1、z 2023李林考研数学系列精诽精练880题（数学三试题分册）蕴含6套卷和4套卷的解题思想编著李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林!中国原子能岀版社45个考电呆度透析考情揭秘有的放矢穿越数学45份考更知识清单重点要点靶向击破200余道停真题集训涵盖高疝线代概率时空李林*研R学S列箱讲精练880题學；MM2- 翊训幽Ctesr 林数EE1 /| I精莒3李林考研数学系列 精讲精练880题金试第少2023（数学二擬分册）0皿;也乩卜眄幣李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林!讲精练880题严三解析分册）M李林2 2023鼻林考研数学系酸 精讲精练880题（数学二解析分册）编著李林不靠押题靠实力 考研
2、数学就选李林!I f尊青28ZM李林考研数学系列精讲精练880题* 不靠押题霏实力 考研数学就选李林!1- tt 中国厦子SK岀阪社带你4学 数 考I精讲精练日日口题带 你 逃 离 数 学 迷 宫 李林年度大作高数/线代/概率一网打尽基础题与真题难度持平综合题略难于真题拓展题用来冲刺高分z真学李林考研数学系列精瘢练88帼（数学三试题分册）蕴含6套卷和4套卷的解题思想编著李林不靠押题靠实力考研数学就选李林!回一“-880题是一套凝结我大量尤 血利功力的习题集， 不偏不怪，会让你有一种考研题就会这么考的感觉。-乃7*扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社图书在版编目（ （CIP）数据李林
3、考研数学系列精讲精练880题.数学三/李林编著.一一北京：中国原子能出版社，2021. 1（2022. 1重印） ISBN 978-7-5221-1194-0i.李n.李in.高等数学一研究生一入 学考试一习题集W.o 13-44中国版本图书馆CIP数据核字（2021）第011770号李林考研数学系列精讲精练880题数学三出版发行中国原子能出版社（北京市海淀区阜成路43号100048）责任编辑付凯特约编辑张乔印刷河北鹏润印刷有限公司经销全国新华书店开本787mmX 1092mm 1/16印张21.5 字数547千字版次2021年1月第1版2022年1月第3次印刷书aISBN 978-7-522
4、1-1194-0定 价79. 80元网 址:http: /www aep. com. cn 发行电话： ：010 68452845E-mail: atomepl23 126. com版权所有侵权必究目 录试题分册高等数学第一章 函数、极限、连续.1基础题.1综合题.3拓展题.6第二章一元函数微分学及其应用.7基础题.7综合题.11拓展题.14第三章一元函数积分学及其应用.15基础题.15综合题.18拓展题.22第四章多元函数微分学及其应用.23基础题.23综合题.24拓展题.26第五章微分方程及其应用.27基础题.27综合题.28拓展题 .29第六章微积分在经济学中的应用.30基础题.30第七
5、章二重积分.32基础题.32综合题.34拓展题.35第八章无穷级数.36基础题.36综合题.38拓展题.40线性代数第九章行列式.41基础题.41综合题.43拓展题.44第十章矩阵.45基础题.45李林考研数学系列精讲精练880题（数学三试题分册）综合题.47拓展题.48第十一章向量.49基础题.49综合题.50拓展题.52第十二章线性方程组.53基础题.53综合题.54拓展题 .56第十三章相似矩阵.57基础题.57综合题.59拓展题 .61第十四章二次型.62基础题.62综合题.63拓展题.64概率统计第十五章随机事件及其概率.65基础题.65综合题.66拓展题.67第十六章随机变量及其分
6、布.68基础题.68综合题.69拓展题.70第十七章多维随机变量及其分布.71基础题.71综合题.73拓展题.74第十八章随机变量的数字特征.75基础题.75综合题.77拓展题.78第十九章大数定律与中心极限定理.79基础题.79第二十章数理统计的基本概念.81基础题.81综合题.82第二十一章参数估计.83基础题.83拓展题.842第一章 函数、极限、连续高等数学爵 第一章函数、极限、连续基础题g、选择题(1) 函数 /Xz) = | zsin x x | eCOSJ ,x,x G ( 00 , + ),是( ).A.单调函数 B周期函数 C.偶函数 D.有界函数(2) 设函数 7(z) =
7、 cos(sin 攵)，g(z) = sin(cos 工)，则当 z ( 煜)时).A. /()单调增加，gQ)单调减少 B. /()单调减少，gQ)单调增加C. /()与g(x)都单调增加 D. g 与gQ)都单调减少(3) 设函数 /(JT)= a/1 + Z 工 + 攵2 ,则( ).A. g为偶函数 B. g为奇函数C. g 为无界函数 D. lim/(zr) = 1(4) 设当a-*+cxD时，/&),&)都是无穷大;则当工一+oo时，下列结论正确的 是( ).A. /(x)-g()是无穷小c熙 一 1/(力)(5) 当攵-*0 时sin 是( ).x xx xA.无穷大C.有界但非
