1、Z 2023李林考研数学系列 高奪数学 辅导讲义 （数学一、二、三通用）编著李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林！这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉,是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。- -乃 71回器劇回 回葩娜1扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社z真学李林考研数学系列 甘坐鷗半 冋寺珈子 锁导讲义 （数学1、二、三通用）编著李林不靠押题靠实力考研数学就选李林!回扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社一“-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉, 是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-乃7刖 a北京珠市口大街有座“网红”人行天桥，桥身上镶嵌着著名的数学、物理公式
2、，其 中，数学公式不是勾股定理，不是中国剩余定理，也不是欧拉公式，而是大名鼎鼎的拉格 朗日中值定理。现实生活中渗透数学思想的例子还有很多，比如广州地标广州电视塔 “小蛮腰”造型的设计，该电视塔是单叶双曲面形状；悉尼歌剧院外观壳片曲面属于同一 个球面方程；山西太原双塔蕴含着数列的思想无论是拉格朗日中值定理还是曲面方程抑或是数列，它们都指向同一学科，那就是 “高等数学”。本书正是基于考研应试的目的，帮助读者提高解题能力，使读者真正学懂 “高等数学”这一学科。关于本书本书是针对全国硕士研究生入学考试“高等数学”复习的辅导讲义，由编者根据多年 在考研辅导班的讲义改编而成；本书也可作为非数学专业本科生学
3、习“高等数学” 的参考书。本书旨在帮助广大考生理解高等数学原理，掌握解题方法，提高解题能力。本书按照 考研数学大纲的要求，全面介绍考试的内容与解题方法，澄清考生的常犯错误与疑惑。通 过典型例题分析，揭示考研数学的命题规律，从而提髙考生的应试能力。本书每章由四部分组成：1.考试要求；2.内容与方法提要；3.典型例题分析；4.习 题演练。本书有以下特点：、内容与方法全面本书全面介绍考试内容，细致总结考试中各类题型的解题方法，对易出错的知识点给 予澄清。二、 题型齐全，覆盖面广，难度适中，循序渐进“典型例题分析”部分中的精选例题力求覆盖考研数学的各种题型，以中等难度题目 为主。编者考虑到考研数学有一
4、些区分度较高的试题，也选取了一些难度较大的典型例 题，以便考生强化训练，开阔眼界。在编排上，试题难度由浅入深，循序渐进。三、 直击题目要点，展示解题思路，突出解题方法本书中的“典型例题分析”，通过对条件与结论之间逻辑关系的剖析，理出解题思路， 重点在于启发学生“怎么想”，而不是简单地告诉学生“怎么解”，因为“授之以渔”比 “授之以鱼”更重要。李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义考试复习建议编者根据多年考研辅导经验，提出如下三点建议：1. 考研数学复习的周期较长，考生要坚定信心，持之以恒，循序渐进。2. “高等数学”内容多，考题综合性强，考生应不断总结，反复练习，才能
5、真正掌 握它。3. 把握“高等数学”主线：“高等数学”是以极限为基础，建立一元函数微积分学, 再将微积分应用到几何与物理上，拓展一元函数到多元函数，产生多元函数微积分及其应 用，而微分方程是将导数和积分应用到解方程上。级数是用极限、导数和积分解决无穷和 的问题。本书适用于数学一、数学二、数学三，对有不同要求的部分给出了说明。编者在多年 的教学中，借鉴和参考了若干国内外的优秀著作，在此对这些作者表示衷心的感谢！由于作者水平有限，本书仍有很多地方需要改进和提高，恳请读者和广大同人提出宝 贵的意见和建议。最后，衷心祝愿广大考生考上自己理想的学校！2目录夕冃 录第一章 函数极限 连续.1第一节函数.1
