1、湖南教育出版社普通高中教科书SHUXUE选择性必修 第二册数学普通高中教科书湖南教育出版社选择性必修 第二册S H U X U E数学定价：14.92 元?数学普通高中教科书湖南教育出版社选择性必修 第二册S H U X U E主编张景中黄步高执行主编李尚志副 主 编何书元朱华伟本册主要编者张景中李尚志何书元成礼智胡旺邹楚林书 书 书? ? ? ?年? ?月? ?日?中国?嫦娥三号?月球探测器成功登陆月球?这件举世瞩目的大事背后?数学扮演了不可缺少的重要角色?要让?嫦娥三号?飞近月球?并把探测车放到月球上?必须知道它们之间的相对位置?准确控制探测器的姿态?为此就需要描述和测算空间物体的位置和形
2、态?平面几何不够?还要立体几何?用空间向量?可以方便地表达和处理立体几何的问题?它是平面向量的直接推广?除了坐标中的两个数变成了三个数?一切都是轻车熟路?可以得心应手?用综合法处理空间图形较难?用了向量?空间与平面差别不大?基本思路都是用向量模型描述几何性质?用向量的运算解决问题?再翻译为几何的语言?这时?你将体验到向量法更大的威力?月球在不停地绕地球运动?地球在不停地绕太阳运动? ?嫦娥三号?升空后先是绕地球飞行?后来还要绕月球飞行?为此就需要描述和测算运动和变化中的现象?常量的数学不够?还要变量的数学?变量的数学叫作微积分?微积分的创立是数学发展中的一座里程碑?大量的几何问题和物理问题?从
3、计算面积体积到确定天体运动轨道?被微积分摧枯拉朽般地清算了?微积分的出现?开辟了数学的新天地?一系列内容丰富?思想深刻?应用广泛的数学分支在微积分的基础上诞生成长?导数是微积分的核心概念之一?我们将通过若干实例?理解导数的奥妙?在研究函数的单调性和极值等性质的过程中?感受微积分对人类文化发展的价值?月球和地球运行的轨道?卫星的轨道?飞机的航线?都是确定的?可以准确预知的?但世界上还有很多重要的事情难以完全准确地预知?例如雷雨的时间和强度?台风的形成和路线?疾病的发生和痊愈?等等?这类难以准确预知的事情叫随机现象?认识随机现象?需要概率与统计的数学理论和方法?在科学研究?工农业生产?新产品开发?
4、产品质量的提高乃至政治?教育?社会科学等各个领域?使用统计方法和不使用统计方法取得的效果大不相?1书 书 书同?用统计方法从数据中提取信息?可以帮助人们制定更加合理的决策和行为规则?减少决策的盲目性和有偏性?这就是让数据说话?时至今日?概率与统计的基础知识已经是公民必备的知识?我们生活在不停变化和运动的四维时空之中?空间向量和立体几何是我们认识三维空间的基本工具?微积分则给了我们认识运动和变化的方法?为了认识大千世界的过去?现在和未来?需要概率统计来处理大量数据?天下难事?必作于易?天下大事?必作于细?让我们静下心来?从最基本的事例和概念起步?踏上新的征程?2书 书 书? ? ? ?导数概念及
5、其意义? ? ? ?导数的运算? ?数学实验?曲线的切线与函数的导数? ? ? ? ?导数在研究函数中的应用? ?数学文化?微积分的故事? ?小结与复习? ?复习题一? ?数学建模?易拉罐的优化设计? ? ? ? ? ?空间直角坐标系? ? ? ? ?空间向量及其运算? ? ? ? ?空间向量基本定理及坐标表示? ? ? ? ?空间向量在立体几何中的应用? ?小结与复习? ? ?复习题二? ? ?1书 书 书? ? ? ? ? ?条件概率与事件的独立性? ? ? ? ? ?离散型随机变量及其分布列? ? ? ? ? ?正态分布? ? ?数学文化?高斯与正态分布? ? ?数学实验?利用计算机探究
6、正态分布密度曲线? ? ?小结与复习? ? ?复习题三? ? ? ? ? ? ? ?成对数据的统计相关性? ? ? ? ? ?一元线性回归模型? ? ?数学实验?用计算机探究线性回归模型? ? ? ? ? ?独立性检验? ? ?数学文化?高尔顿与回归? ? ?小结与复习? ? ?复习题四? ? ?数学建模?体重与脉搏的数据拟合模型? ? ?数学词汇中英文对照表? ? ?后?记? ? ?2如何求曲线上任一点处的切线?如何求运动物体在每一时刻的瞬时速度?这些问题好像是无穷无尽?永远做不完的?但是?用微积分的方法?成千上万的问题被一举突破?一个新的数学领域出现了?所以恩格斯认为?微积分的发现是人类精
7、神的伟大胜利?导数是微积分的核心概念之一?本章我们将通过若干内容丰富?思想深刻的实例引入导数?理解导数的意义?学习导数的基本运算法则?利用导数研究函数的单调性?极值等性质?并解决一些实际问题?体会导数的思想及其丰富的内涵?导数及其应用选择性必修第二册书 书 书? ? ?自由落体的速度时时刻刻在变化?该如何计算呢?我们早就会作圆的切线?二次函数曲线的切线怎么作呢?正如莱布尼茨所说?过去很多饱学之士百思不解的问题?有了新的数学思路?普通人都能按部就班地手到擒来了? ? ? ? ?函数的平均变化率每条直线上都可以建立一根数轴?则直线上每一点?的位置均可用一个实数?表示?若在这条直线上运动的动点?在任
