2023李林《概率论与数理统计辅导讲义》.pdf

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1、? 2023李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义（数学一、三通用）编著李林不靠押题靠实力考研数学就选李林! CC-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉, 是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-”7回扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社zXX TTT Eil李林考研数学系列概率论与数理统计编导讲义（数学一、三通用）SfflW -T TT不靠押题靠实力考研数学就选李林！回-“-这套讲义是6套卷和4套卷的知识点源泉, 是一套凝结我大量心血和功力的辅导教材。-”7扫码领取视频课程李林老师新浪微博中国原子能出版社前言刖概率论里面有一个著名的谜题，叫钱包悖论，其内容是：甲、乙

2、两人进行一场赌局，其规则是：由第三者计算甲、乙两人钱包里的钱，钱少者可以赢走钱多者的钱。甲对于这场赌局的想法是：若乙的钱比我少，我会输掉我现有的钱；但若乙的钱比我多，我会赢得多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多，所以这场赌局对我有利。而乙的想法也是如此。可是一场公平的赌局怎么可能对两人都有利呢？于是悖论产生。钱包悖论应该如何解释呢？这里卖个关子，希望读者学完本书能自己利用概率统计的有关知识（数学期望、贝叶斯分析等）进行回答。现实生活中还有很多有趣的概率统计例子，比如对世界杯比赛结果的预测，再比如最近这些年很火的大数据，皆充斥着概率统计思想。本书正是基于考研应试的目的，帮助读者提高解

3、题能力，真正学懂概率论与数理统计这一学科。关于本书本书是为准备考研复习概率论与数理统计的考生编写的辅导讲义，由编者根据多年的辅导班讲稿改写而成，本书也可作为非数学专业学习概率论与数理统计的参考书。概率论与数理统计是考研数学的重要部分，本书力求以较少的篇幅，在较短的时间内，帮助同学们理解基本概念，掌握基本理论和公式，提高解题能力。本书每章由四部分组成：1.考试要求；2.内容与方法提要；3.典型例题分析; 4.习题演练。本书具有以下特点：一、内容全面，方法典型本书按照最新考研数学大纲顺序，共分八章介绍概率论与数理统计的考试内容，内容全面，总结考试中各类题型的解题方法，方法典型，澄清一些常

4、规错误与疑惑，以便考生提高应试能力。二、题型齐全，难度适中本书以中等难度的题目为主，所选题目力求典型性、全面性、综合性。全书通过探究考试命题规律，让考生能更清晰地掌握解题方法。李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义考试复习建议编者根据多年考研辅导经验，提出如下两点复习建议：1. 概率论与数理统计的特点是：概念性强，公式多。其重点是理解基本概念和公式，在理解的基础上，熟练掌握公式及应用。2. 把握复习的主线：概率论的主线是概率分布，熟练掌握常用分布是基础，根据题设条件，求一维、多维随机变量的分布是重点；统计学的主线是以样本为基础、统计量为工具、统计推断为目标，如参数估计、假设检验等

5、统计推断。本书适用于考数学一或数学三的考生，对有不同要求的部分给出了说明。编者在多年的教学过程中，借鉴和参考了若干国内外的优秀著作，在此向这些作者表示衷心的感谢！由于作者水平有限，本书仍有很多地方需要改进与提高，恳请读者和广大同人提岀宝贵的意见和建议。最后，衷心祝愿广大考生考上自己理想的学校！2目录目录第一章随机事件及其概率.（1）第一节随机事件及其运算.（1）第二节概率的定义及其计算.（3）第三节概率计算公式.（7）第四节独立性和综合应用.（16）习题演练.（20）习题演练解答.（21）第二章一维随机变量及其分布.（25）第一节离散型随机变量及其概率分布.（25）第二节连续型随机变量

6、及其分布.（29）第三节一维随机变量的函数的分布 .（36）习题演练.（41）习题演练解答.（42）第三章多维随机变量及其分布.（46）第一节二维随机变量.（46）第二节独立性.（55）第三节多维随机变量的函数的分布.（63）习题演练.（70）习题演练解答 .（71）第四章随机变量的数字特征.（77）第一节随机变量的数学期望与方差.（77）第二节协方差和相关系数.（85）习题演练.（103）习题演练解答.（104）李林考研数学系列概率塑与数理暂辅导型第五章大数定律与中心极限定理.（110）第一节大数定律.（110）第二节中心极限定理.（113）习题演练.（115）习题演练解答.（116）

