1、第一章 量子力学的诞生 1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， axaxxxV0, 0, 0,)( 试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2, 1(2nna na/2 （1） 又据 de Broglie 关系 /hp （2） 而能量 , 3,2, 12422/2/2222222222nmanamnhmmpE （3） 1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 cba,解： 除了与箱壁碰撞外， 粒子在箱内作自由运动。 假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发， 则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，
2、仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,轴方向，把粒子沿zyx,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有 ,3,2, 1,xxxnhndxp 即 （：一来一回为一个周期） hnapxx2a2ahnpxx2/, 同理可得， , bhnpyy2/chnpzz2/, ,3,2, 1,zyxnnn 粒子能量 222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyx ,3,2, 1,zyxnnn 1 2m1.3 设质量为的粒子在谐振子势2221)(xmxV中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 提示：利用 )(2,2, 1,xVEmpnnhxd
3、p )(xV解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 ax （1） 其中由下式决定：a2221)(xmxVEax。 a 0 ax 由此得 2/2mEa ， （2） ax即为粒子运动的转折点。有量子化条件 hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa2222222222)21(22 得mnmnha （3） 22代入（2） ，解出 ,3,2, 1,nnEn （4） 积分公式： cauauauduuaarcsin2222222 1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量。 ,2, 1,20nnhdppIpE2/2解：平面转子的转角
4、（角位移）记为。 它的角动量（广义动量） ，是运动惯量。按量子化条件 .Ip p ,3,2, 1,220mmhpdxpmhp， 因而平面转子的能量 ImIpEm2/2/222， , 3,2, 1m 第二章 波函数与 Schrdinger 方程 2.1 设质量为的粒子在势场m)(rV中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 ， wrdE3Vmw*22 （能量密度） （b）证明能量守恒公式 0stw *22ttms （能流密度） 证： （a）粒子的能量平均值为（设已归一化） VTrdVmE322*2 （1） VrdV*3 （势能平均值） （2） *3222*32)(2动能平均值rdmmrdT 其 中
5、T的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为0。 因 此 *322rdmT （3） 结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度 ,2*2Vmw （4） 且能量平均值 。 wrdE3（b）由（4）式，得 *.*22.22.*.*.*2.2.*.*2.*.*.*.*22222EsVmVmsVVmVVmtw 1tEs （ ：几率密度） s （定态波函数，几率密度不随时间改变） 所以 0stw 。 2.2 考虑单粒子的 Schrdinger 方程 trriVrVtrmtrti,2,2122 （1） 1V与为实函数。 2V（a）证明粒
6、子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为 *32*322rdVSdimrddtdS 证： （a）式（1）取复共轭， 得 *21*22*2iVVmti （2） *（1）-（2）,得 *2*22*22*2*2222iVmVimti *2*22Vimt （3） 即 022Vjt ， 此即几率不守恒的微分表达式。 （b）式（3）对空间体积积分，得 *23*233*32222rVdSdimrVdrdimrdtS 2上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率 （Sdj ） ， 而第二项代表体积中 “产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。 2.3 设1
7、和2是 Schrdinger 方程的两个解，证明 0,2*13trtrrddtd。 证： 12212Vmti （1） 22222Vmti （2） 取（1）之复共轭： *122*12Vmti （3） 2（3）（2）,得 *1 22*1*12222*12mti 对全空间积分： 22*1*122322*132,rdmtrtrrddtdi 2*1*122*1*12322rdm 2*1*12322rdm 022*1*122Sdm， （无穷远边界面上，0,21） 即 0,.2*13trtrrddtd。 2.4）设一维自由粒子的初态/00 ,xipex， 求tx,。 解： /2200,tmpxpietx 2
