1、 图书在版编目(C I P) 数据 高中数学实验 / 张倬霖等编著. 上海 :上海社会科学院出版社,2 0 1 9 I S B N 9 7 8-7-5 5 2 0-2 0 9 7-7 . 高 . 张 . 中学数学课高中教学参考资料 . G 6 3 4. 6 0 3 中国版本图书馆C I P数据核字(2 0 2 0) 第0 5 4 7 9 9号高中数学实验编 著/ 张倬霖 王国江 王东 杨柏村 张建国责任编辑/ 何红燕封面设计/ 郁心蓝出版发行/ 上海社会科学院出版社上海顺昌路6 2 2号 邮编2 0 0 0 2 5电话总机0 2 1 - 6 3 3 1 5 9 4 7 销售热线0 2 1 -
2、5 3 0 6 3 7 3 5h t t p: / /www. s a s s p . c n E - m a i l:s a s s p s a s s p . c n照 排/ 北京林海泓业文化有限公司印 刷/ 上海新文印刷厂开 本/ 7 8 7毫米1 0 9 2毫米 1/1 6印 张/ 8. 7 5字 数/ 1 8 9千字版 次/ 2 0 1 9年1 2月第1版 2 0 1 9年1 2月第1次印刷I S B N 9 7 8 - 7 - 5 5 2 0 - 2 0 9 7 - 7/G7 9 4 定价:5 9 . 8 0元版权所有 翻印必究;60;)&+*/+*&张倬霖中学数学高级教师.现任上
3、海市行知中学数学教研组长, 被评为宝山区首席教师、 宝山区第二届学科研究团队领衔人.曾获上海市青年教师教学大奖赛一等奖、 全国青年教师优秀课评选二等奖、 区师德高尚教师称号、 区教育系统十佳青年、 区先进工作者. 主持参与市区级多个项目研究工作, 在省市级核心刊物上发表论文近1 0多篇, 其中 初高中数学衔接教学的研究 曾获上海市中学数学教研论文评选二等奖、 区一等奖, 数学新教材使用中的例习题选择及试题命制 曾获区教科研成果二等奖.主持编写 高中数学解题策略 基于核心素养的创新教学设计 数学思想、 方法、 规律与技巧诠释 高中数学学科指南 等书, 并参与1 0余本书的编写.王国江上海市杨浦区
4、教育学院高中数学教研员; 上海市正高级教师, 上海市数学特级教师; 杨浦区教育系统第八批优秀专业技术人才; 区教科研工作先进个人, 学科带头人; 名师工作室主持人; 上海市教委教研室重大项目主持人; 上海市数学专业委员会理事; 中国高等教育学会教育数学专业委员会副秘书长、 常务理事; 上海市青少年人才培养基地 上海大学数学科学实践工作站学术委员会专家; 上海师范大学教育硕士研究生导师; 杨浦区学科高地秘书长; 区骨干教师、 学科带头人工作坊坊主; 上海教育评审专家库成员; 上海中学数学 特聘编辑; “ 上海市教师资格教育能力测试” 评审专家; 上海高考数学学科点评专家; 华东师范大学出版社教材
5、、 课程开发专家委员会委员.承担过多项市级课题与项目, 并获奖.在 数学教学 等1 2种杂志上发表论文4 0多篇, 主编或编著书5 0多本.多篇学术论文及教研专业发展成果, 曾获国家级、 市级、 区级以上奖项.所著的 中学数学教学艺术 数学开放性问题 等书为上海市教师共享课程; “ 基于核心素养高中数学命题研究” 为华东师范大学开放教育学院市级网络课程; 多次参加全国学术研讨会, 去山东、 河南、 贵州、 天津、 杭州、 厦门等地讲学.96:/高中数学大都是1 7世纪及其以前发现的知识.中学生学习这些数学知识的主要目的除了为继续学习打下基础外, 最重要的是培养其创新精神和数学素养.数学素养是个
6、人发展所需要的思维品质和关键能力, 是在数学学习的过程中逐步形成的.在中学数学的日常教学中, 突出引领学生如何去探索和发现知识, 从问题出发, 总结出定理, 引导学生把所学内容重新“ 发现”一遍, 实现对知识和方法的再创造, 是培养和提升学生数学素养的行之有效的重要途径.由王国江主编的“ 数学核心素养” 系列丛书 高中数学实验 正是用上述思想培养学生数学素养的一部力作. 高中数学实验 以教学实践为切入点、 以改变学习方式为固着点, 对数学实验这一全新数学教学模式从实践和理论两方面进行了有益探索, 让学生在观察、 实验、 猜想、 验证、 推理与交流等丰富的数学活动中达到“ 想学” “ 会学” “
