1、关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 公众号 逻辑数学精品课 解析几何专题 2020/10/27 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 解析几何解答题-深度拔高系列讲义 第 2 篇：解几答题概述解析几何重要几何条件的转化策略 目录 一、转化策略 . 3 二、关键几何条件转化范例 . 9 【垂直平分线
2、+三角形面积】 . 9 【等腰三角形】 . 10 【三角形面积比】 . 12 【三角形垂心】 . 15 【三角形外接圆】 . 17 【中位线】 . 18 【平行四边形】 . 19 【已知直径/圆过定点】 . 20 【点在圆内】 . 24 【四点共圆】 . 26 【圆的切线】 . 27 【垂直】 . 28 【垂直平分线】 . 31 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 一、转化策略 几何几何图形图形 几何几何关系关系 代数化代数化 平行四边形 对边
3、平行 方式：斜率相等 方式：向量平行 对边相等 微信公众号：逻辑数学精品课 方式：两点距离公式 方式：横（纵）坐标差相等 （平行四边形特有） 对角线互相平分 中点坐标重合 直角三角形 两边垂直 方式：斜率乘积为-1 方式：向量数量积为 0 勾股定理 两点的距离公式 斜边中线性质 （中线等于斜边一半） 两点的距离公式 等腰三角形 两边相等 两点的距离公式 两角相等 底边水平或竖直时，两腰斜率相反 特别说明：直线 AB与直线 MN关于水平或竖直线对称 ? 0ABMNkk+= 三线合一 （垂直平分线） 【垂直】 斜率乘积为-1 或向量数量积为 0 即：0,PAPBPM AB=?=其中M为AB中点.
4、【平分】 中点坐标公式 【补充补充 1 1】 两点距离公式两点距离公式：设1122( ,),(,),A x yB xy为直线ykxm=+上的任意两点，则2222121212|1|(1)()41ABkxxkxxx xka?=+?=+=+ a?（其中为“曲直联立”后的二次方程所对应的二次项系数，为“曲直联立”后的二次方程所对应的根的判别式） 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 12211AByyk=+或者： 点到直线距离公式点到直线距离公式：002
5、2AxByCdAB+=+ 两平行线两平行线间距离公式间距离公式: :1222|CCdAB=+ 定比分点公式定比分点公式： 已知111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P xy，若12PPPP?= 则OP=?+111OP+?+?12OP 坐标公式121211xxxyyy?+?=?+?+?=?+?，（1? ） ，即12(,1xxP?+=+ 12)1yy?+ 注意：点P为12PP所成的比为?，用数学符号表达即为1PP=?2PP.当?0 时，P为内分点； 0 时，P 为外分点. 【补充【补充 2 2】三角形面积比】三角形面积比 处理策略：处理策略： 同底（等底）两三角形的面积比等价于两三角
6、形高的比； 同高（等高）两三角形的面积比等价于两三角形底的比； 同角（等角）两三角形的面积比可以借助面积公式：1sin2SabC=化简.微信公众号：逻辑数学精品课 例如：例如： 如右图， 33OABMABSSOPMQ?=?= 【补充【补充 3 3】三角形】三角形“四心”“四心” 三角形的“重心” ：设不共线的三点()()()112233,A x yB xyC x y，则ABC?的重心123123,33xxxyyyG+? xyQPAOF1F2BMxyOP2P1P关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云
7、集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 三角形的“垂心” ：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零 三角形的“内心” ：伴随着角平分线，具体转化见下文角平分线代数化方式. 三角形的“外心” ：伴随着中垂线，具体转化见上文中垂线转化方式. 圆 点在圆上 点与直径端点向量数量积为零 点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数 点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数 切线 方式：圆心与切点的连线与切线互相垂直 方式：圆心到切线的距离等于半径 【补充】【补充】四点共圆四点共圆 平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：如右图，平面上有四点ABCD、 、 、,
