1、第14章 线性动态电路的 复频域分析14.1拉普拉斯变换的定义14.2拉普拉斯变换的基本性质14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开14.4运算电路14.5用拉普拉斯变换法分析线性电路14.6网络函数的定义14.7网络函数的极点和零点14.8极点、零点与冲激响应14.9极点、零点与频率响应首 页本章重点l重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念(4) 网络函数的极点和零点返 回 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变
2、换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。14.1 拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法下 页上 页返 回例一些常用的变换对数变换乘法运算变换为加法运算相量法时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换F(s)(频域象函数)对应f(t)(时域原函数)下 页上 页返 回2. 拉氏变换的定义定义 0 , )区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：正变换反变换s 复频率下 页上 页返 回积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 积分域注意今后讨论的均为0 拉氏变换。0 ,0区间 f(t) =(t)时此项 0象函数F(s)
3、 存在的条件：下 页上 页返 回如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足： 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。下 页上 页象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)返 回3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数下 页上 页返 回(3)指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数下 页上 页返 回14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质下 页上 页证返 回例1解例2解 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数
4、再进行相乘及加减计算。下 页上 页结论返 回2. 微分性质下 页上 页证若足够大0返 回例解下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数返 回推广：解下 页上 页返 回下 页上 页3.积分性质证应用微分性质0返 回下 页上 页例解返 回4.延迟性质下 页上 页证返 回例1例2求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解下 页上 页TTf(t)o1Ttf(t)o返 回求周期函数的拉氏变换 设f1(t)为一个周期的函数例3解下 页上 页.tf(t)1T/2 To返 回下 页上 页对于本题脉冲序列5.拉普拉斯的卷积定理返 回下 页上 页证返 回14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求
5、解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把F(s)分解为简单项的组合部分分式展开法返 回利用部分分式可将F(s)分解为：下 页上 页象函数的一般形式待定常数讨论返 回待定常数的确定：方法1下 页上 页方法2求极限的方法令s = p1返 回下 页上 页例解法1返 回解法2下 页上 页原函数的一般形式返 回下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数注意返 回下 页上 页返 回例解下 页上 页返 回下 页上 页返 回例解下 页上 页返 回 n =m 时将F(s)化成真分
6、式和多项式之和 由F(s)求f(t) 的步骤： 求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换下 页上 页小结返 回例解下 页上 页返 回14.4 运算电路基尔霍夫定律的时域表示：1.基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式对任一结点对任一回路返 回u=Ri2.电路元件的运算形式 电阻R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+-时域形式：R+-返 回 电感L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得L的运算电路下 页上 页i(t)+ u(t) -L+ -sLU(s)I(s)+-时
7、域形式：sL+ U(s)I(s ) -返 回 电容C的运算形式C的运算电路下 页上 页i(t)+ u(t) -C时域形式：取拉氏变换,由积分性质得+ -1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -返 回 耦合电感的运算形式下 页上 页i1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：取拉氏变换,由微分性质得互感运算阻抗返 回耦合电感的运算电路下 页上 页+-+sL2+sM+ +sL1- +返 回 受控源的运算形式受控源的运算电路下 页上 页时域形式：取拉氏变换b i1+_u2i2_u1i1+R+_+R返 回3. RLC串联电路的运算形式下 页上 页u (t)RC-+i
8、LU (s)R1/sC-+sLI (s)时域电路 拉氏变换运算电路运算阻抗返 回下 页上 页运算形式的欧姆定律u (t)RC-+iL+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)拉氏变换返 回下 页上 页+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)返 回 电压、电流用象函数形式； 元件用运算阻抗或运算导纳表示； 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式小结例给出图示电路的运算电路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0 时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路返 回注意附加电源下 页上 页1F100.5
9、H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 运算电路返 回14.5 应用拉普拉斯变换法 分析线性电路由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。下 页上 页1. 运算法的计算步骤返 回例1(2) 画运算电路解(1) 计算初值下 页上 页电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回(3) 应用回路电流法下 页上 页1/ss1
10、1/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回下 页上 页(4)反变换求原函数返 回下 页上 页例2，求uC(t)、iC(t)。图示电路RC+ucis解画运算电路1/sC+Uc(s)R返 回下 页上 页1/sC+Uc(s)R返 回t = 0时打开开关 ,求电感电流和电压。例3下 页上 页解计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意返 回UL1(s)下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回3.75ti1520下 页上
11、 页uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返 回下 页上 页注意由于拉氏变换中用0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求 t =0+时的跃变值。两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。 满足磁链守恒。返 回下 页上 页返 回14.6 网络函数的定义1. 网络函数H（s）的定义 线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数H(s)。下 页上 页返 回由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（
12、导纳），电压转移函数或电流转移函数。下 页上 页注意若E(s)=1，响应R(s)=H(s)，即网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。2.网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回例下 页上 页1/4F2H2i(t)u1+-u21解画运算电路返 回下 页上 页I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s s)2+-1返 回例下 页上 页解画运算电路电路激励为，求冲激响应GC+ucissC+Uc(s)G返 回下 页上 页3. 应用卷积定理求电路响应结论 可以通过求网络函数H(s)与任意激励的象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响
13、应 。 返 回K1=3 , K2= -3例解下 页上 页图示电路 ，冲激响应，求uC(t)。线性无源电阻网络+-usCuc+-返 回14.7 网络函数的极点和零点1. 极点和零点下 页上 页当 s =zi 时，H(s)=0， 称 zi 为零点， zi 为重根，称为重零点；当 s =pj 时，H(s) ， 称 pj 为极点，pj 为重根，称为重极点；返 回2. 复平面（或s 平面） 在复平面上把 H(s) 的极点用 表示 ，零点用 o 表示。零、极点分布图下 页上 页zi ， Pj 为复数joo返 回例绘出其极零点图。解下 页上 页返 回下 页上 页24-1jooo返 回14.8 极点、零点与冲
14、激响应零状态e(t)r(t)激励 响应下 页上 页1. 网络函数与冲击响应零状态(t)h(t) 1 R(s)冲击响应H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回H0=-10例 已知网络函数有两个极点为s =0、s =-1，一个单零点为s=1，且有 ，求H(s) 和 h(t)解由已知的零、极点得：下 页上 页返 回下 页上 页2. 极点、零点与冲激响应 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：讨论当pi为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，当pi为正实根时，h(t)为增长的指数函数； 极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。注意返 回下 页上
15、 页jo不稳定电路稳定电路返 回下 页上 页jo当pi为共轭复数时，h(t)为衰减或增长的正弦函数； 不稳定电路稳定电路返 回下 页上 页j0当pi为虚根时，h(t)为纯正弦函数，当Pi为零时，h(t)为实数； 注意 一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。返 回14.9 极点、零点与频率响应 令网络函数H(s)中复频率s =j，分析H(j)随变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。 对于某一固定的角频率下 页上 页返 回幅频特性相频特性下 页上 页例定性分析RC串联电路以电压uC为输出时电路的频率响应。RC+_+u2_uS解返 回一个极点下 页上 页RC+_+u2_uS用线段M1表示j-1/RCM11M2j1j2o返 回幅频特性相频特性下 页上 页|H(j)|1低通特性o123|(j)|-/2o123返 回若以电压uR为输出时电路的频率响应为：上 页RC+_+u2_uS|H(j)|1/RC10.707oj-1/RCM1N111oo返 回