7、 学会” “ 数学好玩” 的效果. 高中数学实验 首先对高中数学实验的特质及其在教育教学中的目的性作了明确的表述, 接着从不同的分类出发, 编选了大量的实例, 用生动形象的实际操作案例将本来抽象甚至枯燥的数学知识对读者娓娓道来, 让普通的受众也能参与进来, 体验数学探究的乐趣, 同时又在不知不觉中渗透了在科学突破上至关重要的实验、 猜想、 归纳、 创新等能力培养.对于教师,该书是一本很有价值的参考资料, 在教学中进行借鉴和学习; 对于学生, 可以跟随每一个案例的操作流程, 仔细品味数学知识是如何发现、 如何发展、 如何与自然科学及人文艺术相互交融,充分感受数学的魅力. 通览全书, 高中数学实验
8、 既有普通人随时随地就能参与进来的趣味实践, 如“ 滚动圆的自转问题” “ 两枚硬币就可以玩得不亦乐乎” , 也有运用各种数学原理和编程技术进行探究的科学问题.可以看出, 书中大量的案例都凝结着作者在大量的实践过程中的深入思考、 灵光一现的感想, 大量材料的分析汇总与深层次的综合研究, 映射着他们对数学的挚爱、 对教学的热情、对学生的真情. 高中数学实验 的作者是高中数学教学一线的优秀教师.作者张倬霖是任职于上海市行知中学, 是上海市数学高级教师、 数学教研组长、 宝山区首席教师; 作者王国江是上海市杨浦区0 0 2 高中数学教研员、 特级教师、 正高级教师、 杨浦区拔尖人才.值得一提的是,
9、王国江还是中国高等教育学会教育数学专业委员会的副秘书长、 常务理事, 在大学数学与中学数学的衔接与贯通方面的研究也颇有造诣. 我深信这本书的出版发行, 将会引领学生更好地认识数学与科学发展的本质, 激发学生探索数学与科学的热情, 有效提升学生的数学素养; 同时会吸引更多的一线数学教师以培养学生的数学素养为宗旨进行数学教学与研究. 中国高等教育学会教育数学专业委员会理事长上海大学二级教授博士生导师王卿文2 0 1 9年1 0月8日于上海大学2*/:/ 说起数学, 长期以来, 从小学到大学十几年, 数学一直是一门主课, 所讲的, 所练的, 所教所考的主要是计算方法、 公式推算、 定义的叙述、 定理
10、的证明说起实验, 也许大多数人的第一反应是物理、 化学、 生物等学科, 眼前浮现的多半是试管、 酒精灯、 万用电表、 显微镜等.那么当数学与实验这两个关键词相遇的时候, 尤其是在其前面加上了“ 高中” 这样一个定语, 会催生出什么样的知识果实呢? 在本书中, 我们通过长期的教学实践、 阅读搜索、 分析汇总、 项目研究、 博采众长, 对数学实验的本质特征作了相对明确的阐述, 并在此基础上, 强调了高中数学实验与数学实验及其教学的不同, 从实验环境、 实验过程和实验目的三个不同的角度加以区分, 并特别突出对高中数学实验的教育教学功能的研究. 根据学生的学习特点, 并结合教育部倡导的学科核心素养的培
11、养的精神, 我们通过对实验、 猜想、 归纳、 证明、 创新等能力的培养, 以激发学生的学习积极性为基础, 渗透学生的体验、感悟和实践过程为核心, 运用一定的物质手段, 在教学思维活动的参与下, 在典型的实验环境中或特定的实验条件下组织进行数学探究活动.高中数学实验是让学生在“ 做数学” 中“ 学数学” 和“ 用数学” , 基于此, 我们通过多年教学实践, 基于改变教学方式, 建立了高中数学实验团队, 将大家在教学过程中遇到的、 有一定的教育教学价值的问题汇总起来, 经过筛选并进行深入研究, 并逐步形成文字, 汇总了一批数量可观的数学实验案例.这些案例, 有的具有很强的可操作性, 与其他学科知识
12、相结合, 通过简单的实验操作揭示出深刻的结论, 如“ 等比定理的发现” ; 有的将高等数学的知识, 通过实际操作将一个我们熟悉的问题用一个意想不到的方式呈现在我们眼前, 如“ 折纸游戏探究椭圆” ; 有的则是在对一个数学知识或现象探究的过程中, 促使学生去使用一些特定的辅助软件, 如“MAT L A B” “G e o G e b r a” 等, 在使用这些辅助软件的过程中, 激发他们探究新事物的乐趣, 从而促进其探索数学世界的乐趣 “ 数学好玩”.信息技术运用于数学教学, 实现信息技术与数学教学的有效融合, 可以改变 “ 教师用嘴、 学生用耳” 的传统教学方式, 为学生自主探究、 合作交流创
13、造条件, 使数学教学更加生动活泼; 信息技术运用于数学教学, 又可以创造手脑结合和动态生成的环境, 使学生亲身经历数学化的过程, 共享数0 0 2 学实验过程, 体会数学实验的作用与价值, 感悟数学的真谛. 除此以外, 本书的写作和出版还得到了很多专家的关心和支持, 以及深入细致的指导与帮助.在此, 要特别感谢上海大学二级教授、 博士生导师、 上海领军人才王卿文老师为本书作序,以及为本书提供案例的老师, 本书如有一点点的开拓创新与他们的不惜赐教分不开. 总之, 本书的定位是高中数学实验, 我们意图通过本书给各位同仁提供一个参考, 让我们在教学中更多地关注学生的学习兴趣、 改变学习方式, 关注知
