1、 1 【高中】数学精品笔记 常用公式及常用结论整理 1. 元素与集合的关系元素与集合的关系 UxAxC A , ,UxC AxA . . 2 2. .德摩根公式德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC BIUUI. . 3 3. .包含关系包含关系 ABAABBIUUUABC BC AUAC B IUC ABRU6 6 4 4. .容斥原理容斥原理 ()()card ABcardA cardBcard ABUI ()()card ABCcardA cardBcardCcard ABUUI()()()()card ABcard BCcard CAcard ABCIII
2、II. . 5 5 集合 集合12 ,na aaL的子集个数共有的子集个数共有2n 个； 真子集有个； 真子集有2n1 1 个； 非空子集有个； 非空子集有2n 1 1个；非空的真子集有个；非空的真子集有2n2 2 个个. . 6 6. .二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 (1)(1)一般式一般式2( )(0)f xaxbxc a; ; (2)(2)顶点式顶点式2( )()(0)f xa xhk a; ; (3)(3)零点式零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. . 7.解连不等式解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式常有以下转化形式 ( )Nf xM (
3、 ) ( )0f xMf xN |( )|22MNMNf x( )0( )f xNMf x 11( )f xNMN. . 8.8.方程方程0)(xf在在),(21kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与0)()(21kfkf不等价不等价, ,前者是后前者是后者的一个必者的一个必要而不是充分条件要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程)0(02acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在),(21kk内内, ,等价于等价于0)()(21kfkf, ,或或0)(1kf且且22211kkabk, ,或或0)(2kf且且22122kabkk. . 9.9.闭区间上的二次函数的最
4、值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间在闭区间qp,上的最值只能在上的最值只能在abx2处及区处及区间的两端点处取得，具体如下：间的两端点处取得，具体如下： (1)(1)当当 a0a0 时， 若时， 若qpabx,2， 则， 则minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xf pf qa； qpabx,2，maxmax( )( ),( )f xf pf q，minmin( )( ),( )f xf pf q. . (2)(2) 当当aa0a0) ) （1 1）)()(axfxf，则，则)(xf的周期的周期 T=T=a a； （2
5、2）0)()(axfxf， 或或)0)()(1)(xfxfaxf， 或或1()( )f xaf x ( ( )0)f x , , 5 或或21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x, ,则则)(xf的周期的周期 T=T=2a2a； (3)(3)0)()(11)(xfaxfxf，则，则)(xf的周期的周期 T=3T=3a a； (4)(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且且1212( )1( ( )()1,0 | 2 )f af xf xxxa，则，则)(xf的周期的周期 T=4T=4a a； (5)(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f
6、xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, ,则则)(xf的周期的周期 T=5T=5a a； (6)(6)()()(axfxfaxf，则，则)(xf的周期的周期 T=6T=6a.a. 3030. .分数指数幂分数指数幂 (1)(1)1mnnmaa（0,am nN，且，且1n ）. . (2)(2)1mnmnaa（0,am nN，且，且1n ）. . 3131根式的性质根式的性质 （1 1）()nnaa. . （2 2）当）当n为奇数时，为奇数时，nnaa； 当当n为偶数时，为偶数时，,0|,0nna aa
7、aa a. . 3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 (1)(1) (0, ,)rsr saaaar sQ. . (2)(2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. . (3)(3)()(0,0,)rrraba b abrQ. . 注：注： 若若 a a0 0，p p 是一个无理数，则是一个无理数，则 a ap p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用质，对于无理数指数幂都适用. . 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN. . 3434. .对数的换底
8、公式对数的换底公式 logloglogmamNNa ( (0a , ,且且1a , ,0m, ,且且1m, , 0N ).). 推论推论 loglogmnaanbbm( (0a , ,且且1a , ,0m n , ,且且1m, ,1n , , 0N ).). 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a0 0，a a1 1，M M0 0，N N0 0，则，则 (1)(1)log ()loglogaaaMNMN; ; (2) (2) logloglogaaaMMNN; ; (3)(3)loglog()naaMnM nR. . 36.36.设设函数函数)0)(log)(2acbxax
9、xfm, ,记记acb42. .若若)(xf的定义域为的定义域为R, ,则则0a，且，且0; ;若若)(xf的值域为的值域为R, ,则则0a，且，且0. .对于对于0a的情形的情形, ,需要需要单独检验单独检验. . 6 37.37. 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若0a , ,0b , ,0 x , ,1xa, ,则函数则函数log ()axybx (1)(1)当当ab时时, ,在在1(0,)a和和1(,)a上上log ()axybx为增为增函数函数. . ， (2)(2)当当ab时时, ,在在1( 0 ,)a和和1(,)a上上log()axybx为减函数为减函数. . 推