7、第六章数理统计的基本概念. （118）第一节基本概念与统计量.（118）第二节抽样分布.（121）习题演练.（129）习题演练解答.（130）第七章参数估计. （134）第一节点估计.（134）第二节估计量的评判标准（仅数学一要求）.（140）第三节区间估计（仅数学一要求）.（148）习题演练.（153）习题演练解答.（154）第八章假设检验（仅数学一要求）.（160）第一节显著性检验.（160）第二节两个正态总体的假设检验.（164）习题演练.（167）习题演练解答.（167）附录 .（169）附录1 标准正态分布表.（169）附录2 /分布表 .（170）附录3 才分布表 .（171）

8、附录4 F分布表 .（172）2第一章随机事件及其概率第一章随机事件及其概率0考试要求-1. 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2. 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式.3. 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.第一节随机事件及其运算内容与方法提要1. 三个基本概念（1）随机试验如果试验满足以下三个特性：可以在相同的条件下重复进行；每次试验的可能结果不

9、止一个，且事先可以明确试验的所有可能结果；进行一次试验前不能确定哪一个结果会岀现. 则称试验为随机试验，简称试验.（2）样本空间试验的所有可能结果所构成的集合，称为该试验的样本空间，用。表示样本空间中的元素，称为样本点（或基本事件）.（3）随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，在大量重复试验中具有某种规律性的试验结果，称为随机事件，简称事件.事件可理解为样本空间的一个子集；在试验中，当且仅当事件A所包含的某个样本点出现时，事件A才发生.2. 事件之间的关系与运算事件是样本空间的子集，所以事件之间的关系与运算就是集合的关系与运算，只是术语不同且赋予了概率的含义.（1）事件之间的关

10、系关系符号概率论集合论包含关系A (Z B事件A发生必有事件B发生A是B的子集相等关系A = B事件A与事件B相等A与B相等对立关系A事件A的对立事件A的余集互斥关系（或互不相容）AB = 0事件A与事件B不能同时发生A与B的交集是空集（2）事件之间的运算1李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义运算符号概率论集合论事件的和A U B或A +B事件A与B至少有一个发生A与B的并集事件的积A A B 或 AB事件A与B同时发生A与B的交集事件的差A-B事件A发生而事件B不发生A与B的差集(3) 事件的运算法则分配律:a n(B u C)=(A n B)u(A n C).交换律:A u B - B

11、 U A；AB = BA.结合律：(A UB)UC = AU(BU C)；(AB)C = A(BC).对偶律:A U = AB；；AB = A U B. 还原律:A = A.补兀律：A U A = d.吸收律:若ACZB,则AB = A，且A U B = B.矛盾律:A n A = 0.蕴涵律：若AB = 0,则AuP,BU兀差积律:A-B = A n B = A-A C|B(4) 文氏图直观上可用几何图形表示集合.事件之间的关系与运算也可以用几何图形直观表示，这类图形称为文氏图，如图1-1所示.AUB A0QQAAcBHUH(3QQ4CBQA-B0图1-1典型例题分析【例1 利用事件的

12、运算表示下列各事件:(1) A出现，,C都不出现；(3) A,B,C都出现；(5) A,B,C不都出现；(7) A,B,C不多于一个出现；(9) 至少有一个出现，C不出现.解利用事件的运算关系可得：(2) 都出现，C不出现；(4) A,B,C都不出现；(6) A,B,C至少有一个出现;(8) A,B,C恰有两个出现；(1)AB C；(2) AB C；(3) ABC；(4) AB C；(5) ABC；(6) A + B + C；(7) ABC + ABC +瓦B C-AB C 或 AB + EC + AC； (8) ABC+ABC+ ABC ；(9) (A + B)C.2第一章随机事件及其概

13、率【例2】写出下列试验的样本空间：(1) 掷两枚硬币；(2) 连续掷一枚硬币，直至岀现正面.解 (1)用1表示正面，用0表示反面，则样本空间Q = (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)用1表示正面，用0表示反面，则0 = (1),(0,1),(0,0,1 ),(0,0,0,1), .第二节概率的定义及其计算蓉与方法提要A A1.概率的定义(1)古典定义若随机试验的样本空间Q仅含有限个等可能的样本点(也称为古典概型)，则事件A发生的概率为P(A)=mn其中m为有利于事件A的样本点数皿为O的样本点数.(2)几何定义若随机试验满足：样本空间。是一个可度量的(几何)区域；每个