8、.5 设一维自由粒子的初态xx0 ,，求2,tx。 3提示：利用积分公式 2sincos22dd 或 4expexp2idi。 解：作 Fourier 变换： dpepxipx 210 ,， 21)(210 ,21dxexdxexpipxipx， dpeptxEtpxi/21, （mpE22） dpepxtmpi2221 （指数配方） dptmxpmitetimx222exp212 令 222tmxpmt，则 42exp2221221,24/22222tmxitmeetmdetmetxitimxitimx tmtx2,2 。 2.6 设一维自由粒子的初态为0 , x，证明在足够长时间后， tm
9、xtimxitmtx2exp4exp,2 式中 dxexkikx0 ,21是0 , x的 Fourier 变换。 提示：利用 xeexii24/lim。 4证：根据平面波的时间变化规律 5tkxiikxee ， mkE22， 任意时刻的波函数为 dkektxmtkkxi2/221, 22/2exp212tmxkmtikdketimx （1） 当时间足够长后（所谓） ，上式被积函数中的指数函数具有t函数的性质，取 mt2 ， tmxku， （2） 参照本题的解题提示，即得 kdtmxkketmetxitimx4/2221,2 tmxeetmtimxi2/4/2 （3） 22,tmxtmtx （4
10、） 物理意义：在足够长时间后，各不同 k 值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为tmxk，即mktx，强度 2k，因子tm 描述整个波包的扩散，波包强度t12。 设整个波包中最强的动量成分为，即0k0kk 时 2k最大，由（4）式可见，当t足够大以后，2的最大值出现在0ktmx处，即mtkx0处，这表明波包中心处波群的主要成分为。 0k 2.7 写出动量表象中的不含时 Schrdinger 方程。 解：经典能量方程 rVmpE22 。 在动量表象中，只要作变换pp ，dpdir 所以在动量表象中，Schrdinger 为： pEpdpdiVmp22。 第三章一维定态问题 3.1）设粒子处
11、在二维无限深势阱中， 其余区域 ,0 , 0),(axyxV 求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？ ba 解：能量的本征值和本征函数为 mEyxnn2222222bnanyx , 2 , 1, ,sinsin2yxyxnnnnbynaxnabyx 若，则 ba )(222222yxnnnnmaEyx aynaxnayxnnyxsinsin2 这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与n） yxnn 2,11ynyxnn 5,10yxnnx 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 其余区域 ,0,0,0 , 0),(czbyaxzyxV 求粒子的
12、能量本征值和本征波函数。如cba，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222222222cnbnanmnnnEzyxzyx, , 3 , 2 , 1, ,sinsinsin8zyxzyxnnncznbynaxnabcnnnzyx 当时， cba)(2222222zyxnnnmannnEzyx aynaynaxnannnzyxzyxsinsinsin223 zyxnnn时，能级不简并； zyxnnn,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 zyxnnn,三者皆不相等时，能级一般为 6 度简并的。 如 )9 , 6 , 3()10, 5 , 1 (2086161
13、210)11, 3 , 1 ()9 , 7 , 1 (1043865222222222222 3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中， ax0, ,0 , 0),(xaxyxV 证明处于定态)(xn的粒子 )61 (12)x-(x ,22222naax 讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。 n证：设粒子处于第 n 个本征态，其本征函数 xanaxnsin2)(. 2 sin20220axdxanxadxxxaan分部 （1） 4)(2202222adxxxxxxna 4)2cos1 (212202adxaxnxaa )61 (12222na （2） 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰
14、撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于a , 0 xxdx范围的几率为adx，故 20aadxxxa ， （3） 32022aadxxxa， 43)(22222aaxxxx （4） 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n 3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中， 2 ,2 , 0),(axaxyxV 处于基态，求粒子的动量分布。 ) 1( n解：基态波函数为 axacos21 , （参 P57， （12） ） 2cos22cos12cos112121121)(211cos221)(22223222222)()(2222pap
