1、? 2023李林考研数学系列精诽霜练880嘔（数学二试题分册）蕴含6套卷和4套卷的解题思想编著李林不靠押题靠实力 考研数学就选李林!-“_880题是一套凝结我大量心血利功力的习题集， 不偏不怪，会让你有一种考研题就会这么考的感觉。”7回回扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社带你穿45个考魯呆度透析考情揭秘有的放矢Z0S李林 1),则当工充分大时,( ).A. *工) gQ) 人(工) B. g(z) h() gC.h(x) gQ) /&) D. g(_z) g) 8A.若lim(a” + b”)不存在，则lim(a” 6)必不存在n* 8 n-*-ooBy(H)+ gQ)是无穷大D
2、保加是无穷小B无穷小D.无界但非无穷大).C. 8D.若lim(a” +6”)存在，则lim(a” 一 b”)必存在n-* oo(10)函数/Cz)A.可去间断点二、填空题占+機在。处为()B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点!则 /=_丨 h I 1,(2)当时,(1 +处？)寺一1与cos j: 1是等价无穷小，则a(1)设念)=1,0,(3)设函数/&)= 0,知lim#(启一 a缶)存在，则P的取值范围为x-*4-oo(5) lim 十 丈丄(sin 工 +cos h) = .x-+oo e十 x-x _ _22cos x(6) lim e- z ex 一 1(7) 设 /(j；
3、) a-bx ex2 -dx3 tan z,当 HfO 时，/(攵)是比 高阶的无穷小，则a b c d = _.三、解答题(1)设* 刃是定义在(a,G内的函数，证明/(工)可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之和.(2) 设函数/&)满足”(工)+好(g)=十，其中a,b,c均为常数，且 a b ,求 2)的表达式，并证明_/(刃是奇函数.(3) 设函数_/&)在区间(一a,a)内有定义，其中a0,且对任意劝，恐6 (一 a,a),有 I fM f(x2) | 0 X(N ) lim(1 + MHf 0 JC(VI ) limcot x01sin x jcX0(W)x-* 0(W) limx
4、sin o+12第一章 函数、极限、连续(6)求下列极限：(I ) lim (飞二1-工了 +飞-工Z H-込工丄oo n r n + 1 允十x十/ n 十九十/?(U ) lim1十2 -“ - Jl + 2 -(7? 1)“fOO L(in)UmL8 14段一1 ；(N) lim8i + T + l +，+ 7(7) 求心 =(1+工)“于)在(0,2k)内的间断点，并指出其类型.才卄2 _ -n(8) 讨论函数 g = lim 2 ”丄 二 的连续性.noo JC 十 H(9) 设/(J7)在a,刃上连续，且a 0) ,2卄1 = Ja +力”，证明：limz”存在，并求其值.”f 8
5、(11) 设 4 = a $ 0,力=b $ 0,a oo9综合题*一一、选择题丄-1 lim- -i- - = a H 0成立的充要条件是( )i(】 + 2) -(1 + 2)A. 1 Bbl C0 D.与 b 无关2arctan x In ； + (2) 已知lim- - = c 工 0,贝( ).HfO XPA 4A. p = 3，c = B. p = 3 =4 4C. p = ,c = 3 D. p = ,c = 3(3) 设当元-0时，_ _ flCOS Xa(z) = tan x sin sc,卩(a) = + j? J 攵?，了(攵) = I sin tt都是无穷小,将它们关于
6、工的阶数从低到高排列，正确的顺序为( ).A. a(z) ,0(工),丫(夂) B. a(z) ,y(z) ,0(z)C. y() ,a(z) ,0Q) D. (3(工),a(z) ,/(jc)(4) 设 y = y(z)是方程 yf +2y + y = e3x 的解，且满足 y(0) =j/(0) = 0,则当 0时，与夕(刃为等价无穷小的是( ).3李林考研数学系列精讲精练880题（数学二试题分册）A. sin x2B. sin xC. ln(l +/) D. In + 分设F（h）=工J（0）,则（ ）a H。其中在鼻=0处可导，且/（O）工0,/（0） = 0,工=0 9A.攵=0是F
