1、电动力学讲义Prof. Lei ZhouSeptember 26, 2013ii目录1麦克斯韦方程组11.1静电现象的基本理论描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1库仑定律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.2叠加原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.1.3电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.4电场的散度性质-
2、高斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . .41.1.5静电场的旋度安培环路定理 . . . . . . . . . . . . . .81.1.6电偶极子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2静磁现象的基本理论描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2.1电流（磁的来源、与电荷对比）. . . . . . . . . . . .111.2.2安培定律（与库仑定律对比） . . . . . . . . . . . . . .141.2.3磁场 . .
3、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2.4B( r)的散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2.5B( r)的旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.6磁偶极子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3电磁感应定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4、. .221.4麦克斯韦方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.4.1第一条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.4.2第二条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27iiiiv目录1.4.3第三条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.4.4第四条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . .
5、 . . . . . . .281.5介质中的麦克斯韦方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.5.1介质的极化及磁化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.5.2极（磁）化电荷（流） . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.5.3介质中的Maxwell方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . .391.5.4本构关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401.6麦克斯韦
6、方程组的边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422电磁场的守恒定律和对称性472.1真空中电磁场的能量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.2电磁场的动量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532.3介质中的电磁能量和动量守恒定律. . . . . . . . . . . . . . .612.3.1电磁能量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612.3.2电磁动量. . .
7、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643静电学I 导体静电学693.1静电问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693.1.1静电基本方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693.1.2静电条件下导体的边界条件 . . . . . . . . . . . . . . .713.2格林互易定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .723.3
8、导体系的能量、固有能和相互作用能 . . . . . . . . . . . . . .763.3.1利用静电标势来表示静电能量 . . . . . . . . . . . . . .763.3.2电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .783.3.3固有能和相互作用能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843.4静电体系的稳定性问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .863.4.1汤姆孙定理 . . . . . . . . .
9、 . . . . . . . . . . . . . . .873.4.2恩肖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89目录v3.5导体表面所受的静电力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .913.5.1方法1：Maxwell张量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .923.5.2方法2：直接计算电荷受力 . . . . . . . . . . . . . . . .934静电学II - 电介质静电学974.1电介质边界条件 . . . . .
10、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .984.2唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3镜像法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4本征函数展开法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.1轴对称的球坐标系问题（与变量无关） . . . . . . . . 1134.4.2与z无
11、关的柱对称问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5多极矩法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.6多极矩同外场的相互作用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.6.1电偶极矩在外场中受的力. . . . . . . . . . . . . . . . 1344.6.2电偶极矩在外场中受的力矩 . . . . . . . . . . . . . . . 1355静磁场1375.1磁场的矢势方程和边值关系 . .
12、. . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2静磁场的唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3磁场的矢势解法：二维问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.4磁场的标量势解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4.1磁标势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.2线性磁介质中磁场问题
13、. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.3铁磁介质问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.5磁多极矩展开磁偶极子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.5.1磁多极展开及磁偶极子产生的势. . . . . . . . . . . . 1615.5.2磁偶极子在外磁场中的能量、受力及力矩. . . . . . . 165vi目录6似稳场（准静场）1716.1似稳条件. . . . . . . . . . . . . . . . . .
14、 . . . . . . . . . . . 1726.2似稳场方程场的扩散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.3导体表面层内的场分布趋肤效应. . . . . . . . . . . . . . . 1807电磁波的传播1857.1电磁波在非导电介质中的传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2波的偏振和偏振矢量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.2.1线偏振 . . . . . . . . . . . . . .
15、 . . . . . . . . . . . . . 1947.2.2椭圆偏振. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.2.3圆偏振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.3金属的等效介电常数Drude模型 . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.3.1色散介质的本构关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.3.2金属的有效电导率. . . . . . . . .