10、论推论:设设1nm，0p ，0a ，且，且1a ，则，则 （1）log()logmpmnpn. . （2）2logloglog2aaamnmn. . 38. 38. 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为p，则对于时间，则对于时间x的总产值的总产值y，有，有(1)xyNp. . 3939. .数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 11,1,2nnnsnassn( ( 数列数列na的前的前 n n 项的和为项的和为12nnsaaaL) ). . 4040. .等差数列的等差数列的通项公式
11、通项公式 *11(1)()naanddnad nN； 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad 211()22dnad n. . 4141. .等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq； 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q 或或11,11,1nnaa qqqsna q. . 4242. .等比差数列等比差数列 na: :11,(0)nnaqad ab q的通项公式为的通项公式为 1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq； 其前其前 n n 项和公
12、式为项和公式为 7 (1) ,(1)1(),(1)111nnnbn nd qsdqdbn qqqq. . 43.分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款(1)(1)1nnabbxb元元(贷款贷款a元元,n次还清次还清,每期利率为每期利率为b). 44常见三角不等式常见三角不等式 （1）若）若(0,)2x，则，则sintanxxx. (2) 若若(0,)2x，则，则1sincos2xx. (3) |sin |cos | 1xx. 4545. .同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22sincos1，tan= =cossin，tan1cot. . 4646. .正弦、余
13、弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）（奇变偶不变，符号看象限） 212( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 212( 1)s,s ()2( 1)s i n,nnconco 4747. .和角与差角公式和角与差角公式 sin()sincoscossin; ; cos()coscossinsinm; ; tantantan()1tantanm. . 22sin()sin()sinsin( (平方正弦公式平方正弦公式) ); ; 22cos()cos()cossin. . sincosab= =22sin()ab( (辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点(
14、, )a b的象限决的象限决定定, ,tanba ).). 4848. .二倍角公式二倍角公式 sin2sincos. . 2222cos2cossin2cos1 1 2sin . . 22tantan21tan. . 49. 49. 三倍角公式三倍角公式 3sin33sin4sin4sinsin()sin()33. . (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 8 3cos34cos3cos4coscos()cos()33. .323tantantan3tantan()tan()1 3tan33. . 5050. .三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数sin(
15、)yx，x xR R 及函数及函数cos()yx，x xR(R(A A, , ,为常数，且为常数，且 A A0 0，0 0) )的周期的周期2T；函数；函数tan()yx，,2xkkZ( (A A, , ,为常数，且为常数，且 A A0 0，0 0) )的周期的周期T. . 5151. .正弦定理正弦定理 2sinsinsinabcRABC. . 5252. .余弦定理余弦定理 2222cosabcbcA; ; 2222cosbcacaB; ; 2222coscababC. . 5353. .面积定理面积定理 （1 1）111222abcSahbhch（abchhh、 、分别表示分别表示 a
16、a、b b、c c 边上的高）边上的高）. . （2 2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. . (3)(3)221(| |)()2OABSOAOBOA OBuuu ruuu ruuu r uuu r. . 5454. .三角形内角和定理三角形内角和定理 在在ABCABC 中，有中，有()ABCCAB 222CAB222()CAB. . 55.55. 简单的三角方程的简单的三角方程的通解通解 sin( 1) arcsin (,| 1)kxaxka kZ a . . s2arccos (,| 1)co xaxka kZ a. . tanarctan (,)xaxka kZ aR
17、. . 特别地特别地, ,有有 sinsin( 1)()kkkZ . . scos2()cokkZ. . tantan()kkZ. . 56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ . . tan()(arctan ,),2x
18、a aRxka kkZ. . 9 tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ. . 57.57.实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设、为实数，那么、为实数，那么 (1) (1) 结合律：结合律：( (a a) )=(=() )a a; ; (2)(2)第一分配律：第一分配律：( (+ +) )a a= =a a+ +a;a; (3)(3)第二分配律：第二分配律：( (a a+ +b b)=)=a a+ +b b. . 58.58.向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律： (1)(1) a ab= bb= ba a （交换律）（交换律）; ; (2)(2)（a
19、a） b= b= （a ab b）= =a ab b= = a a （ （b b）; ; (3)(3)（a a+ +b b） c=c= a a c +bc +bc.c. 59.59.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数只有一对实数1 1、2 2，使得，使得 a=a=1 1e e1 1+ +2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1、e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表示这一平面内所有向量的一
