1、上 海 教 育 出 版 社选择性必修第三册普通高中教科书S H U X U ES H U X U E上 海 教 育 出 版 社选择性必修第三册普通高中教科书 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定， 我们已尽量寻找著作权人支付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系. 电话021-64373213全国物价举报电话：12315主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 徐斌
2、艳 陆立强 朱 雁 蔡志杰 鲁小莉 魏述强 高 虹 责任编辑 李 达装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 图虫网（封面一幅图，P19一幅图，P27一幅图，P33一幅图，P37一幅图，封底一幅图）；教材编写组（P22三幅图）；上海教育出版社有限公司（P8一幅图，P28一幅图）插图绘制 朱泽宇普通高中教科书 数学 选择性必修 第三册上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市闵行区号景路159弄C座）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2021年12月第1版印次2021年12月第1次开本8901240 1/16印张3.25字数75 千字书号97
3、8-7-5720-0297-7/G0219定价4.70 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础
4、，编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精” “简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，
5、让数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了数学吗？ ！为了帮助学生学好数学，也为
6、了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本套教材涵盖普通高中数学课程标准（ 年版 年修订）
7、所规定的必修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 引论第部分数学建模活动案例刹车距离易拉罐的设计珠穆朗玛峰顶上有多少氧气 水葫芦的生长
8、第部分数学建模活动犃铅球投掷 电梯调度 第部分数学建模活动犅存款计划 民生巨变 年 教室里的照明 附录附录数学建模活动报告的写作 附录数学建模活动报告样例 附录有关数学建模活动中数学内容的说明 书 书 书引论 引论数学建模是一个实践的过程，只有通过参加实际的数学建模活动，才能真正领悟其中的真谛和意义通过必修课程数学建模的学习，同学们一定经历和体验了数学建模的全过程，初步感受到数学建模的意义通过本册教材的学习，同学们将进一步认识数学模型和数学建模之间的联系与区别，且通过完整的数学建模活动，了解数学模型的丰富内涵，不仅加深对相关数学知识和技能的理解，更可以学习如何利用数学建模来解决实际问题数学建模
9、活动与科学、社会、经济、工程乃至日常生活紧密相连，背景五花八门，问题层出不穷，方法丰富多彩本册教材提供了个适合普通高中学生开展的数学建模活动，分成个部分呈现第部分给出了个数学建模案例（活动） ，每个案例包含完整的数学建模过程由于实际情境的丰富多样性，在学习这些案例时可以不局限于教材上所列举的问题为此，在每个案例展开过程中，我们都留出了适当的空间（以空白框形式呈现） ，请同学们结合经验、发挥想象、共同思考，写下你们认为合理的问题、设想及建议这个案例供教师在课堂上有选择地使用，选用的次序也不作硬性规定，可以根据实际的教学进程灵活处理，目的是使同学们能完整地学习并经历数学建模的各个步骤，了解它们的特