8、何时刻?的位置均可用?表示?则从时刻?到时刻?的位移为?因为所花时间为?所以在时间段?内动点?的平均速度为?设数轴上动点?在任何时刻?的位置均可用函数? ? ?表示?求该点?在时间段?内的平均速度?解?由于? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以点?在时间段?内的平均速度为? ? ? ?图? ? ? ?由例?可知?该动点在任何一个时间段?内的平均速度都等于? ? ?是常数?由此可见?该动点做匀速运动?且在任何时刻的速度都是? ? ? ?画出例?中函数? ? ?的图象?如图? ? ? ?则该图象是一条直线的一部分?而平均速度?就是图象上两点? ? ? ?之间的线段? ?的斜率?也是函数? ?
9、? ? ?的图象?直线?的斜率?2第 1 章导数及其应用书 书 书如果?不是一次函数?则其图象不是直线而是曲线?但图象上任意两点? ? ? ?之间的线段? ?的斜率?仍然等于动点在时间段?内的平均速度?如图? ? ? ? ?t图? ? ? ?某物体做自由落体运动?其运动方程为? ?其中?为下落的时间?单位? ?为重力加速度?大小为? ? ?求它在时间段?内的平均速度?解?物体在时间段?内的平均速度为? ? ? ? ? ? ? ?一般地?函数?的自变量有可能不是时刻?因变量有可能不表示位置?因而?就不一定是平均速度?但仍然反映了因变量?随自变量?变化的快慢和变化方向?增减? ?因此我们把?称为函
10、数?在区间?内的平均变化率?如图? ? ? ?在正弦曲线? ? ?上取两点? ? ? ?求直线? ?的斜率?图? ? ? ?解?直线? ?的斜率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3选择性必修第二册书 书 书在各种实际问题中?常常用函数的平均变化率对事物的发展过程进行评价?充满气的气球近似为球体?在给气球充气时?我们都知道?开始充气时气球膨胀较快?随后膨胀速度逐渐缓慢下来?气球膨胀实际上就是气球半径增大?表面积增大?体积增大?试描述气球的半径相对于体积的平均变化率?分析?由生活事实可知?随着气球的体积增大?半径的增长越来越缓慢?我们可以用平均变化率来描述这一过程?解?设气球的半径为?
11、体积为?则?所以? ?例如?当? ? ? ? ?时?半径?的平均变化率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当? ? ? ? ?时?半径?的平均变化率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由以上两个结果可以看出?气球体积由? ? ?增至?再由?增至? ? ?二者都增大了? ? ?但?的平均变化率却由? ? ? ?变成? ? ? ?变小了?也就是说?随着气球体积的逐渐增大?它的半径的平均变化率逐渐变小?已知函数?分别计算它们在区间? ?上的平均变化率?解?函数? ? ?在? ? ?上的平均变化率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12、? ?函数? ? ?在?上的平均变化率为? ? ? ? ?函数?在? ? ?上的平均变化率为? ? ? ? ? ? ?函数?在?上的平均变化率为? ? ? ? ?4第 1 章导数及其应用书 书 书? ?小球在光滑斜面上向下滚动?从开始滚动算起时间?内所经过的距离为? ?求小球在时间段? ?内的平均速度? ?在函数? ? ?的图象上取两点? ? ? ? ?求直线? ?的斜率? ?求函数? ? ?在区间? ? ?和? ? ?上的平均变化率? ?已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化?温度不变? ?下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻?的浓度? ? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?试根据上表求下列时间段内的平均反应速率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?瞬时变化率与导数? ?伽利略通过实验和推理发现了自由落体的运动定律?物体下落的距离?和所用的时间?的平方成正比?如果距离单位用?时间单位用?实验测出它们之间近似地有以下函数关系? ? ? ?直接让物体从空中下落?它落得很快?不便观察测量?伽利略是让小球从光滑的斜面上由静止滚下来?以便于观察测量?伽利略发现?小球在斜面上滚下的距离?和所用的时间?之间?有函数关系? ?这叫作小球的运动方程?这里?是与斜面的坡度有关的常数?伽利略看到?重力作用下在斜面上向下滚的小球?