6、第二节函数极限.8第三节数列极限.20第四节函数的连续性.27习题演练. 32习题演练解答.34第二章 导数与微分.35第一节导数与微分的相关概念.35第二节导数与微分的计算.42习题演练.48习题演练解答.50第三章 微分中值定理与泰勒公式 .51第一节罗尔定理.51第二节 拉格朗日中值定理 .57第三节柯西中值定理.62第四节 泰勒公式 .64习题演练.73习题演练解答.74第四章 导数的应用.75第一节单调性与极值.75第二节凹凸性与拐点.82习题演练.86习题演练解答.87第五章 不定积分.88 李林考研数学系列高弯爭辅 李林考研数学系列高弯爭辅第一节不定积分的概念和性质.88第二节不
7、定积分的计算.90习题演练.100习题演练解答.101第六章定积分及其应用.102第一节定积分的计算.102第二节积分变限函数的求导问题.114第三节积分不等式与积分等式.118第四节反常积分.125第五节定积分的应用.129习题演练.136习题演练解答.138第七章微积分在经济学中的应用（仅数学三要求）.139习题演练.145习题演练解答.146第八章多元函数微分学.147第一节多元函数微分学的基本概念.147第二节复合函数的偏导数和全微分.152第三节隐函数微分法.154第四节极值与最值.158第五节方向导数与梯度（仅数学一要求）.162第六节多元微分学的几何应用（仅数学一要求）.167习
8、题演练.171习题演练解答.173第九章微分方程.174第一节微分方程的基本概念.174第二节一阶微分方程.175第三节可降阶的高阶微分方程（仅数学一、数学二要求）.181第四节 高阶线性微分方程.182习题演练.1922目录沪习题演练解答.194第十章二重积分.195第一节二重积分的概念与性质.195第二节二重积分的计算.196第三节二重积分的对称性.198第四节 二重积分的应用（仅数学一要求）.210习题演练.211习题演练解答.213第十一章空间解析几何（仅数学一要求）.214第一节向量代数.214第二节平面方程与直线方程.216第三节曲面方程.218习题演练.223习题演练解答.224
9、第十二章 无穷级数（仅数学一、数学三要求）.225第一节常数项级数.225第二节幕级数.242第三节 傅里叶级数（仅数学一要求）.254习题演练.258习题演练解答.261第十三章三重积分、第一类曲线、曲面积分（仅数学一要求）.262第一节三重积分.262第二节第一类曲线积分.270第三节第一类曲面积分.273习题演练.277习题演练解答.2783李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义第十四章第二类曲线、曲面积分（仅数学一要求）.279第一节第二类曲线积分.279第二节第二类曲面积分.290第三节第二类曲线、曲面积分的奇偶对称性.298第四节场论简介.301习题演练.
10、308习题演练解答.309附录：几种常用的图形与曲线 .3104第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续第一章函数极限连续0考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左 极限、右极限之间的关系.6. 掌握极限的性质及四则运算法则.7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求 极限的方法.&理解无
11、穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限.9. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.10. 理解函数连续性（含左连续与右连续）的概念，会判别函数间断点的类型.11. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.第一节 函数7内容与方法提要丄一、函数的基本概念1. 函数的定义若M工& DUR,有唯一确定的实数夕与之对应，则称夕是工的函数，记为j/ = /（）. 【注】 【注】 函数定义中的两个要点：定义域D；对应法则f.2. 函数的复合运算设夕=/（“），“ G Df ,u =申（z