8、若AD? =?,则ABCD、 、 、四点共圆微信公众号：逻辑数学精品课 方法二：如右图，线段ACBD、交于E,若AE CEBE DE?=?,则ABCD、 、 、四点共圆 方 法 三 ： 如 右 图 ， 线 段ABCD、的 延 长 线 交 于F, 若AF BFCF DF?=?,则ABCD、 、 、四点共圆 方法四：如右图，若四边形ABCD, 180BADBCD?+ ?=?，则ABCD、 、 、四点共圆 方法五：方法五：托勒密定理托勒密定理 在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和微信公众号：逻辑数学精品课 如图上，设四边形ABCD内接于圆O，则有AB CDAD BCAC BD， 证
9、明： 不妨在AC上取一点E， 使ADEBDC?= ?， 由DAEDBC?= ?， 得AEDBCD，所以BDADBCAE=，即BCADBDAE?=?， 又 由ADBEDC?= ?，ADBECD?= ?，ABD?ECD?， 所 以CDBDECAB=， 即FEOBCAD关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 CDABBDEC?=? 两式相加得BCADCDABBDAC?+?=?. 广义托勒密定理：广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB CDAD BCA
10、C BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立. 证明：在四边形ABCD内取一点E使ABE=ACD，BAE=CAD， 则ACDABE 微信公众号：逻辑数学精品课 ABBEAB CDAC BEACCD， 又ADAEACAB=?， 且BAC=EAD， ABCAED， BCEDAD BCAC EDACAD=?=?；由+得)(EDBEACBCADCDAB+?=?+?， AB CDAD BCAC BD?+?，等号当且仅当点 E 在 BD 上，即 A，B，C，D 四点共圆时成立. 角 锐角，直角，钝角 角的余弦（向量数量积）的符号 倍角，半角，平分角 角平分线性质 夹角/到角公式 等角（全等或相似）
11、 比例线段或斜率 【补充【补充 1 1】角平分线角平分线性质性质： 角平分线第一定理角平分线第一定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线第二定理角平分线第二定理：如右图，AD为BAC?的角平分线交BC于D点,则ABBDACCD=.微信公众号：逻辑数学精品课 外角外角平分线平分线定理定理：如右图，AD为外角CAF的角平分线交BC延长线于E点,则BEABECAC=. 【补充【补充 2 2】倒角公式倒角公式与夹角公式与夹角公式： “到角”的概念：“到角”的概念： EDABCF关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560
12、，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 1l围绕12,l l的交点按逆时针方向转动， 第一次和2l重合时扫过的最小正角，称作1l到2l的角?。?的范围：0180?（ “到角”只研究两直线相交的情况，所以0? ?且180?） 到角公式到角公式： 设12,l l的斜率分别是12,k k，1l到2l的角?，则2121tan(90 )1kkkk?=?+? “夹角”的概念“夹角”的概念 1l与2l的夹角?：规定形成角中不大于的90?角叫两条直线的夹角。1l与2l相交不垂直时：090?；1l与2l相交垂直时：90?=?；所以?的范围：090?； 夹角夹角公式公式：微信公众
13、号：逻辑数学精品课 设12,l l的 斜 率 分 别 是12,k k，1l与2l的 夹 角?， 则2121tan|(90 )1kkkk?=?+? “到角”公式， “夹角”公式使用范围：12,? ? ?均不等于90? 对于不适于使用公式的情形，常用数形结合解决。微信公众号：逻辑数学精品课 中位线 平行于第三边 斜率相等，或向量平行 长度等于第三边的一半 两点距离公式 特别地： 当圆/椭圆/双曲线的弦过坐标原点时，原点 O 已是弦的中点，如图： 椭圆的弦AB过坐标原点， ,M N分别是 22,AF BF的中点，则四边形 2OMF N为平行四边形. 三点共线 方式 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率
14、相等，则三点共线 方式 通过向量：任取两点确定向量，若xyNMBOF2A21yxl1l2O12yxl2l1O关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 向量共线，则三点共线 蒙日圆 定理定理 1：曲线1:2222=+?byax的两条互相垂直的切线的交点 P 的轨迹是圆2222bayx+=+. 定理 1 的结论中的圆就是蒙日圆. 证明证明： 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为 0 时，可得点P 的坐标是),(ba?，或),(ba ?. 当