8、无穷小(6) 已知 az az _ _ b) b) = = 0,则(A. a = 1 ,b = 1C. a a = 1 ,b,b =一 1设当z 0时，(工一 sin j?)tan工是比ln(l十z)高阶的无穷小，而ln(l +攵)是比 *高阶的无穷小，则71=( ).71=( ).A. 4 B. 3 C. 2 D. 1(8) 设/Xz) = lnG,g(_z) = * ,h* ,h(工)e今(工 1),则当 z 充分大时，( ).A. /(z) V g(z) V B. g(z) A(jc) V /(jr)C. A(jc) OO f 8B. 若lim(a” + b”)不存在,则lim(a 6)
9、必存在00 8C. 若lim(a” + 6)存在，则lim(a” bn)bn)必不存在n* oo 九一ooD. 若lim(a” + bn)bn)存在，则lim(a bn)bn)必存在”一*00 ”一00B. g+gQ)是无穷大 字加是无穷小B.无穷小D.无界但非无穷大).Ba a =一 1,6=11李林考研数学系列精讲精练880题(数学三试题分册)(10)函数心)=A.可去间断点C.无穷间断点二、填空题B.跳跃间断点D.振荡间断点(1)设心=设/(八总鳥賀则皿心=(2)当工-*0时，(1+心2)寺1与cos工一 1是等价无穷小，则a a(3)设函数/(z)= 在z = 0处连续，则a(3)设函
10、数/(工)=(4)设a a 0,知lim xpxp 一 a缶)存在，则P P的取值范围为_.(7)设/(.Z)= = a-bx ex2 a-bx ex2 + + dx3dx3 tan工，当攵f 0时，/(攵)是比工3高阶的无穷小，则 a + b + c + d = _.三、解答题(1) 设/&)是定义在(一a,a)内的函数，证明/(工)可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之和.(2) 设函数*工)满足(小+好()=十，其中a,b,ca,b,c均为常数，且 a b,a b,求 g 的表达式，并证明 g 是奇函数.(3) 设函数fQ)在区间(一a,a)内有定义，其中a0,且对任意心，工2 6 (a,
11、a),有I /(j：i ) fCx2) fCx2) x2x2 | ,证明：F(h) = /(jr) +工在(一a, a)内单调增加.(4) 设数列&”满足limjA = lim#2屮=a，证明:liraxn liraxn = = a.a.OO jfc*OO Woo(5) 求下列极限：(U)Ca,b,cCa,b,c为正数)；(W)(N) lim d土言一弋(6)求下列极限:(I ) lim1 j rv- ( - -4 - I I-noo n2n2 + /? + 1 n2n2 + + 2 n2n2 + n + n (n) yi + 2 + -+n 一 v/l + 2 + + (“一l)2第一章 函
12、数、极限、连续(IV)limn-oo1+*+*+ + +(V)limnoo1(7) 求ycz) = (1+ )sn(T)在(0,2k)内的间断点，并指出其类型.(8) 讨论函数f(x)f(x) = lim叮2匚的连续性.(9) 设/(J?)在a,刃上连续，且a 0)，工卄1 = Ja +工”，证明:limjr存在，并求其值.M00(11) 设 4 = a 0,! = b $ 0,a 6,工卄1 = = JyJy ,卄1 =壬-扌 了(九=1,2,)， 证明:limjr = limy”.noo “一a ocv综合题“一、选择题a$n 丄 _ 1(1) lim -y-i = a H 0成立的充要条
13、件是( ).】 + )-(】 + )AM 工 1 B. 1 CM 02arctan x. x. 一 In +土二(2) 已知lim- - = c 工 0,贝！j( ).X0 TvTvA.p = 3,c=-|- B. p p 3 ,c = -D.与怡无关C.p =令,c = 3 D.卫=_ ,c =一 3(3) 设当工0时，_ _ flCOS Xa(z) = tan x x sin 工,0(工)= a/1 + j:2 / x2 , x2 , /(je) = sin tAttAt都是无穷小，将它们关于工的阶数从低到高排列，正确的顺序为( ).A. a(z)，仔(工)，y(_z) B. a(H),