20、组基底基底 6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示 设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy，且，且 b b0 0，则，则 a aPb(bb(b0)0)12210 x yx y. . 53.53. a a与与 b b 的的数量积数量积( (或内积或内积) ) a ab b=|=|a a|b b|cos|cos 61.61. ab 的几何意义的几何意义 数量积数量积 ab 等于等于 a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积的乘积 62.62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(1)设设 a a= =11(
21、 ,)x y, ,b b= =22(,)xy，则，则 a+b=a+b=1212(,)xxyy. . (2)(2)设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy，则，则 a a- -b=b=1212(,)xxyy. . (3)(3)设设 A A11( ,)x y，B B22(,)xy, ,则则2121(,)ABOBOAxx yyuuu ruuu ruuu r. . (4)(4)设设 a a= =( , ),x yR，则，则a=a=(,)xy. . (5)(5)设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy，则，则 a ab=b=1 212()x xy
22、y. . 63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式 121222221122cosx xy yxyxy( (a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy).). 6464. .平面两点间平面两点间的距离公式的距离公式 ,A Bd= =|ABAB ABuuu ruuu r uuu r 222121()()xxyy( (A A11( ,)x y，B B22(,)xy).). 65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy，且，且 b b0 0，则则 A A|b bb b= =a a 12210 x yx y.
23、 . a ab(ab(a0)0)a ab b= =0 012120 x xy y. . 6666. .线段的定比分公式线段的定比分公式 设设111(,)P x y，222(,)P xy，( , )P x y是线段是线段1 2PP的分点的分点, ,是实数，且是实数，且12PPPPuuu ruuu r，则，则 121211xxxyyy121OPOPOPuuu ruuuruuu r 10 12(1)OPtOPt OPuuu ruuu ruuur（11t）. . 6767. .三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(
24、x ,y )、33C(x ,y ), ,则则ABCABC 的重心的坐的重心的坐标是标是123123(,)33xxxyyyG. . 6868. .点的平移公式点的平移公式 xxhxxhyykyykOPOPPPuuuruuuruuu r . . 注注: :图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P(xP(x，y)y)在平移后图形在平移后图形F上的对应点为上的对应点为( ,)P x y，且，且PPuuu r的的坐标为坐标为( , )h k. . 69.69.“按向量平移”的几个结论“按向量平移”的几个结论 （1 1）点）点( , )P x y按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到点平移
25、后得到点(,)P xh yk. . (2) (2) 函数函数( )yf x的图象的图象C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,则则C的函数解析式的函数解析式为为()yf xhk. . (3) (3) 图象图象C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,若若C的解析式的解析式( )yf x, ,则则C的函数的函数解析式为解析式为()yf xhk. . (4)(4)曲线曲线C: :( , )0f x y 按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,则则C的方程为的方程为(,)0f xh yk. . (
26、5) (5) 向量向量 m=m=( , )x y按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到的向量仍然为平移后得到的向量仍然为 m=m=( , )x y. . 70.70. 三角形五“心”向量形式的充要条件三角形五“心”向量形式的充要条件 设设O为为ABC所在平面上一点，角所在平面上一点，角, ,A B C所对边长分别为所对边长分别为, ,a b c，则，则 （1 1）O为为ABC的外心的外心222OAOBOCuuu ruuu ruuu r. . （2 2）O为为ABC的重心的重心0OA OBOCuuu ruuu ruuu rr. . （3 3）O为为ABC的垂心的垂心OA OBOB OC
27、OC OAuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r. . （4 4）O为为ABC的内心的内心0aOA bOBcOCuuu ruuu ruuu rr. . （5 5）O为为ABC的的A的旁心的旁心aOAbOBcOCuuu ruuu ruuu r. . 7171. .常用不等式：常用不等式： （1 1）, a bR222abab( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ) （2 2）, a bR2abab( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ) （3 3）3333(0,0,0).abcabc abc （4 4）柯西不等式
28、）柯西不等式 22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR （5 5）bababa. . 7272. .极值定理极值定理 已知已知yx,都是正数，则有都是正数，则有 （1 1）若积）若积xy是定值是定值p，则当，则当yx 时和时和yx有最小值有最小值p2； （2 2）若和）若和yx是定值是定值s，则当，则当yx 时积时积xy有最大值有最大值241s. . 推广推广 已知已知Ryx,，则有，则有xyyxyx2)()(22 （1 1）若积）若积xy是定值是定值, ,则当则当|yx最大时最大时, ,|yx最大；最大； 11 当当|yx最小时最小时, ,|yx最小最小. .
