1、新文直全国考研数学培训用书 o森哥考研数学O 与数理统什辅导併义适用：基础、强化题型拆解详尽编著*余丙森J/ 0难题解法多祥口碑教材:近百万考生的上岸之选http:/WWW.SI NOPEC-PRESS. COM新文直森哥考研数学概率论与数理统计 辅导讲义余丙森编著中圜5祀出駅朮图书在版编目( (CIP)数据森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义/余丙森 编著.一北京：申国石化出版社,2021.3(2021. 11重印)ISBN 978-7-5114-6191-9I.森n.余m.概率论-研究生-入学 考试-自学参考资料数理统计-研究生-入学考试-自 学参考资料IV.021中国版本图书馆CIP数据
2、核字(2021)第047296号未经本社书面授权，本书任何部分不得被复制、抄袭,或者 以任何形式或任何方式传播。版权所有，侵权必究。中国石化出版社出版发行 地址:北京市东城区安定门外大街58号 邮编：100011 电话：(010)57512500 发行部电话：(010)57512575 http ：/www. sinopec-press. com E-mail ：press sinopec. com 三河市航远印刷有限公司 全国各地新华书店经销787毫米x 1092毫米16开本15. 5印张386千字2021年3月第1版2021年11月第3次印刷 定价：4&00元概率论与数理统计是一门非常重要
3、的数学基础课 程，也是多数院校理工科学生的必修课，在考研数学 （数学一、数学三）中的占比大约为20%20%。本书依据新 考研数学大纲的考试要求编写而成，旨在为参加全国 硕士研究生招生考试（数学一、数学三）的考生提供一 本实用且精炼的辅导讲义。本书在讲稿的基础上对知识点进行了补充和丰富， 精心提炼后最终编成。全书分为基础篇和强化篇两个 部分。其中基础篇共七章，是根据新考研数学大纲要 求，在逐条分析大纲内容的基础上，选取了历年真题 中考查较多的知识点，讲解了部分基础和中等难度的 知识点及例题；强化篇共八章，这部分对本章内容进 行全面总结，以一些重点的类型为主，搭配多道例题 总结解题方法，这些例题十
4、分贴近研究生招生考试真 题，难度和综合性又略在考研难度之上，最后配有更 加适合考研的综合性题目供考生进一步巩固。由于考 研数学概率论与数理统计针对数学一和数学三的要求 不同，强化篇第七章设计有习题（一）和习题（二），其 中习题（二）仅针对数学一的考生。希望考生正确对待书中例题，当做习题一样独立 思考后完成，确实没有思路再去看答案，保证将书中 的每道题都弄明白、搞清楚，并且要按时复习这些 题目。本书末附有真题，包含了 2011201120212021年硕士研究 生招生考试数学真题中的概率论与数理统计题目及详 尽的解析，希望考生做完这1111年真题后，多分析、多 归纳、多总结，掌握各种常考题型。限
5、于本人能力，书中难免存在不足之处，欢迎广大学子、同行专家 批评指正。欢迎同学们扫码关注微信公众号和微博，我会在微信公众号不定期 发布书内重难点专题讲解视频。余丙森2021年11月回余丙森微信公众号余丙森新浪微博 2 001010012016028029033047050055062064第章術随机事件及其概率基础练习题基础练习题解答弟一早術一维随机变量及其分布基础练习题基础练习题解答068第五章倆大数定律和中心极限定理第三章倆第六章術二维随机变量及其分布072数理统计的基本概念基础练习题078基础练习题基础练习题解答079基础练习题解答第四章俪第七章倆数字特征081参数估计基础练习题085基础
6、练习题基础练习题解答085基础练习题解答第一章俩第五章術087随机事件及其概率162大数定律和中心极限定理091强化练习题092强化练习题解答163强化练习题164强化练习题解答弟一早術096 一维随机变量及其分布第六章術166数理统计的基本概念103强化练习题106强化练习题解答171强化练习题173强化练习题解答第三章俪112二维随机变量及其分布第七章稠178参数估计125强化练习题129强化练习题解答181强化练习题（一）183强化练习题（一）解答191强化练习题（二）第四章術138数字特征151强化练习题154强化练习题解答193强化练习题（二）解答第八章196假设检验199练习题20