7、Q）的连续点C.x = 0是FQ）的第二类间断点B工=0是FQ）的第一类间断点D.以上说法均错误(无 + 1) arctan 5-?(6)设于(工)= 1,则存在M 1,当充分大时，有a” Mn-* ooB. 设 a = lima” limb” = 6,则当 n 充分大时，有 an a 丄n-*-o 71（8） 设&”与%为两个数列，则下列说法正确的是（ ）.A. 若&”与%无界，则&”+%无界B. 若&”与%无界，则&”无界C. 若&”与%中，一个有界，一个无界，则&*”无界D. 若&”与%均为无穷大，则一定为无穷大（9） 下列极限存在的是（ ）.A. lim J B. lim (1 + 竺
8、秤x-*l _|_ +8 X /XC limzz + ( 1)(九+ 1) D. lim(点_ + 寻 + * + 一7)”f 8 -oo 1 Z Tl /(10)设 2)在(-00,4-00)内为连续的奇函数,a为常数，则必为偶函数的是( ).A. f duf B. f du ftydt C. f duf DdufJO J a J a JO JO J a J a J 0（11） 设 fa、= lim 半扌 ， ，贝 9 F（h） = 在工=0处（ ）.+oo 1 十 Z J -1A.可导 B间断点 C.不可导但连续 D.无法判定f （.z3 - l）sin x z 工 0（12） 设 *_z
9、）=屮工丨（1+y）， 工 0 （_OO, +oo）,则（ ）.A. /（J7）在（-00,4- OO）内有界B存在X0,当丨工| X时JQ）无界C. 存在X0,当丨工IVX时，*_z）无界，当丨工| X时，/&）有界D. 对任意X0,当丨鼻IWX时，_/（工）有界，但在（-OO, +oo）内无界4第一章 函数、极限、连续二、填空题(1) 当攵0 时,= 3z 4sin x + sin rrcos x 是关于 x 的_阶无穷小.(2) 极限lim 警.虫- ej)sin * = _.(4) 证明 Jim 冷a； + a? + + a； = maxai ,a2 9 ak (at 0 = 1,2
10、, M).”fOO(5) (1 )设劝=1 ,jc2 = 2,z卄2 =寺(3鼻卄1 2”)(九=1,2,)，求limz”.(U)设 m l,x2 = 2,攵卄 2 = (z” + z卄 i),求 limz”.Z 九-8(6) 设 f (j;) = 1 (1 cos xY (n = 1,2,).(I)证明：方程几Cz)=寺在(0,于)内有且仅有一个实根九；(U)设工” ( 倚)，满足 /n(n)= y,证明：arccos 丄 V 攵” V 手，且 limz” =乎. 乙) Z n Z “一 8 Z(7) (1 )证明：方程攵=1 + 21n z在(e, + oo)内有唯一实根(U)取攵0 W
11、(e,)，令攵” =1 + 21n 九_1( = 1,2,)，证明：limz” =牙 +1 - /TW(3) 设/&)是连续函数,叽心 =_1,当工-0时,517(0是关于工的“阶X-*O 1 cos X J 0无穷小9则卅=_(4) 设 a” = I +1 Jl + 才dr,则limrn = _Z J 0 n-oo(5)设怡 H *,贝！limlnn-* oon 2nk + 1 T n(l - 2) J(6)设 0 V oo(7) 设Iim( pl g4 5 6 7 ax2 6)=0,则 a = ,b = .If 82_(8) 设limp幻+普宁費= b,其中幻表示不超过工的最大整数，则a
12、=0 I ln(l + i )丿_h = _.(9)已知连续函数y = g关于点(a,0)(。工0)对称，则对常数c,I =f(a x)dj： = _.三、解答题(1) 设数列a”满足lim色也=q,且| Q | 0(3 + 2tan tY - SQdt(11)设 0 V 卄i = sin xn.(I) 证明：limg存在，并求值；n-*-oo丄(II) 求lim(鱼屮.(12) 设击 V 山(1+ ) 0,数列&”满足力卄1 = ln(ex 1) In夂”，证明:limrr存在，并求值.n-*oo(14) 求下列极限：(I)当 | 工丨 V 1 时，求lim(l +工)(1 +j?)(1 +