14、试验结果岀现的可能性是相同的(试验结果落在O中任一区域的可能性与该区域的几何度量成正比)，则L(Q)其中A表示。中任一个可度量的子集,L(A),L(d)分别表示A与Q的度量，如长度、面积、体积等.(3) 统计定义在“次独立重复试验中，事件A发生的频率具有稳定性，即它在某一数p附近波动，且当71 越大时，波动越小，则称频率的稳定值为事件A发生的概率，即P(A) =p.(4) 公理化定义设随机试验E的样本空间为Q,对于每一个随机事件AUC赋予一个实数，记为P(A).若满足以下三个条件：非负性:P(A) 0；规范性：P(d) = 1; 可列可加性：若事件人,A2，-,A，-两两互不相容，有P

15、(yA!) =则称P(A)为事件人的概率.3李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义2.古典概型与几何概型的概率计算（1）古典概型的概率计算，主要有三类问题:摸球问题;随机入盒问题;随机取数问n pn i题.其计算常用排列、组合公式:P；r= -一:一 ,C* 丄=一-一（m 77）.（72 一 m）! m ! m!（（n 一 m） !（2）几何概型是从古典概型的有限等可能结果到无限等可能结果的推广.一般解决方法：直接计算法；引入变量法.F典型例题分析，题型一摸球问题【例1】设袋中装有m个白球和“个黑球.（1）从袋中任取a + b个球，求所取的球恰含有a个白球和b个黑球的概率（a

16、 n)个盒子中，求下列事件的概率：(1) 某指定的个盒子中各有一个质点；(2) ”个盒子中各有一个质点；(3) 指定的某盒中恰有m(m n)个质点.解 (1)由已知，每个质点有N种放法，故个质点有N种放法.设A = 某指定的n个盒子中各有一个质点，则有利于A的样本点数相当于兀个质点在n个盒子中的全排列，共有九!种，故(2)设B = “个盒子中各有一个质点，则有利于B的样本点数为C；以(C；表示兀个盒子的选法)，故(3)设C = 指定某盒中恰有m个质点，则从n个质点中取加个的取法有种，其余质点均有N 1种放法，故【例4设有12名毕业生，其中有3名博士生，将他们随机地平均分到三个科室，求:

17、 (1)每个科室分别有一名博士的概率；(2) 3名博士分到同一科室的概率.121解由已知，基本事件总数为2 C9 I由于将3名博士生平均分配的分法有Pi = 3 !种，其余9名毕业生的分法有厂冷种，故3IXQI有利事件数为从而所求概率为(3!)3 / (4!)3 55-(2)由于3名博士生分到同一科室的分法有G种，其余9名毕业生的分法有Q | 3X91-种，故有利事件数为，从而所求概率为1 I /I I V /I I5李林考研数学系列概率论与数理统兰辅导讲土【注】可归入“入盒问题”来处理的实际问题有很多，如：乘客问题：客车上有名乘客，它在N个站点都停，乘客下车的各种可能情形；放球问

18、题：将n个球放入N个盒子的可能情形；生日问题皿个人的生日的可能情形，此时N = 365天.处理这类问题时，要分清什么是“质点”、什么是“盒”，一般不能颠倒.题型三随机取数问题【例5】从0,1,2,-,9这10个数字中任取3个不同的数字，求下列事件的概率：(1) A = 3个数字中不含0和6；(2) B = 3个数字中不含0或6.解从10个数字中任取3个数字，则样本空间O的样本点数为若取的3个数字不含0和6,则这3个数字在其余8个数字中取，故A所含样本点的个数为q，从而ci 7P(A)=.C?o 15(2) 若将事件B分解为E =5+B2 +5,其中b = 3个数字中含0,不含6,B2