10、点，对数学建模活动有一个正确的认识同时，指导同学们经历完整的数学建模活动，并学习如何撰写数学建模活动报告教材所提供的活动供同学们课余活动选用，它们又分成、两组，分别归在第部分和第部分第部分（组）活动的呈现是半开放式的，已按照数学建模的一般过程给出了活动提示，同学们可以以小组为单位，开展相应的数学建模活动，并将活动过程或内容填写进表格中的相应位置第部分（组）活动的呈现则是全开放的，只给出开展数学建模活动的实际情境和基本要求，同学们可自行组队、自主设定问题，开展相应的数学建模活动在活动中，教师可以是指导者，也可以是学生组队中的成员本册教材有个附录附录介绍了数学建模活动报告写作的原则与方法，附录给出
11、了一个具体的数学建模活动报告，供同学们参考为方便老师们和同学们合理使用本教材，我们在附录中列表说明了本册个数学建模活动可能涉及的数学基础知识内容引论 根据普通高中数学课程标准（ 年版 年修订） ，选择性必修课程中有课时的数学建模与数学探究活动，学生可以自主选择数学建模活动或数学探究活动选择数学建模活动的学生可以先从本书第部分选择一个活动自行或在教师指导下进行预热，然后从第部分或第部分选择感兴趣的活动，自主完成数学建模的全过程在这一阶段的学习中，我们鼓励学生在客观世界和科技实践中自主发现问题，提炼问题，开展数学建模活动第部分数学建模活动案例本部分共有个案例，与日常生活、交通管理或生态环境密切相关
12、请同学们根据必修课程中积累的数学建模活动的经验，进一步发挥想象，提出你们认为合理的问题、设想及建议，并在数学建模活动中找到答案让我们再次积极开展数学建模活动！第部分数学建模活动案例 刹车距离在公路上行车时，应遵守交通规则，同时要集中注意力，观察前方是否有安全隐患例如，是否有障碍物，或有行人突然出现，或前方有车辆突然刹车等其他不可预知的情况如果这些情况出现，驾驶人员需要立即采取措施，避免事故发生提出问题驾驶人员碰到上述安全隐患，应该采取紧急刹车的措施为保证安全，需要知道刹车距离面对上述行车情境，你会提出哪些问题？请列举在方框内建立模型为了解急刹车应该有的安全距离，首先需要确定影响刹车距离的主要因
13、素例如，刹车距离与刹车前汽车行驶的速度有关；与驾驶人员的反应时间有关，因人而异；与车辆的刹车性能有关，因车而异；还与道路状况、天气状况等一些随机因素有关构建数学模型需要确定最为关键的因素我们假设汽车在高速公路上行驶，并且刹车性能良好这样我们只需考虑两个因素，即与反应时间和行车速度有关的反应距离和制动距离现在建立急刹车距离模型由上面的分析，可以得到：刹车距离反应距离制动距离设犱表示刹车距离，犱表示反应距离，犱表示制动距离，就可把上述模型表示为犱犱犱为了得到犱和犱的具体表达式，可以作如下假设：假设反应距离是反应时间和汽车速度的函数反应时间是指司机意识到应当急刹车到具体实施刹车所需要的时间，而汽车速
14、度是指司机在实施急刹车之前汽车行驶的速度在刹车距离 一般情况下，反应距离犱应等于反应时间狋乘汽车速度狏，即犱狋 狏然而，在现实生活中很难确定反应时间狋的具体数值因此，最终只能确认反应距离与汽车速度成正比，而把这个关系写成犱 狏，这里可以认为用替代了狋关于制动距离，假设刹车受力大小近似等于汽车轮胎与路面的摩擦力设犉表示刹车受力，而制动距离为犱，则汽车刹车时所做的功为犉犱根据能量守恒定律，得犉犱犿狏，其中犿是汽车质量，狏是汽车速度另一方面，如果急刹车时的加速度是犪，那么根据牛顿第二定律，得犉犿犪由于急刹车时间极短，可假设犪为常数综合上面两个式子，可以得到犿犪 犱犿狏，即犱狏犪从而，制动距离与汽车速
15、度的平方成正比：犱狏，其中是待定参数由，得犱犱犱 狏狏请根据你所提出的问题作出合理假设，并构建相应的数学模型求解模型为了估计急刹车时的刹车距离模型中的参数，需要通过试验得到实际数据表是美国公路局公布的试验数据（数据引自吉奥丹诺等所著数学建模，原始数据的单位是英里、英尺，此处把距离单位换算为千米、米，、值也作了相应的调整）表通过试验观测到的反应距离、制动距离与刹车距离狏（）犱犱犱 第部分数学建模活动案例 （续表）狏（）犱犱犱 通过关系式和，可以计算出表每一行中相应的和值它们的平均数分别为 ， ，可取它们为参数、的估计值代入关系式，就得到刹车距离模型犱 狏 狏由此得到汽车刹车距离关于汽车速度的二次