14、随着时间的推移越滚越快?但是?他只知道如何计算一个时间段内的平均速度?却不知道如何计算小球在某一个时刻的速度?即瞬时速度?百年后?牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法?回答了伽利略的问题?下面问题的分析与解答展示了他的创意?5选择性必修第二册书 书 书设小球在某个斜面上向下滚动的运动方程是? ?要计算小球在?时运动的瞬时速度?不妨先看看它在?到? ? ?之间的平均速度?即在区间? ? ?上的平均速度? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?同样?运用计算器可以分别求出更短时间区间内的平均速度?见下表?时间区间间隔?平均速度? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时间区间间隔?平均速度? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?从计算结果可以发现?当时间间隔越来越小时?无论?从小于?的一边?还是从大于?的一边趋近于?对应的平均速度都趋近于? ? ?但是?时间间隔的缩
16、小是一个无穷无尽的过程?有限的几次计算?能得出? ?这个确定的结果吗?书 书 书?时?在?之后?时?在?之前?用字母代替数?可以将这无穷多次运算一次完成?设?是一个绝对值很小的非零数?在? ?或? ? ?这段时间内?小球运动的平均速度是? ? ? ? ? ? ? ? ?当?越来越趋近于?时?这个平均速度确实越来越趋近于? ? ?用数学语言来说?就是?时间段的长度趋近于?时?这段时间内的平均速度以? ?为极限?这个极限数值?就是小球在?时的瞬时速度?6第 1 章导数及其应用书 书 书这个极限记为? ? ? ?若物体的运动方程为? ?则物体在任意时刻?的瞬时速度? ?就是平均速度?在?趋近于?时的
17、极限?应注意的是?这里用?趋近于?来表述?是因为我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程?在这个过程中?时间间隔?虽然越来越短?但始终不能为? ?运动员从? ?高台跳水时?从腾空到进入水面的过程中?不同时刻的速度是不同的?设起跳?后运动员相对水面的高度?单位?为? ? ? ? ? ? ? ? ?计算在?时运动员的瞬时速度?解?运动员在? ? ?或? ? ?这个时间区间内的平均速度为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?书 书 书如何表示例?中运动员在某一时刻?的瞬时速度?在平均速度表达式? ? ? ? ? ? ? ? ?中?当?趋近于?时? ? ? ? ? ?
18、? ? ?趋近于? ? ? ? ? ?因此?在?时运动员的瞬时速度是? ? ? ? ? ?下表是运用计算器求出的例?的一些平均速度?时间区间间隔?平均速度? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时间区间间隔?平均速度? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
19、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?从上表可看出?当时间间隔趋近于?时?运动员的平均速度趋近于? ? ? ? ?这与前面推导的结论是一致的?7选择性必修第二册书 书 书? ?已知自由落体运动的方程为? ?为常数? ?求?落体在?到?这段时间内的平均速度?落体在? ? ?这一时刻的瞬时速度? ?已知某物体走过的路程?与时间?之间的函数关系式为? ? ?通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度? ? ? ? ? ?从平均速度出发?通过极限过程得到了瞬时速度?这样思考和解决问题的方法?在数学史以及科