12、），攵W 当=爭Q）的值域是Df的子集时，称y = f 卩（z）（工 G Q）为函数u =卩（工）与夕=/（?/）的复合函数，变量u称为中间变量.【注】【注】函数的复合运算采用“代入法3. 初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成的且能用一 个式子表达的函数，称为初等函数.【注】 【注】 由于_/（#） =|攵|=丿7符合初等函数的定义，故/（J7）是初等函数.分段函数一般不是初等函数.1李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义4.几个常用的特殊函数（1）取整函数：夕=刃,其中刃表示不超过工的最大整数，且工一1 0,(2)符号函数：sgn
13、工=v 0, 夂=0,、一1,工 V 0.（3）狄利克雷函数:DQ）=什工为有理数,工为无理数.【注】 狄利克雷函数常用于举反例，例如，由函数/（工）在工。处可导不能推得_/（工） 在Zo的某邻域内连续，如/（z） = * D（z）.又如，由/（j：）在a ,刃上有界不能推出fO在 _a,b 上可积，如 f（.x） = D（x）.5.基本初等函数（1） 备函数口（2） 指数函数（a 0且aH 1）.（3） 对数函数：logaj;（a 0且a工1）.（4） 三角函数：sin g,cos j:, tan j：,cot x, sec jccsc x.（5） 反三角 函数：arcsin jrarcco
14、s x,arctan g,arccot x.二、函数的性质1. 奇偶性若/（J7）=于（2）,则称/（J：）为偶函数；若/（J：）=一于（攵），则称fS 为奇函数，其 中工为定义域中的任意一点，且定义域关于原点对称.例如：y = sin jc是奇函数，y = cos x 是偶函数.2. 有界性若存在M0, e D,有丨IWM,则称/&）有界.【注】常见的有界函数.（1） | sin x | W 1.（2） | arcsin x | 号.（5）子 V arctan 工 V 号.(2) | cos 工 | 1.(4)0 M arccos # 兀.(6)0 0, 6 D,Te D且yQ + T） =
15、 g,则称fdx）是以T为周期的周期函数.4. 单调性若于（攵）在区间上的任意两点劝，比（劝V攵2）处，有/（1） /（力2），则称g在区间上单调增加（减少）.典型例题分析璽型一函数的复合运算【例1】 设/（-a：） = ex , / _cp （工）=1 x,且爭（z） $ 0,求爭（力）的定义域.2第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续分析求复合函数的中间函数及其定义域.2解 由已知，eP s = 1 z,故p（jc） = /n（l 工）, 从而ln（l z） $ 0,解得1 一工$ 1,于是伞（z）的定义域为（oo,0.ex , z V 1,4 l,g（）=h + 2, o,i,
16、心o,求心3 分析求复合运算，先采用“代入法”，再解出自变量的范围.（门2 gQ）Vl，（1）当g（Q 1时，分情况讨论如下：【例【例2设/（J7）=解解若攵 0,此时 f g(z) = e+ ,g(g)=鼻 + 2 V 1,即若 z $ 0,此时 f g(j7) = e_i ,g(H)= j? 1 1,即故工_1；X 1 ,弓；故。-V2.2 v 2,（2）当gQ） $ 1时，分情况讨论如下:若 J7 0,此时 f =攵 + 2 ,g(z) = _z + 2 $ 1,即若 z $ o,此时 y g(Q = j? i ,g(z)=X2 1 2： 1 ,即工 V 0 9 ,故一1工0T 2 1
17、9工 A 0 , , L2 故心梶.X a 2,综上所述,心=彳严，工+ 2,：宀,x2 1,x 1,1 W 2 V 0 9 0 W h 72 , x $罷.题型数的性质【例【例3】 】 判别y = ln（z+丿1 +工2）的奇偶性，并求其反函数. 分析利用奇偶性的定义.解 由（工+1+工2）（1+工2 一工）=1, In( x + /1 + a:2 ) = In-: = ln(j; + ,x + Vl + j;2 故y = ln& + /1+)为奇函数.由y = ln(jr +丿1 + j?)，有z + Ji +工2 = ，又由式，得Jl + / 工=尹.两式相减，得y = ln（a: +