29、 （2 2）若和）若和|yx是定值是定值, ,则当则当|yx最大时最大时, , | xy最小；最小； 当当|yx最小时最小时, , | xy最大最大. . 7373. .一元二次不等式一元二次不等式20(0)axbxc 或2(0,40)abac ，如果，如果a与与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果同号，则其解集在两根之外；如果a与与2axbxc异号，则其解集在两异号，则其解集在两根之间根之间. .简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间. . 121212()()0()xxxxxxxxx； 121212,()()0()xxxxxxxxxx或. . 7474.
30、 .含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 a 0a 0 时，有时，有 22xaxaaxa . . 22xaxaxa或或xa . . 7575. .无理不等式无理不等式 （1 1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x . . （2 2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. . （3 3）2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x. . 7676. .指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 (1)(1)当当1a 时时, , ( )(
31、)( )( )f xg xaaf xg x; ; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. . (2)(2)当当01a时时, , ( )( )( )( )f xg xaaf xg x; ; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 77.斜率公式斜率公式 2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）. 78.直线的五种方程直线的五种方程 （1）点斜式点斜式 11()yyk xx ( (直线直线l过点过点111(,)P x y，且斜率为，且斜率为k) （2 2）斜截式斜
32、截式 ykxb( (b b 为直线为直线l在在 y y 轴上的截距轴上的截距) ). . （3 3）两点式两点式 112121yyxxyyxx( (12yy)()(111(,)P x y、222(,)P xy ( (12xx) ).). 12 (4)(4)截距式截距式 1xyab( (ab、分别为直线的横、纵截距，分别为直线的横、纵截距，0ab 、) ) （5 5）一般式一般式 0AxByC(其中其中 A、B 不同时为不同时为 0). 79.两条直线的两条直线的平行和垂直平行和垂直 (1)若若111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb; 121 21llk k.
33、 (2)若若1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,且且 A1、A2、B1、B2都不为零都不为零, 11112222|ABCllABC； 1212120llAABB； 80.夹角公式夹角公式 (1)212 1tan|1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k ) (2)12211212tan|ABA BA AB B. (1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AABB). 直线直线12ll时，直线时，直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是2. 81. 1l到到2l的角公式的角公式 (1)212 1tan1kkk k.