16、. . . . . . . . . . . 2007.3.3金属有效介电函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.4电磁波在导电介质中的传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.4.1良导体在GHz及以下频段. . . . . . . . . . . . . . . . 2067.4.2良导体在光波段（等离子体中的光波） . . . . . . . . . 2097.4.3非良导体. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.5旋
17、光介质中的电磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.5.1旋光介质的本构关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.5.2旋光介质中的电磁波本征态 . . . . . . . . . . . . . . . 2157.5.3法拉第效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.6电磁波在介质面上的反射和折射 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.6.1电磁波边界条件 . . .
18、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.6.2反射、折射的基本规律Snells Law（斯涅尔定律） . 2197.6.3振幅关系Fresnels Law（菲涅耳定律） . . . . . . . . 2227.6.4反射率及透射率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225目录vii7.6.5正入射条件下反射的几点讨论 . . . . . . . . . . . . . . 2277.6.6Brewster 角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19、 . . . 2277.7全反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.7.1全反射临界角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.7.2折射波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.7.3折射波能流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318波导和谐振腔2338.1波导管中的场方程和边界条件 .
20、. . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.1.1边界条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348.1.2场方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.2矩形波导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.2.1TE波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
21、78.2.2TM波. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.3谐振腔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439电磁波的辐射2499.1势、规范、及其满足的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.1.1势的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.1.2规范条件（Gauge）. . . . . . . . .
22、 . . . . . . . . . . 2519.1.3势所满足的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.2推迟势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.3多极辐射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2559.3.1推迟势的多极展开. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.3.2电偶极辐射 . . . . .
23、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579.3.3磁偶极辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.4线型天线辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629.5天线阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265viii目录10 相对论电动力学26910.1 狭义相对论的时空观 . . . . . . . . . . . .
24、 . . . . . . . . . . . 26910.1.1 绝对时空观 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27010.1.2 绝对时空观的困难. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27110.1.3 爱因斯坦的选择 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.1.4 洛伦兹变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.2 物理规律协变性的数学形式 . . . .
25、. . . . . . . . . . . . . . . 27510.2.1 物理量按时空变换性质分类 . . . . . . . . . . . . . . . 27610.2.2 物理量的四维时空变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.2.3 物理规律的协变性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27910.2.4 速度及四维速度矢量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.3 麦克斯韦方程的协变形式. . . . . . . . . . . . .