18、/十J?）的反函数为x = -_ .【例【例4】 】 设/Xz）满足afS +好（g） = + 其中a,b,c均为常数，且 S 的表达式并证明f3 为奇函数.分析 利用 S 满足的等式求fS，再利用奇函数的定义证明.解 由已知，有a |工| b | ,求afG) + 好(g)=C3C3李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义在式中，用丄替换工，得X由X a X b,得由| a |工|方| ,有又因为*7)=卩勺(一 +屁)=*， 所以g为奇函数.【例【例5】 设y = ( oo z v+oo)的图像关于直线h = a与攵=b(a 0,工2 0,且4 单调减少，证明：X故
19、于(工1 +氐)于(工1)+ _/(攵2)证 不妨设口三比，依题设，有 色以厶故/)由 竺= 止2,得 劝十X2 鼻2X2 f(JCi + 氐)W /(J：2 )+2 fl 孔)W 乞2 /(J：1 ) + J；2 /(2)，/Xm + 攵2)W /(l ) + /(j；2).【注】 在本例中，若单调增加，其他条件不变，则可证明： XfQl + 工2)M _/(工1)+ /(2)题型三 函数性质的综合问题1.判别函数奇偶性的方法(1)判别函数的奇偶性常用其定义.4_ _ _第二第二y _曾数 极咚.违续_曾数 极咚.违续(2) *刃为可导的奇函数(偶函数)= fS 是偶函数(奇函数).(3)
20、/()为R上连续的奇函数(偶函数)= FQ) = /(Odz是偶函数(奇函数).cx t = u rx证 F(g)= fCt)dt = /( u)d( u)J 0 J 0J /(u)du = F(z), /(jc)为奇函数，=f /(iz)du = F(j：) , /Xj：)为偶函数.I J 0对于G(z) = /(r)dKa # 0)若/(h)为奇函数，则G(z)是偶函数；若_f(z)为偶函数，J a则GQ)不一定是奇函数.因为G(z) = f(t)dt = f f(t)dt + J a J a J 0ro 记=F(x) + I f (z)d?-F(z) + C,所以当 g 为偶函数时,FQ
21、)为奇函数，但F(_z)+C不一定为奇函数(当C=0时,FCr)+C 为奇函数).【注】函数运算对奇偶性的影响是考试重点.2.判别、数有界性的方法(1) /(j?)在a,b上连续= /(X)在a,刃上有界.(2) /(jc)在(a,b)内连续，且 lim , lim /(j?)均存在= /(x)在(a,b)内有界.x-*-a x-*-b【说明】 由lim fS, lim /()均存在，根据极限的局部有界性，f(x)在区间+ x-*-a x-b(a,a + $i),(b 2，b)(&i 0,&2 0,6 82 a + &)内均有界，而 /(jc)在区间 匕+&一九上连续，故/&)有界，从而fCx
22、)在(a,b)内有界.(3) 十(工)在有限区间(a,b)内有界今fS在(a,b)内有界，反之不一定成立.例如，f在(0,1)内有界，但 在(0,1)内无界.2后【说明】V x 6 (a,b),取2 6 (a,b),由拉格朗日中值定理，可知fO = /(夂。)+ 7()& 氐)， ，a V F V 6,故I /(z) | M /(如)|+| y(g)丨 | X xQ |,即 g 有界.但若将(a)改为无限区间，则结论不一定成立.3. 判别函数周期性的方法(1) 利用周期性的定义.(2) 若 g 是可导的周期函数，则/&)与 g 有相同的周期.【注】若/(工)是以丁为周期的连续函数，则FQ)=y
23、(/)d/不一定是周期函数.例 如，于(工)=cos z + 1是以2兀为周期的周期函数，但(cos Z + 1)dif = sin z +攵不是周期 函数.4. 判别函数单调性的方法若fS $ 0 0)，且等号仅在有限多个点处成立，则/()在区间上单调增加(减少).5李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义【例 【例 7】 】 设 /(j?) =/(x),K 在(0,+ )内，/(工)0, f (x), 0,则在(oo,0)内, 下列选项正确的是( ).A. 0C. (jc) 0, f 0, 0解 由已知jQ)为奇函数，因此fs 是偶函数，厂Q)是奇函数.由于在(o,