14、识结论的发生、 经历的过程, 体验知识形成的过程, 也希望更多的人通过本书, 感受到与你以往对数学的认识不一样的地方, 在这里数学不再枯燥, 而是妙趣横生, 数学不再让你畏怯, 而是可以供欣赏, 让你陶碎, 让你感受数学的优雅与美丽! 编著者2 0 1 9年1 0月5日于上海.6-6第一章高中数学实验概述 / 0 0 1第一节 高中数学实验缘由与界说 / 0 0 2第二节 高中数学实验分类 / 0 0 5第三节 开展数学实验的困难、 对策及教学有待解决的问题 / 0 1 2第二章高中数学实验的教学 / 0 1 7第一节 高中数学实验教学 / 0 1 8第二节 数学实验的教学模式 / 0 2 2
15、第三节 数学实验探究高考数学命题新视角 / 0 2 7第三章传统数学实验 / 0 3 3第一节 验证性高中数学实验 / 0 3 4第二节 解释性高中数学实验 / 0 4 0第三节 探索性高中数学实验 / 0 4 8第四节 应用型高中数学实验 / 0 5 5第四章现代数学实验 / 0 6 5第一节 数学软件应用活动 / 0 6 6第二节 代数问题计算机探究 / 0 7 4第三节 立体问题计算机探究 / 0 8 3第四节 三角问题计算机探究 / 0 9 1第五节 解析几何计算机探究 / 1 0 0第六节 数据统计与分析计算机探究 / 1 0 6附录A对C A S I O F X 9 9 1计算器中
16、S O L V E功能的一些思考和应用 / 1 1 5附录B利用图形计算器研究对数函数的相关性质 / 1 2 1参考文献 / 1 2 70 0 1 第一章 高中数学实验概述第一章高中数学实验概述美国著名数学家和数学教育家G波利亚曾指出:“学习任何东西，最好的途径是自己去发现” “数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨的科学，从这个方面看数学象是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性 的归纳科学”.为使学生的数学素养得以全面提高，就要在教学中体现它的两个侧面，去建立以培养学生的创新精神和实践能力为重点，以学习方式改变为特征，以应用现代信息技术为标志的课程体系，
17、关注学生体验、感悟和实践过程，去体现“以学生发展为本”的教学理念.通过对“数学实验”教学研究认为： “数学实验”的教学正是对“数学核心素养”精神的体现，也是朝着这个方向前进的一种努力，也更好地落实了这一问题.0 0 2 高中数学实验第一节 高中数学实验缘由与界说一、高中数学实验界定数学实验所包含的思维特征, 远远超过通常所说的物理、 生化实验, 目前为止还没有一个权威性的定义, 或者说尚处于争鸣阶段, 总结各家说法, 大致有以下几种:(1) 数学实验是为获得某种数学理论, 检验某个数学猜想, 解决某类问题, 实验者运用一定的物质手段, 在数学思维活动的参与下, 在特定的实验环境下进行的探索、
18、研究活动.(2) 数学实验是在一定的数学( 学习、 研究、 发现) 目标的指导下, 对具有一定数学意义的实物、 模型、 事物, 以及数字、 图形、 数学符号、 式子、 题目等, 进行观察、 变换、 制作、 演示、 求解以获取感性认识和和数学信息的活动.(3) 数学实验是指在一定的数学思想、 数学理论的指导下, 经过某种预先的组织、 设计, 借助于一定的( 物质) 仪器和技术手段, 进行数学化( 而不是物理化学的) 实际操作, 包括对客观事物的数量化特性进行观察、 抽样、 测试、 逼近、 仿真等, 进而解决数学和科学问题的一类科学研究方法.(4) 数学实验就是利用计算机系统作为实验工具, 以数学
19、理论作为实验原理, 以数学素材作为实验对象, 以简单的对话方式或复杂的程序方式作为实验形式, 以数值计算、 符号演算或图形演示等作为实验内容, 以实例分析、 模拟仿真、 归纳总结等为主要实验方法, 以辅助数学、辅助用数学或做数学为实验目的, 以实验报告为最终形式的上机实践活动.(5) 数学实验是运用各种实验工具( 实物模型、 绘图工具、 计算工具、 计算机技术等) , 创设问题情境, 引导学生自主探索、 合作交流, 促使学生观察问题、 发现问题, 产生归纳假设并不断尝试分析、 修改、 验证猜想, 从而为探究问题提供认知体验和探究假说的教学活动.(6) 数学实验是一种新的数学教学方式, 它是实验