26、 . . . . . . . 28310.3.1 电荷守恒定律四维电流矢量 . . . . . . . . . . . . . . 28310.3.2 电磁势方程的协变形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.3.3 电磁场张量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28610.4 电磁场的变换公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288参考书目293第一章麦克斯韦方程组我们在大学物理的“电磁学”部分已经学习了许多电磁现象。在那
27、里的数学语言比较简单，比如，通常只利用到积分运算，不涉及微分运算。在电动力学中，我们将使大量使用矢量微分运算等较为复杂的数学工具。本章中，我们将利用矢量运算的语言简要回顾一下Maxwell方程组，为以后章节中利用这组方程继续深入了解各种电磁现象打下基础。1.1静电现象的基本理论描述1.1.1库仑定律人们定量研究电磁现象是从库仑开始的。1785年，库仑做了大量的实验，总结发现真空（空气）中两个点电荷（自身尺寸无限小）之间的作用力满足F12=140q1q2r312 r12(1.1.1)其中q1, q2为两个点电荷所带的电量（单位为C），0 8.851012C2/N 12CHAPTER 1.麦克斯韦
28、方程组? ? ? ? ? ? ? 图 1.1m2为真空介电常数， r12= r1 r2为2指向1的矢量。1.1.1式是由大量实验事实总结出来的数学表达式,物理意义包含了： 牛顿第三定律F12= F21 向心力 平方反比 同性相斥、异性相吸1.1.2叠加原理库仑定律是针对一对点电荷成立的，若同时存在多个点电荷会如何呢？另外，自然界存在的带电体大多数为连续带电体，对这种情况，静电力又如何描述呢？实验发现，当同时存在多个电荷时，某一特定电荷所受的作用力为其他所有电荷独立施与其上的作用力的线性叠加:Fi=140Ni=jqiqjr3ij rij(1.1.2)这个原理的核心在于：电荷之间的相互作用为两体相
29、互作用，与第三者的存在与否、大小、正负号都没有关系。这也是一个实验定律，被大量实验事实所证实。有了这个定律，我们可以非常容易地计算连续带电体之间的相互作用力。1.1.静电现象的基本理论描述3? ? ? ? ? ? ?(? ?)? 图 1.2考虑一个连续带电体对处于 r带电量为q的力。将连续带电体分成许多微元，其中一个为处于 r2= r带电量为q2= ( r)的点电荷。这里( r) = (q/)r0为电荷密度，而为此微元的体积。则根据库仑定律以及线性叠加原理，整个带电体对的静电力为F =140q( r)dR3R(1.1.3)其中，R = r r。（注：一般情况下我们把源所出的坐标用 r标记，观察
30、点的坐标用 r标记，由源到观察点的矢量用R来标记。）进一步推广，当有两个连续带电体，其电量分布分别为1, 2时，带电体1受到带电体2的总的静电力为F12=1401( r)2( r)ddR3R(1.1.4)1.1.3电场由1.1.3可知，对电荷q来说，其所受的力与其本身的电量成正比。这启发我们定义一个物理量E( r) =F( r)/q(1.1.5)这个新的物理量与放在这个位置的电荷没有任何关系，而只与空间其他电荷在此地产生的效果有关。这个量被称为电场。电场的引入，不仅方便我们计算静电力，更重要的是给了我们一个静电相互作用的新的图像。4CHAPTER 1.麦克斯韦方程组原来的电荷q1超距= = 电
31、荷q2新的电荷q1电场 电荷q2这个图像与原有的超距相互作用的图像是不一样的，关键是后者引入了作为作用力中介而存在的电场。在静电范畴分辨不出这两种图像的区别，但当所有物理量随时间变化时，可以清楚地看到第二种图像是正确的，而第一种是不正确的。电场象所有其他物质一样，具有能量、动量等，是一种客观存在的物质。显然，一个连续带电体在空间产生的电场为E( r) =140( r)dR3R(1.1.6)1.1.4电场的散度性质-高斯定理数学上讲，要完整了解一个矢量场的性质，我们需知道这个场的散度和旋度两方面的性质。换言之，我们需知道场对任意闭合曲面的面积分，及对任意闭合曲线的线积分。关于场的散度性质，我们需
32、知道对于任何闭合曲面电场的面积分。在电磁学中我们知道HE( r) dS = Q/0。证明如下：我们先来看点电荷的情况：E =140qr2 er(1.1.7)1. 闭合曲面包含电荷E S =140qr2 S(1.1.8)=140qr2 r2 (1.1.9)=q40(1.1.10)1.1.静电现象的基本理论描述5+ 图 1.3则IE dS =q40d =q40d =q0(1.1.11)? ? ? ? 图 1.46CHAPTER 1.麦克斯韦方程组图 1.52. 闭合曲面内不包含电荷IE dS =E dS1+E dS2(1.1.12)=Ni=1E( ri) Si+Nj=1E( rj) Sj(1.1.
33、13)=ii+ (i)(1.1.14)= 0(1.1.15)+ ? ? ? ? 图 1.63. 线性叠加原理1.1.静电现象的基本理论描述7+ ? ? ? 图 1.7IE dS =iqi0=( r) d/0(1.1.16)此即为Gauss定理的数学表达形式。利用数学中矢量场的高斯定理，我们可以把1.1.16改写为IE dS = E( r)d =( r) d/0(1.1.17)考虑到曲面的任意性，我们得 E( r) = ( r)/0(1.1.18)上式为Gauss定理的微分表达式。从几何上理解，Gauss定理描述的是场线在空间的分布是否存在奇点，当散度为0时，场线在此处连续，而散度不为0时就表示
34、空间出现了奇点（或导致场线汇聚、或导致发散）。直接对1.1.6式中电场求散度，得 E( r) =140( r)d( RR3)(1.1.19)对比1.1.18与1.1.19，我们得到一个非常有用的公式 (RR3)= 4(R)(1.1.20)Tips：严格直接证明上述公式相当不容易，很多时候把它当作已知的公式直接使用。你能否从数学上严格证明？自己尝试一下！8CHAPTER 1.麦克斯韦方程组1.1.5静电场的旋度安培环路定理现在我们研究电场的旋度性质 E =?，这等价于研究静电场对任意环路的线积分：HEdl =?。在电磁学中，我们通常的求解方法如下： 将电场对任意路径的积分分解为:1. 电场沿径向
35、的积分2. 电场沿切向的积分 利用静电场为向心力这一特点可知，（2）的贡献为0，只需考虑（1）的贡献。 对任意环路，HE dl积分可以简化到一个径向的积分，因此其结果恒为0。这里我们利用更高等的数学方法证明。首先注意一个非常有用的公式：r = r/r R =R/R(1.1.21)由此可以得到另一个恒等式:(1R)= RR2= 1R2RR= RR3(1.1.22)注：此处用到分部微分公式：f(r) =frr, f(R) =fRR，其实算符同时具有矢量性和微分性，在标量做梯度运算时只显示微分性，因此常规的分部计算法可以大胆地使用。将上述恒等式带入场的定义：E( r) =140( r)dR3R(1.