16、函数关系为了便于查阅，除了构建模型、制作表格，人们也会给出一些直观的图形图直观地给出了急刹车的刹车距离模型图刹车距离示意图（本图表及所附数据摘自普通高中数学课程标准（ 年版 年修订） 第 页）刹车距离 检验模型同学们可以通过查找相关文献，对以上结果（图）进行验证总结在行车中如何消除安全隐患？一个重要的措施是紧急刹车，本案例中我们建立了急刹车的刹车距离模型在建立模型的过程中，首先确定了影响刹车距离的主要因素，并且作了合理的假设，得到刹车距离与反应距离和制动距离有关然后根据来自文献的已有试验数据，得到刹车距离是急刹车前行车速度的二次函数这个建模活动的要点在于理解数学模型中关于系数的意义，由此可见反
17、应时间是影响刹车距离的重要因素因此，驾车时须集中注意力，杜绝酒驾、疲劳驾驶等情况，树立行车安全意识，严格遵守交通规则参考文献 ， ， ， 叶其孝，姜启源，等译数学建模北京：机械工业出版社， ： 第部分数学建模活动案例 易拉罐的设计易拉罐发明于 世纪 年代，最早由罐身、罐盖和罐底三片马口铁组成 年代初出现了由罐身和罐盖两种片材组成的易拉罐并沿用至今随着材质和制造工艺的持续革新，易拉罐的重量不断减轻目前，用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品这些罐装饮料种类不同、品牌繁多、图案鲜艳，很受消费者欢迎但是，你对易拉罐的设计了解多少呢？提出问题你也许会问：易拉罐的形状、尺寸受哪些因素影响呢？首
18、先容易想到，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小下面我们对此想法通过数学建模进行验证建立模型图我们通过提出必要的假设，引入适当的常量和变量，得到相应的数学模型假设：易拉罐容积相同，设为常数犞；假设：易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体，其底部内半径设为狉，净高度设为犺，如图所示；假设：易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同，其厚度设为犱，密度为，当材质确定后，犱、均可以认为是常数根据假设及，我们可以得到狉犺犞根据假设及，罐顶和罐底均可以看成一个圆柱体，质量均为狉犱罐体展开后可近似看作棱长分别为 狉、犺、犱的长方体，其质量为狉 犺 犱这样，易拉罐
19、总质量为易拉罐的设计 犱（ 狉 犺 狉） ，其中犱、是常数，因此当 狉 犺 狉取最小值时，易拉罐的质量最小于是，我们得到以下数学模型：已知常数犞，求变量狉、犺的值，使得在满足狉犺犞的条件下，犛 狉 狉 犺达到最小值求解模型由，得狉 犺犞狉，代入，得犛 狉犞狉，求导，得犛 狉犞狉令犛 ，得狉犞 槡因为（犛 ） 犞狉，说明函数犛 是严格增函数，它只有一个零点，所以当狉犞 槡时，犛取得极小值（也是最小值）犛 犞 槡犞犞 槡 犞槡将代入，得犺犞狉犞犞 槡犞槡综合与，得犺狉以上解答说明：当罐体高度和罐顶直径相等时，易拉罐的质量最小但是，常见的易拉罐的高度要比直径大很多，所以上述结论和实际情况相差还是比较
20、明显的这意味着以上模型仍存在问题，需要修正第部分数学建模活动案例 修正模型回到模型假设对于假设我们不作修改你认为能修改吗？如果能，请给出修改意见，并说明所要解答的问题是否有变化，填入下框关于易拉罐形状的假设，通过观察不难发现：一般易拉罐顶部有一个收口，导致罐顶直径小于罐底内直径；罐底也不是平面，而是曲面；等等假设“易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体”是为了方便数学建模所作的一种近似，在此我们也不作修改如果你了解简单空间几何体的知识，不妨基于以上观察对假设作修改，并将修改内容填入下框关于假设，注意到罐顶一般配有拉环，受力会大于罐体和罐底，相应地，其材料的厚度应该和后两者不同，因此我们将假设修改如下