15、aqpapapapaaeepaieepaiadxeeadxeeeadxaxaepapaiapaiapaiapaiaapaipaiaxiaxiaaipxaaipx动量的几率分布2cos4)()(22222232papaapp 3.5）设粒子处于半壁高的势场中 axaxVxV, 00,0 x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出: eqs.ax , 0)()(ax0 , 0)()(22212 1xkxxkx （2） 其中 22022 2k ,2EEVk （3） 方程的解为 （4） kxkxxikxikDeCexBeAex)()(21根据对波函数的有限
16、性要求，当x时，)(2x有限，则 0C 当时，0 x0)(1x，则0 BA 于是 （5） ax , )(x0 ,sin)(21kxDexaxkFx在ax 处，波函数及其一级导数连续，得 kakakDeakFkDeakFcos ,sin （6） 上两方程相比，得 kkaktg （7） 即 EEVEVatg0022 （7） 若令 （8） aakk ,则由（7）和（3） ，我们将得到两个方程： (10)9) ( 2 220aVctg（ 10 ） 式 是 以aVr202为半径的圆。对于束缚态来说，00EV， 结合（3） 、 （8）式可知，和都大于零。 （10）式表达的圆与曲线ctg在第一象限的交点可决
17、定束缚态能级。当2r，即2220aV，亦即 82220aV （11） 时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。 36）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即， 20VE EVmdxd222 当x时，0，故有 EVmkxaeAmEkaxkxAEVmkxeAxkxk2221112,2,0,sin2, 0,21 由dxdln在、0 xax 处的连续条件，得 kakctgkctgk21k , （1） 由（1a）可得 12sinmVk （2） 由于皆为正值，故由（1b） ，知kkk,21ka为二，四象限的角。 因而 22sinmVkka （3） 又由
18、（1） ，余切函数的周期为ctg，故由(2)式， 1112sinmVkn (4) 由(3)，得 212sinmVknka (5) 结合(4),(5)，得 1112122sin2sinmVknmVknka 或 21112sin2sinmVkmVknka （6） , 3 , 2 , 1n 一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级： nnkmkEnn222 （7） 当时，仅当 12VV 1212sin22VVmVa 才有束缚态 ，故给定时，仅当 21,VV1212sin22VVmVa （8） 时才有束缚态（若，则无论V和的值如何，至少总有一个能级） VVV21a当给定时，由(7)式可求出n个
19、能级（若有n个能级的话） 。相应的波函数为: aVV,21EVmkaxemVkAaxxkAEVmkxemVkAnaxknnnnnnnxknnnn222211112, , 21,0 , sin2, 0, 22 其中 nnnkkaA21112 37）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图） ，求阱壁处的反射系数。 0E解：势阱为 . 0, 0, 0,)(0 xxVxV在区域上有入射波与反射波，在区域上仅有透射波。故 mEkCeEVmkBeAexikxikxik2,2,22011211 由)0()0(21，得 。 CBA由)0()0(21，得 CkBAk21。 从上二式消去 c, 得 BkkAkk
20、2121。 反射系数 221221222kkkkABrR 将代入运算，可得 21,kk0002204020,41,16VEVEVEEVEEVVR 38）利用 Hermite 多项式的递推关系（附录 A3。式（11） ） ，证明 谐振子波函数满足下列关系 )(21)(12)(121)()(21)(21)(222211xnnxnxnnxxxnxnxxnnnnnnn 并由此证明，在n态下， 2 , 0nEVx 证：谐振子波函数 )()(222xHeAxnxnn （1） 其中，归一化常数 m ,!2nAnn （2） )(xHn的递推关系为 . 0)(2)(2)(11xnHxxHxHnnn （3） )(
21、21)(21)(21!121 )(2!121)(!221)(!21)(2)(21)(221)()(1112112112121122222222222222222xnxnxHennxHennxHenxnHenxnHxHeAxxxHeAxxHeAxxnnnxnnxnnxnnxnnnxnnxnnxnn)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21)(21)(222222112xnnxnxnnxnxnnxnxnnxxnxxnxxnnnnnnnnnn 0)(21)(21)(11*dxxnxnxdxxxnnnnn 22121122121)(122121)()(21)(2222*2