20、学史上开启了新的篇章?即微积分的篇章?回顾一下我们上节课思考和解决问题的过程?一个函数? ?既可以描述运动过程?也可以描述其他过程或现象?函数值之差?与对应的自变量之差?的比?既可以是运动物体在某个时段内的平均速度?也可以是其他过程中某个量变化的平均值?一般说来?它是函数?在区间? ?或? ?上的平均变化率?函数?作为运动方程时?若平均速度?在区间长?趋近于?时趋近于一个极限值?则这个数值就叫作该运动物体在?处的瞬时速度?一般地?若函数?的平均变化率?在?趋近于?时?有确定的极限值?则称这个值为该函数在?处的瞬时变化率?函数的瞬时变化率?数学上叫作函数的导数或微商?定义?设函数?在包含?的某个
21、区间上有定义?在?趋近于?时?如果比值?趋近于一个确定的极限值?则称此极限值为函数?在?处的导数或微商?记作? ?这时我们就说?在点?处的导数存在?或者说?在点?处可导或可微?上述定义可以简单地表述为? ? ? ? ?读作?趋近于?时?趋近于? ? ?8第 1 章导数及其应用书 书 书若?在定义区间中任一点的导数都存在?则? ? ?或? ?也是?的函数?我们把? ? ?或? ?叫作?的导函数或一阶导数?既然导函数? ?也是函数?若? ?在定义区间中任一点处都可导?则它的导数叫作?的二阶导数?记作? ?类似地?可以定义三阶导数? ?等等?图? ? ? ?投石入水?水面会产生圆形波纹区?且圆的面积
22、随着波纹的传播半径?的增大而增大?如图? ? ? ?计算?半径?从?增大到?时?圆面积?相对于?的平均变化率?半径?时?圆面积?相对于?的瞬时变化率?解?圆面积相对于半径?的平均变化率为? ? ?在表达式?中?让?趋近于?得到圆面积?相对于?的瞬时变化率为? ?恰为此时圆的周长?在初速度为零的匀加速直线运动中?路程?和时间?的关系为? ?求?关于?的瞬时变化率?并说明其物理意义?求运动物体的瞬时速度关于?的瞬时变化率?并说明其物理意义?解?关于?的瞬时变化率就是函数? ?的导数? ?按定义计算? ? ? ? ?当? ?时? ? ? ?因此? ? ?从物理学上看?关于?的瞬时变化率? ?就是运动
23、物体的瞬时速度?运动物体的瞬时速度关于?的瞬时变化率?实际上就是函数? ? ?的导数? ?按定义计算? ? ? ? ?当? ?时?还是?所以? ?从物理学上看?运动物体的瞬时速度关于?的瞬时变化率就是运动物体的加速度?9选择性必修第二册书 书 书? ?求函数?在? ?处的瞬时变化率? ?将原油精炼为汽油?柴油等各种不同产品?需要对原油进行冷却和加热?如果在第?时?原油的温度? 单位? 为? ? ? ? ? ?计算第?和第?时?原油温度的瞬时变化率?并说明它们的意义? ?有一边长为? ? ? ?的正方形铁板? 此时铁板温度为? ?加热后铁板会膨胀?已知铁板温度为? ? 时?其边长膨胀为? ? ?
24、 ? ?其中?为常数?求铁板面积对温度?的瞬时膨胀率? ? ? ? ?导数的几何意义斜抛或平抛的物体?例如在运动过程中的炮弹?其速度方向时刻都在变化?由物理常识可知?这时物体运动的轨迹是抛物线?而速度的方向线正是抛物线的切线?怎样作出抛物线的切线呢?如图? ? ? ?是曲线? 上的两个点?直线? ?是曲线的一条割线? ?是曲线的一条切线?让点?沿曲线趋近于点?割线? ?如果趋近于一条直线?这条直线不就是曲线在点?处的切线吗?书 书 书尝试利用计算机软件展示图? ? ? ?中? ?的动态变化过程?图? ? ? ?由平面解析几何知识可知?割线? ?的斜率? ?在图? ? ? ?中?让点?沿曲线趋于
25、点?可以发现?割线? ?比? ?更逼近曲线? ? ?比? ?更逼近曲线?当点?沿曲线逼近于点?时?直线? ?最终成为在点?处最逼近曲线的切线? ?那么割线? ? ? 的斜率与切线? ?的斜率?有什么关系呢?割线? ?的斜率是?10第 1 章导数及其应用书 书 书当点?逼近点?时?趋近于切线? ?的斜率?因此?函数?在?处的导数就是切线? ?的斜率?即? ?我们看到?求切线斜率的思路和过程?与求瞬时速度的思路和过程?在数学上是完全一致的?当函数?表示运动方程时?其导数? ?的物理意义是该运动物体在时刻?的瞬时速度?而当函数?表示曲线方程时?其导数? ?的几何意义就是该曲线在点? ?处的切线的斜率
26、?切线的本质?是在切点附近最接近曲线的直线?在这一点附近?比起用其他直线?用切线近似地代替曲线?误差最小?函数的表达式千变万化?但只要可导?就可以在一点附近用一次函数近似地代替?而使误差很小?这就是微积分中重要的思想方法? ? ?以直代曲?O?图? ? ? ?中国古代数学家刘徽在运用?割圆术?求圆的周长时?在圆内作正多边形?用多边形的周长近似代替圆的周长?随着边数的增加?正多边形的周长也越来越接近于圆的周长?如图? ? ? ? ?刘徽通过此方法推导出了圆的周长公式?这是最早出现的?以直代曲?的例子?计算机画曲线时?有一种方法就是用许多线段代替曲线?如图? ? ? ?左边的曲线由? ?节线段组成