19、 = 3个数字中含6,不含0,B3 = 3个数字中既不含0,又不含6, 则P(B)=尸(民+瓦+5)，又由于BlfB2,B3两两互不相容，故2 2_ 14_ 15【注】此例求P(B)利用逆事件计算较方便.由于B = 3个数字中既含0,又含6,故r - CJ 1 14P(B) = 1 P(B) = 1 =1 =.C；。 15 15 将一个复杂的事件分解成简单事件的和、差或积是计算概率的常用方法，如本例.题型四几何概型图1-2P(A)=俱鯉n的面积46【例6 从区间(0,1)内随机地取两个数，求两数之和小于1. 2的概率.由已知，此题符合几何概型的特征：无限等可能结果.设工,夕是从区间(0,

20、1)内随机取出的两个数，则样本空间为0= (工,歹)| 0V_zl,0Vyl, 所求事件为A = Cz,，)| 乂 +夕0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，求原点和该点的连线与工轴的夹角小于壬的概率P(A).第一章随机事件及其概率解如图1-3所示，向上半圆内掷点的所有试验结果，在几何” 上可表示为上半圆区域G中的所有点，设点的坐标为（z,y）,则G = （_z,y） | 0_z2a,0VyV 故 L（G） = G 的面积=丄 ita2,UGA）2由点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，与该区域的位置及形状无关，可知本题属于几何概型，故故阴影部分的面

21、积.图1-3L(Ga)，，2acos 0 亠rdr = + .0 2 7T7 dO0 、djrdj/ga【注】【注】因为均匀分布是几何概型的数量性描述，所以几何概型可以用均匀分布计算.如本例，相当于二维随机变量（X,Y）在G上服从均匀分布，则（X,Y）的密度函数为2 _-,0ZxC 2a,0ZyO,P(B) 0.一般地，当个事件A19A2，-,满足P(A1A2-A_i) 0时，有P( n = P(A1)P(A2 I AJPS I A1A2)-P(An | A1A2-A_1),当A】，4,，A”相互独立时，有P( A A,) = P(A1)P(A2)-P(A).P( AB ) 【说明】条

22、件概率：设A与B是随机事件，且P(B)0,则称P(A | B)=一- P(B)为在B发生的条件下，A发生的条件概率.在相同条件下，条件概率具有概率的一切性质. 独立性：若P(AB) = P(A) P(B),则称事件A与事件B独立，即事件A与事件 B在概率上互不影响.5.全概率公式设A ,A.2，A”两两互不相容，且U 4 = Q,则称A ,A，，2，A”构成一个完备事件组.1 = 1若P(A,) 0,/ = 1,2,则有如下的全概率公式：P(B)= P(B | A,).t = 16.贝叶斯公式(逆概率公式)设A19A2,-,A构成一个完备事件组，且P(a)0,d= 1,2, 则当P(B) 0

23、时,有P(A, | B)=P(B | AJPCAJ -,k = , 2, n| A,)P(A,)i=l【说明】在全概率公式和贝叶斯公式中，九可取+ OO. 某个事件的发生经过两个阶段，由第一阶段划分完备事件组，利用全概率公式求该事件发生的概率. 随机试验经过两个阶段，第二阶段事件已经发生，利用贝叶斯公式求第一阶段某种情形发生的可能性.7. 独立重复试验序列在相同条件下，可独立地重复进行的完全相同的试验，称这样的一系列试验为独立重复试验序列其特征是每次试验结果发生的可能性与其他各次试验结果无关，即试验之间是相互独立的，互不影响.8. n重伯努利试验(1) 若独立试验序列每次试验的结果只

24、有两个，即A与兀，记P(A) = p,则兀次试验中事件A发生怡次的概率为P(A = k) = P(k) = C,pk(l p)k ,k = 0,1,2,，7?.(2) 独立重复地进行伯努利试验，直到第k次试验时A才首次发生的概率为Pk = (1 p,k = 1,2, .8第一章随机事件及其概率厂典型例题分析题型一加法公式与求逆公式的应用【例1】设事件满足P(AB) = P(AB),且P(A) = p,则P(B) =_.解由已知条件及对偶律，得P(AB) = P(A + B) = 1 -P(A + B)=1-P(A) +P(E) P(AB), 又因为 P(AB) = P(AB),P(A)