14、y(J?)，B，B(工)C. y(x) ,a(z),目(工) D. 0(z) ,a(z) , y(z)(4) 设 _y = y(z)是方程 y + 2y + y = e3xy + 2y + y = e3x 的解，且满足 y(0) = j/(0) = 0,则当 j? - 0时，与夕(刃为等价无穷小的是( ).A. sin x2x2 B. sin r r C. ln( 1 + ) D. In a/1 + j?(5)设 F(h)= h 十其中/(h)在 2 = 0 处可导，且 y(0)工0,/(0) = 0k/(0) , x x 0,0,则( )A. z = 0是FQ)的连续点C.工=0是FQ)的第
15、二类间断点、r (z + 1 )arctan-v(6)设 /(x) = 工2、0，A.在乂 = 1 ,x,x = 1处都连续B z = 0是F(h)的第一类间断点D.以上说法均错误心士则土&)().JC JC =士 1,B在z = 1 ,jc = 1处都间断3李林考研数学系列精讲精练880题（数学三试题分册）C.在攵=一 1处间断,攵=1处连续 D.在工=1处连续= 1处间断（7）下列结论中够哮收是（ ）.A.设lima” = tt 1，则存在M1,当充分大时，有a” A48B设a = lima” limb” = b,则当n n充分大时，有an ban 8D.若 lima” =n-*oo=心0
16、,则当“充分大时,a”万（8） 设&”与%为两个数列，则下列说法正确的是（ ）.A.若#”与”无界，则&” + ynyn无界B若九与%无界，则攵”夕”无界C. 若&”与%中，一个有界，一个无界，则无界D. 若&“与%均为无穷大，则&” 一定为无穷大（9） 下列极限存在的是（ ）.A. lim- - - B. lim （1 +x-*l 1 | OxOx 工一+ C. limn+ (- l)(n + l)n-*oo1D亞估十(10) 设fSfS在(00,4-00)内为连续的奇函数,a为常数，则必为偶函数的是( ).A. dudu f B. f dudu fJo J a J a JoC. dudu
17、f D. f du Jo J a J a Jo(11) 设 /(j?) = lim ，则 F(t) = 在 z = 0 处( ).r-+o 1 + Z J -1A.可导 B间断点 C.不可导但连续 D.无法判定（z3 l）sin z （12）设 f（j：）f（j：） = J | x x | （1 + a：2 ） ? X _z （oo,十 oo）,则（ ）.o, z = 0,A. fOfO 在（OO, + oo）oo）内有界B存在X0,当丨工|X时，/&）无界C. 存在X 0,当丨工|VX时JQ）无界，当丨工|X时，/（工）有界D. 对任意xo,当丨工iwx时，/）有界，但在（一oo,+x）内无
18、界二、填空题(1) 当工-* 0 时= 3_z 4sin x x + sin _zcos x x 是关于 x x 的_阶无穷小.(2) 极限lim (于”孑)血亡=_.2 y+ 1 - /+* 设/(x)是连续函数，lim 1 d = 1,当z 0时， /(r)dz是关于z的阶 Zf 0 1 COS X J X J 0无穷小，则n n = = _(4)设 a” =春 P+1 xnx a/1 + 才 dz,则 limm” = _.Z J 0 -8(5)设 & 工，则limlnZ n-oor n n 2nb2nb + 1L n(l -2)（6）设0 Va】 幺2， ，则1血（叭+亦） =n-*oo
19、4第一章函数、极限、连续(7) 设lim(訂 分ax2 ax2 6) = 0,贝Ia = _,b = _.a = _,b = _.2(8) 设limpE+ 呎广欲=b,其中幻表示不超过工的最大整数，则a =lo( ln( 1 十 1 )丿_,h = _._,h = _.(9) 已知连续函数y = g关于点(a,O)(a工0)对称，则对常数c,I c,I = =J f (a - f (a - jOcLc = _.三、解答题(1) 设数列a”满足lim如旦=q，且| q q 8(11) 设 Xi = 1,2 = 2 卄2 = 4-( + 工卄 1 )，求 limz”.Z ”f 8(6) 设 f f
20、 (j?) = 1 (1 cos xY (n =xY (n = 1,2, ).(I)证明：方程几(工)=*在(0冷)内有且仅有一个实根如；(H)设工” G(0,守)，满足几(攵”)=寺,证明:arccos丄 oo(8) 设心)在0,1上连续，且/(0) = /XI),证明：(I )至少存在一点(0,1),使得/(g)= 金+寺)；(n)至少存在一点WW (0,1),使得/() = /($+ +)(心2为自然数).(9) 证明:limsin(7t J J朮 + 1) sin(7r /n2 + n) = 0.n-*oof (3 + 2tan tY tY (10) 计算极限lim -3-.0 e3j
