以前式中应该取负号，即有 （） 例 证明：（） （ ） ；（） （ ） ；（） （ ） ；（） （ ） 证明（） （ ） （） （） （） （） （）的证明方法类似，请同学们自行完成例 中的这组公式也可称为诱导公式观察所有上述这些诱导公式，关于角犽（犽犣）的正弦、余弦、正切及余切值呈现的规律可以总结为如下口诀：奇变偶不变，符号看象限例如，及 都
32、是的奇数倍，如果等式左边是， 的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右边相应的必定是的余弦、正弦、余切、正切，这就是“奇变” ；而犽（犽犣） 、都是的偶数倍，等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”等式右边角的正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将视为锐角（实际上此时可以为任意三角 角） ，由等式左边的角， ，犽，所在象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”这一点在前面已有说明例 化简： （） （） （） （） （） （）解原式 （ ） （ ） （ ） 例 已知点犃的坐标为（，），将犗犃绕坐标原点犗逆时针旋转至犗犃 求点犃 的坐标解如图 ，由犗犃犗犃
33、 ，在单位圆中犃（ ， ）满足 ， 这样对点犃 （狓 ，狔 ） ，有狓 （） ，狔 （） 所以，点犃 的坐标为（，）练习 （）证明：（） （ ） ；（） （ ） ；（） （ ） ；（） （ ） 化简： （） （ ） （ ） （） （ ） （）已知点犃的坐标为（，） ，将犗犃绕坐标原点犗顺时针旋转至犗犃 求点犃 的坐标图 正弦、余弦、正切、余切 已知正弦、余弦或正切值求角如果是锐角，且满足 ，那么如果不限定是锐角，那么由诱导公式 （） 可知， 也满足 再由诱导公式 （犽） （犽犣）可知，犽或犽 （犽犣）都满足 那么，是否还有其他的角满足 呢？下面我们就来研究这个问题（）（）（）图 为此目的，设是
34、一个任意给定的角，我们希望确定所有满足 的角设角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为犘（狓，狔） ，过点犘作狔轴的垂线，如图 （）所示由正弦的定义，满足 的角的终边与单位圆的交点必在此直线上当犾（犾犣）时，此直线交单位圆于两点（狓，狔）和（狓，狔）由于这两点分别位于角和角的终边上，因此满足 的角的全体为犽或犽，犽犣 ，可简记作犽（）犽，犽犣当犾（犾犣）时，过点犘且垂直于狔轴的直线与单位圆相切于（，狔） ，此时满足 的角的全体为犽，犽犣 ，这个集合也可以用上面所示的形式来表示事实上，其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同，而对于上述集合第二部分所给的表达式，由于在三角 犾（犾犣）时，犽
35、犽犾（犽犾）犾（犽犾）（犽犾犣） ，此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致这样，我们就得到：若 狓 ，则狓犽或狓犽，犽犣，即狓犽（）犽，犽犣同理，如图 （） ，若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为犘（狓，狔） ，则由余弦的定义，满足 的角的终边与单位圆的交点在过点犘且垂直于狓轴的直线上，从而满足 的角的全体为犽，犽犣这样，我们就得到：若 狓 ，则狓犽，犽犣如图 （） ，若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为犘（狓，狔） ，则由正切的定义，满足 的角的终边与单位圆的交点在过原点犗和点犘的直线上，从而满足 的角的全体为犽，犽犣这样，我们就得到：若 狓 ，则狓犽，犽犣例 根据下列条件，分