15、题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0 时，可设点P 的坐标是,)(,(000axyx?且)0by?，所以可设曲线?的过点 P 的切线方程是)0)(00?=kxxkyy.由?=+)(1002222xxkyybyax， 得：0)()(2)(2220020022222=+baykxaxykxkaxbka 由其判别式的值为 0，得 )0(02)(220220002220?=+axbykyxkax 因为PBPAkk,是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以 220220axbykkPBPA+=? 由此，得2220201bayxkkPBPA+=+?=? 进而可得欲证成立. 引理引理：椭圆的
16、光学性质椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线， 经过椭圆反射后， 反射光线交于椭圆的另一个焦点上： 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 二、关键几何条件转化范例 【垂直平分线【垂直平分线+ +三角形面积三角形面积】 【题 1】 已知椭圆(abxayC1:2222=+b)0的离心率为,22且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为22.斜率为()0?kk的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M
17、（0，m）. （1）求椭圆的标准方程； （2）求 m 的取值范围. （3）试用 m 表示MPQ 的面积 S，并求面积 S 的最大值. 【解析】【解析】 （1） 依题意可得?=+=+, 12, 12caca解得. 1,2=ca从而. 1, 22222=caba所求椭圆方程为. 1222=+ xy 微信公众号：逻辑数学精品课 （2）直线l的方程为. 1+= kxy 由?=+=, 12, 122xykxy可得(). 012222=+kxxk微信公众号：逻辑数学精品课 该方程的判别式=()22288244kkk+=+0 恒成立. 设()(),2211yxQyxP则.21,22221221+=+=+kx
18、xkkxx 可得().24222121+=+=+kxxkyy 设线段 PQ 中点为 N，则点 N 的坐标为.22,222?+kkk 极点/极线、 阿基米德三角形、 第三定义与向量模型等其他几何要素的性质请大家参考 圆锥曲线二级结论深度易记系列讲义自行了解，在此不再赘述. 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 线段 PQ 的垂直平分线方程为.212222?+=kkxkky 令0=x，由题意.212+=km 又0?k，所以 0m.21 （3）点()0
19、,Mm到直线1:+= kxyl的距离221111kmkmd+=+= ()212212212411xxxxkxxkPQ+?+=+=242212222+?+?+=kkkk=2228812kkk+=+?+微信公众号：逻辑数学精品课 于是28811121212222+?+?+?=?=?kkkkmPQdSMPQ.2882122+?=kkm 由,212+=km可得. 212=mk代入上式，得(),123mmSMPQ=? 即() (0123mmS=m?21. 设( )(),13mmmf=则( )() ().4112mmmf=? 而( )0fm?( )10,04mfm?1142m? 所以( )mf在?41,
20、0上单调递增，在?21,41上单调递减. 所以当41=m时，( )mf有最大值.2562741=?f 所以当41=m时，MPQ?的面积 S 有最大值.1663微信公众号：逻辑数学精品课 【等腰三角形】【等腰三角形】 【题 2】在直角坐标系xOy中，已知点(2,0), ( 2,0)AB,E为动点，且直线EA与直线EB斜率之积为12， （1）求动点E的轨迹C方程； 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 （2）设过点F(1,0)的直线l与椭圆C交于两点
21、,M N,若点P在y轴上，且| |PMPN=，求点P的纵坐标的范围 【解析】 （1）设动点E的坐标为( , )x y，依题意可知1222yyxx= +整理得221(2)2xyx+=? ?，所以动点E的轨迹C的方程为221(2)2xyx+=? ? （2）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为 0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x=，将(1)yk x=代入2212xy+=，并整理得，2222(21)4220kxk xk+=，2880k? =+? 设11( ,)M x y，22N(,)xy，则2122421kxxk+=+，122221x xk=+，设MN的中点为Q，则2