7、0练习题解答n戶附录203 20112021年考研数学概率统计 真题217 20112021年考研数学概率统计 真题解答 2 第一章随机事件及其概率ill考试要求1. 了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事 件的关系及运算.2. 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概 率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以 及贝叶斯(Bayes)公式.3. 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立 重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.一、样本空间、随机事件及相关运算(一)随机事件随机试验E的特征(1) 在相
8、同的条件下，试验可重复进行；(2) 试验所有可能结果事先已知；(3) 每次试验的具体结果事先未知.样本点 随机试验的每一个基本可能结果称为一个样本点. 样本空间n 随机试验的所有样本点全体组成的集合称为样本空间.随机事件 数学上称样本空间的子集为随机事件，常用大写的字母 或A,G =1,2,)等表示事件.在实际问题中，随机事件指可能 发生，也可能不发生的随机现象.若试验出现的样本点3 6 4,就称A发生；否则，称A不发生.基本事件：由单个样本点组成的集合称为基本事件；样本空间也称为基 本事件空间.必然事件X2 每次试验中必然发生的事件称为必然事件，即为全集； 不可能事件0 每次试验中都不可能发
9、生的事件称为不可能事件，即 为空集.(-)事件的关系与运算事件的三种关系与四种运算(1) 子事件(事件的包含)A UE：事件A发生必导致事件B发生.(2) 相等事件A =B：A CZ B且A二B.(3) 并事件A U 中孚少有一个发生”，也称为事件4与事件Bn 的和事件;类似地，称U 为个事件人1 ,人2,的和事件；称U 为森哥考研数学 概率论与数理统计辅导讲义基础篇读书冷 可列个事件A1 ,A2,的和事件.笔乜壬丿-孕 (4)交(积)事件AB：UA,B都发生”,也记做A 类似地，称介为”个& = 1事件A1?A2，-,A,的积事件;称n人 为可列个事件A,A2，-的积事件.怡=1(5) 对立
10、事件：若A U B 且AB =0,则称事件A与事件B互为逆 事件.又称B为A的对立事件，记为A=B.(6) 差事件A B ：“A发生，而B不发生”.A B A AB AB.(7) 互不相容(互斥)事件:AB= 0,指的是事件A与事件不能同时发生.1. 基本事件是两两互不相容的.2. 三种关系是指：包含、相等、互不相容；四种运算是指：和、积、差、逆.事件的运算律交换律:A U B U A, AB =BA；结合律：(A U B)U C=A U(B U C), (AB)C-A(BC)；吸收律：若A CZ B,则有AB =A, A U B =B；分配律：(& u B)n c =(a n o u(B n
11、 o；(A n B) u c = (4 u o n(B u C)；德摩根律(对偶律)：A u B =AB, AB = A u B.例 W/J 设是任意两个随机事件，化简(A U B)(A U B)(A U B)(A U B).险 (A U B)(A U B)(A U B)(A U B)= E(A u B)(A u B)1 n (A u B)(A U B)= :(a n A)u b n :(a n A)u b)z=(0 U B)n(0 U B) =B n B = 0.例 叵迓7 个工人生产了 3个零件，以事件=1,2,3)表示她生产的第i个零件是合格品，试用A,(f =1,2,3)表示下列事件：
12、(1) 只有第1个零件是合格品Bi；(2) 3个零件中只有1个合格品B2；(3) 3个零件中有1个合格品B3 ;(4) 第1个是合格品，但后两个零件中至少有1个次品B4；(5) 3个零件中最多只有两个合格品B5 ；(6) 3个零件都是次品B6.理(1)5 =A1A2A3.(2) 2 A! A 2 A 3 U A i A 2 A 3 U A, A 2 A 3.(3) 3个零件中有1个合格品是指至少有1个合格品，故b3 u a2 u a3.(4) 131 = A (A 2 U A 3) A. i (A2A 3) = A A 2 A 3 = A) A f A 2 A 3.第一章随机事件及其概率(5)