13、j?)；8(U)当I攵丨H o时，求limcos f-cos手cos总;8 Z 4 Z(HI) lim(1 /sin 攵)(1 Rsin z)(1 psin z) (1 sin 工)-4(15)求下列极限:(I )设lim 叩 I*，= *(a 0,。H 1)，求lim 华；(U)设fS 是三次多项式，且有lim丿今-=lim丿竺-=l(a H 0),求lim丿刍-x-2a JC LjCI x-*4a JC 4Q x-3a JC oCl(16) 设 /(j;)在(a,b)内连续，且 lim/(a：) =oo, lim/(x) = *,证明：/(x)在(a,b)x-a x-b内有最大值.(17)
14、 设心=|-,z卄i =云+ z”S = 1,2,)，求极限+ + 工2 + 工” + 1(18)设 a”sin xndx,bsinXdr (“ = 1,2,)，证明：(I )0 b” W a” ；(JI)lima” = limb” = 0.6第一章 函数、极限、连续*拓展题3-解答题(1) 设 _/(攵)在 _a,b ,可导，且 | f (工)| 1,当攵 _a,b时，有 a/(x) oo(2) ( I )设* 刃是E0,+oo)上单调减少且非负的连续函数.证明：fH-1f(k + 1) J /(jc)dj; f(k) (k = 1， ，2， ，)；1 + 丄-F (U )证明：ln(l +
15、 n)l + 4 + - + -oo 111 717李林考研数学系列精讲精练880题(数学二试题分册)第二章一元函数微分学及其应用9基础题3一、选择题1 cos X(1 )设(攵)=V 屉、? 爭(広)，A.可导C.极限存在，但不连续T 0 ,其中卩Q)是有界函数，则/&)在工=0处( 工W o,B连续，但不可导D.极限不存在).(2) 设fg 存在,a,b为任意实数，则lim水工+ 心、厂力(壬二上注 =( ).z-* 0A. (a + 6)/，(j7) B. (a b)/) C. D. bfx)(3) 设 =，五-，则 /(：)在 z = 0 处( ).yr+T+iA.连续且可导 B.右连
16、续但右导数不存在C.右连续且右导数存在 D.右极限存在且右导数存在(4) 于(2)= (a:2 +3z + 2) | x3 x |不可导点的个数为( ).A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(5) 下列函数中，在工=0处不可导的是( ).A. /(a:) = | x | sin | x | B. fix) = | 攵 | sin / z |C. = cos | x | D. /(j:) = cos y/ x 1(6)设/(j;)可导且f (g)=寺，则当#-*()时在心处的微分dy是z的( ) 无穷小.A.等价 B同阶 C.低阶 D.高阶(7) 设 f(-x) =一 g ,且在(0,+oo)
17、内，/(#) 0，F&)0,则/(工)在(-oo,0)内必有( ).A.尸(工) 0,尸(工)0 B. /() 0C. (工) 0,尸(工)V 0 D. (工) 0,#(乂) 0(8) 设fS在攵=0的某邻域内连续,/(0) = 0,lim 了3 = 2,则/(je)在攵=0Hf 0 1 COS JC处( )A.不可导 B.可导且/(0)工0C.有极小值 D.有极大值(9)夕=(工一1)2&_3)2的拐点个数为( ).8第二章一元函数微分学及其应用A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(10) 设/(To) = f5)= 0,厂(攵0) 0,则下列选项正确的是( ).A. 是 g 的极值点 B
18、 /(氏)是fS 的极大值C. /(x0)是fS 的极小值 D.(J7O ,/(j：o)是y =于(工)的拐点(11) 设 /(-r)有一阶连续导数，F(z) = /(a：)(l +| sin x )，则 /(0) = 0 是 F(z)在工=0处可导的( ).A.必要非充分条件C.充分必要条件(12) 设g 有任意阶导数，且A，!严i(h) B”+iQ)(13) 设夕=ln(l 2a:),则 j/(10)=(A 9! B 9! (1一2工)i (1一2工)1B. 充分非必要条件D.既非充分又非必要条件= ),则严 Q) = ( )(n3).C. 严Q) 。.”!严&).r -9! 210 n
19、10! 2(1一2刃1 (1-2t)10(14) 设SO,f(x)在(一5,&)内有定义，当鼻 (5,5)时，有丨_/&) |分，则工=o是于(工)的( ).A.间断点 B连续但不可导点C.可导点且/(0) = 0 D.可导点且/(0)工0(15) 设于(刃连续，且/(o) 0,则存在&0,使得( ).A.对任意x G(攵0 5,攵0),有/攵) /(0)B 对任意 z 6 (及)，工o +&),有 f(x0)C. /(x)在Qo 5,如)内单调减少D. fCx)在(氐，工。+ d)内单调增加(16) 已知y = r3 cue2 + bxc在h=2处取得极值，且与直线y = 3je + 3相切