22、2*nnnnnEnnmdxxnmxdxxxmxV 39）利用 Hermite 多项式的求导公式。证明（参 A3.式（12） ） 2222211211212)(212)(nnnnnnnnnnnnxdxdnnxdxd 证：A3.式（12） ：)(2dx)(dH ),(2)(1n1xHnxnHHnnn )(21)(2)(2)(21)(2)(2)()(2)()(1111112122222222xnxnxnxnxnxnxxxHnexHexAxdxdnnnnnnnnxnxnn 22222222112122221212212)(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxdxd 021211*dxnnidxdx
23、dipnnnnn 221211241242112122222*22222*2222*2nnnnnnnnnEnnmmdxnmdxnnnnnmdxdxdmmpT 310）谐振子处于n态下，计算 212xxx，212ppp，?px 解：由题 36） ，mnmEmVxxn212 , 0222 由题 37） ，mnmETmppn212 , 02 212121212122212212122212npxmnpppppmnxxxxx 对于基态，2, 0pxn，刚好是测不准关系所规定的下限。 311）荷电 q 的谐振子，受到外电场的作用， xqxmxV2221)( （1） 求能量本征值和本征函数。 解： xqH
24、xqxmmpH0222212 （2） 0H的本征函数为 )(222xHeAnxnn， 本征值 210nEn 现将H的本征值记为，本症函数记为nE)(xn。 式（1）的势能项可以写成 2020221)(xxxmxV 其中 20mqx （3） 如作坐标平移，令 （4） 0 xxx由于 pdxdidxdip （5） H可表成 2022,22 21212xmxmmpH （6） （6）式中的H与（2）式中的相比较，易见0HH和的差别在于变量由0Hx换成，并添加了常数项x20221xm，由此可知 202021xmEEnn （7） )()()(0 xxxxnnn （8） 即 , 2 , 1 , 0 ,221
25、2121222222nmqnmqmnEn （9） 22222)(mqxHeAxnmqxnn (10) 其中 m ,!2nAnn (11) 312）设粒子在下列势阱中运动， . 0,21, 0,)(22xxmxxV 求粒子能级。 解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的 S.eq 的本征函数必须在0 x0 x处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的0 xH和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的 S.eq） 。振子的具有12 kn的奇宇称波函数在0 x处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件kn20)0(）所以
26、, 2 , 1 , 0 ,232kkEk 313）设粒子在下列势阱中运动， . 0, 0,)(xaxrxxV 0,ar (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。 解：S.eq: Eaxrdxdm2222 (2) 对于束缚态（） ，令 0EmE2 (3) 则 022222axmrdxd (4) 积分,aadx 0,得跃变的条件 )(2)()(2amraa (5) 在ax 处，方程(4)化为 0222dxd (6) 边条件为 束缚态0)( , 0)0( 因此 .,0,)(axAeaxxshxx (7) 再根据ax 点)(x连续条件及)(x跃变条件(5)，分别得 )(aAeasha (8)
27、)(22amrachAea (9) 由（8） （9）可得（以)(aa乘以（9）式，利用（8）式） 22cothmraaaa (10) 此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，所以 0E 0a, 利用 1limcothlim00athaaaaa, （10）式化为 01coth22aaamra , 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122mra （11） 纯势阱中存在唯一的束缚能级。 当一侧存在无限高势垒时， 由于排斥作用 （表现为0)(x， 对0 x） 。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度mrL2 。 条件（11）可改写为 2La （12
28、） 即要求无限高势垒离开势阱较远（2La ） 。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a（即2La ） ，a时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1cotha，式（10）给出 22mr 即 222222mrmE （13） 与势阱)()(xrxV的结论完全相同。 令a， 则式（10）化为 22coth1mra （14） 由 于1coth1， 所 以 只 当122mra时 ， 式 （ 10 ） 或 （ 14 ） 才 有 解 。 解 出 根之 后 ， 利用mEaa2，即可求出能级 2222maE （15） 第四章第四章 力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换 4.1）设与AB为