20、者根据问题的特点和要求, 经过反复思考和研究后, 做出某些合理的假设、 猜想, 在抽象和概括的基础上建立数学模型, 然后研究所建立的数学模型的方法和算法, 求得结果并将结果返回到问题中去检验和解释.上述6种观点, 侧重点不同, 从中可以看出数学实验的本质特征都体现在: 借助一定的物质工具, 在数学化的思维指导下, 通过实际操作解决问题的数学实践. “ 数学实验” 与物理实验、 化学实验等同属于科学实验范畴, 本身具有科学实验的特点.但由于学科性质的不同, “ 数学实验” 又不同于般的科学实验.数学实验并不是什么新鲜事物,在日常生活中, 要证实某件事情, 最普通的办法就是对它进行检验、 试验、
21、试探或实验, 数学也不外如是, 过去数学教学中的测量、 手工操作、 制作模型、 实物或教具演示等形式就是数学实验的形式.章建跃等认为, 数学实验这个词所表达的意思是: 当你的脑子中出现某种数学思想( 一种想法) 时, 你就通过计算机去实验一下.通常这种实验是针对一些具体例子来进行的, 如果你0 0 3 第一章 高中数学实验概述有足够多的具体例证表明你的想法的正确性, 那么就可以进一步通过逻辑推理的方法去证明它, 而且证明的思想方法在很大程度上已经蕴涵在具体例证的获得过程中了, 因此, 设置“ 数学实验” , 把抽象的结论寓于其中, 使学生经历一个从具体到抽象的过程, 对于学生理解知识是非常重要
22、的.根据科学实验的定义及数学学科的特点, “ 数学实验” 的概念指的是: 为获得某种数学理论, 验证某个数学猜想, 解决某类数学问题, 实验者运用一定的物质手段, 在教学思维活动的参与下, 在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动.高中数学实验具有中学基础教育的鲜明特征, 与一般数学实验有一些具体方面的不同.(1) 从实验环境来看, 一般的数学实验对实验环境的要求不高, 实验条件是可调整的; 而高中数学实验是一种人为创设的典型实验环境, 实验条件在中学范围内是受限制的.(2) 从实验过程来看, 一般的数学实验通常没有预先的组织与设计, 它随着问题解决的进程自发而生; 而高中
23、数学实验通常是一种“ 再发现、 再创造” 的过程, 需要有计划地安排实验进程如对“ 韦达定理” 的再发现, 就需要学生通过求解一定数量的一元二次方程, 观察根与系数的关系,进行归纳性的猜想, 然后严谨证明, 这就需要教师精心设计实验步骤来实施教学.(3) 从实验目的来看, 一般的数学实验是为了解决一定的问题; 而高中数学实验是让学生在“ 做数学” 中“ 学数学” 和“ 用数学” , 高中数学实验的首要功能是辅助数学教学, 使学生在实验中深刻理解数学知识, 灵活应用数学方法, 提高自主学习数学的能力.(4) 从实验结果来看, 高中数学实验属于教育维度下的数学实验, 并不要求学生在研究中真正发现数
24、学( 尽管确实有学生发现了一些前人所未有的发现) , 而是以习得知识、 发展能力、提高素养为指向.二、高中数学实验研究思路与目标在数学教学中, 长期以来, 从小学到大学十几年, 数学一直是一门主课, 所讲的, 所练的, 所考的主要是计算方法、 公式推算、 定义的叙述、 定理的证明看起来是一个十分严格的数学推理王国, 是沿定义公理定理推论证明这么一条演绎道路进行的, 往往片面地过分强调了形式化的逻辑推导和形式化的结果, 淡化了在科学突破上至关重要的实验、 猜想、 归纳、 创新等能力培养, 以致使学生越来越不明白数学从何而来, 在他们看来, 数学成了内容多、 负担重、 枯燥乏味的公式、 结论和习题
25、的堆积.1. 高中数学实验研究思路从若干实例( 问题) 出发运用现代( 计算机) 或传统等手段做大量实验( 操作) ( 发掘教材) ( 设计操作过程)发现其中的内在规律提出猜想进行证明和论证 ( 归纳实验现象) ( 形成实验结果)2. 高中数学实验研究目标在全方位落实“ 课标” 精神的同时, 以培养学生的创新精神和实践能力为重点, 以学习方式0 0 4 高中数学实验改变为特征, 关注学生的体验、 感悟和实践过程.探索高中数学实验教学理论与实践, 探索高中数学实验教学的一般规律.研究如何进行高中数学实验教学具体操作, 探求高中数学实验的一般规律, 促使高中数学实验教学与传统数学教学的互动发展、