34、(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k ) (2)12211212tanABA BA AB B. (1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AABB). 直线直线12ll时，直线时，直线 l1到到 l2的角是的角是2. 8282四种常用直线系方程四种常用直线系方程 (1)(1)定点直线系方程：经过定点定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为的直线系方程为00()yyk xx( (除直线除直线0 xx),), 其 中其 中k是 待 定 的 系 数是 待 定 的 系 数 ; ; 经 过 定 点经 过 定 点000(,)P xy的 直
35、 线 系 方 程 为的 直 线 系 方 程 为00()()0A xxB yy, ,其中其中,A B是待定的系数是待定的系数 ( (2 2) )共点直线系方程：经过两直线共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxB yC, ,2222:0lA xB yC的交的交点的直线系方程为点的直线系方程为111222()()0AxB yCA xB yC( (除除2l) )， 其中是待定的系数， 其中是待定的系数 ( (3 3) )平行直线系方程：直线平行直线系方程：直线ykxb中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动时，表示平行直线变动时，表示平行直线系方程与直线系方程与直线0AxByC平行的
36、直线系方程是平行的直线系方程是0AxBy( (0) )，是，是参变量参变量 ( (4 4) )垂直直线系方程：与直线垂直直线系方程：与直线0AxByC (A(A0 0，B B0)0)垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是0BxAy, ,是参变量是参变量 83.点到直线的距离点到直线的距离 13 0022|AxByCdAB(点点00(,)P xy,直线直线l：0AxByC). 84.84. 0AxByC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域 设直线设直线:0l AxByC，则，则0AxByC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域是：是： 若若0B ， 当， 当B与与AxByC同号时， 表示同号时，
37、 表示直线直线l的上方的的上方的区域区域； 当； 当B与与AxByC异号时，表示异号时，表示直线直线l的下方的的下方的区域区域.简言之简言之,同号在上同号在上,异号在下异号在下. 若若0B ， 当， 当A与与AxByC同号时， 表示同号时， 表示直线直线l的右方的的右方的区域区域； 当； 当A与与AxByC异号时，异号时，表示表示直线直线l的左方的的左方的区域区域. 简言之简言之,同号在右同号在右,异号在左异号在左. 85.85. 111222()()0AxB yCA xB yC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域 设曲线设曲线111222:()()0CAxB yCA xB yC（12120
38、AA BB ） ，则） ，则 111222()()0AxB yCA xB yC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域是：是： 111222()()0AxB yCA xB yC所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分；上下两部分； 111222()()0AxB yCA xB yC所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分上下两部分. . 86. 圆的圆的四种四种方程方程 （1 1）圆的标准方程圆的标准方程 222()()xaybr. . （2 2）圆的一般方程圆的一般方程 220 xyDxEyF( (224DEF0).0). （3 3）圆的圆的参数方程参数方程 cossinxarybr. .
39、（4 4）圆）圆的的直径式直径式方程方程 1212()()()()0 xxxxyyyy( (圆的直径的端点是圆的直径的端点是11( ,)A x y、22(,)B xy).). 87. 87. 圆系方程圆系方程 (1)(1)过点过点11( ,)A x y, ,22(,)B xy的圆系方程是的圆系方程是 1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, , 其 中其 中0axbyc是 直 线是 直 线AB的方程的方程, ,是待定的系数是待定的系数 (2)(2)过直线过直线l: :0AxByC与圆与
40、圆C: :220 xyDxEyF的交点的圆系方程的交点的圆系方程是是22()0 xyDxEyFAxByC, ,是待定的系数是待定的系数 (3) (3) 过圆过圆1C: :221110 xyD xE yF与圆与圆2C: :222220 xyD xE yF的交的交点的圆系方程是点的圆系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF, ,是待定的是待定的系数系数 88.88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点00(,)P xy与圆与圆222)()(rbyax的位置关系有三种的位置关系有三种 若若2200()()daxby，则，则 dr点点P在圆外在圆外; ;dr点点P在圆
41、上在圆上; ;dr点点P在圆内在圆内. . 89.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线0CByAx与圆与圆222)()(rbyax的位置关系有三种的位置关系有三种: : 0相离rd; ; 0相切rd; ; 0相交rd. . 其中其中22BACBbAad. . 14 90.90.两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1，O O2 2，半径分别为，半径分别为 r r1 1，r r2 2，dOO21 条公切线外离421rrd; ; 条公切线外切321rrd; ; 条公切线相交22121rrdrr; ; 条公切线内切121rrd; ;
42、 无公切线内含 210rrd. . 91.91.圆的切线方程圆的切线方程 (1)(1)已知圆已知圆220 xyDxEyF 若已知切点若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D xxE yyx xy yF. . 当当00(,)xy圆外时圆外时, , 0000()()022D xxE yyx xy yF表示表示过两个切点过两个切点的切点弦方程的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求，再利用相切条件求 k k，这时必，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于有两条切线，
43、注意不要漏掉平行于 y y 轴的切线轴的切线 斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求，再利用相切条件求 b b，必有两条切线，必有两条切线 (2)(2)已知圆已知圆222xyr 过圆上的过圆上的000(,)P xy点的切线方程为点的切线方程为200 x xy yr; ; 斜率为斜率为k的圆的切线方程为的圆的切线方程为21ykxrk. . 9292. .椭圆椭圆22221(0)xyabab的参数方程是的参数方程是cossinxayb. . 9393. .椭圆椭圆22221(0)xyabab焦半径公式焦半径公式 )(21caxePF，)(22xcaePF.