25、 = p,所以 F(B) = 1 -F(A) = -p.【例2】设P(4) = 0.4,P(A + B) =0.7.若A与互不相容，则P(B) =_；若4与B相互独立，则P(B) =_解若人与B互不相容，则P(A + B) = P(A)+P(B),故P(B) = P(A + B) - F(A) = 0. 7 0. 4 = 0. 3.若A与B相互独立，则P(AB) = P(A)P(B),故P(A + B) = P(A) +P(B) -P(AB)=P(A) +P(E) P(A)P(E), 即P(A + B) - P(A) 0. 3 1P(B)=-=-=.1 - P(A) 0. 6 2【例3】

26、设随机事件A,占满足P(A) = P(B)=丄，且P(A U B) = 1,求P(忑U B).解利用加法公式，有P(A U B) = P(A) +P(B) -P(AB).由已知，有1 11 = + -P(AB),2 2解得P(AB) = 0,故由对偶律，可知P( (A U B) = P(AB) = 1 -P(AB) = 1.【注】此例应注意两点： P(A = 1 於 AUB = d; P(AB) = 0 AB = 0.由此可知，由概率条件得不出事件.【例4】设随机事件A与B相互独立，且P(B) = 0. 5,P(A - B) = 0.3,则 P(B-A) =_.解依题设A与占相互独立，则A

27、与亏，忑与忑与P均相互独立，故P(A-B) = P(A B) = P(A)P(B) = 0. 3. 又由 P(B) = 0. 5,知 P(A) = 0. 6,故P(B-A) = P(B A) = P(B)F(A) = 0. 5 X 0. 4 = 0. 2.题型二乘法公式及条件概率的有关应用【例 5】设 P(A) = 0.3,P(B) = 0.4,P(AB) = 0. 5,则 P(B | A + B) =_.9李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义解法1利用条件概率公式.由于P(B|A + B)+ F(ABP(A + B) P(A + B)且F(AB) = P(A) -P(AB) = 0.

28、7-0. 5 = 0.2,P(A + B) = P(A)+P(E)卩(应)=0.7 + 0.6-0.5 = 0.8, _ o 2 1故 P(B | A + B)=亠=.0.8 4解法2 利用逆事件及条件概率公式，有P(B | A + B) = 1-P(B | A + B) = P(A + B)=_ + E) = _ p(E)P(A + B) P(A + E)1 P(B) 0. 6P(A) +P(B) -P(AB) 0. 8【例6 设A,B,C是随机事件,A与C互不相容,P(AB)1314 1=-,P(C)2则 PCAB | C) =_.解由条件概率公式，可知又由 AC = 0,知 Au C,

29、AB U C,ABC = AB,故34P(C) l-P(C)1211 一3【例7】设10件产品中有两件次品，从中随机地任取一件，取两次,作不放回抽样，求下列事件的概率：(1)两件都是正品；(2)两件都是次品；(3) 件是正品，一件是次品；(4)第二次取得的是次品.解法1 设(1)(2)(3)(4)中的事件分别用A,B,C,D表示记A = 第乙次取到正品, 则耳=第亍次取到次品,/ = 1,2,则:o 7(1) P(A) = PCA.A2)= P(A1)P(A2 I 4)= x =.10 9 45_ _ 2 11(2) P(B) = P(A1A2) = P(A1)P(A2 I A】)=X =

30、.10 9 45(3) P(C) = P(4 入 2 + 忑 14)= P(A 入 2)+P(忑 *2)=P(4)P(瓦2 I A1)+P(A1)P(A2 I AJ8 2 , 2 8 16=-X- - X - = - 910 9 10 9 45其中(Al忑2)PI (恥2)= 0,即A1入2与忑*2互不相容.(4) P(D) = P(A1 瓦 2 +AM2) = P(A!A2) +P(A!A2)10第一章随机事件及其概率=P(A1)P(忑2 I Al) +P(A1)P(A2 | AJ8 2 2 1 1=X-F X =.10 9 10 9 5解法2 利用古典概型计算.从10件中取两次,不放回，

31、一次取一件，考虑顺序，故样本空间0的样本点数为Pfo,则p2 R 乂 7 28（1）有利于A的样本点数为P?，故PCA）=-=-=.P?o 10 X 9 45p2 2X1 1（2）有利于B的样本点数为Pl，故P（B）=耳=-=pfo 10 X 9 45（3）有利于C的样本点数为RP； +P；R，故厂“、8X2 + 2X8 161 C） = 9p：o 10 X 9 45其中PiP+PP|：由取出两件，一件是正品，一件是次品，可知考虑顺序有两种可能，一种可能是第一次取正品，第二次取次品，有PIP1种取法；另一种可能是第一次取次品，第二次取正品，有巳理种取法，故有利于C的样本点数为RP：