27、?还看得出分段的痕迹?而右边的曲线用? ? ?节线段组成?看起来就是光滑的曲线了?图? ? ? ?历史上?牛顿在研究瞬时速度的计算时发现了导数?而莱布尼茨则是在寻求切线作图方法时发现了导数?可谓殊途同归?求函数? ?的图象上点? ?处切线的斜率?解?在曲线上另取一点? ?因为? ? ? ? ?11选择性必修第二册书 书 书在所求得的斜率表达式中?当? ?时? ? ? ? ?因此?所求切线的斜率? ? ? ?也可以借助图形?图? ? ? ?来帮助我们理解例?的解答?图? ? ? ?求曲线?槡?在点?槡?处切线的斜率?解?如图? ? ? ?在曲线上另取一点?槡?图? ? ? ?因为? ? ?槡?槡
28、?槡?槡?在所求得的斜率表达式中?当? ?时? ?槡?因此?所求切线的斜率?槡?12第 1 章导数及其应用书 书 书判断曲线?是否存在斜率为?的切线? 若存在?试求出切线方程?若不存在?试说明理由?解?存在?设曲线?在点? 处切线的斜率为? ?因为? ? ?所以?当? ?时? ? ?又切线的斜率为?所以? ?解得?槡?所以在点槡?槡?和?槡?槡?处切线的斜率为? ?由点斜式方程可得切线方程为?槡? ?和?槡? ? ?设? 是曲线? ? ?上一点?求曲线在点?处切线的斜率? ?判断曲线?在点? 处是否有切线? 若有?求出切线的斜率?若没有?试说明理由? ?求曲线?过点? 的切线方程?习题? ?
29、? ?已知函数? ?分别计算? 在下列区间上的平均变化率? 第?题? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如图?一球沿某一斜面自由滚下?测得滚下的垂直距离? 与运动时间? 之间的函数关系为? 求? ?时此球在垂直方向的瞬时速度?13选择性必修第二册书 书 书? ?通过平均变化率估计函数? ?在下列各点处的瞬时变化率? ? ? ? ? ?求函数?在? ?处的瞬时变化率? ?求下列曲线在给定点处切线的斜率? ? ?点? ? ?点? ?计算抛物线?上任一点? 处的切线的斜率?并求过点? 的切线方程? ?当圆的半径?变化时?圆面积?关于?的瞬时变化率有什么几何意义?当圆的直径
30、?变化时?圆周长?关于?的瞬时变化率有什么几何意义? 第?题? ?如图?根据竖直上抛物体的运动方程? ? ?计算该物体在时刻?的瞬时速度?再应用机械能守恒定律?分析物体运动过程中动能和势能的相互转化?用数学方法计算出的瞬时速度是否和物理现象相符? ?已知曲线?试在曲线上找一点? ?使得曲线在点?处的切线平行于直线? ? ? ? ? ?已知二次函数? ? ?求?函数从? ?到? ?的平均变化率?函数在? ?处的瞬时变化率?当?为何值时?函数在?处的瞬时变化率等于从?到?的平均变化率?14第 1 章导数及其应用书 书 书? ? ?为了求运动物体的瞬时速度?要计算函数的导数?为了作出曲线在一点处的切
31、线?要计算函数的导数?为了知道和评价事物变化的快慢和方向?要计算函数的导数?在科学研究和工程技术活动中?大量问题的解决离不开导数的计算?函数导数?的计算既然如此有用?如此重要?我们就应该熟悉一些常用函数的导数?掌握求导数的运算法则等?以便广泛应用? ? ? ? ?几个基本函数的导数? ?让我们根据函数的导数的定义?先计算几个常见函数的导数?最简单的函数是常数函数?即?这时有书 书 书想一想? ?这个等式的实际意义是什么? ? ?当? ?时?当然还是?这表明? ? ? ?即? ? ?若?则书 书 书?的几何意义是直线?的斜率为? ? ?即? ? ?若?则? ? ?当? ?时? ?这表明? ?一般