24、 + oo) 内，厂(攵)0,厂(工)0,故在(-oo,0)内，/(#)0,严(工)+oo,此时z&sin xk = 27t sin(2怡兀) =2怡兀 0 = 0 0.取g = 2kn +专，当 f + oo时皿+ oo,此时xk sin Xk1)(2虹+于)sin! 2kn +2& +1 f + oo.故/(z) = Hsin 2在(0,+o)内是无界量，但不是无穷大，D正确.6第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续【注】 【注】 无穷大必是无界量，但无界量不一定是无穷大.【例 【例 11 】 】 设 f（z）有二阶导数，且 fG） = f （一 工）,+ 1）, /（I） 0,
25、 则（ ）A. y（一 5） - 5） /（- 5） B. - 5）=于（一 5） - 5）C. /z（- 5） /（- 5） - 5） D. /（- 5） 0, 严（一5）=严（一5 + 5） = / （0） = 0, 这里因为厂&）为偶函数，严（工）为奇函数，所以/（O） =0,E正确.【例【例12】 】 设 g 是连续函数，F&） = py（/）d/,则（ ）.J aa.当ys）是奇函数时，F&）必是偶函数B. 当于（工）是偶函数时,FQ）必是奇函数C. 当于（刃 是周期函数时，F&）必是周期函数D. 当/（工）是单调增加函数时,F（Q必是单调增加函数解 当 2）是奇函数时,FQ） =
26、7（z）di是偶函数,A正确.J a当/()是偶函数且a = 0时，FQ)才是奇函数,E不正确. 对于C,设/(x + T) =f3,则fx+T CxFQ + T) - FQ) = 一 f(t)dtTf(t)dt f(t)dt9T J a而t = u T Cx Cxf (t)dt = fu + T)du = f(u)du = ,T J 0 J 0 J 0故FQ + T) FQ) = /(z)dz,即FCz）以T为周期的充要条件是f（t）dt = 0.J 0D显然不正确，例如：f（x）=鼻在R上为单调增加函数，但FQ）= 昇 _j.a2在r上不是单调函数.【例【例13 设函数 g 在0,a（a0
27、）上连续，在（0,a）内可导，单调增加, /（0） = 0,证明：FQ）= 在（0,a）内单调增加.证 由于FQ）可导，故利用导数判别其单调性.因为f气工）=M（z） fiQ =好（工）一 y（o）X2 J?拉格朗日对心一仆小_ fs 中值定理 x2所以FQ）在（0,a）内单调增加.JC 0 (0 VfVz),【注】 【注】 在本例中，若f3 单调减少，其他条件不变，则可证明：FQ）= 在（0,a）内单调减少.x7李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义函数极限AA* H 第一T一、函数极限的概念1.邻域与去心邻域I 记称工|丨工一工0丨0 =U(J：O ,&)为工0的
28、5邻域.称 j; I 0 I X Xq | 0 = U(a?o ,5)为工0的去心邻域，如图1-1所示.图1-12.函数极限的定义lim /（je） = Ad Ve0, 30,当 0 |力一a：。I S 时，有 I f （工）A 0, 3 X 0,当 | x |乂时，有 | /（j：） A e.【注】 极限的定义是用“距离”刻画的. 定义中的具有任意性，&与X具有存在性,5与X 般与有关. 利用极限定义验证极限的存在性，关键是证明&或X的存在性. lim与/工)在点x0处是否有定义无关.例如：丁21lim- = lim（a： + 1） = 2.3. 函数极限存在的充要条件lim f(.x) =
29、 lim f (j;) = A0,30,当 0 Viz | 0VX0,当丨 z |X 时，有 | /(j;) |M.3.保号性若 lim = AO(VO),贝归50,当 0| x xQ 0(0(0,当丨工 |$X 时，有 /(j:) 0 0).Hf 84.保序性若 f(x) 0,则日50, 使得当工 (0,5)时， 0.三、无穷小与无穷大1. 无穷小(1) 无穷小的定义:若lim g = 0,则称 g 是无穷小.(2) 无穷小的运算： 有界函数与无穷小之积是无穷小. 有限个无穷小之和是无穷小. 有限个无穷小之积是无穷小.【注】 这里应注意“有限个”这一条件，无限个无穷小之和、积不一定是无穷小.