20、于点(1,0),则( ).A. a = 1,6 =8,c = 6 Ba=1 ,b 8,c =6C. a 1 ,b = 8 ,c = 6 D. a= l,b = 8,c= 6(17) 设 fs = 二；!)&+型,则 y()( ).A.在z = 1 ,x = 3处取得极大值，在x = 1处取得极小值B在鼻=1处取得极大值，在工=1 ,攵=3处取得极小值C. 在z = 1,“ = 1 ,x = 3处都取得极小值D. 在z = 1 ,x = 3 ,攵=1处都取得极大值(18) 曲线夕=丄十2渐近线的条数为( ).1 e xA. 0B. 1C. 2D. 3(19)曲线y =丄e， arctan(,-D
21、(2)的渐近线条数为().A. 1B. 2C. 3D.4(20)曲线y =y/x2 a2的渐近线的条数为().A. 0B. 1C. 2D. 39李林考研数学系列精讲精练880题(数学二试题分册)二、填空题arctan , h0，(1 x 在工=0 处可导，则 a = _,b = _.ax + 6? 力 0(2)设/(工)在z = 0处可导，且/(0)=0)=0,则沁(老寻(3) 设 y = /(x)由方程 = J】 sir?(乎)曲确定，贝！Jlim”1= _.(4) 设函数/&)有连续导数，且limf +血=2,则yCz)的一阶麦克劳林展开x-*o L工 工 式为_.(5) 设函数y(_z)
22、在(-oo,+oo)内连续，尸Q)的图形如图2-1所示，则曲线夕=于(工)的拐点个数为_(6) 设/(0)存在,/(0) = 0,且limri + 1 C?S f(JC)T = e,x-* o L sin jc 则/(O) = _(7) 当HfO时,g sin jtcos x与axb为等价无穷小，则a = _,b = _.(8) 当z f 0时，e + ln( 1 工)一1与z是同阶无穷小，则=(9) 曲线y = e7的上凸区间是_.(10) 曲线夕=(2工一1)珪的斜渐近线方程为_.(11) 设 /(j:) = n2e (1 + nr 在 z = xn 处有水平切线，则 lime% = _.
23、” f OO(12) 设连续函数y = /()在点(190)处满足丿=$ + o(Ax),则极限 x-* o jc2 ln( 1 + j;3 )(13) 设于(工)=兀(2尢一1) (3工一2)(IOOe 99) 9则 /(0) =_ 0)在t =晋处的曲率为_.(19) 曲线y = 2(j: I)2的最小曲率半径为_.三、解答题(1)计算下列函数的导数：10第二章一元函数微分学及其应用 (I )了 = -丁厂 1 ; ( U )夕=力。+ a，+ a (a 0)；X (HI)3 = 2|smx| ； (IV) = In | tan jc + sec x | (2) 求下列函数的导数：(I)，
24、= (1+；)心； (U)，= In -.1 -工+ /? + 1(3) 求下列函数的微分：(I) 夕=卩(arctan g),其中卩可导，求dj/；(U)设夕=)(工)由 e* j/sin z = 0 确定，求 dy ；(皿)设y = jy()由 确定，求巧. = 5产 + 1(4) 设；y = y(jc)由方程丿分+b = earc,an -确定，求豊.(5) 设y = y(z)由参数方程1 n确定，求字，鼎. = 1 cos / dz cLr(6) 求心形线r = 1 cos(9在对应于0 = y处的切线方程.xk sin , :r 工 0,设 /(a：) = v x、0, 工=0.(I
25、 )当怡为何值时,/(工)在工=0处不可导；(U )当e为何值时,/(Q在工=0处可导，但导函数不连续；(in)当怡为何值时,_/(z)在攵=o处导函数连续.(8) 设/&)在(0,+oo)内满足心)=/&)+/(，)，且/(I) = 1,证明：/()在 (0,+oo)内可导，并求 g.(9) 设 =卜八H0,求严)(0).0, 攵=0,(10) 设气体以100立方厘米/秒的速率注入球状气球，求当半径为10厘米时，气球半径 增加的速率.(设气体压力不变)(II) 一动点P在曲线9夕=4/上运动，已知点P横坐标变化速率为30 cm/s,当点P经 过(3,4)时，从原点到点P的距离S变化率为多少？