29、厄米算符，则BAAB 21和BAABi21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且 FiFFFFFFFiFFFF21 ,21 证：）BAABABBABAABBAAB21212121 BAAB 21 为厄米算符。 ）BAABiABBAiBAABiBAABi21212121 BAABi21 也为厄米算符。 ）令ABF ，则， BAABABF且定义 FFiFFFF21 ,21 （1） 由） ，）得，即和皆为厄米算符。 FFFF ,FF则由（1）式，不难解得 iFFF 4.2）设是),(pxFpx,的整函数，证明 F, F,piFxxiFp 整函数是指可以展开成。 ),(px
30、F0,),(nmnmmnpxCpxF证： （1）先证11, ,nnmmpnipxxmixp。 111111331332312221111,1,3,2,mmmmmmmmmmmmmmmmmmxmixiximxxpximxxpxixxpxxpxxixxpxxpxxixxpxpxxp 1 同理， 1221222111,2,nnnnnnnnnpnippxpippxppxppippxpxppx 现在， 0,10,0,nmnmmnnmnmmnnmnmmnpxmiCpxpCpxCpFp 而 0,1nmnmmnpxmiCxFi。 F, xiFp 又 0,10,0,nmnmmnnmnmmnnmnmmnpnixCp
31、xxCpxCxFx而 0,1nmnmmnpnixCpFi F, piFx 4.3）定义反对易式，证明 BAABBA, CABCBABCABCACBACAB, 证： BCACBABCAACCBBCACABACBACBABCBCACBACAB, CABCBACAACBCBAABBCABACBACABCCABCBABCA, 2 4.4）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为 BABABABA , zyx,，为 Levi-civita 符号，试验证 CBACBACBA （1） CBACBACBA （2） CBACBACBA （3） 证： （1）式左端xyyxzzxxzyzyzyxCBCBAC
32、BCBACBCBACBA CBA （1）式右端也可以化成 CBACBA。 （1）式得证。 （2）式左端CBACBACBA （3, 2, 1） CBABACBACBACBCBACBCBA（2） 式右端 CBACBA CBABACBACBACBACBACBACBACBACBA 故（2）式成立。 （3）式验证可仿（2）式。 4.5）设A与B为矢量算符，为标量算符，证明 F BFABAFBAF, （1） BFABAFBAF, （2） 证： （1）式右端FBBFABFAAF FBABFABFABAF BAFFBABAF,（1）式左端 （2）式右端 FBBFABFAAF 3 FBABFABFABAF BA
33、FFBABAF,（2）式左端 4.6）设是由Fr，p构成的标量算符，证明 rFrippFiFL, （1） 证：kFLjFLiFLFLzyx, （2） )2 . 4( ,题yFzzFyippFppFippFiyFzipyFizFyipFzFpzpFyFpyFzpyypzFLxyzzyyzzyyzz xxrFrippFi （3） 同理可证，yyyrFrippFiFL, （4） zzzrFrippFiFL, （5） 将式（3） 、 （4） 、 （5）代入式（2） ，于是（1）式得证。 4.7）证明 pipLLp2 pLpLLpi,2 。 证： zyzyyzzyyzzyxpLLppLpLLpLppLL
34、p, 利用基本对易式 piLppL, 即得 xxpipLLp2 。 因此 pipLLp2 其次，由于和对易，所以 xpxL 4 xyzzyyzzyyzzyzyyzxzzzxzxyyyxyxZxyxpLLpipLpLLpLpipLLppLLpipLLLpLpLLLpLpLpLpL,222 因此，pLpLLpi,2 4.8）证明priprprL222 （1） 2222pLLppLLppL （2） 22224ppLpLLp （3） 2pLipLpL （4） 证: （1）利用公式 ， CBACBA，有 prrpPrpprrprrpprrpprrpL22 其中 riprriprrp22222 iprri
35、prrp3 因此 priprprL2222 （2）利用公式， 0ppLppL （） 可得 LppLLppL 02,L 0222PpLLpLLppLppL pLpLpLpLpL2 02,L 222PpLpLpLpL LpLpLpLpLp2 222pLLpLppL 由，则（2）得证。 （3） piLpLppLLp2) 1 ( ) 7 . 4 22222224222)() 1 ( ) 7 . 4ppLppLpiipLpLpiLp 5（4）就此式的一个分量加以证明，由 4.4） （2） ， CBACBACBA xxxpLpLpLpLpLpL ， 其中yyzzxxepepiLppL （即kpijpikp
36、jpipLyzzyxx0,） 22pLipLippLppLippLipLpLepeppLiLppLpLpLxxxxzyyzzxx 类似地。可以得到分量和yz分量的公式，故（4）题得证。 4.9）定义径向动量算符 rrpprrpr1121 证明： ， rrppa rripbr1 ， iprcr, ， rrrrrrrpdr222222212 ， 22221 rpLrpe 证：， ABCaABC r1121112111 21 pprrrrpprrrrprrpprrpr 即为厄米算符。 rp 6 rrirririrrrririrrrrirrirriprrrriprrprrrrpprrpb1132321