30、2. 函数极限与无穷小的关系lim /(x) = AOf(jc) = A + a(a 为无穷小).3.无穷小的比较设a, 是同一变化趋势下的无穷小，则(1) 若lim y = 0,则称a是比0高阶的无穷小，记为a = o(0).(2) 若lim話=1,则称a与0是等价无穷小，记为a/?.(3) 若lim亍=c工0,则称a与目是同阶无穷小.H0M0,则称a是关于0的怡阶无穷小.9李林考研数学系列髙等数学辅导讲义李林考研数学系列髙等数学辅导讲义【注】【注】只有当limy存在时，a与0才能进行无穷小的比较.4.常用的等价无穷小(当匸0时)(1 + Z) 1 为实数).sin 工工 tan arcsi
31、n 工 工arctan 1 cos x 1 2e 1 工，a 1 rein a 9 ln(l + 工)无，loga (1 + ) 17 - X 9In a5.无穷大(1) 无穷大的定义：若lim “z) = a,则称是无穷大.(2) 无穷大与无穷小的关系：若 lim f(工)=0 /(jc)丰 0,则 lim J、= oo./(攵)四、函数极限的计算1. 函数极限的夹逼准则(g(x) /(jc) lim /(j;)二Ilim A(jc) = lim g(z) = a2. 两个重要极限 lim 里口 = 1.x0 JC,(2) lim(l+z)+ = lim(l +丄) = e.x-* 0 2I
32、-8 Z /3.洛必达法则法则一：(1) lim = limg(jc) = 0 ；o(2) /0) ,g(H)在 U(x0)内存在，且 g(z) H 0 ；(3) lim 厶黑=A(或 oo).r g (攵)则lim马马=lim孚呉=A(或a).Hf% gJC) Hfo g法则二：(1) lim /(j:) = lim g(z) =(2) 厂Q),gQ)在 U(o)内存在；(3) lim 了 严? = A(或 oo).工工0 g(2)贝！J lim 卑马 =lim 人= A (或 oo).o g(z) Hr。g (z)【注】【注】法则一、法则二对OO仍成立.若lim厶r雲不存在(oo除外)，则
33、不能用洛必达法则，应改用其他方法.例如: g X)2 1X COS 1 1lim- - = lim ( 2x cos + sin )，x-* 0 JC x-0 oc oc )10 第一章 函数 极限 连续极限不存在，但2 1X cos lim- = lim x cos = 0,x-* 0JC j?-*03C,极限存在. 计算极限时，经常先利用等价无穷小、变量替换法化简，再利用洛必达法则求极限. 对于数列极限，若符合型，兰 型，也可以用洛必达法则，但应将 讥正整数）改为0 oo工（实数），因为数列是离散的，所以不能对其求导数.典型例题分析题型一利用两个重要极限求极限【 【例例1】求下列极限:(1
34、)(2)lim( 1 2tan j?)cscj?-* 0(3)lim工一ooc2+lf2工2 1丿lim(7jc 4)sin ；J*oo JC解解(1) 1 型.1 1 1 limjc1 = lim( 1 + x 一 1) = lim(l + x 一 )冃_1 = e_1 JC-*-1 .r-* 1 X-* 1(2)I00型.由于lim(l - 2tan jt)cscj = 2tan 工厂船严心心x-* 0工-*0且lim( 2tan jccsc z) = lim 经辺3 Lx-* 0故原式：（3）oo e2.0型.z-0 COS Xlim(7jr 4) sin =ZfOO Xlim (7zs
35、in 4sin LOO x x /.1sm 4 limsin = 7 一 0 = 7. 1 工十8 x7 limX-* oo(4)1型.由于xlim_r-ooa:2 +1工2 1lim2x2 一 1而lim - = 2,故原式=e2oo X 1【 【例例2】求下列极限：丄1 + tan .r 71 + sin x / （1）解法1因为(1)limlOsin x(2)lim (cos + sin X-OO X X原式=丄tan x sin x1 + sin xlimx-* 0i tan x sm x1 + sin x1+sin 工 工 tantan xsin x | 1n 工一sin z 11+
36、sin x 工3lim 14L o 11李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义丄7 _i tan x sin x lim _:-工-o 1 十 sin xi (1 cos 7) sin x 1 lim ( | : x o (1 十 sin jc) cos x x(1 + sin 工)cos jc jc lxlxl= i*1 COS HX2所以原式=解法21eG利用幕指函数/原式卍“以及等价无穷小代换求解.1 1 14-tan x r 1 I 14-tan x1 I111 h巴-yin 讦航lim ex = ex*Ox x-0由于lim 当山 tan #x-* o x