26、和谐统一, 去体现“ 课改” 教学理念, 寻求高中数学实验教学的发展价值, 探索高中数学实验的教学模式.三、高中数学实验实践意义和理论价值数学实验教学研究旨在拓展教育空间、 丰富教育理念、 寻求运作规律、 整合数学教学, 培养学生创造性思维, 对改变学习方式具有显著的实践意义与理论价值.1. 高中数学实验的实践意义数学实验是素质教育与创新教育的现实需要, 也是“ 以学生发展为本” 的需要; 数学实验是数学教育改革所急需解决的问题, 也是高中数学核心素养精神的具体再现; 对高中数学教学, 高中数学实验教学具有应用价值, 对初中、 小学 数学实验的开展具有指导意义, 具有推广和普及价值; 为数学教
27、学论、 数学方法论、 心理学、 哲学等学科的研究提供实践素材.2. 高中数学实验的理论价值充实、 完善与发展素质教育与创新教育理论; 丰富数学教学理念、 使实验法、 归纳法与演绎法一起成为研究数学的重要方法; 打开数学实验教学的理论研究通道; 探索数学实验教学的可行性、 针对性、 应用性、 操作性与发展性, 也是改变学习方式的一有益的尝试.四、高中数学实验的研发过程高中数学实验课的开发需要分阶段进行, 首先要明确实验目的、 制定实验计划、 设计实验过程、 完善实验内容.其次从选择实验工具、 确定实验内容、 设计实验程序等多方面研究与开发, 不断总结并逐步使数学实验成为高中阶段的一门数学选修课.
28、1. 构建教育平台会用现代教育技术整合数学课程我们所研究的实验在关注过程的同时, 更注重现代技术手段的应用, 因为它更适应时代的发展需要, 虽然它不能完全代替实物的直观性, 但是它更有其独特的优势, 能做一些实物无法做到的虚拟实验.在注重高考所使用计算器学习的同时, 还需加强几何画板等实验手段的学习.课程开发的关键在教师, 教师不再是课程计划的简单的执行者, 而是课程建设与课程改革的主体之一.课程的学习内容要通过教育技术处理成为学习资源, 运用教育技术让学习者进行知识的整合和重构, 使学习方式由被动变为积极主动的学习方式, 才能成为时代要求的研究型教师.2. 将某些教学内容开发为实验课并形成数
29、学的课件不是所有的教学内容课都可用数学实验来讲, 有些内容、 环节、 过程在现代技术手段支0 0 5 第一章 高中数学实验概述持下, 把零散的知识不断整合为课程和改变学生学习方式的实验课件, 就会不断产生新的思想, 从而改编现行教材的某些内容, 逐步设计成实验课, 在开设中要处理好数学基础知识学习和数学实验课的比例关系, 不断地对教师进行教育理论和计算机技术的培训.计算机辅助教学课件是一个单点独立的工作, 要积少成多才能形成系统的课件和实验方案.尤其要注意核心课件的制作, 它在整节课中突出重点、 突破难点, 起关键的作用, 每个学生都应掌握生活和学习所需要的技术手段, 而利用计算机开展数学实验
30、是一种独特的教学探索方式, 根据不同的教学内容, 我们可以为不同的学生层次开设数学实验课, 如初中、 高中、 大学或研究生.第二节 高中数学实验分类数学实验和物理、 化学及生物实验相比, 不仅需要动手, 更需要动脑.思考量大是数学实验的基本特征之一, 笔者认为数学实验大体上可分为: 传统数学实验、 现代数学实验、 探索性数学实验、 验证性数学实验、 动态操作性数学实验、 解释性数学实验及数学思想实验等.一、传统数学实验传统数学实验是指: 通过用手工的方法、 利用实物模型或数学教具等进行实验操作, 从中发现并解决数学问题.实验课题： 等比定理的发现.实验工具： 一杯清水、 一瓶盐、 大小不同的一
31、批玻璃杯.实验过程： 教师( 演示) , 把盐放进一个大玻璃杯内, 添上水, 均匀搅拌后, 得一大杯盐水,然后随意分别倒在4个小杯中, 记每小杯盐水的浓度为ai/bi( 这里ai,bi为正数, 分别表示每小杯含盐与盐水, 且i=1,2,3,4).教 师 : 请同学想一想, 这4个小杯盐水浓度有什么关系?学 生 : 相同.即a1/b1=a2/b2=a3/b3=a4/b4.教 师 : 如果我把这4个小杯盐水都倒进一个空的大杯中, 那么混合后的盐水与原先4小杯盐水的浓度有什么关系?学 生 : 相等.教 师 : 非常正确, 我把大杯盐水分成小杯, 小杯盐水合成大杯, 这说明什么数学现象, 能从中提炼一