36、别求角狓：（）已知 狓槡 ；（）已知 狓槡 ；（）已知 狓槡 解（）因为 槡 ，所以原式等价于求解 狓 ，从而其解为狓犽（）犽，犽犣（）因为 （） 槡 ，所以原式等价于求 正弦、余弦、正切、余切 解 狓 ，从而其解为狓犽 ，犽犣（）因为 槡 ，所以原式等价于求解 狓 ，从而其解为狓犽，犽犣例 分别求满足下列条件的角狓的集合：（） 狓槡 ，狓， ；（） （狓）槡 ；（） （狓）槡 解（）因为 槡 ，所以原式等价于求解 狓 ，从而狓犽（）犽，犽犣，即狓犽（）犽，犽犣又因为狓， ，所以满足条件的所有角狓组成的集合为， ， 烅烄烆烍烌烎（）因为 槡 ，所以原式等价于求解 （狓） ，从而狓犽，犽犣，于是
37、满足条件的所有角狓组成的集合为狓狓犽 或狓犽 ，犽犣烍烌烎烅烄烆（）因为 （） 槡 ，所以原式等价于求解 （狓） ，从而狓犽 ，犽犣，于是满足条件的所有角狓组成的集合为狓狓犽，犽犣烍烌烎烅烄烆练习 （）根据下列条件，分别求角狓：（）已知 狓槡 ；（）已知 狓；三角 （）已知 狓槡 分别求满足下列条件的角狓的集合：（） （狓），狓， ；（） （狓）；（） （狓）习题 犃组选择题：（）在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（） 与 ； 与 ； 与 ； 与 （）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（）小于的角一定是锐角；第二象限的角一定是钝角；始边相同且相等的角的终边一定重合；始边相同且终边重合的
38、角一定相等（）如果是锐角，那么是（）第一象限的角；第二象限的角；小于 的正角；钝角找出与下列各角的终边重合的角（ ） ，并判别下列各角是第几象限的角：（） ；（） 把下列各角度化为弧度，并判断它们是第几象限的角：（） ；（） ；（） ；（） 已知扇形的弧长为 ，半径为求该扇形的圆心角及面积犛已知角的终边分别经过以下各点，求角的正弦、余弦、正切和余切值：（）（，） ；（）（，槡 ）不用计算器，根据角所属的象限，判断下列各式的符号：（） ；（） ；（） 正弦、余弦、正切、余切 根据下列条件，确定角所属的象限：（） 且 ；（） 分别求 及 的正弦、余弦及正切值（）已知 ，且是第四象限的角求 及 ；（
39、）已知 ，求 及 证明下列恒等式：（） ；（） （）已知 ，求 的值；（）若 ，求 的值 用诱导公式求值：（） ；（） ；（） （ ） ； （） （ ） 利用诱导公式，分别求角 和 的正弦、余弦及正切值 化简下列各式：（） （ ） （ ） （ ） （） ；（） （） （） （） （） （） （ ）；（） （） （ ） （） （ ）；（） （） （） （ ） （） （ ）犅组写出与下列各角的终边重合的所有角组成的集合犛，并写出犛中适合不等式 的元素：（） ；（） 已知 ，若将角的终边顺时针旋转 所得的角的终边与角的倍角的终边重合求角已知一个扇形的周长是 ，面积是 求其圆心角的大小写出终边在直线狔
40、狓上的所有角组成的集合（分别用角度制和弧度制来表示）三角 填空题：（）若为第二象限的角，则 为第象限的角；（）若角的终边与角的终边关于狓轴对称，则与的关系是；（）若角与满足关系（犽）（犽犣） ，则角与的终边关于对称已知一个扇形的周长为 ，当圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大，并求该最大值已知为第二象限的角，其终边上有一点犘（狓，槡 ） ，且 槡 狓求 证明下列恒等式：（） ；（）（ ） （ ）（ ）已知是第二象限的角，化简： 槡 槡 已知 ，（，）求 和 已知 及 是关于狓的方程狓犽 狓犽的两个实根，求实数犽 根据下列条件，求角狓：（） 狓槡 ，且狓是第三象限的角； （） 狓槡 ，狓， ）