21、 1(ID设 0 V 工1 oo丄(H)求lim(玉吓.(12) 设召 Vln(l +丄) 0,数列工”满足z卄1 = ln(ex 1) In鼻”，证明：lim#”存在，并求值.”f 8(14)求下列极限:(I )当丨 # |V 1 时，求 1血(1+勿)(1+工2)(1+分).(+尹)；5李林考研数学系列精讲精练880题（数学三试题分册）(II)当丨丨H 0时，求limcos寻cos手cos籟;”f 8 Z 4 Z/ th、i (1 V Vsin j;) (1 Jsin 乞)(1 门sin 工)(ID ) lim-:-石可-.K (1 sin X)X)七(15) 求下列极限：(I )设lim
22、 L 背V= 0卫工)，求血単；x-0 CL CL 1 Z 工- 0 SC SC(U)设flQflQ是三次多项式，且有lim / q = lim f巴 =l(a工0)，求lim “号. 2a JC JC LaLa 工4a JC JC 4(2 3a X X Ott(16) 设 flQflQ 在(a ,b)(a ,b)内连续，且 Iim/(J7)= oo, lim/(j;) = oo,证明：/工)在(a ,b)x-a Jc-b内有最大值._拓展题解答题(1)设 f(x)f(x)在a,刃上可导，且丨 /Z(J7)| 1,当 Z C a,刃时，有 a /(J：) 0 时,sin j; jc j?；66
23、第二章一元函数微分学及其应用i第二章一元函数微分学及其应用9基础题2一、选择题（ （1 COS X X 、c， 力 0，设/（J：）= 0 、工A. （a + b）y（_z） B. （a B. （a b） f b） f C.afQ） D.好（工）（3） 设/（工）= ，则/（工）在工=0处（ ）.1A.连续且可导 B.右连续但右导数不存在C.右连续且右导数存在 D.右极限存在且右导数存在（4） /（j:） = （x2（x2 + 3rr + 2） | x3 xx3 x | 不可导点的个数为（ ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（5） 下列函数中，在工=0处不可导的是（ ）.A. /（J；
24、） = | z | sin | jc | B. /（j；） = | z | sin / 乂 |C. /（j：） = cos | X | X | D. = cos a/| x x |（6） 设/&）可导且/7（肌）=*,则当z-0时,/（工）在m处的微分旳是工的（ ）无穷小.A.等价 B同阶 C.低阶 D.高阶（7） 设 /（） =一 f f （工），且在（0,4-oo）内，0/（2） 0,则 fOfO 在（oo,0）内必有（ ）.A. ”（刃 0,严（工）0 B. /（a：） 0c. y（z） 0,7（工） 0,厂&） 0（8） 设fCx）fCx）在z = 0的某邻域内连续,*0） = 0,l
25、im 1 2） = 2,则fQ）fQ）在z = 0处工0 1 COS X X（ ）A.不可导 B可导且/（0） 0 C.有极小值 D.有极大值（9） y =（工一I）? 3严的拐点个数为（ ）.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（10） 设/（0）= _/（）= o,r（o）o,则下列选项正确的是（ ）.A.工。是JWJW 的极值点 B. f（x0f（x0）是/&）的极大值C. /（jco）是fCx）fCx）的极小值 D.（工0 ,/（2o）是_y = /（工）的拐点（11） 设 /（jc）有一阶连续导数，F（z） = /（j:）（1 +| sin x x I ）,则 /（0） = 0 是
26、 F（z）在 z = 0处可导的（ ）.A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件7李林考研数学系列精讲精练880题（数学三试题分册）（12）设于（刃有任意阶导数，且fS = 则3 =（A. “！/(工) B.(13)设 y = ln(l-2H),则严=(A 9! B _1!_(1一2工)1 * (1 2工)iC.严 Q).r -9! 210 (1 2刃i)( 3).D.九！严&)门 10! 29(1 2工严（14）设O,/（x）在（一5,5）内有定义，当工 （一5,5）时，有| _/（工）IM/,则工=o是/（工）的（ ）.A.间断点 B连续但不可导点C
27、.可导点且/（O） = 0= 0 D.可导点且/（O）工0（15） 设/&）连续，且/（o） 0,则存在50,使得（ ）.A. 对任意 x x 6（ 5,），有 _/（“） _/（工0）B. 对任意 x x 6 （m ,工0 + 5）,有 fO fO ）C. JWJW 在Qo &,）内单调减少D. D. 心）在（氐,工0 +5）内单调增加（16） 已知y y = = x3x3 + az2+&c+c在z=2处取得极值，且与直线y y = 3工+ 3相切于 点（1,0）,则（ ）A.q = 1,6 = 8 = 6B. a a = 1 ybyb = 一 8,c = 6C.q = 1=8 = 6D.