21、：易拉罐罐体和罐底厚度为犱，罐顶厚度是前两者的犽倍，但三者材质相同（密度均为）因此，易拉罐的质量变成（犽狉犱狉犱 狉 犺 犱）犱（犽 狉狉 狉 犺）考虑到、犱为常数，我们就得到以下新模型：已知常数犽与犞，求变量狉、犺的值，使得在满足狉犺犞的条件下，犕犽 狉狉 狉 犺达到最小值请你参考原模型求解过程，对上述模型进行求解，并将解答过程填入下框易拉罐的设计 计算可得：当狉犞（犽）槡，犺犞犽（）槡时，犕取得最小值犽（）犞槡从而，当罐体高度犺为罐顶半径狉的（犽）倍时，可使易拉罐质量最小根据有关资料，市场上容积为 的易拉罐罐顶厚度约为罐底和罐体的倍，即犽这样，当罐体高度为罐顶半径的倍，即直径的倍时，易拉罐
22、消耗材料最少上述结果和现实情况比较接近，新模型通过了验证，建模过程结束同学们不妨实际测量一下市场上各种易拉罐的尺寸，以验证以上数据是否合理总结本案例以形形色色的易拉罐饮料为情境，借助基本几何图形的体积公式和用导数求函数极值等数学方法，探讨易拉罐形状背后的“秘密”我们引入了刻画形状的两个变量 罐体高度犺和罐顶半径狉，并设容积为常数，以耗材最省为目标建立了数学模型第一个模型假设罐顶、罐体、罐底都采用相同厚度的同一材料，据此所得结论为当犺狉时耗材最省，与实际情形不符第二个模型将上述假设修改为：罐顶、罐体、罐底材质相同，但前者和后两者的厚度之比为常数犽，据此得到当犺（犽）狉时耗材最省经实测，市场上常见
23、的易拉罐罐顶厚度约是罐体的倍，即当犺狉时耗材最省，这与实际情形比较符合，建模完成建模活动结束后，需要完成一份数学建模活动报告针对这个实际情境，我们按实验报告的形式编写了报告，详见附录中的样例参考文献姜启源，谢金星，叶俊数学建模（第五版） 北京：高等教育出版社， 谭永基，俞红现实世界的数学视角与思维上海：复旦大学出版社， 第部分数学建模活动案例 珠穆朗玛峰顶上有多少氧气作为世界海拔最高的山峰，珠穆朗玛峰一直以来吸引着众多的登山爱好者根据 年的最新测量结果，珠峰顶部海拔高度为 珠峰顶上的氧气含量是否低于人类生命所能承受的极限？在海拔高度为的海平面，大气压犘 （千帕）在的干燥空气中，氧气的含量（以体
24、积比计算）为 ，因此大气压中由氧气施加的压强（称为氧分压）为 当然，这些数值都是在理想状态下得到的，当状态改变时，数据就会发生变化例如，当空气中存在水分时，水蒸气产生的压强就会占据大气压的部分比例；当温度变化时，大气压也会变化但我们将忽略这些因素，聚焦于不同海拔高度上的大气压和它的氧分压随着海拔高度的上升，大气压会逐步下降然而，一个基本的事实是：在任何海拔高度上，氧气在空气中的占比始终维持在 的水平也就是说，海拔升高并不意味着空气中氧气含量的比例降低但是由于大气压的降低，它的氧分压也会降低，因此空气中所含氧气的绝对量要减少为了形象地描述此时空气中所含氧气的情况，人们引进了不同海拔高度上的含氧量
25、的概念，它是把一个海拔高度上大气压中的氧分压除以海平面的大气压所得到的商（用百分比表达）例如，某地大气压为 ，则氧分压为 （ ） ，而此地的含氧量则是 注意，这不是说此地空气中只含 的氧气，而是指此地空气中所含氧气如果放到压强为 的大气中，其所占的比例为 把上面的计算过程进行推广，就得出了一个地区含氧量犗与大气压犘（以 为单位）的关系式犗犘 犘 珠穆朗玛峰顶上有多少氧气 长期生活在低海拔地区的人们，到了高海拔的地区，由于大气压降低、含氧量减少，身体可能会产生不适反应，这就是日常所说的高原反应提出问题大气压与含氧量由简单的比例式相联系，那么海拔高度和大气压（或含氧量）之间是否也可能用简单的方式联
26、系起来呢？从理论上很难直接找到联系两者的数学关系式，只能借助数据观察，用统计方法建立海拔高度犎（单位：）与大气压犘（单位： ）之间的关系模型如果找到合适的模型，我们就可以推算任何海拔高度上的大气压和含氧量例如，珠峰顶上的含氧量是否低于人类生命所能承受的极限？地球表面海拔最低的死海湖面（约 ）的大气压和含氧量究竟是多少？建立模型我们从贴近生活的角度着手查阅资料，得到我国部分城市的海拔高度及大气压对照数据（表）表城市海拔高度大气压 城市海拔高度大气压 北京 贵阳 哈尔滨 昆明 长春 济南 沈阳 合肥 天津 郑州 石家庄 上海 太原 南京 呼和浩特 杭州 西安 福州 兰州 台北 乌鲁木齐 南昌 银川