22、2221Qkxk=+，2(1)21QQkyk xk= +，所以2222(,)2121kkQkk+， 由题意可知0k ?，又直线MN的垂直平分线的方程为22212(x)2121kkykkk+= +， 令0 x =解得211212Pkykkk=+，当0k ?时，因为122 2kk+?，所以12042 2Py?=微信公众号：逻辑数学精品课 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 当0k ?时，因为122 2kk+? ，所以12042 2Py? = ，综上
23、所述，点P的纵坐标的范围是22,44. 【三三角形面积比】角形面积比】 【题 3】 （2020江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:143xyE+=的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在椭圆 E上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP?的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E上，记OAB与MAB的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标微信公众号：逻辑数学精品课 【答案】 （1）6； （2）-4； （3）()2,0M
24、或212,77?. 【解析】 （1）根据椭圆定义可得124AFAF+=，从而可求出12AF F的周长； （2）设()0,0P x，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，212AFFF，求出31,2A?，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设()11,M x y，点M到直线AB的距离为d，由点O到直线AB的距离与关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 213SS=，可推出95d =，根据点到直线的距离公式
25、，以及()11,M x y满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【解析】 （1）椭圆E的方程为22143xy+=,()11,0F ,()21,0F 由椭圆定义可得：124AFAF+=. 12AF F的周长为426+= （2）设()0,0P x，根据题意可得01x ?.点A在椭圆E上，且在第一象限，212AFFF 31,2A?,准线方程为4x =,()4,QQy, ()()()()200000,04,4244QOP QPxxyxxx?=?=? ，当且仅当02x =时取等号. OP QP?的最小值为4.微信公众号：逻辑数学精品课 （3）设()11,M x y，点M到直线AB的距离为d.31,2A?
26、，()11,0F 直线1AF的方程为()314yx=+,点O到直线AB的距离为35，213SS= 2113133252SSABAB d= ?=?,95d =,113439xy+= 2211143xy+=,联立解得1120 xy=?=?，1127127xy?= ?= ?. ()2,0M或212,77?. 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 【题 4】 （苏北三市调研三）如图，已知椭圆2222:1(0)xyMabab+=?，其离心率为32，两条准线
27、之间的距离为8 33B，C分别为椭圆M的上、下顶点， 过点(),2T t()0t ?的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点. 微信公众号：逻辑数学精品课 （1）求椭圆M的标准方程； （2）若TBC的面积是TEF的面积的k倍，求k的最大值. 【解析】 （1）由题意23 28 3,23caac=，解得2,3ac=， 1b?=，椭圆方程为2214xy+= （2）解法一解法一:12TBCSBC tt?=?= 直线TB方程为：11yxt=+，联立221411xyyxt?+=?=+?，得284Etxt=+ 所以22284,44ttEtt?+?到:TC30 xtyt =的距离 ()()()2222222
28、42444212994t tttttt tdttt+=+ 微信公众号：逻辑数学精品课 直线TC方程为：31yxt=，联立221431xyyxt?+=?=?，得22436Ftxt=+ , 2222436,3636ttFtt?+?，?TF22222243623636ttttt?=+?+? ()()()() ()()()22222222222222212336129129363636tttttttttt+=+ y B x F E O C T 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料