41、；（） 狓；（） （狓） 常用三角公式 常用三角公式我们在学习对数时知道，对于正实数犪、犫，一般 （犪犫） 犪 犫，但可以用犪、犫的对数来表示犪 犫或犪犫（犫）的对数，并可由此化简很多涉及对数的表达式类似地，一般 （） 及 （） 本节中，我们要学习两个角的和与差的三角公式，即学习如何用、的正弦、余弦及正切来表示的正弦、余弦及正切，并在此基础上学习如何运用这组公式及其推论来化简有关的三角表达式，为后面用三角知识解决各种具体问题做好准备两角和与差的正弦、余弦、正切公式我们先推导两角差（）的余弦公式设、为任意给定的两个角，把它们的顶点置于平面直角坐标系的原点犗，始边都与狓轴的正半轴重合，而它们的终边
42、分别与单位圆相交于犃、犅两点（图）点犃、犅的坐标分别为犃（ ， ） 、犅（ ， ）图图下面考虑角（）的余弦为此把角、的终边犗犃及犗犅都绕原点犗旋转角，它们分别交单位圆于点犃 及犅 （图）由于都转动了角，因此也可以是一个以射线犗犅 为始边、以射线犗犃 为终边的角，而点犃 的坐标是（ （） ， （） ） ，点犅 的坐标是（，）根据两点间的距离公式，在图中，有犃犅（ ）（ ） 三角 而在图中，有犃 犅 （） （） （） （） （） （）因为将射线犗犃、犗犅同时绕原点犗旋转角，就分别得到射线犗犃 、犗犅 ，所以犃犅犃 犅 ，从而得到 （） ，即 （） 这个式子对任意给定的角及都成立，称为两角差的余弦公
43、式在两角差的余弦公式中，用代换，就可得到两角和的余弦公式： （） （） （） 这样，我们就得到两角和与差的余弦公式 （） ， （） 简记作 （） 例利用两角和与差的余弦公式，求 和 的值解 （ ） 槡 槡 （ ） 槡 槡 例已知 ，（，）， ，（， ）求 （）解由 ，（，），得 槡由 ，（， ），得 槡 常用三角公式 于是 （） （） （ ） 例若、为锐角， 槡 ， （） 求角解由为锐角，且 槡 ，得 槡又由、为锐角，得，从而 （） （槡）槡 于是 （） （） （） （ ）槡 槡 因为为锐角，所以练习 （）化简：（） （ 狓） （ 狓） （ 狓） （ 狓） ；（） （） （） 已知 ，（，）求
44、 （）的值证明：（） 犃 犅 （犃犅） （犃犅） 犃 犅；（） （） （） 根据两角差的余弦公式和诱导公式，就可以得到两角和的正弦公式事实上， （） （）熿燀燄燅 （）熿燀燄燅 （） （） 将上式中的用代换，就可以得到两角差的正弦公式三角 （） 这样，我们得到两角和与差的正弦公式 （） ， （） 简记作 （） 例利用两角差的正弦公式，求 的值解 （ ） 槡 槡 例证明： （） （） 证明左边（ ） （ ） （ ）（ ） 右边所以，原等式成立根据两角和的正弦、余弦公式，就可以得到两角和的正切公式事实上， （） （） （） 将上式中的用代换，就得到两角差的正切公式 （） 这样，我们得到两角和与差的
45、正切公式 （） ， （） 简记作 常用三角公式 （） 不难知道，只要 、 和 （）均有意义，上面的公式一定成立例已知 ， 求：（） （） ；（） （）解（） （） （）（）（）因为 （） （）（），所以 （）例利用两角和的正切公式，求 的值解方法一：因为 （ ） 槡 ，所以 （槡 ）（槡 ）槡 方法二：因为 ，所以 （ ） 槡 练习 （）求下列各式的值：（） ；（） 三角 已知 ，（，）求 （）和 （）的值证明下列恒等式：（） （） （） ；（） （） 例若犃犅犆不是直角三角形，求证： 犃 犅 犆 犃 犅 犆证明因为犃犅犆，且 （犃犅） 犃 犅 犃 犅，所以 犃 犅 （犃犅） （ 犃 犅） （