37、1 + sin xtan sin 攵1 + sin xlim ln( 1 +x-* 0 x 等价.1 tan x sin x 同“解法一” 1 亠” lim r 无力小 x-* 0 JC,1 + sin x故原式=(2)解原式=lim8cos + sinX 2_2 = limfl +2sin x=lim+ sin X12e1 = e.题型二利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换定理：lim号=lim# - A(aP 01算时可以用等价无穷小代换，加、减运算时不能用等价无穷小代换，但可以略去高阶无穷小.5朮“1)时，应注意:一般地，乘、除运【注】例如，求lim -HfO X若利用sin x工
38、，则lim .y- = 0,错误.事实上，0 X_z sin _=曲1 COSH法则 x-0lim 0 - sc1 2 2 Hm TT Xo 6x又如今求limx-* 0 x sin xlim 匚 一 sin x-* 01. X Xlim-x-* 0 JC=0,且13j?2sin xT12X利用sin兀工彳则X结果是正确的事实上，lim 三二黒11二=_ 1曲里22x-* 0 3C x-* 0 JC1 1 = 0,X即加、减运算不能用等价无穷小代换，要视具体情况而定，为防止出错，一般加、减运算不 要用等价无穷小代换，但可以略去高阶无穷小.例如，求lim三土归 x-* 0 3C由 sin x2
39、= o(h) 9 可略去 sin x2，故lim ” 七 sin.三-=|jm 王= (因为 x 4- sin x2 无,工一 0 ).x-* 0 JC x-* 0 JC12第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续(1)【例3】求下列极限：lim - （a 0工）；x-* 0 JC(2) lim arcsin 工x-* -0 JC(3)ig必I王1二！Hm ln(l + e)Xn(1)(2)(3) ax 1 占11。一 1 . jcln alim- = hm- = lim-工-0 X x0 X 工0 X1. arcsin T arcsin 2 = t Llim-= lim = 1.x-
40、* o X e = sin i-* o Sin tlim 土工) = limln(l + = lnlim(l + = 1.x-*0 JC x-0 x-0In a (exna 1 jrln a).(4)利用公式：an -bn = (a b)(aT +an2bA-abn2 +bT).结合有理化，有i- + 工1 1. JC ,lim - - = lim- = 1.* + /(1+工)-彳 t- 1龙-*0【例【例4】 】Xn求下列极限:z-i x . In cos X()lim -；z-o 1)(2) limx-* 01 eln(l + cos z 1)解（1）原式=1血（尹_ 1）原式=応三常1
41、工。工（丄一e ） x-* o丘 1 + 2工一洛必达 法则 摞 2x 法则(2)x-0洛必达2x=lim cost1 = n 二=_ J_= lim 壬土 1 +亍解J7-*01 +无 1XX0工-o jc 2力X X3T 【注】（2）是X OO型极限=囂公因式3盼型或2型【例【例5】 】2 + cos 工分析求 lim gr0 X此题的关键是处理幕指函数，“=原式=lim（eln2 -1）x-* 0 ）-1 =liml-刃n吐严x-0 x 3解2 + cos x ,13=lim g Inf 1 + -x-0 X ln(l+Q 工 1 cos rc 1lim 2 qx-* o x 61 1
42、2 1 21 cos x Xlim _ 厂2x-* 01_【例【例6】 】求 Hm J cos 工/ + sinzx-* o （arcsin j：）2一般处理含根号的极限时，常用有理化方法，但此题不适合，应先作恒等变形,分析再利用等价无穷小代换.13李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义解府式 _ dcos jc 1 + 1- + 1 - /1 4- sin* 1 2jrr o 1 +i 1 VCOS 2x COS X【例【例8】求幔-求幔-p-1 cosh cos 2z z? (1 + cos x J cos 2z)1 cosh (1 2sin2jr)sin2 (1
43、 + 2cos2jc) 映-p-= XxiX3 = 2 2 【注】【注】求极限时有两点应注意： 应先进行函数运算，再进行极限运算.例如：丁2 _ 1lim- = lim(j; + 1) = 2.x-*l JC 1 x-*l 原则上对表达式中的所有变量要同时求极限，但对乘法、除法运算，当表达式中每 一项极限均存在(分母不为0)时，可以利用运算法则，先求出一部分极限(如本例).-* 0JC2_ ”口 J cos j? 1 + 1 - 1 + Hm 1 - 4- sin2jrZf 0 X2工-*0 x2 (1 + cos jc 1) 1 | i. (1 + sin2 1J= lim-&-+ iim