29、关注公众号：逻辑数学精品课 ?()()()()()()22222222221292121211223636494TEFttt tt tSTF dttttt?+=?=?=+ ?()()()222236412TBCTEFttSkSt?+=+ 微信公众号：逻辑数学精品课 令21212tm+=?,则 22(8)(24)1619241,3mmkmmm+= + 当且仅当24m =,即2 3t = ?等号成立, 所以k的最大值为43. 解法二:直线TB方程为：11yxt=+，联立221411xyyxt?+=?=+?，得284Etxt=+ 直线TC方程为：31yxt=，联立221431xyyxt?+=?=?，
30、得22436Ftxt=+ 1sin21sin2TBCTEFTB TCBTCSTB TCkSTE TFTE TFETF?=?TCTBTETFxxxxTB TCTE TFxxxx=?=? () ()() ()2222224368241212436tttttttttttt+?+=?=+?+ 令21212tm+=?,则 22(8)(24)1619241,3mmkmmm+= + 当且仅当24m =,即2 3t = ?等号成立 所以k的最大值为43. 微信公众号：逻辑数学精品课 【三角形垂心】【三角形垂心】 【题 5】已知椭圆)0( 12222?=+babyax的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若O
31、MF的面积为21，且椭圆的离心率为22微信公众号：逻辑数学精品课 （1）求椭圆的方程； 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 （2）是否存在直线 交椭圆于P，Q两点， 且使点为PQM的垂心若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）111222OMFSOMOFbc?=?= 2:2 :1:12cea b ca=?= ，1bc?= 2222abc?=+= ?椭圆方程为：2212xy+= （2）设),(11yxP，),(22yxQ由
32、（1）可得：()()0,1 ,1,0MF 1MFk?= F为PQM的垂心，MFPQ?，11PQMFkk?= = 设:PQ yxm=+ ，由F为PQM的垂心可得：MPFQ ()()1122,1 ,1,MPx yFQxy= ，()()1212110MP FQxxyy?=+= 因为,P Q在直线yxm=+上，1122yxmyxm=+?=+?，代入可得： ()()()1212110 xxxmxm+= 即0) 1)(222121=+mmmxxxx 考虑联立方程：2222yxmxy=+?+=? 得0224322=+mmxx ()2221612 2203mmm? =? 微信公众号：逻辑数学精品课 1243m
33、xx?+= ,322221=mxx代入可得： ()2222421033mmmmm?+? +=? 微信公众号：逻辑数学精品课 解得：43m = 或1m = 当1=m时，PQM不存在，故舍去 lFl关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 当34=m时，所求直线l存在，直线l的方程为34= xy 【三角形外接圆】【三角形外接圆】 【题 6】 （扬州期末 ）如图，A，B，C 是椭圆 M：22221(0)xyabab+=?上的三点， 其中点 A 是椭圆的右顶
34、点，BC 过椭圆 M 的中心，且满足 ACBC，BC=2AC （1）求椭圆的离心率； （2）若 y 轴被ABC 的外接圆所截得弦长为 9，求椭圆方程 【解析】 （1）因为BC过椭圆M的中心，所以22BCOCOB=又ACBC，2BCAC=，所以OAC?是以角C为直角的等腰直角三角形， 则( ,0)A a，( ,)22aaC，(, )2 2a aB ，102ABa=，所以2222( )()221aaab+=，则223ab=，所以222cb=，63e =； （2）ABC?的外接圆圆心为AB中点(,)4 4a aP，半径为104a，则ABC?的外接圆为2225()()448aaxya+= 令0 x =
35、，ya=或2ay = ， 所以()92aa =，得6a =，所以所求的椭圆方程为2213612xy+= 微信公众号：逻辑数学精品课 A x y C O B 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 【中位线中位线】 【题 7】已知椭圆（）的右焦点为，离心率为. （）若，求椭圆的方程； （）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围. 【解析】 （）由题意得，得. 结合，解得，.所以，椭圆的方程为 微信公
36、众号：逻辑数学精品课 （）由 得. 设.所以 ，依题意，易知，四边形为平行四边形，所以，因为， 所以. 即 ，将其整理为 . 因为，所以，.11 分所以，即. 微信公众号：逻辑数学精品课 12222=+byax0? ba2(3,0)Fe32e =ykx=AB,M N22,AFBFOMN2322? ek332cca=?=?2 3a =222abc=+212a =23b =131222=+yx22221,xyabykx?+=?=?222222()0ba kxa b+=1122( ,),(,)A x yB xy2212122220,a bxxx xba k+=+OMON2OMF N22AFBF211