28、a a = 1,6 = 8 jc =jc = 一 6（17）设/（工）=X - 1）（工+卫，则 y&）（ ）.確在在在 A.B c Dx x = = ,x ,x 3处取得极大值，在X X = 1处取得极小值 x x = 1处取得极大值，在鼻=1 ,工=3处取得极小值 X X = 1 ,工=1 ,x =,x = 3处都取得极小值x x =1,工=3, J7 = 1处都取得极大值(18)曲线y = 1 + e xF渐近线的条数为（).1 exA. 0B. 1C. 2(19)曲线夕=丄=e，arct0,亠 ,(1 ) /(J7)= Z 在工=0 处可导，则 Q = _,b ,b = _= _.ax
29、 ax + + b9 b9 jc W 0(2)设 在工=0 处可导，且 /(O) = 2,/(0) = 0,则lim冷学x-*o ln( 1 十 )（3） 设y = /（j：）由方程z = sii?（乎）dr确定，则勉石）-1=-（4） 设函数g 有连续导数，且lim呼+ = 2,则X0 L工 H 的一阶麦克劳林展开式为_（5） 设函数fQ）在（-00,4-00）内连续，严（鼻）的图形如图2-1所示，则曲线:y = f（Q的拐点个数为_.图2-18第二章一元函数微分学及其应用(6) 设厂(0)存在, 0)；V /x(DI)y = 2|snxl ； (IV) = In | tan jc + se
30、c jc |.(2) 求下列函数的导数：(1)夕=(1+ (II)=In 1 .X y/JC2X y/JC2 +1(3) 求下列函数的微分：(I )夕=伞(arctan g),其中申可导，求dy；(U)设夕=夕(乂)由e* ysin x x = 0确定，求Ay.Ay.(4) 设夕=夕(工)由方程J* +夕2 = earc.anf确定，求豊.(5)设 fCz)=j?sin , 工工 0 ,工0, 攵=0.(I)当怡为何值时,/(工)在工=0处不可导；(U )当怡为何值时,_/&)在工=0处可导，但导函数不连续；(川)当怡为何值时(工)在工=o处导函数连续.(6)设于(工)在(0, +oo)内满足
31、f(巧)=于(刃+ /(JZ),且/(I) = 1,证明：/()在 (o,+oo)内可导，并求 yy/ _1_(7) 设 _/(#) = 宀H0,求 f”(o).| 0 9 2 = 0，(8) 设气体以100 cn?/s的速率注入球状气球，求当半径为10 cm时，气球半径增加的速 9李林考研数学系列精讲精练880题(数学三试题分册)率(设气体压力不变)(9) 一动点P在曲线9, = 4/上运动，已知点P横坐标变化速率为30 cm/s,当点P P经 过(3,4)时，从原点到点P P的距离S变化率为多少？(设坐标轴的单位长为1 cm)(10) 设/(工)二阶可导,f(0) = 0,/(0) = 1
32、,/(0) = 2,求lim 心x-0 X X(11) 证明JQ) = ”+专 满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的W(1 X X 9 的值.(12) 设f(x)f(x)在q,刃上连续，在(a,b)内可导,0 a 6,且/(a) = /(6) = 0,证明： (I)至少存在一点 EC(a,b),使得 2*W)+H(g)=0;(U)至少存在一点 C Ca,b),Ca,b),使得2/5)”(帀=0.(13) 设fgfg 在a上连续，在(a,6)内可导,0ab,0a+8明：至少存在一点wc(o, + oq),使得/(e) = o.(15) 设/(jf)在0, +oo)上连续，在(0, +oo)内可导
33、，且0 /(工) 1 -迈,证明:至丄十2少存在一点WC (0,+oo),使得尸() = (:#尹(16) 设*工)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且产(工)0,/(0) = 0,证明：对任意 m 6 0,1,有/(m)冬2于(乎).(17) 设/)在0,1上可导,/(0) =0 J(l) = 1,且于(工)不恒等于工,证明：存在一点 ee(0,1),使得/i.(18) 设*工)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且/(1)-/(0) = 证明：存在不同的 两点 g和乃 c(o,i),使得 Z(e)+ /()= 1.(19) 设于(2)在0,1上连续，在(0,1)内可导，已知在(0,1)内