37、122211121 3r irrrrirrrrirrirrriprcr1,1, )(2221 brrpdr2222111rrrrrr rrrrrrrrrr2111122222222 rrrr2221 e据 4.8） （1） ，priprprL2222。 其中 rriripr， 因而 rrrrrrprL22222 rrrrpr2222222 以2r左乘上式各项，即得 d)9 . 42221rpLr rrrLrp21222222 4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。 解：一维谐振子能量 222212xmmpExx。 又022dxxexx奇，m，0 xp， 7（由(3.8)、(3.9)题可
38、知0, 0 xpx） xxxx ，xxxxpppp， 由测不准关系，,2xpx得 xpx2。 22221221 xmxmEx 028232xmxmdxdEx，得 mx22 2122128220mmmmEx 同理有210yE，210zE。 谐振子（三维）基态能量230000zyxEEEE。 4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解： 类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似， 只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成eze（z为氢原子系数）而u理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 220uea，在类氢原子中变为zaa0。 类氢原子基态波函数area31001，仅是r的函数
39、。 而ddreddredrdersin11，故只考虑径向测不准关系rpr， 类氢原子径向能量为：rzeupEr222。 而rzeupH222，如果只考虑基态，它可写为 rzeupHr222，rdrdipr1 rp与r共轭，于是，rprrr ， rzermrzeupEr2222222 （1） 求极值 rzermrE2320 8由此得azamzer022（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径） 。代入（1）式，得 0aa基态能量，azeemzE222242 运算中做了一些不严格的代换，如rr11，作为估算是允许的。 4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为 0。 证：设定态波函数的
40、空间部分为，则有EH 为求p的平均值，我们注意到坐标算符与ixH的对易关系： upixVuppxHxijjjii2,。 这里已用到最基本的对易关系ijjiipx,，由此 0,iiiiiiiExExiuHxHxiuHxiupp 这里用到了H的厄米性。 这一结果可作一般结果推广。 如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和CAB的对易子， 则在或BAiC,AB的本征态中，的平均值必为 0。 C 4.13）证明在的本征态下，0yxLL。 （提示：利用，求平均。 ） xyzzyLiLLLL证：设是的本征态，本征值为，即zLmmLz xLiyzzyzyLLLLL,L ， yLizxxzxzLLLLL,L ，
41、90111 yyyzzyyzzyxLmLmiLLLLiLLLLiL 同理有：0yL。 4.14) 设粒子处于,lmY状态下，求2xL和2yL 解：记本征态为lmYlm，满足本征方程 lmlllmL221，lmmlmLz，lmmLlmz， 利用基本对易式 LiLL， 可得算符关系 xyzxzyxyzzyxxxLLLLLLLLLLLLLiLi2 xyzzxyyxyzyzxyLLLLLLLiLLLLiLLL2将上式在lm态下求平均， 因作用于zLlm或lm后均变成本征值， 使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 m22yxLL 又2222221 mllLLLLzyx 2222121 mllLLyx
42、上题已证 0yxLL。 2222222121 mllLLLLLLxxxxxx 同理 222121 mllLy。 4.15)设体系处于202111YCYC状态（已归一化，即12221 CC） ，求 （a）的可能测值及平均值; zL（b）的可能测值及相应的几率； 2L（c）的可能测值及相应的几率。 xL解：，； 1121122 YYL2022026 YYL 101111 YYLz，。 20200 YYLz（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为zL21C，22C。平均值21CLz。 （b）的可能测值为，相应的几率为2L222621C，22C。 （c）若，不为 0，则（及）的可能测值为：