32、地?在高中阶段研究与导数有关的问题中?涉及的函数都是可导函数?15选择性必修第二册书 书 书?若?则? ? ? ? ? ?当? ?时? ? ? ?所以? ?若?则?当? ?时?所以? ?若?槡?则?槡?槡?槡?槡? ?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?当? ?时?槡?槡?槡?所以?槡?槡?我们将上述?的结论总结如下?以后可以直接使用?书 书 书如果你发现了这些公式的共同点? ? ? ? ?就很容易记住它们了?常数函数导数为? ?恒等函数导数为? ? ? ? ?槡?槡?16第 1 章导数及其应用书 书 书不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时?会慢慢析出氯化钠晶体?已知氯化钠晶体为立方体形状?当立方体的棱
33、长?变化时?其体积关于?的变化率是立方体表面积的多少?解?立方体的体积?表面积? ?因为? ? ?所以其体积关于?的变化率为?是立方体表面积的?写出过点? ? ?并且和曲线? ? ? ? ?相切的直线方程?解?由于点?不在曲线? ? ? ? ?上?所以可设所求的切线和曲线切于点?又曲线的方程可写成函数?则? ?故曲线在点?处切线的斜率?所以曲线在点?处的切线方程为?由题意可得?图? ? ? ? ? ? ?又点?在曲线? ? ? ? ?上?所以?于是? ?或? ?因此?过点?有两条切线?方程分别为? ? ? 和? ?即分别为? ? ? ?和? ? ? ? ?如图? ? ? ?所示? ?正方形的边
34、长?变化时?其面积关于?的变化率是正方形周长的多少? ?求曲线槡? ?在点? 处的切线方程? ?求曲线?在点? ? ? 处的切线方程?17选择性必修第二册书 书 书? ?我们已经知道了?和槡?这几个幂函数的导数?那么?一般的幂函数的导数如何计算呢?我们学过指数函数?对数函数和三角函数?它们的导数又如何计算呢?前人早已为我们解决了这些函数的求导问题?将来你学习了更多的数学知识?也会掌握这些函数求导的原理?现在?为便于应用?我们把这些基本初等函数的求书 书 书公式对函数定义域内的自变量?有效?其中公式? ? ?中的自变量?的单位是弧度?导公式介绍如下? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
35、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?用基本初等函数的导数公式计算?槡? ? ? ? ? ? ?解?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?图? ? ? ?求曲线? ? ?在?处的切线方程?利用切线的斜率求? ? ? ?的近似值?解? ? ? ? ? ? ?当? ?时?切线的斜率? ? ? ? ? ? ? ? ?又当? ?时? ? ? ? ? ?故所求切线方程为?如图? ? ? ? ?18第 1 章导数及其应用书 书 书观察图? ? ? ?可以发现?曲线? ? ? ?在原点?附近与切线?非常接近?也说明? ? ?注意?是弧度而
36、不是角度?记? ? ? ?当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?这说明?当?很小时?有近似公式? ? ?因此? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求下列函数在指定点处的导数? ? ? ? ? ?求曲线? ? ? ?在点? 处的切线方程?曲线? ? ?在哪些点处切线的斜率为? 在哪些点处的切线平行于?轴? ? ? ? ?函数的和差积商求导法则我们已经知道了几个基本初等函数的导数?从这几个函数出发?经过加?减?乘?除?可以得到更多的函数?相应地?新得到的这些函数的导数?能否通过对基本初等函数的导数进行加?减?乘?除而得到呢? ?前面计算过函
37、数?的导数?类似地?我们由导数的定义可以计算出函数? ?的导数?并发现后者的导数恰好是前者导数的?倍?这里是不是有更一般的规律呢? ? 的导数是不是? ? 和实数?的乘积呢?由于? ? ?且当? ?时? ? ?因而? ? ?由此可见?函数常数倍的导数?等于常数乘函数的导数?即? ? ? ? ?前面计算过函数? ? ? ? ? ?在?处的导数?其结果是否等于? ? ? ? ? ?和? ?这三项在? ?处的导数之和呢? 你发现了什么?19选择性必修第二册书 书 书一般地?和函数? 的导数?等于两函数的导数和?这是因为? ?当? ?时? ? ? ? ?于是? ? ? ?即两函数之和的求导法则为? ?