27、 武汉 西宁 长沙 拉萨 香港 成都 广州 重庆 南宁 数据来源：百度文库根据表中的数据绘制散点图（图）我们发现，随着海拔高度的上升，大气压逐步下降，两者之间呈现出较明显的线性关系作线性回归分析，并借助计算器或电脑软第部分数学建模活动案例 件，我们可以找到一条较好反映海拔高度犎与大气压犘之间关系的直线犘 犎图模型检验现在检验关系式是否能够较为准确地体现海拔高度与大气压的关系经计算发现，除拉萨以外，其他各城市的实际大气压与根据模型估算出的大气压的离差绝对值介于 和 之间（均值为 ） ，可见关系式较好地刻画了大部分城市的海拔高度与其大气压的关系但拉萨的离差为 ，拟合得相对不好，这也许还隐含着其他内
28、在的因素再次观察数据表及对应的散点图（图） ，我们发现，除拉萨外，所涉及的城市的海拔高度都在 以下这提示我们思考：是否在海拔 以上的地区大气压与海拔高度的关系会呈现不同的模型？为了验证猜想，我们再次查阅资料，得到我国一些海拔 及以上城市的海拔高度及大气压的数据（表）请同学们把根据关系式算得的这些城市大气压的拟合值（保留位小数）及其离差填入表表城市海拔高度大气压 林芝 都兰 昌都 甘孜 拉萨 玉树 日喀则 索县 玛多 那曲 数据来源：百度文库表根据关系式算出的大气压 离差 珠穆朗玛峰顶上有多少氧气 分析表中各城市的离差，你能得到什么结论？离差较大的城市是哪些？从中得到什么启示？设想一下，能不能用
29、关系式计算珠峰含氧量？为什么？把你的分析和设想填入下框模型的拓展同学们一定发现：由于表与表中海拔 以上的数据很少，我们无法从中获取较高海拔地区大气压变化的状况，从而也无法回答一开始关于珠峰含氧量的问题我们要寻找更多的数据，并进一步探究海拔高度与大气压的关系由于高海拔地区城市很少，因此再以城市为标志给出海拔高度与大气压的数据是不现实的我们通过网络查询找到另一个数据表，它以基本等距的方式标注海拔高度与大气压的对照情况我们从中选取数据，列成表表海拔高度大气压 海拔高度大气压 第部分数学建模活动案例 （续表）海拔高度大气压 海拔高度大气压 数据来源：海拔高度信息查询工具表包括了从 到 范围内的海拔高度
30、与大气压对照的抽样数据，其中 以下按 间隔取样， 以上按 间隔取样根据表中的数据作散点图（图）图请同学们考察此散点图，把你的发现和对如何作拟合的设想填入下框从散点图可以看出，在低海拔区域（ 以下）数据点基本是线性分布的，而到高海拔区域数据点就明显偏离了线性分布，呈现出指数分布的性态为此，我们把数据点分成两部分进行分段拟合：海拔 及以下的点作线性拟合（这也与我们前面得到的经验相符） ，海拔 以上的点作指数拟合为了使线性拟合与指数拟合有较平滑的衔接，把对应海拔 、 和 的三个数据点加入到指数拟合中由此，我们得到了关于海拔高度犎与相应大气压犘的拟合模型犘 犎， 犎 ， 犎，犎 烅烄烆拟合曲线的图像如
31、图所示珠穆朗玛峰顶上有多少氧气 图拓展模型的检验分析由模型计算得到的不同海拔高度的大气压数据与表中的数据的拟合度，再从表或表中随意挑选若干城市，用模型来计算它们的大气压数据，并求计算结果与实际数据的误差根据这些计算，对模型作出你的评价数据验证说明模型是比较理想的还要指出的是，用表与表中的数据验证由表数据得到的模型，实际上证明了我们前后采用的不同来源的数据是兼容的，甚至可以说它们都是可靠的模型的应用模型的直接应用当然是求各种海拔高度上的大气压但是，我们前面已经有了大气压和含氧量的折算公式，很容易把以海拔高度和大气压为变量的模型转换成以海拔高度和含氧量为变量的模型，进而从一处的海拔高度就可以推出该
32、处的含氧量模型于是转换为含氧量犗与海拔高度犎（单位：）的关系式犗 犎（） 犎（），它较好地拟合到 海拔的地区；模型转换为第部分数学建模活动案例 犗（ 犎）， 犎 ，（ 犎），犎 烅烄烆由模型可以算出，地球表面海拔最高的珠穆朗玛峰顶峰的含氧量为 ，稍高于氧气短时致死含量（，在低于这个含氧量的环境中，人会抽搐，停止呼吸，甚至死亡）当飞机飞行在 高空时，机外空气含氧量只有 ，所以一旦机体密封性发生问题，机上人员必须立即戴上氧气面罩，否则会很快丧命中国陆地海拔最低点新疆吐鲁番的艾丁湖湖面海拔 ，那里的含氧量为 ，是中国含氧量最高的地方地球陆地上的海拔最低点，即有“世界的肚脐”之称的死海湖面，海拔约 ，