26、(设坐标轴的单位长为1 cm)(12) 设 /Xz)二阶可导,/(0) = 0,/z(0) = 1, f (0) = 2,求lim 处玛 .X0 X仃 +工2 0VgV(13) 证明：_/)= 2 、满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的的值.1X2, 1 0(14) 设 /(J?)在_a,b _h连续，在(a,b)内可导,0 a 6,且/Xa) = f(b) =0,证明：(I)至少存在一点 W (a ,b),使得 2/() + 好()= 0 ；(H)至少存在一点r)C (a,b),使得2/5)尸5)= 0.(15) 设在a,b上连续，在(a,b)内可导,Gab,且/Xa) =0,证明：至少存在
27、11李林考研数学系列精讲精练880题(数学二试题分册)一点 (a,b),使得好() + (_/() = 0.(16) 设/(攵)在0,4-oo)上连续，在(0,4-oo)内可导，且/(0) = 0, lim = 0,证明： 至少存在一点FW (O, +oo),使得= 0.(17) 设*刃在0,+s)上连续，在(0,+oo)内可导，且0 WfQ) W匸+，证明：至 少存在一点W (0, 4-00),使得f =(；+f)2(18) 设*刃在0,1上连续，在(0,1)内可导，且/(a：) 1.(20) 设心)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且/(1)-/(0)=寺，证明：存在不同的 两点 F和可
28、 (0,1),使得 /($)+/(7) = 1.(21) 设_/&)在0,1上二阶可导，| /(x) |l,/(x)在(0,1)内取得最小值，证明:I /(0) 1+1 /(I) I.(22) 设/(工)在a,刃上连续，在(a,b)内可导,/(a) =/(6),且伦)在a,刃上不恒为 常数证明：存在相异的E，qC(a,b),使得/(7)0.(23) 设心 在0,1上二阶可导，且/(0) = /(I) = 2匚/U)dx,证明:J T(I)至少存在一点(o,i),使得/z(e)= 0；(U)对/入w R,至少存在一点 w(0,1),使得尸5)”5)= o.(24) 设/(J；)在a,b上连续，在
29、(a ,6)内可导,0 a ；/ 7T(U)当 ea ba ；(DI )当工0 时，有(工? l)ln x (zI)?；(IV)若lim 1,且严(z) 0,有 f(g) N x.X0 X(27) 求函数=(工一1)養+“一的单调区间与极值，并求其渐近线.& 2工 工 0( (28) ) 设ya)= 求/(工)的单调区间与极值.d + 2 9工冬0,x = tin 19(29) 设函数y = y(.x由参数方程 1 D确定，求y = y(z)的单调区间、y = In t凹凸区间、极值和拐点.12第二章一元函数微分学及其应用沪(30) 求曲线夕=/LUn(2 + 2)的全部渐近线.(31) 对数
30、曲线y = In z上哪一点的曲率半径最小?求出该点的曲率半径.(32) 证明：方程2乂一云1 = 0有且仅有三个不同实根.(33) 证明：方程lnz =王一丿1 cos 2工dr在(0,+*)内有且仅有两个不同实根.e J o(34) 讨论曲线y = 41n jck与y = 4z + In交点的个数.f ：”综合题心：一一-一、选择题(1)设/Q)在(1 5,1 + 5)(5 0)内存在导数严格单调减少，且/(I)= /(I) =1,则( ).A.在(1-,1)和(1,1+5)内，均有 工C.在(15,1)内,/(z) V 2；在(1,1+5)内 Xd.在(1一5,1)内，y(j：)g；在(
31、1,1 + 5)内,工设 /()在0, + oo)上二阶可导,/(0) = 0 0,当 0az jcf(a) B. bf(x) jcf (b)C. xf (jc)6/(6) D. af(a)(3) 设/Xz)在a,刃上可导，/(z)在x = a处取得最小值，在h = b处取得最大值，贝V ( ).A.屛(a) 0且 Q) 0且 #(b) 0(4) 设/&)在0,1上有二阶导数，且/(0) = f,F(jc) # 0,则下列选项正确的 是( ).A.至少存在一点(0,1),使得于() =0B 在(0,1)内，yQ)工0C. 存在唯点EC (0,1),使得/(e) = 0D. 至少存在不同两点&，