38、 ? ?类似地?两函数之差的求导法则为? ? ? ?求曲线? ? ? ?在与直线? ?相交处的切线方程?解?由基本初等函数的导数公式及运算法则可得? ? ? ? ? ?将? ?代入得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以该曲线在与直线? ?相交处切线的斜率? ? ?由? ?可知?切线方程为? ? ?即? ? ?设? ?则? ? ?20第 1 章导数及其应用书 书 书当? ?时? ? ? ? ? ?所以? ? ? ?即函数乘积的求导法则为? ? ? ?求函数? ? ?的导数?解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求曲线? ? ? ?平行于?轴的切线方程? ?求下列函数的导数
39、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设? ? ?则?当? ?时? ? ? ?所以? ? ? ?即函数的倒数的求导法则为? ? ?21选择性必修第二册书 书 书求函数? ? ?的导数?解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?把前面的? ?结合起来?得到两函数之商的求导法则为? ? ? ?求下列函数的导数? ? ? ? ? ? ? ? ?书 书 书结果和前面公式表中? ? ?的导数一致?解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
40、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求下列函数的导数? ? ? ? ? ? ?求? ? ? ? ?的导数? ?求曲线? ? ?在?处的切线方程?22第 1 章导数及其应用书 书 书? ? ? ? ?简单复合函数的求导我们已经会求? ? ?的导数?你会求函数? ? ? ? ?的导数吗?我们先来分析这个函数的结构特点?可以发现?若设?则? ? ?函数? ? ? ? ?可看作是由? ? ?与?复合?得到的?即?可以通过中间变量?表示为自变量?的函数?如果把?与?的关系记作? ?和?的关系记作? ?那么这个?复合?的过程可以表示为? ? ? ? ? ?一般地?设?是关于?的函数?是关于?的函数
41、?则? ?是关于?的函数?称为函数?和?的复合函数?我们来考虑复合函数? ?如何对?求导?记? ?则? ? ?其中?令? ?则? ?上式中? ? ?是?对?的导数?记作? ? ? ? ?是?对?的导数?记作? ? ?于是得? ? ? ? ?也可以记作? ? ? ?即?对?的导数等于?对?的导数与?对?的导数的乘积?具体到函数? ? ? ? ?的求导?设? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又如? ? ?设? ?则? ? ? ? ?23选择性必修第二册书 书 书求下列函数的导数? ? ? ? ? ? ? ?解?函数? ? ?可以看
42、作? ?与?复合而成?根据复合函数求导法则有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函数? ? ?可以看作? ?与?复合而成?根据复合函数求导法则有? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函数? ? ? ?可以看作? ? ?与?复合而成?根据复合函数求导法则有? ? ? ? ? ? ? ?注意?如果函数表达式中有不止一个字母变量?求导时通常用下标指明是对哪个字母变量求导?例如? ?而? ? ?求下列函数的导数? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?习题? ? ? ?某质点的运动方程是?求该质点在? ?时的瞬时速度? ?求过点?且与曲线?相切的直线方程? ?曲线?在点?处切线的
43、斜率为?求点?的坐标及切线方程? ?写出过点? ?并且和曲线? ? ?相切的两条直线的方程? ?求下列函数的导数? ? ? ? ? ? ?24第 1 章导数及其应用书 书 书? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求下列函数在指定点处的导数? ? ? ? ? ? ? ?计算? ? ? ? ? ? ? ? ?求下列函数的导数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?曲线? ?在点? 处的切线?平行于直线? ? ? ?求切点坐标? ?求切线?的方程? ? ?求曲线? ?在点? 处的切线方程?利用? 中的切线方程求? ? ? ? ?的近似值? ? ?已知? 是曲线? ? ?
44、上的一点?写出该曲线在点?处的切线方程?并分别求出切线斜率为?和切线平行于?轴时切点?的坐标? 第? ?题? ? ?如图?一个物体挂在铅直的弹簧下面?已知其位移? ? ? ?其中?为时间?为振幅?为常数?求物体的速度与加速度关于时间的函数?试讨论物体的位移?速度与加速度的关系? ? ?已知偶函数? ? ? ? ?的图象过点? ?且在?处的切线方程为?求函数? 的解析式?25选择性必修第二册书 书 书曲线的切线与函数的导数访问网络画板?点击?开始作图?按钮打开一个空白页面?在下方第八组工具栏中点击?自定义坐标系? ?再在该工具栏中选择? ?在弹出的对话框中输入? ?点击?确定? ?绘出函数? ?