36、1.23)1.1.静电现象的基本理论描述9即可得E( r) = 140( r)d (1R)(1.1.24)= 140( r)Rd(1.1.25)= ( r)(1.1.26)其中( r) =140( r)Rd(1.1.27)为标量势。利用静电场的标量势表达1.1.24，我们得到静电场的环路定理的积分表达形式：IE dl = I( r) dl = I(/l) dl 0(1.1.28)其中/l意味着沿着环路的切线方向对求偏导。上式的物理意义为静电场是保守场。也可以将环路定理写成微分形式: E( r) = ( r) 0(1.1.29)物理意义是静电场是无旋场。“无旋”、“保守”、可定义标量势这三者是相
37、互关联，可以相互导出的，其本质都来源于静电场是向心力。思考：还有什么形式的场可以定义标量势？注：到现在为止， E = /0和 E = 0已经给了我们非常完整的电场的图像：有源（从正电荷出发散出来，到负电荷出汇聚），无旋（有头有尾，有始有终）。1.1.6电偶极子当施加电场于一个中性的物体上时，电场将物体中的正/负电荷拉开。因此为了描述物质的这种对外场的响应，人们定义电偶极子为两个相聚很10CHAPTER 1.麦克斯韦方程组+ ? + ? + ? + ? + ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图 1.8近的带等电量的正负电荷组成的体系，并研究其电行为。偶极子的大小由偶极距描述，其定义为
38、p = ql，方向由负电指向正电（思考：为什么要这样定义？）。其实对任意的一个带电体，在远场看，最低价近似下可看成以q为带电体总带电量的一个点电荷的贡献，再进一步就能“感受”到偶极子的场的贡献。偶极子场比点电荷的场衰减的快，所以要近一点才能看到。因此研究电偶极子具有重要意义。具体计算偶极子的电势为( r) =q40(1r+1r)(1.1.30)q40r r+r2(1.1.31)q40lcosr2(1.1.32)=pcos40r2(1.1.33)= p r40r3(1.1.34)1.2.静磁现象的基本理论描述11我们注意到偶极子的电势果然比点电荷的电势更快地衰减。计算可知E( r) = (1.1
39、.35)= 140( p r)r3+ p r1r3(1.1.36)= 140 p 3( p r) rr3(1.1.37)非常容易可以计算出场的分量形式（设 p z）：Er=pcos20r3(1.1.38)E=psin40r3(1.1.39)E= 0(1.1.40)Tips：与电磁学相比较，电动力学中更讲究数学形式的紧凑的矢量表述方式，而不是写成分量后的形式或是在某一些特定条件下的（比如r z）形式。熟练掌握常用的几个矢量运算是必要的：r = r/r,(rn) = nrn1 r, 2(1/r) = 4 ( r)等。1.2静磁现象的基本理论描述磁现象的描述要比电现象复杂。在1820 年之前，磁现象