37、(3,)F Axy=222(3,)F Bxy=222121212(3)(3)(1)90F A F Bxxy ykx x?=+=+=222222(9)(1)90(9)aaka ka+=+4222424218818111818aakaaaa+= +2322? e2 33 2a?21218a?218k ?22(,(,44k? ? +?xyNMBOF2A关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 【平行四边形】【平行四边形】 【题 8】 （苏北三市三模）在平面
38、直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1，32)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上，P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4微信公众号：逻辑数学精品课 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 M，N 是椭圆 C 上的两点，且四边形 POMN 是平行四边形，求点 M，N 的坐标 【解析】 （1）由题意知，?+= ?ab，a?= ?解得a?= ?，b?= ?，所以椭圆的方程为?+= ?xy （2） 设11M x y（ , ），22N xy（, ）， 则ON的中点坐标为2222xy（,），PM的中点坐标113+1+222yx（,） 因为四边形POMN是平行四边形，所以12121+=223+2=
39、.22xxyy?，即1212=1,3.2xxyy?=? 由点M，N是椭圆C的两点，所以xyxy?+ ?= ? ?+ ?= ?，()(). 解得2220 xy=?=?，或22132xy= ?=?，. 由2220 xy=?=?，得11132xy=?= ?，由22132xy= ?=?，得1120 xy= ?=?，. 所以，点M? ?( ,)，N( , )? ?；或点M? ?(, )，N(, )? 微信公众号：逻辑数学精品课 【题 9】 （2015，新课标 2 理科 20）已知椭圆222:9(0)Cxym m+=?,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M ()证明
40、：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 【答案】()详见解析； （）能，47或47+ 【解析】 ()设直线: l ykxb=+(0,0)kb?，11(,)A x y，22(,)B xy，(,)MMM xy 将ykxb=+代入2229xym+=得2222(9)20kxkbxbm+=，故1
41、2229Mxxkbxk+= +， 299MMbykxbk=+=+于是直线OM的斜率9MOMMykxk= ，即9OMkk?= 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值微信公众号：逻辑数学精品课 （）四边形OAPB能为平行四边形 因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k ?，3k ? 由()得OM的方程为9yxk= 设点P的横坐标为Px由2229,9,yxkxym?= ?+=?得2222981Pk mxk=+， 即239Pkmxk?=+ 将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb=，因此2(3)3(9)Mmk kxk=+ 四边形OAPB为平行四边形当且
42、仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx=于是239kmk?=+ 2(3)23(9)mk kk?+解得147k =，247k =+因为0,3iikk?，1i =，2，所以当l的斜率为 47或47+时，四边形OAPB为平行四边形 【已知直径【已知直径/圆圆过定点过定点】微信公众号微信公众号：逻辑数学精品课：逻辑数学精品课 【题 10】 已知椭圆)0( 1:2222?=+babyaxC的离心率为,22其左、 右焦点分别为21,FF，关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注
43、公众号：逻辑数学精品课 点 P 是坐标平面内一点，且43,27|21=?=PFPFOP（O 为坐标原点） 。 （1）求椭圆 C的方程； （2）过点)31, 0( S且斜率为 k 的动直线l交椭圆于 A、B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M 的坐标和MAB?面积的最大值；若不存在，说明理由。微信公众号：逻辑数学精品课 【解析】 （1）设),0 ,(),0 ,(),(2100cFcFyxP则由;4727|2020=+=yxOP得由4321=?PFPF得,43),(),(0000=?yxcyxc即.4322020=+cyx所以 c=1 又因为.