33、其大气压约为 ，含氧量约为 ，成为全球含氧量最高的地方（虽然此海拔高度在模型的定义域之外，但它与海拔最低的取样点靠得很近，且大气压、含氧量的变化都是连续渐进的过程，对这个海拔高度使用这些模型没有问题）总结在本案例中，我们首先利用部分城市的海拔高度与大气压的观测值，绘制散点图，发现两者呈线性关系，通过线性回归，找出相对应的一元线性函数关系式经检验，关系式在总体上能够较好地反映 以下的海拔高度与大气压的关系为了得到更大范围内海拔高度与大气压的关系模型，我们找到另外一批数据，它在海拔 到 之间按 间隔均匀取样，在 到 之间按 间隔均匀取样从这批数据对应的散点图看出，在高海拔区间点的分布明显是非线性的
34、，有指数函数的特征于是我们设想进行分段拟合：在 以下区间仍考虑用线性拟合（这一方面是散点图提示的，另一方面我们前面已经建立了一个线性模型） ，在 以上区间作指数拟合经尝试发现， 、 、 诸点具有双重性，既承了线性拟合区间的前，又启了指数拟合区间的后我们把它们划在线性拟合区间中，但又让这几个点参与指数拟合，使后面的指数模型有更好的拟合度同学们可以试试其他的拟合方式（例如，对表中的数据作整体的指数拟合，或用其他方法分段拟合） ，看看是否有其他理想的拟合模型在本案例中，我们对低海拔区间构建了两个线性模型，它们的回归系数是不一样的这提示了如下一个事实：对统计模型，同样的问题由于数据采样的不同，会有不同
35、的回归模型但只要采样过程合理，数据可靠且数据量足够大，不同的模型对问题的描述没有太大的差别水葫芦的生长 水葫芦的生长在一些河道丰富的地区，我们常常会发现，一段时间内有一种绿色植物覆盖一大片，甚至是整个河面这是一种名为水葫芦的植物，它的学名叫做凤眼莲 年，在美国新奥尔良国际博览会上，原产于南美洲的水葫芦艳丽无比，人们于是将其作为观赏植物带回了各自的国家 年，水葫芦被作为观赏植物引入中国随着水葫芦的引入，人们逐渐发现，在适宜的环境下它的繁殖能力极强据观察，在三个月的时间内，水葫芦可以由一株繁殖到数十万株由于水葫芦在自然界没有天敌，这样超强的繁殖力很容易对环境、水上交通、人畜饮水安全、渔业生产造成不
36、良的影响，形成季节性灾难那么，水葫芦的繁殖能力究竟有多强呢？你对水葫芦有哪些认识？请填入下框提出问题要研究水葫芦的繁殖能力，你觉得可以从哪些方面展开？请将你的想法填入下框经过思考，我们可以提出如下一些问题：问题：在一段时间内，水葫芦可以覆盖多大面积的水域？其覆盖面积的增长情况是怎样的？第部分数学建模活动案例 问题：水葫芦的生长率在不同的季节是否会呈现出不同的规律？建立模型为了回答上述问题，我们需要对水葫芦在不同季节覆盖水域的实际情况进行现场观察和记录，或是寻找已有的数据资料在实际观察中，我们发现水葫芦的叶片往往会互相覆盖、重叠，这使得覆盖面积无法成为一个较为理想的观察指标为此，研究人员提出另一
37、种更为可靠的常用量度 生物量（ ） ，对植物可专称植物量（ ） ，它是指某一时刻单位面积内实际存活的有机物质（包括生物体内所存食物）的总质量，通常以为单位这里呈现的是来自华南农业大学有关水葫芦生态研究的实验数据（表） ，包括水葫芦在春（月上旬） 、夏（月上旬） 、秋（月上旬）三个季节的植物量数据表水葫芦在春、夏、秋三个季节的植物量数据调查相隔时段天春季夏季秋季 注：表中数据为 株水葫芦调查结果的平均值，其中调查时段代表水葫芦接入时的初始值数据源于华南农业大学冯熠荣（ ）的水葫芦种群生态控制的基础研究有了上面的数据，我们就可以着手建立相应的数学模型，以揭示水葫芦的生长规律根据生物学原理，在一定条
38、件下，生物的生长率是稳定不变的从表中的数据可以看出，三个季节水葫芦的植物量均增长迅速，其中夏季增长最快，然后是春季和秋季因此，水葫芦的繁殖能力可以由水葫芦的植物量在其生长时间内的增长情况来表示，其中的数学关系可以表示如下：设水葫芦的植物量为狔（单位：） ，生长时间为狋（单位：天） ，相应的关系式为狔犳（狋）水葫芦的生长 求解模型接下来的任务就是要找出合适的关系函数犳，以呈现植物量与生长时间的关联在探索两个变量之间的关系时，我们可以使用如下方法：（）使用描点法绘制散点图，观察变量之间的关系；（）使用相关分析，考察变量之间是否存在线性关系根据表中的数据，用描点法绘制植物量狔关于时间狋的散点图（图）