40、是与磁铁（磁石）等相连，表现神秘，不易定量研究。直至Oersted发现电流也可以产生与磁铁一样的现象，人们才可以定量研究磁现象。我们下面将与电现象对比，简要总结静磁现象的基本理论描述。1.2.1电流（磁的来源、与电荷对比）电流顾名思义为电荷的流动。为定量描述电荷流动，定义电流12CHAPTER 1.麦克斯韦方程组为：单位时间内垂直穿过某一特定截面的电荷量，用I表示：I = q/t?S(1.2.1)I是个描述电荷流动的积分的总效果。为了更微观地看电荷的流动情况，定义电流密度j为单位面积单位时间通过的电荷量j =qtS，可以推知j =tS=SvttS= v。+ ? ? ? ? 图 1.9进一步考虑
41、电流密度的矢量性，可以推广以上结果定义矢量形式的电流密度：j = ( r) v( r)(1.2.2)式中 v代表在 r处的电荷的运动速度，为电荷密度。考虑电流密度的矢量性之后，其与电流I之间的关系为更一般的形式:j = ( r) v( r) = I =Sj dS(1.2.3)上式显然是合理的，因为只有投影到dS方向上的电流密度才能通过这块面积，而与其平行的分量对通过此截面积的总电流I没有贡献。电荷守恒：实验表明电荷是守恒的，即电荷不能消灭及产生，而只能转移。在空间内任取一封闭曲面S，单位时间内穿流出去的电荷量为（根据电流密度的定义1.2.1）HSj dS，流出去的电荷量应等于封闭曲面S内总1.
42、2.静磁现象的基本理论描述13电荷在单位时间内的减少量，即ddtVd, V 是S所包围的体积，所以ISj dS = ddtVd(1.2.4)根据高斯定理，有j dS =V jd(1.2.5)代入1.2.4可得V( j +t)d = 0(1.2.6)由于曲面S是任意选取的，所以被积函数恒为零，即 j +t= 0(1.2.7)1.2.7式是电荷守恒定律的数学表达式，也称连续性方程。图 1.10注：所有的“*流密度”的微观形式都是“*密度（乘以）速度”，如粒子流密度，能流密度，物理意义均为单位时间单位面积通过的粒子数（能量、电荷等）。守恒律的普遍表达形式（粒子数守恒、能量守恒、）为：流密度的散度+数
43、密度的变化率= 014CHAPTER 1.麦克斯韦方程组在稳定电流情况下，由于/t = 0，所以有 j = 0，电流密度的散度为0。这一点从几何上看意味着电流线在空间任何一点均没有源头，这表示稳恒条件下电流线是闭合无源的。非稳恒时电流线的汇聚/发散总是伴随着电荷的积累，亦即/t项。1.2.2安培定律（与库仑定律对比）既然电流是磁场的来源，类比库仑定律，我们应考虑两个这样的基本单位（电流元，定义为jd,与d地位相仿）之间的作用力。安培定律就是这样一个实验定律，其地位与库伦定律相仿。若真空中的两个电流元j1d1和j2d2，则安培定律告诉我们2对1的作用力dF12为dF12=04j1d1 (j2d2
44、R12)R312(1.2.8)其中R12= r1 r2为2指向1的位置矢量。与库仑定律比较，我们可以看到：1. 电流元之间的相互作用力也服从平方反比律。2. 电流元之间作用力非向心力磁场的散度及旋度行为与电场将截然不同！3. 电流元之问的相互作用力不满足牛顿的作用力与反作用力定律，即dF12= dF21（比如考虑下图的情况）。? ? 图 1.11对这个问题的简单回应是因为实际上不可能存在稳定的电流元，实验所能测量的只能是闭合回路的情况。1.2.静磁现象的基本理论描述15以下为选读内容考虑两闭合载流线圈，则2对1的作用力为F12=0I1I24Il1Il2dl1 (dl2R12)R312(1.2.