13、 法一 3个中至少有1个不合格品，艮=Ai U A2 U A3. 法二 3个都是合格品的对立事件，艮=瓦忑石.(6) 法一 B6 AA2A3.法二 3个中至少有1个合格品的对立事件，illB6 = Aj u a2 U a3.本题的实质是考查用事件的运算符号来描述用普通语言表达的随机 事件，以便今后运用公式计算概率.同时，占5与B6的两个结果，验证了德 摩根律的成立.另夕卜，从b5,b6的结果都可以发现，一个事件往往有多个等 价的表达方式，在以后的概率计算中，要选择一个容易利用概率公式进行 计算的表达方式.如在b8的两个表达式中，第一种两两互不相容的分解表 达式一般是较适合概率计算的.二、概率和
14、条件概率，古典概型和几何概型，全概率(-)概率的概念概率直观上是指一个事件发生可能性大小的数量指标.概率的统计定义 在不变的条件下，重复进行次试验，事件4发 生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，且一般来说，”越大，摆动幅度越 小，则称常数p为事件A的概率，记作P(A)=p.概率的公理化定义 设随机试验E的样本空间为0,对于E的每个 事件A赋予一实数P(A),如果F(-)满足以下条件：(1) 非负性：对于每一个事件A,有P(A) 0；(2) 规范性：对于必然事件。，有P(Q) =1；(3) 可列可加性：若A1?A2，-,是两两互不相容的事件，则有P(U a,)= Sp(a,),就称P(A)为事件
15、A的概率.概率的性质性质 1 p(0)=0, p(n)=1, o p(a) i.性质2 若A1，A2,，A”是两两互不相容的事件，则有HA】U U A”)= P(AQ - P(A).性质3 求逆公式:P(A) =1 -P(A).性质 4 减法公式：P(A -B) -P(AB) -P(A) -P(AB).特别地，当B C A时,P(A B) = P(A) - P(B),由此可得P(B) P(A).性质5 加法公式：P(A U )=P(A)+P(B) P(A)；P(A U B UC)=P(A)+P(B) + P(C)-P(BC) P(AC) +P(AEC)；特别地，若A i A?,，A”两两互斥，
16、即A,Aj = 0 ,i ,j = 1,2,，7?, i H j ,则 P (人 U A2 U - U A) =P(A,)+P(A2)- F(A).森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义基础篇例工TN7 设为两个随机事件,P(AB)= P(AB),已知PGA)卫，则 P(B) = _.画由 P(AB) =P(AB) =P(A UB)=1-P(A U B)-1 -P(A) + P(B) - P(AB), P(B) =1-P(A) -1-p.例 TFZ7 设 P(A)=P(B)-P(C)=,P(AB)=O,P(AC) =K- 4得P(BC)=丄，则事件A,B,C全不发生的概率为 O理由P(AB) =
17、 0得P(ABC) =O,A,B,C全不发生表示为ABC,P(ABC) = P (A U B U C) = 1 - P(A U B U C)=1 - P(A) +P(B) +P(C) -P(AB) -P(AC) P(BC) +P(ABO1,1,1 1 1 ,-0-04 4 4 8 8 /=亍(-)古典概型和几何概型古典概型(1)特征4中的样本点有限，且每个样本点发生的可能性相同.1 -(2)公式:F(A)=竺，其中m为A包含的基本事件数皿为0中基本事71件的总数.常用结论:设N件产品中有M件次品，从中任取n件，则其中惟朿k件 次品的概率为CmCj-M 甘十门” _ N (N 一1)N (n 1
18、) J，貝甲 C/n = ； Cn “！例 HN7 10个产品中有4个次品，从中任取3个，求至少有1个次品的概率. 固设4表示“取出的3个产品中次品的个数恰为i个= 0,1,2,3,B表示“至少有1个次品”.法一 P(B) -PCA, U A2 U A3) PCAi) +P(A2) +F(A3) c：c：+Cc； +& 3?C?o法二 P(B) =1-P(B) =1-P(AO)_ & 6X5X4_5一氏10 X 9 X 8 6例 必一7 从0,1,-,9等十个数字中任意选出三个不同的数字. 求下列事件的概率：(DA】=三个数字中不含0和5；(2) A2 = 三个数字中不含0或5；(3) A3