45、 ?的图象?点击左侧的点工具按钮? ?在函数图象上作出半自由点?切换到箭头工具?同时选中点?和曲线?在下方第三组工具栏中选择切线工具?作出曲线在点?处的切线?利用同样的方法作出原函数的导函数? ? ?的图象?通过右键修改属性?调整抛物线的线型为虚线?点击抛物线和?轴交点处?分别作出抛物线和?轴的两个交点?同时选中点?和?轴?在下方第三组工具栏中选择平行线工具? ?作出过交点?且平行于?轴的直线?同理作出过?点且与?轴平行的直线?如图所示?两条平行的直线分别把两条曲线分成三段?仔细观察?原函数图象的三段有何特点?其导函数图象的三段有何特点?拖动点?观察原函数图象在点?处切线的变化?你能发现它们之
46、间的联系吗?26第 1 章导数及其应用书 书 书? ? ? ? ? ? ?函数的单调性与导数函数的单调性是函数的重要性质之一?以往我们是从单调性的定义出发去判断一个函数在区间?上的单调性?但当函数的解析式较复杂时?对于?要想对?与?的大小关系或对平均变化率?的正负作出一个明确的判断?不是一件容易的事情?现在?导数给我们提供了一种解决此类问题的有效方法?我们先通过例子来观察函数的单调性与函数的导数之间的关系?在图? ? ? ?中?画出了函数?和它的导函数? ? ?的图象?图? ? ? ?观察图? ? ? ?可以发现?在?轴的右边?单调递增?其导数为正?在?轴的左边?单调递减?其导数为负?函数?
47、? ? ?和它的导函数? ? ? ? ?在? ?上的图象如图? ? ?所示?图? ? ? ?27选择性必修第二册书 书 书如图? ? ? ?过这段导函数曲线和?轴的两个交点分别作平行于?轴的直线?则这两条直线把? ? ? ?及其导函数的图象分成了左?中?右三部分?分别观察每部分中的两段曲线?可以发现函数和它的导函数的性质之间有如下关联?左边?函数单调递增?导数为正?中间?函数单调递减?导数为负?右边?函数单调递增?导数还是为正?是不是函数的单调性和它的导数的正负之间有确定的联系呢?让我们观察更多的例子?图? ? ? ?是函数? ?和它的导函数? ? ? ?的图象?图? ? ? ?是函数?和它的
48、导函数? ? ?的图象?图? ? ? ?通过对这些例子的观察?我们发现?对于一般函数?其单调性与其导数的正负之间有如下法则?若在区间?内? ?则函数?在此区间内单调递增?为?的单调递增区间?若在区间?内? ?则函数?在此区间内单调递减?为?的单调递减区间?直观地看?导数为正表明切线的斜率为正?这是增函数曲线的几何特征?从代数方面看?导数是平均变化率的极限?导数为正?说明在很小的区间上平均变化率为正?任意的有限区间可以分成很多小区间?每个小区间上的平均变化率为正?合起来的平均变化率也为正?因而递增?28第 1 章导数及其应用书 书 书用导数研究二次函数? ? ?的单调性?解?对该二次函数求导得?
49、 ? ? ?令? ? ? ? ?则当? ?时?当? ?时?令? ? ? ? ?则当? ?时 ?当? ?时?故? ?时? 在?上单调递减?在?上单调递增? ?时? 在?上单调递增?在?上单调递减?虽然二次函数的情形比较简单?不用导数也能说清楚函数单调性?但对于许多其他情形?导数的优势就很明显了?求下列函数的单调区间? ?解?由题意可知?函数? 的定义域为?对?求导得? ? ? ?令? ? ? ? ?解得? ?或? ? ?故函数?的单调递增区间为? ? 和?令? ? ? ? ?解得? ? ? ?或? ? ? ?故函数?的单调递减区间为? ? 和?由题意可知?函数? 的定义域为?对? ?求导得? ?
50、 ? ? ?因为? ?恒成立?所以? ? ? ? ? ? ?故函数? ?在? 上单调递增?导数的正负对应于函数的增减?导数的绝对值大小和函数的性态又有什么关系呢?位移对时间的导数是瞬时速度?瞬时速度的绝对值大说明跑得快?绝对值小说明跑得慢?函数的导数就是函数值关于自变量的瞬时变化率?变化率的绝对值大说明函数值变得快?绝对值小说明函数值变得慢?从函数的图象上来看?导数是切线的斜率?斜率的绝对值大说明切线陡?曲线也就陡?斜率的绝对值小说明切线较平?曲线也就平缓一些?29选择性必修第二册?图? ? ? ?如图? ? ? ?圆?和直角三角形? ? ?的两边相切?射线? ?从? ?处开始?绕点?匀速旋转