32、+ PIPI.（4）有利于D的样本点数为RR +RP；，故”八、RP+P；P； 8X2 + 2X1 1Pf0 10 X 9 5【例8】一批产品共100件,对产品进行不放回抽样检查，整批产品不合格的条件:在被检查的5件产品中至少有1件是次品，如果在该批产品中有5件是次品，求该批产品被拒绝接收的概率.解设A= 该批产品被拒绝接收,A, = 被检查的第7件产品是次品/=1,2,3,4,5, 则A = Ai + A2 + A3 + A4 + A5.直接利用加法空萝复杂，故转而求逆事件概率.由于P（A） = 1 -P（ U A,） = 1 - p（a,a2a3am=l-PCAJPCA | A) P

33、( (A3 I AA2) P(A4 I AAA) - P( (A5 I AAAA),且P（4）95 ( 一 94 ,- 931 - P(A1)=丽叫 I 4) = -,P(A3 I S)=亦100_ _ 92 PE市忑）=歹吨QI w殖故95 94 9392 91P(A) = l-X X X X 0. 23.100 99 98 97 9699 98【注】【注】求条件概率有两种方法：一是用定义；二是按条件概率直观含义.本例用直观含义：如P（忑3 I耳忑2）指在兀瓦发生条件下，即已抽走了 2件正品，仅剩下98件产品时，其中有5件次品.此时若从产品中任取一件仅有98种可能结果，而有利于 A3的

34、有93种，根据古典概率，有11李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义- - P 0-P(A3 | AiA2)=.98本题可直接用古典概型计算P(A).因为入只有一种情况，即所取5件均为正品，所以P(A)= 亠，从而C?ooQ5P(A) = 1 P(A) = 1 -0. 23.C100【例9】对某一目标依次进行了三次独立的射击，设第一、二、三次射击的命中概率分别为0.4,0. 5和0. 7,求：(1) 三次射击中恰好有一次命中的概率；(2) 三次射击至少有一次命中的概率.解设A = 第。次射击命中目标,/ = 1,2,3,= 三次中恰好有一次命中,C = 三次中至少有一次命中.(1) P

35、(B) = P(A1A2A3)H-P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3)=0. 4 X 0. 5 X 0. 3 + 0. 6 X 0. 5 X 0. 3 + 0. 6 X 0. 5 X 0. 7 = 0. 36.(2) P(C) = P (Ai + A2 + A3) = 1 P (Aj + A2 + A3)=1 PCAA2A3 ) = 1 - 0. 6 X 0. 5 X 0. 3 = 0. 91.【注】【注】一般地，对于积事件A?人”，概率计算用乘法公式，若Ai ,A2,-,An两两相互独

36、立，那么只需知道P(A;),则它们的积、和、逆的概率全部能计算出来.例如：P(Ai -A2) = PCAJCl-PCAJ,P(A +A2 +A3) = P(AO + P(A2) + P(A3) - PCAJPCA - PCAJPCAJ - P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3).【例10】设A,为任意两个随机事件，则( ).A. P(AB) P(A)P(B)C. P(AB)P(A) +P(B)2D. P(AB) P(A) +P(B)2解由 abuaue,知 P( (AB) P(A U B).又由于P(A U B) = P(A) -h P(B) - P(AB), 故P(AB)

38、)P(B).又由P(B | A) P(B |瓦)，可知P(AB) P(AB) _ F(B) -P(AB)P(A) P(A) 1 - P(A)即 P(AB) P(A)P(B),故 P(B | A) P(B | A)是 P(A | B) P(A | B)的充要条件, A正确.题型三全概率公式与贝叶斯公式的应用1. 全概率公式的应用特点(1) 计算复杂事件的概率，它常伴随另一组事件的发生而发生，即求F(B)需要其他事件的信息.(2) 这组事件就是选取合适的划分，构成完备事件组.一般地，全概率公式应用的关键是划分样本空间，如何划分呢？选择事件B的复杂点划分.2. 贝叶斯公式的应用特点贝叶斯公式为