19、=三个数字中含0但不含5.第一章随机事件及其概率磴(1)十个数字中任取三个不同的数字一共有C；。种可能，不含0和5,只C3 7需要从剩下的8个中取出3个C 10 lb(2)不含0共有C；种取法，同理不含5也有C；种取法，不含0和5有C；til种取法，故15(、2 (、1 7(3)F(A3) = 9C3 8 =(含0的减去含0和5的)，Q2 7或P(A3) =-=(含0不含5只需要取0,且从0和5之外的8个中 任意取2个).对于排列组合比较生疏的同学可以自学下面补充内容部分：1. 加法原理：设完成一件事有类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成.若第一类方法有m 1种，第二类方法有
20、m 2种，第 n类方法有加”种，并且这mx 4-m2 + 种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有mx +加2+ +”种方法.2. 乘法原理：设完成一件事有77个步骤，第一步有加1种方法，第二步有 m2种方法，第九步有加”种，并且完成这件事必须经过每一步，则完成这 件事共有m X m2 XX mn种方法.3. 排列：从个不同元素中，每次取出m个元素，按照一定的顺序排成 一列，称为从n个元素中每次取出m个元素的排列；注意”个不同元素：要求元素可以辨认.有放回地抽取出m个元素是指每次抽取一个，看后放回，共抽取加 次；(共九种排列)无放回地抽取出m个元素是指每次抽取一个，看后不放回，共抽取加
21、72 *次（加 W）.（共有 n X （.n 1） X X （n m + 1） = -:（” 一m）!种不同的排列，表示为A；或P：)4.组合:从n个不同元素中，每次取出m个元素不考虑其先后顺序作为一组(只看内容不计次序)，称为从个元素中每次取出m个元素的组合，共有C” = X ( 一 1) X X G 一 观 + 1)= 仇!_ 种可能 m (n m) n !m !几何概型(1) 特征：Q中样本点无限且构成一个几何区域，且每个样本点的发生 是等可能的；T (2) 公式:P(A)=-y,L(A)和L(d)分别表示A和。的几何测度， 其中测度为长度或面积.森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义冷基
22、础篇lit|例丁力 在区间（）中随机地取岀两个数，求两数之和大于1, 且两数之积小于土的概率.E31设第一个数为工，第二个数为夕，则样本空间0 = （工，丿）| OVz VIHVj/VlAA表示“两数之和大于1,且两数之积小于*”，则A*ln2.h + y1 iJcy 0时，条件概率的性质(1) 0 P(A | B) 0 , P(B) 0PCAB) P(A)PCB | A) .-. P(B)P(A B)；1. 乘法公式是指：当P(B) 0时，由P(E)和P(A | B)的乘积来计 算 P(AB).2. 其中的条件概率P(A | )是由缩减样本空间法计算的或者题目直 接给出的.P(ArA2A3)
23、 =P(Al)P(A2 I A)P(A3 I A,A2) (P(AjA2) 0)； P(A* 2A”)=P(Ai)P(A2 I I A?(P(A1A2-A_1) 0).:例丄一批零件共100个，其中有10个次品，依次从中不放回 地任取3个零件.(1) 已知第一次、第二次取到次品，求第三次取到正品的概率Pi；(2) 求第三次才眉殒取到正品的概率p2.圃设4表示“案；次取到正品=1,2,3.-90()P1 P(A3 I AjA2)=.(2)第三次取到正品A3 = A3X2 = A3(A1A2 U AiA2 U AiA2 U AiA2)=A i A 2 A 3 U A i A 2 A 3 U A i
24、 A 2 A 3 U A A 2 A 3 9 其中只有瓦|瓦2人,是指第三次才首次取到正品，故p2 =P(A1A2A3) =P(A)P(A2 I AJP(A3 I AjA2)10 9 90 9=-x x =-100 99 98 1078(四)全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果事件组满足(DAj U A2 U U A” =d ,且 P (A：) 0(，=1,2,，72)；(2)A】，A2,A”两两互不相容，就称A.,A2，-,为完备事件组，并有全概率公式P(B) = YP(AQP(B I A,).i = l贝叶斯公式P(A, | B)P(A,B) _P(A,)P(B | A,) P(B) =