43、，0，1C2CxLyL2，2。 zLL,2对角化的表象中的矩阵是0101010102 1）在的空间，xL1l求本征矢并令，则1cbacba01010101021， 得，ab2，bca2，cb2。1, 0。 ）取0，得bac , 0，本征矢为，归一化后可得本征矢为 aa010121。 ）取1，得cab22，本征矢为aaa2，归一化后可得本征矢为12121。 ）取1，得ca22b，归一化后可得本征矢为12121。 在态下， 取的振幅为0011111CYCxL021012100111CC，L取0的几率为x21C2；L取的振幅为x22101C121011C，相应的几率为41C2L； x取的振幅为212
44、12100111CC，相应的几率为41C2。总几率为2C1。 2）在的空间，xL2lzLL ,2对角化表象中的矩阵 利用 1211mjmjmjjmjx 1211mjmjmjjmjx 1111222 xj，230212xj，231202xj，12212xj。 01000102300023023000230100010 xL，本征方程edcbaedcba01000102300023023000230100010 ab，bca23，cdb23，dec23，ed，2, 1, 0。 ）0，b，0c230a，d，ce32本征矢为10320183。 在态下， 测得001002202CYCxL的振幅为2103
45、2018300100202CC。几率为422C1； ），ab0cbded，本征矢为1101121。在态下，测得的振幅为202YCxL0110112112C10000，几率为。 0），b，c，d，ea0bd，本征矢为1101121，在态下，测得几率为。 202YCxL0 12）2，b，a2a6ae22 c，d，ac6e， 本征矢为1262141， 在态下， 测得202YC2xL的振幅为2461262121C410000C。几率为2283C2； ），b，a2a6ad2a，本征矢为1262141，在态下，测得c，e202YC2 xL的几率为2283C。 2222418383 CC。 在202111Y
46、CYC态中，测（和）的可能值及几率分别为： xLyL222122212122834141214183202CCCCCC 4.16）设属于能级E有三个简并态1，2和3，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解： 11111,1a 12122,，2222,1， 23213133,，3333,1。 321,是归一化的。 0,1,1121212221， 13 0,1,21321131313331， 0,1,22321231323332。 它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级） 。 4.17）设有矩阵等，证明 SCBA, BAABdetdetdet，
47、AASSdetdet1， BATrABTr，TrAASSTr1，CABTrBCATrABCTr， Adet表示矩阵A相应的行列式得值，代表矩阵TrAA的对角元素之和。 证： （1）由定义nnniiiiinaaaiiPA211211det， 01111111其他情形的奇置换是当的偶置换是当niiniiiiPnnn 故上式可写成： nnnijijijiinnaaajjPiiPA2211111det， 其中是的任意一个置换。 njj1n1nnniiiiinCCCiiPABC211211detdet nnnnniijjijnjijjijjnbababaiiP11222111211 nnnnnjjiii
48、jijijnnjjjbbbiiPaaa11221121121 nnnnnjjiiijijijnnnjjjnbbbjjPiiPaaajjP1122112111211 BA detdet （2）ASSSASASSdetdetdetdetdetdetdet111 AASSdetdetdet1 （3） BATrabbaABTrikikkiikkiik（4）TrAASSTrSASTrASSTrASSTr1111 （5）CABTrbacBCATracbcbaABCTrjkijijkkiijijkkijkijkkijkij 14第五章第五章 力学量随时间的变化与对称性力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力
49、学量A不显含t，H为本体系的 Hamilton 量，证明 HHAAdtd,222 证.若力学量不显含 ，则有AtHAidtdA,1, 令CHA, 则HCHCidtCdidtAd,1,11222, HHAAdtd, 222 5.2）设力学量不显含t，证明束缚定态，A0dtdA 证：束缚定态为:： tiEnnnertr,。 在束缚定态 trn,，有 trEtrtitrHnnnn,。 其复共轭为 trEertitrHnntiEnnn,*。 nndtdAdtdA,nnnnnnAAAdtd, nnnnHiAAHidtdA1,1 nnnnAHiHAiHAitA,1,1,1 nnHAAHiHAi,1,1 0
50、,1AHHAi。 5.3） xxiaPxaaDexpexp表示沿x方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）a xexkikx, xaxkk 是的本征态，相应的本征值为 aDxikae证： axeaxxaDkaxikx xexeeikakikxika,证毕。 15.4）设m表示的本征态（本征值为） ，证明 zLmmeeyzikLikL 是角动量L沿空间,方向的分量 nLcossinsincossinzyxLcLLnLLn 的本征态。 证：算符yikLe相当于将体系绕y轴转角，算符zikLe相当于将体系绕轴转z角，m原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体