39、 ，以便考察狔与狋之间的变化关系图由图，水葫芦的植物量与时间呈现出某种函数关系请仔细观察，据此猜测水葫芦的植物量狔关于时间狋可能满足哪种函数关系，并将你的猜测填入下框经过观察，你可能会发现：（）水葫芦的植物量狔与时间狋具有某种曲线关系，而非用直线表示的一次函数关系；（）水葫芦的植物量狔与时间狋呈现出某种二次函数的关系；（）水葫芦的植物量狔与时间狋呈现出某种指数函数的关系如果水葫芦的植物量狔与时间狋确实存在某种二次函数关系，那么我们可以将这一函数关系表示为狔犽犿 狋狀 狋，其中犽、犿、狀是待定的系数利用图形计算器或电脑软件，我们可以据此分别得到水葫芦在春季、夏季、秋季的生长函数，即相应的生长模型
40、：春季：狔 狋 狋，如图所示；第部分数学建模活动案例 夏季：狔 狋 狋，如图所示；秋季：狔 狋 狋，如图所示图图图模型检验为检验所建模型能否较好地体现这两个变量之间的关系，较为常见的方法有：方法：比对所建模型的图形与原始数据的形态；方法：计算误差值并绘制相应的误差分布图，以检验模型估计值是否与原始数据（即实际观测值）拟合良好这里先选用方法，以春季为例，比对所建模型的图形与原始数据的形态观察图，模型估计值（红色）与原始数据（蓝色）在总体上还是较为贴合的但同时发现，在狋 、 和 时，模型估计值呈不应出现的负值，且当狋时，绝对差值达到 这提示我们，可能需要对这一函数模型进行调整图模型改进观察图，水葫
41、芦的植物量狔与时间狋可能呈现出某种指数函数关系为了验证这水葫芦的生长 一猜测，我们首先对植物量狔取对数，再建立 狔与狋的函数关系由图可以明显看出， 狔与狋之间存在着某种线性关系图利用最小二乘估计（参见选择性必修课程第章） ，我们可以建立 狔与狋之间的一元线性回归模型： 狔犪 狋犫，其中犪和犫是待定系数记 狔为狊（即狊犪 狋犫） ，可得三个季节中狊与狋的线性拟合模型：春季为狊 狋 ，夏季为狊 狋 ，秋季为狊 狋 将这些函数还原为指数函数，就可以分别得到：春季的生长模型为狔 狋，夏季的生长模型为狔 狋，秋季的生长模型为狔 狋（图）图模型再检验现在我们选用方法，计算误差值并绘制出相应的误差分布图，对
42、指数函数模型的拟合程度进行鉴定图显示，模型估计值与实际观测值在前 天差距甚微，而之后的估计值则与实际观测值产生了较大的偏差显然， 天之后的模型估计值要远大于实际观测值，特别是当狋 时事实上，许多生物种群在繁殖之初，由于种群数量较少，增长速度较快，确实会呈指数形式增长但第部分数学建模活动案例 随着时间的推移，当种群数量达到环境资源所能容纳的最大数量时，种群数量的增长速度会越来越慢，最终几乎停止增长图数学生物学家韦吕勒（ ）针对此现象，在 至 年间对指数增长模型进行了调整，提出了著名的逻辑斯蒂函数（ ）模型狔犃犫犽 狋，其中，犽为增长率，犫为常数该模型的计算相对复杂，但选用恰当的电脑软件，就可以得
43、到水葫芦在春、夏、秋三个季节的逻辑斯蒂函数模型分别为：春季：狔 狋，狋 ；夏季：狔 狋，狋 ；秋季：狔 狋，狋 以春季的增长模型为例，通过检验发现，逻辑斯蒂函数模型所对应的绝对误差介于 和 之间，指数函数模型的误差介于 和 之间，而二次函数模型的误差介于 和 之间显然，在这三种函数模型中，逻辑斯蒂函数模型能更准确地反映水葫芦的生长规律至此，请同学们撰写建模活动报告，记录整个研究的过程总结在本案例中，我们关注的是身边的生态问题对于这样一个既熟悉又陌生的现象，我水葫芦的生长 们手边往往没有现成的资料可使用，这时实地采集数据或搜索已有的相关文献资料是常用的方法在本课题中，我们所要探索的是水葫芦的生长
44、规律在数学上，就是要找寻水葫芦的植物量与生长时间之间的关系运用描点法、最小二乘法和现代技术手段（如图形计算器或计算机编程） ，我们找出了对应的函数关系式，并通过比较原始数据与模型估计值的形态（方法）和绘制误差分布图（方法） ，发现指数函数模型能较好地刻画水葫芦在初始阶段的生长规律，但在生长后期模型会出现明显的误差历史上，韦吕勒正是基于这样的生态现象，提出了目前广泛应用于生物学、医学、经济管理学等领域的逻辑斯蒂方程误差检验也证实，相比于指数函数模型和二次函数模型，逻辑斯蒂函数模型能更准确地刻画水葫芦的生长规律需要指出的是，在本案例中，基于现有数据所建立的二次函数模型和指数函数模型在总体上也呈现出