44、1, 2,2222=baac所以3 分因此所求椭圆的方程为：. 1222=+ yx （2）动直线l的方程为：,31= kxy由?=+=, 12,3122yxkxy得. 091643) 12(22=+kxxk 设).,(),(2211yxByxA则.) 12(916,) 12(34221221+=+=+kxxkkxx 假设在 y 上存在定点 M（0，m） ，满足题设，则 1122212121212122122212221212( ,),(,).()()()1111()()()3333121(1)()()339MAx ym MBxymMA MBx xym ymx xy ym yymx xkxkxm
45、 kxkxmkx xkm xxmm=?=+=+=+=+ 2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)(9615)9(21)kkkmmmkkmkmmk+= +=+微信公众号：逻辑数学精品课 由假设得对于任意的0=?MBMARk恒成立，即?=+=, 0159, 0122mmm解得 m=1。 因此，在 y 轴上存在定点 M，使得以 AB 为直径的圆恒过这个点，点 M 的坐标为（0，1） 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课
46、 这时，点 M 到 AB 的距离.)(1(|13422122xxkABkd+=?+= .) 12(4998) 12(964) 1(216324)(32)(32|21222222221221221+=+=+=?kkkkkxxxxxxdABSMAB 设,122tk=+则,212=tk得?)(?.1 , 01, 1?+?tt 所以.916)291(4812198)1(21)1(299822?=?tttSMAB 当且仅当11=t时，上式等号成立。因此，MAB?面积的最大值是.916微信公众号：逻辑数学精品课 【题 11】已知：椭圆12222=+byax（0? ba） ，过点)0,( aA ，), 0(
47、bB的直线倾斜角为6?，原点到该直线的距离为23 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过)0, 1(D与椭圆交于E，F两点，若DFED2=，求直线EF的方程； （3）是否存在实数k，直线2+= kxy交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点)0, 1(D？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由微信公众号：逻辑数学精品课 【解析】 （1）由33=ab，22232121baba+?=? ，得3=a，1=b，所以椭圆方程是：1322=+ yx （2）设 EF：1= myx（0?m）代入1322=+ yx，得022)3(22=+myym， 设),(11yxE，),(22yxF，由DFED2=
48、，得212yy= 由322221+=+mmyyy，32222221+=myyy 得31)32(222+=+mmm，1=?m，1=m（舍去） ， （没舍去扣 1 分） 直线EF的方程为：1= yx即01=+ yx 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 （3）将2+= kxy代入1322=+ yx，得0912) 13(22=+kxxk（*） 记),(11yxP，),(22yxQ，PQ 为直径的圆过)0, 1(D，则QDPD ，即0) 1)(1(),
49、1(), 1(21212211=+=+?+yyxxyxyx，又211+= kxy，222+= kxy，得01314125)(12() 1(221212=+=+kkxxkxxk 解得67=k，此时（*）方程0?，?存在67=k，满足题设条件 【题 12】已知椭圆E：22221xyab+=(0ab?)过点(3, 1)P，其左、右焦点分别为12, FF，且126FP F P?= （1）求椭圆E的方程； （2）若,M N是直线5x =上的两个动点，且12FMF N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由微信公众号：逻辑数学精品课 【解析】 （1）设点12,F F的坐标分别为(,0),( ,0)(0
50、)ccc?，则12(3,1),(3,1),FPcF Pc=+= 故212(3)(3)1 106FP F Pccc?=+ = ，可得4c =， 所以2222122|(34)1(34)16 2aPFPF=+=+=， 故2223 2,18 162abac=，所以椭圆E的方程为221182xy+= （2）设,M N的坐标分别为(5,),(5, )mn，则12(9,),(1, )FMm F Nn=， 又12FMF N，可得1290FM F Nmn?=+=，即9mn = ， 又圆C的圆心为(5,),2mn+半径为|2mn，故圆C的方程为222|(5)()()22mnmnxy+=， 即22(5)()0 xy