44、-&-jc-0X2 (cos x 一1) 一sin2= lim-2-+ lim-q-r-* 0 攵- 0 JC1 1 _ 7_T_可_辽.【注】【注】此解法将原函数极限拆成两个极限的和，要求每个极限均存在.【例 【例 7】 】 设 lim atan” + b(l cos)? =?,其中 a2 + c2 70,则( ).lo cln(l 2工)+ (1 一 ex )A. b = 4d B. b = 4d C. a = 4c D. a 4c分析 此例中的分子、分母都是无穷小之和，一般不能直接用等价无穷小代换，但可以 略去高阶无穷小.解 由于i atan + 6(1 一 cos x)lim-I cl
45、n(l-2jr)+c/(l-e_x )V atan x a x a o=l1 cln(l -2a-)=映 c ( 2工)= 故a =一 4c,D正确.【注】 【注】 可以略去高阶无穷小的理由：当#-* o时，有atan 力 + 5( 1 cos x)tztan x， cln(l 2x) + (1 e )cln(l 2h)题型三 利用有理化方法求极限lim0原式=解12limx-01214第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续【例【例9】 】求 lim ( a/j? + g + g).原式=lim _LJ X 2 4- X X1_1 +丄1X=lim【注】【注】题型四（分子、分母同时除
46、以刃当分子、分母同时除以工时，由于工V0,故根号前有一个负号.利用左、右极限求极限解x1T (1)(2)(3)lim arctan x , lim arctan xlim e = + , lim e = 0.工一+oO X*8对于分段函数和绝对值函数，常用左、右极限求其极限，下面几个常用的左、右极限需要 熟知：lim = oo, lim =+ g ； l0_ 无 *()+ 工7t7(4)取整函数.如lim工=1, lim工X0+sinlaG 1) 于一1 ，2(凸 一 1) ln(l + 2jj)，设 f(x) = V=0.求lim /(jc).x-* 0X 0,解因为r 、 ! sin a(
47、一 1) ，- 0黑(1 + e1./ 2 + + sin x(1 + e手-2 + e： - sin x4 I1 * 1 7 E= 2-1 = 1,=limh-o+2e_- + e_-丄 sin z= 0 + 1 = 1,ex - arctan 久 求空冷X+ 1解 当 + 时后+oo,arctan 号；当 h oo 时，e”0, arctan x_ JT_ 一于因为15李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列高等数学辅导讲义一 21 一 z arctan zej?arctan xlim7Tlim7t e -i-=1+8e + 无 :r-* H-oo1 + e 型或于型.0 OO0型
48、，1型，oo型3 / = evlnu,其中1型还可以用重要极限.(1)(2)(3)OO OO 型=【例x a:2 In ( 1 +分析解原式=lim本题是00-00型极限，提取公因式x1 xn( 1 + 1 =t x /X1 一丄 ln(l + O lim-z*-0 t- t-lnCl+t)洛必达 占 1= llm-5Fhm =昨在而z0.2法则 一 01? 提取公因式是求极限时的常用方法，总结如下：OO OO 型，提取公因式常适用于情形赛函数， 例如：、指数函数，通分(1 + z)务=limX-* +8【注】【注】limX* 4OO提取公因式;J-j二一-4limx-*H-oo+丄X_ 1l
49、im xx232 又如：1 e elim 飞“- - - -L0 a/1 +x2 1提取公因式e e(l ecosx_1)= limx-* 0(1+)3 - 1i e (1 cos j：)lim-丄*31 2 e 丐= =lim -z 丄.2 33016第一章 函数 极限 连续第一章 函数 极限 连续【例【例14】求求limx-* 0常用的泰勒公式如下：丁 2 3 e = 1 + 工 + 為 + 珂 + o(e3 )；丁3(2) sin jc = jc + o(j:3 )；$ !丁 2 4(3) cos jc = 1 + -t + 0(疋);2! 4!2 3(4) ln(l + x) =2 分
50、 +牙 + o(h3 )；(5) (1 + x)a = 1 + ajr + 1* + o(* );(6) tan = j: + + o(h3 )；工3(7) arctan x = x + o(jc3 )；r3(8) arcsin 无=兀 + + o(z3 ).o利用泰勒公式求极限的关键是根据题的结构选择展开到第几项.sin 无sin(sin j?)sin 力jc4分析分析解解本题极限为#型，应用洛必达法则时，可先用等价无穷小代换化简. 原式=lim -工0洛必达法则sinH sinsin 刃厘=恼X L 0sin jc sin(sin j?)i cos x cos(sin 03*lim cos