46、犆） （ 犃 犅） 犆（ 犃 犅） ，从而 犃 犅 犆 犆（ 犃 犅） 犆 犃 犅 犆例如图，已知点犃的坐标为（，） ，将犗犃绕坐标原点犗逆时针旋转至犗犃 求点犃 的坐标解设以狓轴正半轴为始边、犗犃为终边的角为由点犃的坐标为（，） ，可得犗犃槡 ， 槡 ， 槡 设点犃 的坐标为（狓，狔） ，由犗犃 犗犃槡 ，得狓犗犃 （）槡 （ ）槡 （槡 槡 槡 槡 ）槡 ，狔犗犃 （）槡 （ ）槡 （槡 槡 槡 槡 ）槡 于是，点犃 的坐标为（槡 ，槡 ）例 把下列各式化为犃 （） （犃）的形式：（） 槡 ；图 常用三角公式 （） ；（）犪 犫 （犪 犫）解（） 槡 （）（）因为 槡 （槡 槡 ），所以
47、槡 （ ）槡 （）（）犪 犫 犪犫槡（犪犪犫槡 犫犪犫槡 ）注意到（犪犪犫槡，犫犪犫槡）为单位圆上的一点，由正弦及余弦的定义，存在唯一的角， ） ，使得 犪犪犫槡， 犫犪犫槡，于是有犪 犫 犪犫槡（ ）犪犫槡 （）练习 （）在犃犅犆中，已知 犃 ， 犅 求 犆和 犆的值已知 ，（，）， ，（，）求 （）和 （）的值，并判断是第几象限的角把下列各式化为犃 （） （犃）的形式：（） ；（） 槡 二倍角公式在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式三角 ， ， 由于 ，因此二倍角的余弦公式还可以表示为 二倍角公式是两角和公式的特例，简称为倍角公式例 已知 ，（，）求
48、 、 和 的值解由 ，（，），得 槡， ，于是 （） ， （） ， （）（） 例 试用 表示 解因为 （） （ ） （ ） （ ） ，所以 这个公式称为三倍角的余弦公式类似地，可以推导出三倍角的正弦公式例 证明：（） 槡 （）；历史上，三倍角公式曾为求解一元三次方程提供思路 常用三角公式 （） 证明（） 槡 （ ）槡 （）（） （ ） （ ） （ ） （ ） 练习 （）利用二倍角公式，求下列各式的值：（） ；（） ；（） 已知 槡 ，（，）求 ， 和 的值证明下列恒等式：（）（ ） ；（） ；（） 三角变换的应用在学习两角和与差的公式、二倍角公式的基础上，我们可以推导出更多的三角恒等关系如果已
49、知角的正弦、余弦及正切值，用二倍角公式就可以得到角的相应值反之，如果已知角的正弦、余弦及正切值，也可以得到角的相应值例 用 分别表示 ， 及 解因为 ，所以 ， ，从而 三角 从例 不难得到以下公式： 槡， 槡， 槡它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式其中，公式右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧值相应的符号确定例如，因为 是第一象限的角，所以 ，从而 槡槡 槡槡 槡槡 槡槡 槡 例 证明： 证明 这样，半角的正切公式又可以表示为 半角的正切公式还可以表示为 例如， 槡 槡 槡 例 证明： （） （） 证明我们已经知道 （） ， （） ，将上述两式相加，得 （） （） ， 常用三角公式 即
50、（） （） 类似地，利用两角和与差的正弦、余弦公式，就可以得到下面一组公式： （） （） ， （） （） ， （） （） ， （） （） 它们统称为积化和差公式例 证明： 证明由例 ，有 狓 狔 （狓狔） （狓狔） ，在其中取狓，狔，就有 （ ） ，即 类似地，我们可以得到下面一组公式： ， ， ， 它们统称为和差化积公式积化和差公式与和差化积公式相互等价，都可由两角和与差的正弦、余弦公式通过恒等变换得到这两组公式常用来化简比较复杂的三角表达式三角 练习 （）证明： （） （） 证明： 证明： 习题 犃组利用两角和与差的相应公式，分别求下列各值：（） ；（） ；（） 化简下列各式：（） （）