25、P(B)例THJZ7 设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两只，则第二次取得黄球的概率为_理设A,表示“第/次取到黄球=1,2.法_古典概型P(A2)_ 49 X 20 2一 50 X 49 百法二 P(A2) =P(Ai)P(A2 I A,) + P(Ai)P(A2 I AJ20 19 , 30 20 2=一 X-X 一 = 一50 49 50 49 5 森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义妙基础篇抓阎原理 个人抓m个有物之阉(m V九)，则第k个人抓到的概率为一 n某单项选择题有四个答案可供选择.已知60%的考生 对相关知识完全掌握，他们可选出正确答案；
26、20%的考生对相关知识部分掌 握，他们可剔除两个不正确答案，然后随机选一个答案；20%的考生对相关 知识完全不掌握,他们任意选一个答案.现任选一位考生，求：(1) 其选对答案的概率；(2) 若已知该考生选对答案，问其确实完全掌握相关知识的概率是 多少？固设Ai表示该考生完全掌握相关知识;A?表示该考生掌握部分相关知 识;人3表示该考生完全不掌握相关知识;B表示该考生选对答案.由题意，3 1 1P(A1)=-,P(B | A1)=l； P(A2)=-,P(B I A2)=-；5 5 zP(A3)=,P(B i )=+o 4(1)由全概率公式得P(B) = P(A,)P(B | A,)=4xi +
27、 + ! o b Z 5 4 4(2)由贝叶斯公式得P(Ai | B)_TX1 _ 4P(B) = 3 = T4三、事件独立性，独立重复试验()事件的独立性事件A与独立OP(AB)=P(A)P(B)(事件A与B独立的定义)P(B)0 P(A)0o P(A | B) =P(A) 0 P(B | A) =P(B).重要结论(1) A与E独立UA与巨独立莒瓦与E独立莒兀与巨独立.(2) 概率为0的事件以及概率为1的事件与任意一个事件均相互独立.(3) 设 P(B) 6 (0,1),则 A 和B 相互独立 P(AB) =0；但是，当 P(A) 0,P(B) 0 时，UA,B独立”推不出“A,E互斥”，
28、“A,B互斥”推不出“4,B独立”.iP(AB) =P(A)F(B),A,B,C 两两独立 ojp(AC) =P(A)P(C),p(BC) =P(B)P(C).第一章随机事件及其概率A,B,C相互独立少2P(AB) =P(A)P(B),P(AC) =P(A)P(C),P(BC) =P(B)P(C),P(ABC) =P(A)P(B)P(C).例盒子中有编号为1,2,3,4的4张卡片，现从中任取 一张，设事件A表示取到1号或2号卡片，E表示取到1号或3号卡片，C表示取到1号或4号卡片，试分别讨论事件A,B,C的两两独立性和相互独立性. P(A) =P(B) =P(C) =|,P(AB) =P(BC
29、) =P(AC) =1,P(ABC) =,所以有4=P(A)P(),P(BC) =P(B)P(C),P(AC) =P(A)P(C),P(ABC) H P(A)P(E)P(C),故A,B,C两两独立，但不相互独立.设有$2)个随机事件A】,A2，-,A”，如果对其中任意怡个(2 k 2 ) ( 1 p 3 )(D)l ( 1 / ) ( 1 / 2 ) ( 1 p 3 )5. 设A,为随机事件，且P(B) 0,P(A | B) =1,则必有( ).(A)P(A U B) P(A) (B)P(A U B) P(B)(C) P(A U B) =F(A) (D)P(A U B)=P(B)8二、填空题1
30、 i I 1. 已知 P(A)= j,P(B | A)= y,P(A | B)= 则P(AB)=_.2. 设 P(A)=0. 7,P(B)=0. 5,P(AB)=0. 3,则 | A) + P(B | A)3. 设 A,B,C 两两独立，且 ABC=0,P(A) =P(Q =P(C) V*,A,9B,C至少有一个发生的概率为c，则P(A) =164. 掷两颗骰子，已知两颗的点数之和为7,则其中有一颗点数为1的概率是_.5. 10把钥匙中有3把能开门，今任取2把，能打开门的概率为_.6. 10张卡片中有4张是有奖卡片，3人参加抽签，按甲乙丙顺序，每人抽1个不放回，则丙抽到有奖卡片的概率为_7.