34、，对任意劝 氐，有 于(小严)豪心)才/(工2)，证明:在(o,i)内存在& &,使得/(&)$/(&).(20) 设/(工)在0,1上二阶可导，| /() 在(0,1)内取得最小值，证明：I X(0) 1 + 1 /(I) | 1.(21) 设/Xz)在a,刃上连续，在(a,b)内可导,/(a) = /(&) 且/(J：)在a,刃上不恒为常数证明：存在相异的 (a)，使得/() /(7)0.(22) 设心)在0,1上二阶可导，且/(0) = /(I) = 2匚_/(工)吐,证明：J 2 2(I)至少存在一点ww(0,1),使得/e)= o；(D)M va e R,至少存在一点7e(0,1),
35、使得严(Q 疔5)= o.(23) 设/(J；)在a, 6上连续，在(a,b)内可导，OVab,证明：存在,可W (a,b),使得 2/()= (b (b + + a) f (q).a) f (q).(24) 设a,b为正数，证明：至少存在一点WW (a,b),使得疋二兰=誉(1一$).a a 一 b b(25) 证明下列不等式：(I)当0 工 ；Z 7T(U)当 eabeaba；ab ba；( (HIHI) )当 z 0 时，有(分l)ln x (xl)ln x (x I)2 ；10第二章一元函数微分学及其应用-(IV)若lim= 1,且严(工) 0,有 fCx) fCx) $ $ x.x.
36、zf 0 3C 3C(26) 求函数夕=(工一1)吕皿心的单调区间与极值，并求其渐近线.I t2x T 0(27) 设*工)= J求于(工)的单调区间与极值. 3C 3C I Ci Ci 9 9 JC JC U 9(28) 求曲线=皿十皿(2 + )的全部渐近线.(29) 证明：方程2工一/ _ 1 = o有且仅有三个不同实根.(30) 证明：方程In鼻=f cos 2z(lz在(0, + oo)内有且仅有两个不同实根.e J o(31) 讨论曲线y y = = 41n x + kx + k与=4工+ In4j?交点的个数. 综合题 - -一、选择题(1) 设/(工)在(1 5,1 +5)(5
37、 0)内存在导数J)严格单调减少，且/(I)=/=1,则( ).A. 在(1一&,1)和(1,1+5)内，均有 fS rfS 工C. 在(1 d,l)内，/Xz) V_z；在(1,1 + 5)内，/(2) 工D. 在(1 5,1)内,fS,fS 工；在(1,1 十&)内，/(工)工(2) 设 /(jc)在0, + oo)上二阶可导,/(0) = 0,严(刃 0,当 0 a C a C 工 xf(a)xf(a) B. bfbf (z) jcf (b)jcf (b)C. xfxf (a:)bf(b)bf(b) D. af (a)af (a)(3) 设fgfg 在匕，刃上可导JQ)在jc = a a
38、处取得最小值，在工= =b b处取得最大值，则 ( )A.岸(a) 0 且 fL(b) QfL(b) 0 且 fL(b)fL(b) 0(4) 设/(工)在0,1上有二阶导数，且f(0) = f f，fSfS 工0,则下列选项正确的 是( )A.至少存在一点(0,1),使得/(g) =0B 在(0,1)内，/(工)工0c.存在唯一一点 w w(o,i),使得 y(w)= oD. 至少存在不同两点&，& E(0,1)，使得/(&)=尸(&) = 0(5) 设/(鼻)在z = 0的某邻域内有定义，则F(_r) = y(z) | sin x x |在z = 0处可导的充要条件是( ).A. lirn/