45、不错的拟合程度，这与我们所用的数据量较小不无关系有兴趣的同学可以尝试获取更多的数据，对这两个模型进行更精细的验证参考文献冯煜荣水葫芦种群生态控制的基础研究广州：华南农业大学， ，： ， 第部分数学建模活动犃本部分提供另外个数学建模活动，供大家选择，以进一步丰富数学建模活动经历这里给出了相应的活动提示，供同学们参考请大家有选择地分组开展活动第部分数学建模活动犃 铅球投掷掷铅球是我们熟悉的一项体育运动一般情况下，运动员先是用正确的姿势握住铅球，然后持球滑步，当身体左侧接近与地面垂直的一刹那，以左肩为轴，右腿迅速伸直，身体转向投掷方向，挺胸、抬头，右肩用力向前推送，同时右臂迅速伸直将球向前上方推出（
46、图）问题是：如何投掷才能获得更好的成绩？ 瑏 瑡图活动提示提出问题根据上述情境，你能提出什么数学问题？请将你的问题填入下框建立模型为解决上面的问题，我们需要作出一些合理的假设，如假设空气阻力产生的影响可以忽略不计是否还需要其他假设？请将你的假设填入下框铅球投掷 假设：空气阻力产生的影响可以忽略不计根据上述假设建立数学模型，并回答你所提出的问题请将你的研究过程填入下框模型的检验与改进以下是 年田径世锦赛女子铅球决赛中， 名选手最佳投掷轮次的出手参数：运动员最佳投掷轮次成绩出手速度（）出手角度出手高度出手高度相对人体高度超出抵趾板距离出手时前后倾斜角出手时左右倾斜角巩立姣（中国） 阿妮塔马顿（匈牙
47、利） 米歇尔卡特（美国） 丹尼尔托马斯 多德（牙买加） 高阳（中国） 布里塔妮克鲁（加拿大） 尤利娅莱特休克（白俄罗斯） 亚努维斯洛佩兹（古巴） 盖尔萨阿卡约（巴西） 雷文桑德斯（美国） 第部分数学建模活动犃 （续表）运动员最佳投掷轮次成绩出手速度（）出手角度出手高度出手高度相对人体高度超出抵趾板距离出手时前后倾斜角出手时左右倾斜角梅尔萨博科尔曼（荷兰） 卞卡（中国） 数据来源： ， ， ： ： ， 请将你的研究结果与实际情形比较，如果不符，试改进你的模型请将你的研究过程填入下框撰写数学建模活动报告活动报告一般包含以下内容：（）根据上述情境所提出的数学问题；（）必要的假设和所需的变量或常量；（
48、）相应的数学模型及解答；（）模型检验及说明电梯调度 电梯调度某商务大楼管理公司的助理接到公司领导的邮件：“最近大楼内许多员工上班迟到，不能按照规定于上午时到达办公室，据了解是因为当前使用的电梯无法负荷上班时间的人流但根据目前公司的财务状况以及电梯设备的实际情况，不可能考虑安装任何额外的电梯，或增加现有电梯的负载能力请你开展调研，给出一些可能的解决方案，并分析这些方案的优缺点”通过调查，该助理了解到：（）电梯在第一层时，需要 秒的时间让员工进入电梯电梯每上一层需要秒，每一层停靠时间为 秒；如果电梯门需重新打开随后关上，则又需要多用秒（）每一层的员工人数统计如下：楼层第一层第二层第三层第四层第五层
49、第六层人数 （）今天有 人迟到请你为该助理提出相应的解决方案，并评述方案的优缺点活动提示提出问题根据上述情境，你能提出什么数学问题？请将你的问题填入下框建立模型为了解决上面的问题，我们需要作出一些合理的假设，如假设员工们都是在上午时前到达并开始等电梯，以保证有稳定的人流乘搭电梯是否还需要其他假设？请将你的假设填入下框假设：员工们都是在上午时前到达并开始等电梯第部分数学建模活动犃 根据上述假设建立相应的数学模型，并回答你所提出的问题请将你的研究过程填入下框模型的检验与改进将你的研究结果与实际情形比较如果不符，试改进你的模型请将你的研究过程填入下框撰写数学建模活动报告活动报告一般包含以下内容：（）
50、根据上述情境所提出的数学问题；（）必要的假设和所需的变量或常量；（）相应的数学模型及解答；（）模型检验及说明第部分数学建模活动犅经历了丰富的数学建模活动，同学们一定更深入地感受到数学建模的特点和价值这里再提供个数学建模活动，供大家选择相信大家已经有能力迎接这些新的挑战了第部分数学建模活动犅 存款计划银行储蓄存款是一种风险较小的投资方式将一定数额的本金存入银行，约定存期，到期后可以得到相应的利息，从而获得收益下表列出了上海某银行 年月的存款利率：存期活期三个月半年一年二年三年五年利率 存款是一种讲究技巧的投资方式比如，你准备存入 万元，存期年你可以选择一次性存年；也可以选择先存年，到期后再续存年