39、, P(AtB) P(A,)P(B | A,)P(At B)=-=-.P(B) - ,P(Ak)P(B | A Jk = l(1) 公式左端的A;与右端分子中A,是同一个事件是固定的，而右端分母对所有k求和，因而右端的分子是分母和式的一项.(2) 贝叶斯公式实现条件B与条件A,的转换，即进行条件的转换.这两个公式简单地说:全概率公式是“由因求果”；贝叶斯公式是“由果索因”.【例12 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,，X中任取一个数，记为丫, 求 PY = 2.解依题设，可知X = 1,X = 2 ,X = 3,X = 4是一个完备事件组，且PX =讣=丄4G = 1,2

40、,34).又由于PY = 2 | X = 1 = O,PY = 2 | X = z = (/ = 2,3,4), i故由全概率公式，有4PY = 2 = PY = 2 | X = iPX = ii=l1 =X41 1 10-H-2 3 4134813李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义【例13】袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球,30个是白球，有两人依次随机从袋中各取一球，不放回，则第二人取到黄球的概率为_.解法1 利用全概率公式.设A, = 第，人取到黄球(z = 1,2),则兀=第0人取到白球(,= 1,2),则P(A2) = P(A2 I Ai)P(Ai)+P(A2 I AJP

41、CAJ2 19 3 20 2=X-1-X =.5 49 5 49 5解法2 依题设，可知此题为抽签问题.20 ?设B = 第二人取到黄球，则P(B)=上.50 5【注】抽签原理：若个签中，有个“有”签,nm个“无”签，个人依次抽签(或某人抽次，将签随机地一个个抽出来)，则第k个人(或某人第k次)(& = 1,m2,，“)抽到“有”签的概率均为一.n抽签原理与抽签的次序无关，与抽签方式(放回还是不放回)无关.【例14玻璃杯成箱出售，每箱20个，假设各箱含0,1,2个残次品的概率分别为0.8, 0. 1和0. 1,某顾客购买一箱玻璃杯时，随机取一箱，顾客开箱随机查看4个，若无残次品，则买下该

42、箱玻璃杯，否则退回，求：(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 在顾客买下的一箱中，确定没有残次品的概率.解 (1)设人=顾客买下所开的一箱,5 = 取的一箱中恰好有z件残次品,/ = 0,1,2.由已知,P(A)的大小要看4个中无残次品的概率，即事件A的复杂点在于所取箱中残次品的个数，故按残次品的个数划分样本空间，可知,5 ,5 ,B2构成完备事件组.依题意，有P(B0) = 0. 8,P(Bi)= 0. 1,F(B2) = 0. 1,C 4 c4 19P(A | Bo) = 1,P(A | 5)=亠=-,P(A | B2)=,5 a 19故由全概率公式，有P(A) = P(B0)P(A |

43、Bo) +P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2)4 12=0. 8 X 1 + 0. 1 X + 0. 1 X 0. 94.5 19(2)由于在顾客已买下的一箱中，求该箱中没有残次品的概率，是“由果索因”，故由贝叶斯公式，得1 P(Bo)P(A Bo) 0. 8 X 1 cF(B0 1 A) - 0. 85.P(A) 0. 94【例15】设有白球与黑球各4个，从中任取4个放入甲盒，余下4个放入乙盒，然后分别在两盒中各任取一个，颜色正好相同，问放入甲盒的4个球中有几个白球的概率最大，并求此概率值.解设人=从甲、乙两盒中各取一球，颜色相同,5 = 甲盒中有7个白球 (

44、(i = 0,1,2,3,4),显然 Bo Bi ,Bz ,B3 ,Bi 构成一完备事件组.一, ,. c4 c4由已知，有 P(B,) = -,i = 0,1, ,4,且14第一章随机事件及其概率3 4P(AIB1) = ?,P(AIB2) = ?,P(AIB3)3= ?,P(A|Bo) = P(A|B4)=0,故由全概率公式，得4P(A)=P(5)P(A 丨 B,)i=Qci a 3 a - ci 4 c a 3=-X-1-X-1-X =C 8 u 8 c 8再由贝叶斯公式，可知378 3X , PCBJPCA 35 8PCBi A)=-=-P(A) 3157P(B2 I A)=P(B2