32、& 6(0,1),使得 m = _/(&)= 0(5) 设/(J：)在攵=0的某邻域内有定义，则F(_z) = /(j?) | sin x |在h = 0处可导的充要条件是( )A. Iim/(J7)存在x-0B. lim/(a;) = /(0)x-* 0C. 在z = 0处可导D Iim/(J7)与 lim/(j?)均存在，且 lim/(j：) = lim/Xrr)x-* 0 x-* 0 x-0 x-* -0(6) 设夕=/(工)在Zo的某邻域内有四阶连续导数，且/(To) = /(如)=f 5)= 0,且于(氐)OOB. 若 lim f G) = 00，则必有 lim /(j?) = oo
33、x*OO X*OOC. 若 lim =+ ,则必有 lim f(工)=+ ooJC 十00 X * 4D. 若 lim f (h) =+ 8 ,则必有 lim fO =+ oo+8 x-HOO(9) 设k0,方程nx- + k = 0在(0, +oo)内不同实根的个数为( ).eA. 0 B. 1 C. 2 D. 3(10) 设当2工0时，方程kx + = 1有且只有一个实根，贝|( ).xA. | 怡 | 彳 a/3 B | % | V 壬 /3 C. k = -聽 D. k =品(11)设 fS 在0, +oo)上二阶可导,/(0) = 0,/(0) 0,则方程 /Q) = 0在(0, +
34、oo)内不同实根的个数为( ).A. 3 B. 2 C. 1 D. 0(12)设可导函数心)，工W 0,1满足/(a：)M0,且/(专)3 0,则在区间( )上，有 /() jM.站A.C.(13)设函数(工),/2 Q)有二阶连续导数，且彳Q) 0,彳(工) 0,若曲线夕=右(工) 与夕=ZzQ)在点(如，)处有公切线夕=g(z)，且在该点处曲线夕=/i (攵)的曲率半径小 于y = )的曲率半径，贝!J在点go的某邻域内有( ).A. g(z)三 f2 (z) $ fi (工) C. fi (z) 2 f2 (z) M gQ)B. g(_Z)$ /i (g) A fi (z) D. fi
35、(z) gQ) A f2 (z)二、填空题(1)设函数 fS = tan(于z)ltan(于22)_2.811(于严)一100,则 /(1)=(2)设/(z) = 3分+虹t,若对任意工e (0, + *),都有f(x)彳20,则至少 为_(3)函数夕=(1+z + fy -+令为正奇数)的极大值为 14第二章一元函数微分学及其应用(4)已知f(x)在(一a, +s)内可导，且limy(z) = e, lim 辛) = 1),则& =_.(5)设y = 在(oo,oo)内连续，且其导函数/(工) 的图形如图2-2所示，其中z = 0和工=比是/&)的铅直 渐近线，则夕=g 极值点的个数为_，拐
36、点的个数为在X = 处可导，且fCx0)丰0,则(6)设 2)-/(0)-limx-*oo(7)设夕=/(a：)在工0处有三阶连续导数，f 5)= 1 ,_/(氐)=2,严(氏)=3,j/ =/()有反函数工=g(y)，且夕o = /(氐)，则g(夕o)= _Z = ” + 1, y = 4：t t2(8)设函数y =g由参数方程(t 0)确定,贝!极限lim/?r“f OO L 71三、解答题(ax2 + 6sin 工 + 分三。，、 ，亠， , (1) 设7(工) 冋a,b,c为何值时，才(攵)在h = 0处一阶导ln(l + 2), 攵 0 ,数连续，但二阶导数不存在？(2) 设z =
37、-Vy2,其中久,夕满足y + e3 = x,f,cp均具有二阶导数，求寻，舒.(3) 已知 g 是周期为5的连续函数,fQ)在工=1的某邻域内满足/(I + sin 工)一3/(1 sin jc) = 8z + a(j?), 其中a(z)是当z -* 0时比z高阶的无穷小，且f(x)在z = 1处可导，求曲线夕=在 点(6,/(6)处的切线方程.(4) 设/工)= nz(l 2)(为正整数)，求/(工)在0,1上的最大值MS)及limM(?).n-*oo1| x | sin , 工工 0 ,(5) 设 /(x) = v x、0, 工=0.(I)当/为何值时，7(z)在工=o处连续；(H)当P