44、 . 9494椭圆的椭圆的的内外部的内外部 （1 1）点）点00(,)P xy在在椭圆椭圆22221(0)xyabab的内部的内部2200221xyab. . （2 2）点）点00(,)P xy在在椭圆椭圆22221(0)xyabab的外部的外部2200221xyab. . 95.95. 椭圆椭圆的的切线切线方程方程 (1)(1)椭圆椭圆22221(0)xyabab上一点上一点00(,)P xy处的切线方程是处的切线方程是00221x xy yab. . （2 2）过椭圆）过椭圆22221(0)xyabab外一点外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00
45、221x xy yab. . （ 3 3 ） 椭 圆） 椭 圆22221(0)xyabab与 直 线与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是相 切 的 条 件 是 15 22222A aB bc. . 9696. .双曲线双曲线22221(0,0)xyabab的的焦半径公式焦半径公式 21| ()|aPFe xc，22| ()|aPFexc. . 97.97.双曲双曲线线的内外部的内外部 (1)(1)点点00(,)P xy在双曲线在双曲线22221(0,0)xyabab的内部的内部2200221xyab. . (2)(2)点点00(,)P xy在双曲线在双曲线22221(0,0)xyaba
46、b的外部的外部2200221xyab. . 98.98.双曲双曲线线的方程与的方程与渐近线方程的关系渐近线方程的关系 (1(1）若双曲线方程为）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：渐近线方程：22220 xyabxaby. . (2)(2)若若渐近线方程为渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为双曲线可设为2222byax. . (3)(3)若若双曲线与双曲线与12222byax有公共渐近线，有公共渐近线，可设为可设为2222byax（0，焦点在，焦点在 x x轴上，轴上，0，焦点在，焦点在 y y 轴上）轴上）. . 99.99. 双曲线的双曲线的切线方程切线方程 ( (1)1)双
47、曲线双曲线22221(0,0)xyabab上一点上一点00(,)P xy处的切线方程是处的切线方程是00221x xy yab. . （2 2）过双曲线）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab. . （ 3 3 ） 双 曲 线） 双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是相 切 的 条 件 是22222A aB bc. . 100100. . 抛物线抛物线pxy22的的焦半径公式焦半径公式 抛物线抛物线22(0)ypx p焦半径焦
48、半径02pCFx. . 过焦点弦长过焦点弦长pxxpxpxCD212122. . 101101. .抛物线抛物线pxy22上的动点可设为上的动点可设为 P P),2(2ypy或或或)2 ,2(2ptptP P P( ,)x yoo，其中，其中 22ypxoo. . 102102. .二次函数二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a 的图象是的图象是抛物线抛物线： （1 1）顶）顶点坐标为点坐标为24(,)24bacbaa； （； （2 2）焦点的坐标为）焦点的坐标为241(,)24bacbaa； （； （3 3）准线方程是准线方程是2414acbya. . 103.103
49、.抛物线的内外部抛物线的内外部 16 (1)(1)点点00(,)P xy在抛物线在抛物线22(0)ypx p的内部的内部22(0)ypx p. . 点点00(,)P xy在抛物线在抛物线22(0)ypx p的外部的外部22(0)ypx p. . (2)(2)点点00(,)P xy在抛物线在抛物线22(0)ypx p的内部的内部22(0)ypx p. . 点点00(,)P xy在抛物线在抛物线22(0)ypx p的外部的外部22(0)ypx p. . (3)(3)点点00(,)P xy在抛物线在抛物线22(0)xpy p的内部的内部22(0)xpy p. . 点点00(,)P xy在抛物线在抛物
50、线22(0)xpy p的外部的外部22(0)xpy p. . (4) (4) 点点00(,)P xy在抛物线在抛物线22(0)xpy p的内部的内部22(0)xpy p. . 点点00(,)P xy在抛物线在抛物线22(0)xpy p的外部的外部22(0)xpy p. . 104.104. 抛物线的抛物线的切线方程切线方程 (1)(1)抛物线抛物线pxy22上一点上一点00(,)P xy处的切线方程是处的切线方程是00()y yp xx. . （ 2 2 ） 过） 过 抛 物 线抛 物 线pxy22外 一 点外 一 点00(,)P xy所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是所 引