39、O)存在x-*0B. Iim/(j7)= /(0)x-*0C. /(J7)在H = 0处可导D. lim/(jc)与 lim/(j;)均存在 9且 lim/(x) = lim/(j;)x0 x-*-0 x-0 工-()+(6) 设y = /(:)在m的某邻域内有四阶连续导数，且f f 5)= 5)= fQQfQQ =严(工()=0,且 /5)+8D. 若 lim f Of O =+ oo,贝必有 lim fOfO =+ oox I 00 H a +oo（9） 设b0,b0,方程nx- + k =nx- + k = 0在（0, +oo）内不同实根的个数为（ ）.eA. 0 B. 1 C. 2 D
40、. 3（10） 设当工HO时，方程= 1有且只有一个实根，则（ ）.X XA. |怡| 壬箱 B |怡| V壬罷C. k C. k = = D. k k = =（11） 设 _/&）在0, +oo）上二阶可导,/（0） = 0,/（0） 0,则方程fCx） fCx） = = 0在（0, +oo）内不同实根的个数为（ ）.A. 3 B. 2 C. 1 D. 0（12） 设可导函数/&）“ 0,1满足/（）M0,且/（寺）$0,则在区间（ ）上，有于（工）2 *M站二、填空题设函数= tan（于工）一tan（于工牛一 2卜tan（于严）一IO。,贝厅=（2） 设/（工）=3工2 +虹f ,若对任意
41、工W （0, + *）,都有f（x） Af（x） A 20,则k k至少为_（3） 函数y =尹（1+工+菁+ +君）5为正奇数）的极大值为_（4） 已知 2）在（-OO, +oo）内可导，且lim/z （J；） = e, lim = lim/（j?） fxfx 1）,8 X-*-OO JC R JC R / / gf 8贝! k =_.k =_.（5） 设夕=fCx）fCx）在（00,00）上连续，且其导函数fG）fG）的图形如图2-2所示，其中鼻=0和工=忑是/（）的铅直渐近线，则夕=fSfS 极值点的个数为_，拐点的个数为_.12第二章一元函数微分学及其应用/ B(6)设/(工)在x x
42、 = = x0 x0处可导，且H 0,则(7)设夕=/()在s处有三阶连续导数,f ,f 5)5)= 1, f f 5)=5)= 2,严(工o) = 3,y 3,y = = /Cjc)有反函数 z = g(y)，且 yo yo = ，= ，则 g(w)=_.三、解答题设心)=丫：7十+ 6 ”尊问讥,。为何值时，心)在工=0处一阶导I ln(l 十 h)， 工Ch数连续，但二阶导数不存在？(2) 设z =于申(工)+b,其中攵,夕满足夕+卩=x,f,(px,f,(p均具有二阶导数,求%,葺.(3) 已知 g 是周期为5的连续函数,/(x)在z=l的某邻域内满足/(1 + sin jc) 3/(
43、 1 一 sin jc) = 8x8x + a(j:),其中aQ)是当工-0时比工高阶的无穷小，且/(工)在工=1处可导，求曲线=y(_z)在 点(6,f(6)处的切线方程.(4)设/&)=0, o* = 0.(I )当/为何值时,/(x)在JC JC = = Q Q处连续；(n)当p为何值时,_f(z)在z = o处可导；(川)当P为何值时(工)在工=0处连续.(5) 设 /(J；)在0,1上二阶可导，且 lim /孑)=lim = 1,证明：”o+ 工 Li- 2 1(I )至少存在一点WG (0,1),使得_/() = 0 ；(U)至少存在一点(0,1),使得/(7)= f(7).(6)
44、 设yO)与g(z)在a,刃上连续，在(a,b)(a,b)内可导，且/(a) = = g(b)g(b) = 0,证明：至少 存在一点 W (a,b)，使得 _/(可尹(/)曲 + g(F)J = 0.(7) 在乂 = 0的右邻域内，用多项式 + ax+bxz + ax+bxz近似表示函数 g = (1+工)2,使其 误差是比分高阶的无穷小(工0+),求a,b的值.(8) 设g 在a,刃上可导，证明:(I )若 A(a)/L(6) 0.证 明：在(a,b)内存在两点E E与？/,使得/() = 0 , f Orf)f Orf) = 0.(10) 设 2)在：0,+oo)上有二阶导数,/(0) =