45、)P(A I B2)P(A)P(B3 I A)P(B3)P(A I B3)P(A)18 4X 35 8 3_ 578 3X 35 8 _ 13 - 57P(B0 | A) = P(B4 I 4) = 0,3 故放入甲盒的4个球中有两个白球的概率最大，最大值为5【例16 一条生产线连续生产件产品不出故障的概率为一(入0)“ = 0,1,2,.设产品 n !的合格率为(01).若各件产品是否为合格品相互独立，求生产线在两次故障之间共生产&以=0,1,2,-)件合格品的概率.解设A, = 两次故障之间共生产了 z件产品 (7 = 0,1,2,)，则A,Ai,A2,构成一个完备事件组，且P(A,

46、) = eA (2 = 0,1,2,).门令Bh = 两次故障之间共生产怡件合格品，则：当i(4)P(5 I A)i=0 i=k Q i=2 C(li=k i !00 ； i i I=Y； e-A - -. (1 _ p)i15李林考研数学系列概率论与数理统计辅导讲义(入F V 入 I (1 7L I e I【说明】这里利用了 e” = 本题中的完备事件组由可数个事件构成. ;=n i !第四节独立性和综合应用1. 独立性的直观意义随机事件A与相互独立是指A与B的发生在概率上互不影响.2. 独立性的定义若P(AB) = P(A)P(B),则称A与E相互独立.【说明】特别地，概率为0或1的事

47、件与任何事件都是相互独立的.3. 互不相容与相互独立的区别和联系(1) 区别若AB = 0,则称互不相容，与概率无关，而相互独立满足P(AB) = P(A)P(B), 是事件人与的概率性质，故两者是不同的概念.(2) 联系当P(A) O,P(B) 0时,A与相互独立=A,B必相容(A,必不互不相容). 事实上，由A与独立，且P(A) O,P(B) 0,有P(AB) = P(A)P(B) 0=AB 工0,即A与B相容.当 AB = 0 且 P(A) O,P(B) 0 时，有 P(AB) = P(0) = 0,而 P(A)P(B) 0, 故 P(AB) #P(A)P(B),g卩A与B互不相容且P(

48、A) 0,P(B) 0=A与不相互独立.【说明】当无条件P(A) 0,P(E) 0时，所得结论与上面的结论不同.如A与E 互不相容，且A = 0(P(A) = 0),则A与任何事件均相互独立.4. 四对事件A与 ,忑与 ,A与B,A与B中，若任一对相互独立，则其余三对相互独立.5. 事件A与E相互独立的充要条件1) P(AB) = P(A)P(B).(2) P(B | A) = P(B) (P(A) 0),人与相互独立P(A | B) = P(A) (P(B) 0).(3) P(B | A) - P(B | A) (0 P(A) 1).(4) | A)+P(E | 忑)=1 (0 P(A)

49、A,B,C两两相互独立，反之不成立.P(AB) = P(A)P(B),【说明】亠 P(AC) = P(A)P(C), 若2|P(BC) = P(E)P(C),则称A,B,C相互独立.P(ABC) = P(A)P(E)P(C),7.利用独立性简化概率的计算右A 9人2，9相互独立，则PCAMz-AJ = PCAJPCAJ-PCAJ, nP(U A;) = 1 Hl P(A).1=1 i=1&独立的性质若A ,A2，,A”相互独立，则由缰，比，经过运算后所得事件c(A，施) 与A屮，去+2，人”经过运算后所得事件兀(A加，如)也相互独立，其中八,仇，为1,2,，九的任何一个排列.【说明】若A,

50、B,C,D相互独立，则AB与CD定相互独立，但与瓦D不一定相互独立.利用该结论时，应注意分组不能重叠！9.对立(逆)事件与互不相容事件的区别和联系互不相容【说明】事件A与对立，即B = A,是指在一次试验中，A与必有一个发生，且至多只有一个发生.但A与E互不相容是指AE = 0,即A与B可以同时不发生.例如，在一次考试中，及格与不及格总有一个发生，它们对立且不相容；70分与80分互不相容，但是不对立.卩典型例题分析*题型一互不相容与独立性【例1】设是任意两个概率不为零的互不相容事件，则( ).A.忑与亏互不相容 B忑与百相容C. P(AB) = P(A)P(B) D. P(A-B)

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