32、个数学命题吗?0 0 6 高中数学实验学 生 : 混合后盐水浓度为(a1+a2+a3+a4) / (b1+b2+b3+b4) 与原来4个小杯盐水浓度相同.所以有a1/b1=a2/b2=a3/b3=a4/b4=(a1+a2+a3+a4) / (b1+b2+b3+b4).教 师 : 好! 我们给上面同学的结论给起个名字, 就叫作“ 等比定理” 吧.我们从“ 盐水情境” 到“ 等比定理” 的发现过程, 正是从具体实验现象抽象到形式化的数学问题的过程.正如常庚哲教授所说, “ 大多数的定理和命题就是数学家 瞎鼓捣 而玩出来的 鼓捣 数学其实就是数学实验; 数学实验是推动所有数学的一种方式”.在“ 盐水
33、情境” 中,ai,bi只能是正数, 并且bi ai0(i=1,2,3, ,n) , 而作为等比定理,ai ,bi可以不需要这么多限制, 只要分母不为0即可.二、现代数学实验所谓现代数学实验是指: 以计算机数学软件为平台, 模拟实验环境结合数学建模的进行一种探索活动.借助于计算机, 数学已经成为一种新的实验学科, 现代数学实验不仅扩大了数学实践的内容和范围, 从模型的建立到演绎, 归纳思维分析, 以及算法设计的估价都可通过计算机来实现, 为研究数学问题的规律提供了方便可行的新途径.实验课题： 比如, 有一矩形纸片A B C D, 已知A B=4 c m, A D=8 c m, 将B点向A D边对
34、折(B在A D边上的相应点为B ) ,E F为折痕( 点F也可以落在C D边上) ; 过B 作B T垂直于A D, 交E F于点T, 如图1 - 2 - 1所示.观察折痕E F的分布规律并观察T点的轨迹.TEFCADBB图1-2-1实验过程：(1) 按题设要求, 将矩形纸片A B C D中的B点向AD边对折( 折痕要在1 5条左右) , 在折叠过程中按要求过B 作E F的交点T( 可用针尖打洞).(2) 在实物实验的基础上, 让学生用“ 几何画板” 或其他软件, 在电脑上再次模拟以上实验, 观察实验结果.(3) 在电脑上改变矩形A B C D的形状, 观察折痕E F和T点轨迹的变化.实验结果：
35、如图1-2-2, 直觉观察, 折痕E F边缘是一条抛物线的一部分, 而T点正好在此抛物线上.0 0 7 第一章 高中数学实验概述BTEFCADB图1-2-2分析: 如图1 - 2 - 3所示, 连接线段T B,折痕E F是B B 的中垂线,B T B 是等腰三OxTFECADBSB 图1-2-3角形, 可得:T B=T B , 且E F是B T B 的平分线.按照抛物线的定义, 把B点看作为焦点,AD看作为准线, 则动点T到焦点B和到准线AD的距离始终相等, 所以T点的轨迹是开口向下的抛物线.以A B的中点O为原点, 以A B为y轴,O x为x轴, 建立直角坐标系,可得: 焦点B(0,-2)
36、, 准线AD:y=2, 则焦准距离为 p=4.所以,T点的轨迹为抛物线, 方程为:x2=- 8y(x0,8 ).三、探索性数学实验问题、 实验、 观察、 猜想往往是实施探究学习的有效途径与方法, 是培养学生创新意识与探索精神的有效契机, 更是课堂实验教学的一项重要任务.让学生通过实验、 观察、 发现和掌握规律, 提出猜想.在教学过程中, 要充分发挥学生的自主性和创造性, 鼓励学生即兴去创造、 去超越、 去探究、 去发现.比如: 有一个折纸游戏, 规则如下:(1) 如图1-2-4所示, 将圆心记作点F1, 然后在圆内任取一定点F2; M10M9M8M7M6M5M4M3M2M1N1N2N3N4N5
37、N6N7N8N9N10F1F2图1-2-40 0 8 高中数学实验(2) 在圆周上任取1 0个点, 分别记作N1,N2,N3, ,N1 0, 将它们与圆心相连, 得半径F1N1,F1N2,F1N3, ,F1N1 0.(3) 折叠圆形纸片, 使点N1与点F2重合, 将折痕与半径F1N1的交点记作M1; 然后再次折叠圆形纸片, 使点N2与点F2重合, 将折痕与半径F1N2的交点记作M2; ; 以此类推, 最后折叠圆形纸片, 使点N1 0与点F2重合, 将折痕与半径F1N1 0的交点记作M1 0.(4) 用平滑曲线顺次连接点M1,M2,M3, ,M1 0.你有何探索发现? 你能解释你的发现吗? 探索
38、性数 学实验, 也可 通过 “ 几何 画板” 或 其他软件, 在 电脑上来 实 现, 如 探 究 函 数y=a x+bx的图像及性质等.四、验证性数学实验验证式的实验主要是借助计算机.作为一种多媒体信息的载体, 计算机的信息传输通道宽阔多样、 容量大、 速度快、 效果好, 利用其强大的求值、 计算、 作图、 动画等功能来验证数学问题的存在性、 正确性及知识形成过程, 可以简便地解决诸如函数及其性质、 图形的数形关系、 轨迹、 方程求解等问题, 直观形象地展示数学问题的背景、 过程、 结果, 揭示数学问题的“ 庐山真面目”.实验课题： 用计算器验算函数y=l gxx(x1) 的若干个值, 可以猜