45、 0,幷(0) 0(工 0). 证明：/(工)=0在(0, + co)内有唯一实根.(11) 设/&)在0,1上连续，在(0,1)内可导，/Q)工0,且lim *+1)存在，证明:L0- 工(I)存在 WG (0,1),使得-=飞 、；e fCOdtfCOdtJ 0(n)存在 77 6(0,1),使得 e/(r)d? = (e- l)ef(e- 1)/().(12) 设于Q)在0,1上具有二阶导数，且丨f() |a, | |6,其中a,b都是非 13李林考研数学系列精讲精练880题(数学三试题分册)负常数,c是(0,1)内任一点.(I )写出f(x)在x x = = c c处带拉格朗日余项的一
46、阶泰勒公式;(U)证明:I r(c)| 0)，则 2)=子;丿。1十 Joi十/ 乙(II)当X X$ 1 时 9 arctan x x 一larccos2工1+jc2兀(14)设函数/Xz)有二阶连续导数，且(攵一 1)#(工)=1 e1_x + 2(工一l)y(z),证明:当x x = Xq是/(jc)的极值点时，_/(工)在Zo处取得极小值.(15) 设/Q)=处(1工)”5为正整数)，求/(工)在0,1上的最 大值 M(n)及limM(7?).n-*oo(16) 设曲线y = *的一条切线与工轴和夕轴围成一个平面图形x xD,如图2-3所示.(I )记切点的横坐标为a,求切线方程和图形
47、D D的面积；(n)当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？(17)设 /(j：) = arctan z,求 /(H)(0).(18)设/(工)= 0)与曲线_y = y(H)sin x x在交点处 相切.(20) 确定k k的取值，使方程工彳+2分+工=怡有3个不同实根.(21) 设/(z)有二阶连续导数，/(0)= /?(0) = 0, (0) 0,u0,u = “(工)是曲线 y y = = /(J?)在点(z,/(z)处的切线在z轴上的截距，求lim十、.x0 U(Z)(22)设/(工)在如的某邻域内有定义，证明在工。处可导的充要条件是存在在 工=工0处连续的函数g(g)，使得
48、/(-r) /(如)=(鼻一_Zo)g(H).拓展题g解答题(1) 已知函数fCx)fCx)在0, + oo)上有二阶连续导数，/(0) = /(0) = 0,且攵6 0, + oo),有f f (工)0,设F(z)是曲线夕=/(工)上任一点(X,/(J7)处的切线在Z轴的截 距(工 0),求 limF(_z) +F(_z).(2) 设 在a,刃上有二阶连续导数，且 /(a) = /(6) = 0,M = max | |.(T )证明：max | /(j?) | a)2 ；aWjcWb O(U)证明:max | ”(z) | -M(b-M(b a).14第三章一元函数积分学及其应用第三章一元函
49、数积分学及其应用8基础题3一、选择题设fC）fC）是连续函数，且/（） H 0,若|好（2）山=arcsin 攵 + C,则dz).A.+（1；）寻 +C B. （1云）寻 +CO 0C. +（1 工2） ）号 +c D. |（1 工2） ）寻 +C（2） 设 g 是连续函数，FQ）是y（_z）的原函数，则（A. 当 g 为奇函数时，FQ）必为偶函数B. 当 g 为偶函数时，FQ）必为奇函数C. 当f（x）为周期函数时,FQ）必为周期函数D. 当f（x）f（x）为单调函数时，FQ）必为单调函数（3） 设FQ）是sin工2的一个原函数，则dFQ2）=（A. sin jc4 djr B. sin
50、j?2 d（jr2 ） C 2jcsin0 W H V 7T，7t W H W 2兀9A. = 71是FQ）的跳跃间断点 Bh =兀是FQ）的可去间断点C. FQ）FQ）在工=TT处连续但不可导D. F（JC）F（JC）在H =兀处可导（5）设 /（工）在0,1上连续 JQ） 0,/（） 0,厂（工）0,记 M =33).).D. 2_zsin dxdx(4)设/&)=sin x,x,2,F(_z) = J 则( )./( x) d jc ,0N = /(1),P = /(O)+/(l),!iIlJ( ).k.MN P C.PMo sm x x axax2B. N M P D. P N Mdr