31、10件产品中有4件次品，某人从中不放回地抽取，每次取1件产品，则此人第3次才取到次品的概率为_.8. 独立重复地进行某试验，每次事件A发生的概率为则第四次试验恰好是A第二次发生的概率为_.9. 设A,B,C是随机事件，且4与C互斥=*,P(C) =*，则 P(AB |C) =_.10. 某工厂每天用水量保持正常的概率为7,且各天的用水量互不影4响，则一周内用水量至少有5天保持正常的概率为_.三、解答题1. 设是两随机事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7,(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？2. 设盒子中有10只球
32、，其中4只红球，3只白球和3只黑球，现从中不放 回地取三次，每次取一个，求三次所取的球颜色不同的概率.3. 设十件产品中有两件次品，现依次从中不放回地任取两次，每次取一森哥考研数学 概率论与数理统计辅导讲义妙基础篇读书件，求两件产品中恰好有一件次品的概率.笔疱壽 4.在边长为1的正方形区域内任取一点，求该点到每个顶点的距离均大于丁的概率.5.设随机事件A ,B ,C两两独立，且C与A-B相互独立，证明A ,B ,C 相互独立.6设一系统由3个独立工作的电子元件并联而成，且每个电子元件正常 工作的概率为0. 3,求该系统正常工作的概率.7.某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，各车间的产量分别
33、占全 厂总产量的20%,30%,50%.根据过去产品质量检验记录知道甲、乙、丙车 间的次品率分别为4%,3%,2%.(1) 从该厂产品中任取一件，其为次品的概率为多少？(2) 若从该厂的产品中任取一件，发现其为次品，问该产品为乙车间生 产的概率是多少？Q基础练习题解答一、选择题(C).2.0 (B).園由题意，试验的基本事件共有4个：W 1 正，正 , W g = 正，反 ,83 = 反，正 , = 反，反，所以 A = Wi ,w2 ,B = w2, w4 ,C = w2 ,w3 ,w4,1 3 1P(A) =P(B) = ,P(C) = ,P(AB) = =P(A)P(B),2 4 4B
34、CZC,P(BC)= P(B) 7 P(B)P(C),故 B,C 不独立，选项(A)不成立. 又 EC= B,ABC= AB,P(ABC)= P(AB)= P(A)P(B)= P(A)P(BC), 即A与EC独立，选项(E)成立，故选(B).一 1 1 1而 P(ABC) P(A)P(B) = # P(B)P(AC) = X ,4 2 41 2 1P(ABC) = P(C)P(AB) =X ，故选项(C),(D)不正确.4 4 43.00 (A).P(A U B)-C =P(A U B)-P(A U B)C= P(A) +P(B) =0. 5.4. 31 (D).由题意，P(A U B U C
35、) =1 - P(ABC) =1 - P(A)P(B)F(C)=1 (1 pj)(l 化)(1 一 P3)5. 11 (C).固由 P(A | E)=第第( () )=1,所以 F(AB) =P(B), 进而有 P(A U B) =P(A).第一章随机事件及其概率二、填空题1111匡彳.0由题意,P(AB) =P(A)P(B | A)=jXy=,P(B)P(AB) _ 1P(A | B) =_6P(A B) =P(A U B) =1 -P(A U B)1 1 1 o o2. 彩o 由 P(AB) =P(A) - P(AB) =0. 3 可得 P(AB) =0. 4,P(B | A) +P(B
36、| A)_P(AB) P(A B)=F(A)十卩(瓦)_Q. 4 1 一(0. 7 + 0. 5 0.4)丽 1 - 0. 7 _十 J _21*3. MJ*Q 由 F(A U B U C) =,10得 P +P + P(C) P(AB) P(4C) P(BC)十 P(AC) Q 1= 3P(A) 3P(A)2 = 解得 p(A)=-.16 4理点数之和为7共有6种可能，其中有一颗点数为1共有2种可能，故其2 1中恰有r颗点数为1的概率为=0 35 .国碁.理能打开门包含恰有一把和恰有两把能打开门，故所求概率为 Cg+C 8 十s C 42 48 8Ct 15 Co 90 90 15*6.雀雀
37、劄0. 4.理由抓阉原理或者全概率公式求解得春.7国* 理设4表示“第i次取到正品”“ =1,2,3,第三次才抽到次品是指前两 次抽到正品且第三次抽到次品，由乘法公式或者古典概型可知其概率为森哥考研数学 概率论与数理统计辅导讲义基础篇IlaP(A1A2A3)_ 6 X 5 X 4 _ 1 10 X 9 X 8 6427理第四次试验恰好是A第二次发生是指前三次A发生一次，而且第四次 A发生，其概率为(f) l=-P(AB|C)P(ABC) _P(AB) - P(ABC)P(C) P(C)-0P(AB) P(0) _ 2 _ 31 -P(C)= - f = Z1-圏一周内用水量至少有5天保持正常的