39、想下列命题中的真命题只能是( ).A.y=l gxx在(1,+) 上是单调减函数B.y=l gxx,x(1,+) 的值域为0,l g 33 C.y=l gxx,x(1,+) 有最小值D. l i mnl gnn=0,nN*实验目的： 利用计算器的功能验证结论.实验工具： 高考可使用的计算器.实验任务： (1) 批量给出数据, 并直观比较数据之间的联系.(2) 由于计算器内存的限制, 列表功能可显示的数据有限, 需多次实验来完成.实验过程：(1) 采用计算器MO D E 中的T A B L E模式.在“f(x)=” 后输入“l gxx” , 根据题目中提供的信息, 不妨先研究区间0,2 0 中的
40、情况.0 0 9 第一章 高中数学实验概述(2) 第一次实验: 在“S t a r t?” 输入0, 在“E n d?” 输入2 0, 在“S t e p?” 输入1.观察数据发现,函数值先增后减, 在x=3处较大, 故A错误.(3) 为考查函数是否在x=3处取得最大值, 则开展第二次实验, 研究的范围在x=3附近.第二次实验: 在“S t a r t?” 输入2, 在“E n d?” 输入4, 在“S t e p?” 输入0 . 1.观察数据发现,x=2 . 7时函数值较大, 故B错误.(4) 为考查C和D两者哪个正确, 需将研究区间扩大, 故需再进行几次实验.通过对研究区域:1,2 0 ,
41、1 0,1 0 0 ,1 0 0,1 0 0 0 进行列表观察, 可以猜测随着x的增大,f(x) 的值无限趋近于0.实验结果：D为正确选项.五、解释性数学实验解释数学实验是在讲解新的数学概念、 原理、 方法和数学思想时, 为了使学生更好地理解抽象的数学知识, 由教师给学生演示的课程内容, 目的是展示知识的合理性, 使学生确信无疑, 它能更深刻地揭示数学概念、 原理、 思想方法的实质, 使学生对知识的理解与认识更进一步深化.六、操作性数学实验“ 多做数学习题是学好数学的有效途径” 这是部分数学教师指导学生更好应试的“ 经验之谈” , 多少有点应试教育的味道.而数学实验中的“ 做” , 则主要是要
42、求学生多动手、 多上机, 在教师指导下探索建立模型解决问题的方法, 在失败和成功中获得真知.数学中的很多问题和概念是可以由“ 做” 数学实验来帮助加深理解的.操作性实验是通过动手操作或模拟空间中的点、 线、 面元素位置关系变化探究解题过程,如翻折、 展开、 旋转、 射影等.操作性实验赋予静态的立体几何问题以“ 生命” 活力, 也使其更具有挑战性、 开放性, 从而加强了学生的空间想象力和能力.如全国2 0 0 2年高考文科最后一题“ 剪拼” 问题的出现恰是动态操作性数学实验体现.如图1-2-5所示, 四面体的一条棱长为x, 其余棱长为1, 求x取值范围.xBDCA图1-2-50 1 0 高中数学
43、实验分析: 运用动态观点, 极限的思想去观察、 分析、 处理问题, 可收到意想不到的效果.设A B=x, 其余棱长均为1.固定B C D、A C D绕C D转动实验, 如图1-2-6所示.当AB时,x0; 当AA1(A1平面B C D) 时,x 3, 故可得0 x0) 的细线, 在细线两端系上图钉并按在铺有白纸的桌面上两点0 2 4 高中数学实验F1,F2处, 两点F1,F2的选取满足|F1F2|F1F2|, 重新操作(2) , 能得到什么结论?(4) 改变细线长度, 使2a=|F1F2|, 重新操作(2) , 能得到什么结论?(5) 改变细线长度, 使2a 0nN* , an 的前n项之和为
44、Sn, 若S21,S22,S23, ,S2n是一个首项为3, 公差为1的等差数列, 试比较Sn与3n annN 的大小.分析: 可求得Sn=n+2,an=3n=1 ,n+2-n+1n2 . 0 2 5 第二章 高中数学实验的教学n=1时,Sn-3n an=-2S10,Sn0;当n=4,5,6时,Sn-3n an0.猜想: 当n4时,3n n+1- 3n-1 n+20, 则3n n+1 3n-1 n+2,两边平方得9n2n+1 3n2-1 n+2 , 从而有-3n2+1 1n-20,得n=2或3时,式大于0;n4时,式小于0, 问题可获解.探索1运用的是操作性实验, 探索2运用的是思想实验, 在