38、为何值时， ，7(攵)在鼻=0处可导； (DI)当左为何值时,/(z)在2 = 0处连续.(6) 设/()在0,1上二阶可导，且lim必卫=lim= 1,证明：”o+ z ”厂工1(I )至少存在一点(0,1),使得/(g) =0；(U)至少存在一点” c (0,1),使得严5)n(7) 设/(z)与g(H)在a，上连续，在(a,6)内可导，且/(a) = g(6) = 0,证明：至少 存在一点 6 (a),使得 _/(可尹(/)山 + g(W)J f(t)dt = 0.15* 李林考研数学系列精讲精练880题(数学二试题分册 (8) 在攵=0的右邻域内，用多项式e + ajc+te2近似表示
39、函数fQ) = (1+工)+,使其 误差是比*高阶的无穷小Q 一 0+),求a,b的值.(9) 设* 工)在也，刃上可导,证明:(I)若 y+(a)A(fe) 0.证 明：在(a,b)内存在两点E与耳，使得= 0.(11) 设 2)在0,1上连续，在(0,1)内可导，已知在(0,1)内,g 工2,有 于(_尹)豪竺2护空2,证明：在(0,1)内存在&,&,且& V&,使得/(&)$#(&).(12) 设 *工)在0,+oo)上有二阶导数,/(0) = 0,屛(0) 0Q0). 证明：g =0在(0, +OQ)内有唯一实根.(13) 设fQ)在0,1上连续，在(0,1)内可导#0,且lim产&
40、+ 1)存在,证明:(n)存在 7 e(0,1),使得 ejo/(z)di = (e-l)e(- 1)/(7).(14) 设* 云 在0,1上具有二阶导数，且| 心 IS | f(x) b,其中a,b都是非 负常数,c是(0,1)内任一点.(I )写出fQ)在X = C处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；(U)证明：丨 /(c) |0)，则* 刃=于；(II) 当 时,arctan r -arccos , =琴.2 1 x 4(16) 设函数/(j?)有二阶连续导数，且(攵一1)_/(広)=1 e1_x + 2(j; 1) f ，证明：当x = 是的极值点时,产(工)在Ho处取得极小值. 儿(求椭
41、圆j：2-xy+y2 = 3上纵坐标最大和最小的点. | ID,女口图 2-3 所亦. *(I)记切点的横坐标为a,求切线方程和图形D的面积；(D)当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 图27(19) 设 _/(工)arctan 工,求 fM (0).(20) 设 /(J；) = sin x-a2 sin 2x-a”sin nr,其中 ax ,a2 ,an 为实数，兀为正整数.(I)求 /(0)；(K)若 I /Xz) I M sin x | ,证明：| Qi + 2a? + + 必” I W 1.16第二章一元函数微分学及其应用(21) 已知/(.z)可导，证明：曲线夕=/(J；
42、) (/(j:)0)与曲线y = /(j?)sin x在交点处 相切.(22) 确定的取值，使方程分+ 2工2十攵=&有3个不同实根.(23) 设R = 是抛物线y = 4x上任一点$ 1)处的曲率半径，s = sQ)是该抛物线上介于点A(l,l)与皿之间的弧长，计算3R警一(讐的值.(24) 设 /(a：)有二阶连续导数/(0) = _/() = 0, f (0) 0, = “(2)是曲线 y = /(工)在点处的切线在x轴上的截距，求lim :、.Xo ux)(25) 设于(刃在。的某邻域内有定义，证明：/()在处可导的充要条件是存在在 X = X0 处连续的函数 g(z)，使得 f(Co
43、)=(7 工0)g (工).2卄1 k(26) 证明：方程工訐=05为正整数)有且仅有一个实根.k = Q R -拓展题 - -解答题(1) 已知函数f (工)在0, + oo)上有二阶连续导数,/(0) = /(0) = 0,且z G 0,4-oo),有fj) 0,设FQ)是曲线y = fS 上任一点处的切线在攵轴的截 距(工 0),求limFGr) +F(h).if o+(2) 设/Q)在a,刃上有二阶连续导数，且*a) = f(b) = 0,M= max | /() |.a冬工Wb(I )证明:max | /() | a)?；aMrrWb O(II )证明:max | y(z) | W
44、a).a:c 0, f (sc) V 0(j;) 0,记 M = fN = f(l),P = -|f(0)+/(!),则( ).A.MNPC. P M N(6) 设lim -学-x-* o sin x 一 ax b / + 产A.q = 1, b = Q c = 2C a = 0, b = 1，c = 2(7) 下列反常积分收敛的是(A.广 也J 1 X2 /1 + Xc. r旦J -1 sm jcB. N M PD. P N Mdt = c 9且 c 工 0 9 则( ).Bq= b = 一 2，c = 2D. a0 ln(l + x)D匸右円18第三章一元函数积分学及其应用二、填空题设FQ