38、概率为列汀虫甘)百)；屮三、解答题1. 理P(AB) =P(A) + P(B) - P(A U B) =1. 3-P(A U B).(1) 由于 P(AB) P(A) P(A U B),P(AB)P(B)P(A U B), 当 A (ZB 时,A U B =B,P(A U B) =P(B) =0. 7 取到最小值， 此时 P(AB)取到最大值 P(AB) =1.3-0. 7=0. 6.(2) 当A J B=n时，P(A U B) =1取到最大值，此时P(AB)取到最小 (AB) =1.3-1 =0. 3.注意 本题 F(A) P(B) P(A U B) 1.2. 险设A表示所取球颜色不同，则由
39、古典概型，不放回取一共有10X9X8种可能，球颜色不同是指每种颜色球各取一个，共有4X3X3种取法，再考 宀“昭宀”士八 4 X 3 X 3 X 3! 3虑顺序共有3 !种排法，P (A )= 一,门门、 、/ 。 。 = 77-3.蛋设A表示两件产品中恰好有一件次品，P(A)8X2X2! _ 1610X9 看4. 圜设A表示该点到每个顶点的距离大于以四个顶点为圆心作半径为y的圆，由几何概型易得P(A)1 X 1/1 n1 -J=17第一章随机事件及其概率5 因为 C 与 A-B 相互独立，即 PC(A ) =P(C)P(A ),左边=PCACB) =P(AC) - P(ABC) =P(A)P
40、(C) -P(ABC)； 右边=P(C)P(A) - P(AB)=P(A)P(C) - P(A)P(B)P(C)； 比较得 P(ABC) =P(A)P(B)P(C),又由于A,B,C两两独立，故A ,B ,C相互独立.6理设A,表示第z个电子元件正常工作，z =1,2,3,表示该系统正常工 作.则P(B) =P(Ai U A2 U 心=1 卩(心2人3)=1 - P (A!) P (A2)P (A3) = 1 - 0. 73.7園用AAAa分别表示产品是甲、乙、丙车间生产的，B表示产品为次 品，则有3P(E)=| A,)1=0. 20 X 0. 04 + 0. 30 X 0. 03 + 0.
41、50 X 0. 02 =0. 027.(2)P(A2 I B)_P(A2)P(B I A2) 0.30 X 0.03 1P(B) 0. 027 = T第二章一维随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量的概念，理解分布函数FQ)=PX_z( X 0)的指数分布 E(A)的密度函数为5.会求随机变量函数的分布.、随机变量、分布函数(-)随机变量随机变量定义 样本空间。上的单值实值函数X=XG),e G Q, 其中M为样本点.随机变量表示事件 设L为任意实数集合，则XGL表示随机事 件， OO X =X = 0=1， CD = T 9扑1. 随机变量是定义在样本空间。上的，Q中的元素可以不是数；而
42、普通 函数是定义在实数轴上，变量的取值是数.2. 随机变量取值具有随机性且以一定的概率取值.(-)分布函数分布函数定义 称F(_z)=PX 工e (-oo,+oo)为随机变量X的分布函数.几何意义：X落在区间(一00,2上的概率.第二章一维随机变就及其分布分布函数性质(1) 0 w F(_z) w 1,F(8)=O,F(+x) =1；(2) FCz)是单调不减的函数，即对任意心 孔，均有Fa】)FCt2)；证明 任意厂H2，X,UXW工2，所以PX PX x2,即有 F(g)F(g).(3) FCz)处处右连续，即对任意如,尸(口+0)= FCr。),其中F(m+0) = limF().(不予
43、证明)FQ)成为分布函数的充要条件是性质(1),(2),(3)同时成立.ill例辽47 下列可以作为分布函数的选项为( ).(C)FQ)=(D)F(_z)=(B)F(o-)(A)F(x)=0,z 兀X ，理(A)中F(+ oo) = 4-oo,(A)不可以作为分布函数；中F(1 + 0) =1 HF(1)=*,(E)不可以作为分布函数;(B)(C)-jr中土尹单调减少，(C)不可以作为分布函数；为连续函数，容易验证满足分布函数的三个条件，所以选(D).(D)用分布函数计算概率Pa X h =F(h) -F(a),P X = x q = F (j? o) 一 F (x o 一0)9 其中 F(j