45、9)? ? ? 图 1.12利用矢量公式A (B C) =B(C A) C(A B)（非常有用，请牢记），可得F12=0I1I24Il1Il2dl2(dl1R12)R312R12(dl2 dl1)R312(1.2.10)= 0I1I24Il2dl2Il1dl1 1R120I1I24Il1Il2R12(dl2 dl1)R312(1.2.11)= 0 + 0I1I24Il1Il2R12(dl2 dl1)R312(1.2.12)= F21(1.2.13)即闭合回路之间的相互作用力满足牛顿第三定律。以上为选读内容16CHAPTER 1.麦克斯韦方程组然而我们对这个经典回答并不满足，深思以后，至少有这样
46、几个问题值得研究：1. 我们可以让一个电荷做匀速运动（速度光速），这样就制造出空间的一个电流元j = qv( r vt x)，这样两个匀速运动的电荷之间的磁力是什么？2. 它们两个的相互作用满足不满足牛顿第三定律呢？为什么？3. 牛顿第三定律是本质的定律吗？若不是，其本质是什么？1.2.3磁场类比电场的定义，可定义磁场。将作用在电流元j1d1上的力写为dF1=j1d1B( r)(1.2.14)其中B( r) =04j2d2R12R312为电流元j2d2在 r处产生的磁场。由叠加原理，对任意的电流分布j( r)，其在在 r处产生的磁场为B( r) =04j( r)dRR3(1.2.15)函数B(
47、 r)称为磁感应强度（纯粹是由于历史上的原因才不把它称为磁场强度）。上式常称为Biot-Sarvart定律。以速度 v运动的电荷q产生的电流密度为j = q v( r vt x)（仅在v光速时成立），因此其在B场中所受的力为F =q( r vt x)d v B = q v B(1.2.16)若空间既有磁场又有电场，则总受力为F = q(E + v B)(1.2.17)这就是描述带电粒子在空间既有电场又有磁场时的受力Lorentz 力。1.2.静磁现象的基本理论描述171.2.4B( r)的散度要完整理解矢量场的全部特征，须研究其散度和旋度。对比具有平方反比+径向的静电场，磁场为横向场，故可以预
48、期B场的散度及旋度性质一定与静电场相当不同。考虑散度性质，利用计算标势时采用的技巧，可将磁场改写为B( r) =04j( r) RR3d(1.2.18)= 04j( r) (1R)d(1.2.19)=04 (1R)j( r)d(1.2.20)=04 j( r)Rd(1.2.21)= 04j( r)Rd(1.2.22)= A(1.2.23)其中A( r) =04j( r)Rd(1.2.24)定义为矢势，地位与电场的标势相对应。因此 B( r) = ( A) 0(1.2.25)注：1. 在1.2.21的推导中，中，我们用到了矢量运算公式 ( a) = ( a) + a(1.2.26)18CHAPT
49、ER 1.麦克斯韦方程组以及j( r)不依赖于 r的性质。先利用分步微分将分解： R+j，然后分别运算到R和j： (j( r)R)= R(1R)j( r) +(jj( r)/R(1.2.27)注意到jj( r) 0(因为j( r)不依赖于r）, 故 (j( r)R)= (1R)j( r)(1.2.28)2. 尽管我们本节研究的是稳恒电流，此处的推导丝毫没有假设电流不依赖于时间。换言之，若随时间变化的电流产生的磁场仍由B-S定律描述，则此时高斯定理仍成立。这条性质在随后我们推广Maxwell方程式到非稳态时有重要作用。1.2.5B( r)的旋度下面来求B( r)的旋度。由1.2.23式得 B(
50、r) = ( A) = ( A) 2A(1.2.29)注：上面这个公式可以通过将矢量叉积公式 a(b c) =b( a c) c( ab)（这个公式非常有用，应当牢记）作代换 a, b, c A得到。先看第一项： A = 04j( r)Rd=04 (1R)j( r)d(1.2.30)利用恒等式f(R)=fRR =fR( r r)Rf(R)=fRR =fR( r r)R f(R) = f(R)(1.2.31)1.2.静磁现象的基本理论描述19注：注意和的不同，前者作用在变量 r观察点坐标，后者作用于变量 r源所在坐标。可将1.2.30式改写成全微分的形式 A = 04 (1R)j( r)d(1.