45、)是*Q的一个原函数,F(于) = 0,当于0,FQ)心 = 丛竺卫,则心)=Sin J7COS 3C(2) 设对任意 z,有 fCx + 4) = /(je)，且 /z(rc) = 1 +| x | ,x 6 2,2,/(0) = 1,则/(9) = _.(3) ( I )设 /(j:) = J sin(z tYdt,则 f = _；(H)设 FQ) = ffa2-t2)dt,f(x)是连续函数，则 FQ) = _；(HI)设 F(_z) = f tf x2 在 z = 0 某邻域内可导，且 /(O) = 0,/，(0) = 1,J 0则Iim = _;x-0 X(IV)设 a(z) = f
46、 甦Udt, 0(z)=J 0 ttin tdt(V )极限lim一 =_0 JC8心(1 + /) +曲,则lim 朝 =0 HO pkx)(VI)极限lim工-*0arctand + t) dzj dzzZ (1 COS J：)1_ -A(4)函数y=严 在4,李v 1 x2 匚/上的平均值为(5)曲线y = 绕工轴旋转一周所得的旋转体,将它在工=0与工=g(g 0)之间1十部分的体积记为V(w)，且v(a) = 4- limV(e),则a = _.Li *+8(6) 曲线厂=asin3 刍(0,0& 3兀)的弧长 s = _.(7) 曲线夕=” a/cos t dz的全长s = _.(8
47、) 由曲线夕=In jc与两直线y = (e+1)z及=0所围平面图形的面积S =(9) 设D是由曲线夕=sinz + 1与直线x = 0,z =兀,夕=0所围平面图形，则D绕兀轴旋转一周所得旋转体的体积V =_.2(10) 设九为正数I 卩)=xe_4xdx,则 z?= .x-o n x) J i -(11) 设在工轴的区间0,1上有一根长度为1的细棒，若其线密度q() = 2工+1,则该细棒的质心坐标力=_.三、解答题(1)求下列积分：19李林考研数学系列精讲精练880题(数学二试题分册)(I)9 45心dx(1 一工巧(ID)(V)dzjc4 (1 + x + ln(l j?) j(W)
48、arctan jc工 2(1 +dj;；T2(2)求下列积分： dz j: (1 +无3(I)(DI)_ _dx ；/l + jc2(n)f -产兰 diJ 7ex - 1dV)-吐，J (2jc2 +1) / +分(V)arctan 好二J X /x 1(3)求下列积分： dx 2 4 9sm jccosz(I)(ID)(V)sin x -:-a j?sin x 十 cos xdjcsin + 2sin x(4)求下列积分：(I ) arctan Jjcdx ；(IDx2 ex & + 2)心(5)求下列积分：x2 In f + cos jcdx1 x /(I)T(ID ) J (z+| z
49、 | )e|x| dx(6) 求下列积分：(I )J (z l)2 /2x x2 dx；(7) 求下列积分：(I )J min2 ,j：2dx；(DI ) J | x y | | y |1)；(8) 求下列积分：(I ) f2 (jt 4- sin2:)cos2 jrdjc；J-f1 + sin x(IV)J(训0).In x (Fyd;(IV) sin(ln x)dx(VI)(D)(IV)e2x(1 + tan j?)2djc.(2 + sin jc) J 工dr4 2壬 + jc(ex + ex), -, dr.t 1 + a/1 jr2(II)J (ecosx - ecosx)djr.(
50、U)(1| t | ) 1)(V )j yi - sin xdr.(II)J z(lj?)寻dr20第三章一元函数积分学及其应用(HI) isin tdt；J 0(9)计算下列积分:叶 山1 e1 + e3_x(I)(”)丿2工一工2 + y(i-)3d-r(U)i /工一攵2丨(10)设/(X)在0,兀上有二阶连续导数， ，/(0) 2 ,/(7T)= 1,计算I =E/(x) + f (jr)sin xAx.o(11) 设于(工)在0,刃上具有二阶导数(Q0),且/&) 0，F&) 0,证明：r/ 1 、 r I 冬)(12) 设 g 在a,刃上连续且单调增加，证明/(刃吐上宇(13) 设