44、?o 0) = lim FQ ). 证明 当 a Wb 时，若记 A =X =X 则 A UPa X 6 =F(BA) =P(B) -P(A)= PX b - PX a =F(b) - 若记 P a VX Wb=F(b) F (a )中 b = x Q 工二则 P X =x =F (jc0) FQo 0).森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义妙基础篇litFQ)=例2177 设随机变量X的分布函数为0, 工 W 1,a-9 工1 9x其中均为常数，计算P |X 1|2.瞳由分布函数性质：F（+=） =a =1,F（1十0） =F（1）,即a b = 0,得 b = 1 ；所以分布函数FQ）=0
45、 9 JC W 1，1-，工1，xF|X-1|2=F-1X3=P-1 = 1.概率的计算 设L为任意实数集合，则PX E L = p,. e l、 厂 1 1 例竺力 设随机变量X 1但P|X|=l=HX=0,b 7/求：（1）常数a 的值；（2）X的分布函数F（工）.困（1）由 P|X| = l=PX=0可得 a + =b,又 a +b + = l,1 1厂101解得2 = y ,6 =.故X111 371(2)X 的分布函数 F(jr) = P X x G ( 00 9+00)， 当 x V 1 时 9FQ) = 0 ；当一0 时，F(_Z)=PX= 1=*；037第二章一维随机变量及其分
46、布1 1 5当 0 +厂所以FS) =2ill0, 丄 yi,1 W V 0 90 W z V 19离散型随机变量的分布函数F(x)满足：1. 是一个阶梯函数，正概率点、为分段点；2. 分段点处出现跳跃，跳跃度为X取该点的概率，因为PX =攵。=F(.x0) F(j：o 0)；3. 为保证处处右连续，每个区间左闭右开.(二)常见的离散型随机变量U1分布 XB(l,p)或乂( 1)：一 p pPX k =pk(l- pYk ,k=Q,l.二项分布 X B(“)：PX= k= C、pU ，k= 0,1,-,/?.(背景:“次舉辛事粵坯鑒中事件A发生的奕寒XB5,p),P(A)= p.) 例2厂方骰
47、子独立重复地掷3次,N】表示点数1出现的 次数，写出Ni的分布律.b(34理由题意，N91 - 7PNi =1 =C； (1 )T)3 1215PN1 =0 =C6I)1 1N125 75PNi =363 21613 53125丿 _63 一2162 757563216 3X515216z216 216 216泊松分布XP(X + j7e_A 浪=0,1,2,-9参数入 0.I102故AA ry- = 1 + A + - -:-1- J .k ! 2! n !森哥考研数学概率论与数理统计辅导讲义基础篇Ila例 2.5 N7 设随机变量XP (A )(泊松分布)，且PX = 1=PX =2,求
48、P0X2 3.2k理已知 PX= k= eA ,k - 0,1,-,由于 PX= 1= PX= 2, k! 久2即珂=兀，解得入=29故P0X2 3= PX= 1= 2才1几何分布 P X =k = (1 p)kx p yk = 1,2 ,0 0是一个常数是任意正整数，设7” =入，则对于任一固定的非负整数S有limC：龙(1 几)一” =-.”-oo 忆!例厶7 设X(100,0.05),试用泊松分布近似求出FX3.PX3=l-PX=0-PX=l-PX=2= 1 - 0. 95100 100 X 0. 05 X 0. 95-此式子很难计算，由泊松定理，X近似服从参数入=100 X 0.05
49、=5的泊松分 布P(5),从而1 2PX 3 1 - eA 入刃 0.87(查泊松分布表).Wh/7第二章一维随机变圮及其分布四、连续型随机变量及其概率分布(-)连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量与积分有关，此部分内容经常用到高等数学中如下两 个知识点：1. 设/(広)在a ,b上可积，则F(z ) = /(z )dr连续.(此知识点在微J a积分中经常作为选择题考查)证明 /(工)在a,刃上可积，则/(工)在定有界，即存在常数 O0,使得I fx-f-ZkrV jc _a , | FCj + A.r ) F(jc ) | = j /(Z )dz WC| z | ,当 Zkz f 0 时
50、，| FQ + Ar) F(x) | - 0,所以 FCz) = | f(t)dt 连续. J a2. 设/&)在a,b上连续，则 FCz)= p/(t)dz 可导，且 FCz)=于(工).J a定义 设随机变量X的分布函数为FS),若存在非负可积函数 f(x),使得对任何实数工有FQ)=就称X为连续型随机变量， /(工)是X的概率密度函数.1. 若X为连续型随机变量，则其分布函数FQ)必为连续函数.2. Fz(- )=/(;)(其中 x 为 /(j：)的连续点)./)是某一连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是f 4-00(1)/(j：) 0 ； (2)J /(a- )dj? = 1 同