45、上述借助于数学实验解决问题的过程中, 通过创设条件、 探索规律等手段, 并利用综合分析或归纳猜想, 使学生亲身经历了动手操作、 思考分析、 探究问题的全过程, 从而激活了思维, 促进了探索能力的提高.猜想的提出往往依赖于人们的直觉思维, 直觉思维有时也被认为是一种灵感.要产生灵感, 除了必须具有一定的数学修养外, 还应该对面临的问题有比较深刻的理解, 另一方面.猜想是根据实验中总结出的规律而提出的, 不能凭主观的臆断而随意“ 乱猜” , 要合乎实际,接近事实.四、验证猜想所谓验证猜想是指在提出猜想之后, 一般要用实验的方法、 演绎的方法或举反例的方法来检验猜想的正确性.验证猜想是数学实验中不可
46、缺少的一个环节, 它是我们获得正确结论的关键步骤.是对数学实验成功与否的判断.猜想, 可能是正确的, 也可能是错误的.比如: 函数f x = s i nx+ s i n 2x+ s i n 3x的( ).A.最大值是3 B.最大值不小于3+ 32C.最大值是3D.最小值是1这个问题对于高中学生有相当的难度, 某期刊用初等函数的办法花了整版的篇幅去求解.如果我们用数学 软件 “M a p l e” 来处理 就显得轻而 易 举, 只 需 输 入 命 令e v a l f(m a x i m i z e)s i nx +s i n2*x +s i n3*x , 会得到f x 的最大值是2 . 4 9
47、 9 6, 而3+ 322 . 3 6 6 0 2, 由此0 2 6 高中数学实验可以看出原题的选择支的设定不是最优的, 本题体现了计算机在解决数学问题中的优势.又比如: 当 0a1 时, 研究方程ax= l o gax 的解的情况.当0aV半球V圆锥.即R3V半球13R3, 即33R3V半球13R3.有一些学生会大胆提出他们的猜测:V半球=23R3.这时不妨让学生做一次实验: 取一个半径为R的半球面, 再取一个半径和高都是尺的圆锥容器, 将圆锥容器内用细砂装满, 并倒入半球内, 再用细砂装满, 再倒入半球容器内, 恰好半球容器被装满.这一实验表明,2V圆锥=V半球, 即V半球=23R3, 即
48、底面半径和高都为R的圆柱挖去一个与它等底等高的圆锥所剩下的部分的体积, 这也为球体积公式推导过程中的参照体构造了基础.总之, 数学实验教学是一种崭新的数学学习形式, 是在教师的指导下, 让学生独立自主地探索学习数学.数学实验教学是在国际教育改革的大趋势下产生的, 我们提出在高中开设数学实验课, 让学生根据教师提出的问题, 设计自己的解题思路, 通过计算机实现自己的想法. 在整个过程中, 学生独立操作、 实验, 学生学习的主体地位得到充分体现, 学生学习数学的积极性被充分调动起来, 通过数学问题解决的实践, 学生对自己所积极建构的数学知识理解掌握得更加深刻, 看待周围世界的数学意识和数学能力都会
49、有很大的提高. 通过实验还可以让学生自己系统地复习数学知识, 提高解决问题的能力.0 2 7 第二章 高中数学实验的教学第三节 数学实验探究高考数学命题新视角上海高考从2 0 0 2年以来可使用规定的计算器进行数学问题探究, 相应地在高考数学命题中也出现了对数学实验的思想方法能力的考查.如: 借助计算器对数学问题进行验证、 探究, 以及折纸实验等手段都在高考题中得到了不同的体现.数学实验就是为获得某种数学理论、 验证数学猜想、 解决数学问题, 实验者运用一定的教学手段, 在教学思维活动的参与下, 在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动. 课程标准 在课程理念部分指出: “
50、 数学课程必须大力加强现代信息技术的应用, 发挥现代信息技术对数学课程改革的积极作用, 使现代信息技术成为学生学习的有效手段和工具, 成为获取信息资源和开展学习交流的广阔平台.” 在高考中以数学实验为探究手段的高考命题新视角已逐步形成.一、展示数学直观形象的“解释性数学实验”命题新视角的考查解释数学实验能更好地将抽象的数学问题具体化、 直观化形象化, 也正是直观教学原则的一种再现, 在某些数学领域, 解释实验具有常规思维方法不可替代的优越性, 它能将问题的切入点直观地展示在学生面前.让学生通过对实物、 模型的观察和实验操作, “ 实实在在” 地体验思维的形成过程和“ 看到” 其实验结果, 而解
