1、单元四 根轨迹分析法和频域分析法学习目标学习目标(1)了解根轨迹的概念,会用根轨迹法分析系统性能。(2)了解频率特性的概念,会用频率曲线分析系统性能。(3)会用 MATLAB 绘制根轨迹及频率曲线。单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.1 根轨迹分析法根轨迹分析法4.1.1 根轨迹的概念根轨迹的概念自动控制系统的稳定性由它的闭环极点唯一确定。当闭环传递函数的极点均处于复数平面的左半平面时,系统绝对稳定。反馈控制系统的相对稳定性也与系统闭环传递函数极点在复数平面上的位置有关。单元四 根轨迹分析法和频域分析法以二阶系统为例,其极点就是系统的特征方程 s2+2 n s+2n=0 的根。如图 41 所示
2、,参数不同,方程的根也不同,不同的根对应的单位阶跃响应曲线也表现出不一样的稳态与动态性能。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 41 不同极点对系统新能的影响单元四 根轨迹分析法和频域分析法1948 年,伊万斯(W.R.EVANS)提出了直接由开环函数判别闭环特征根的图解法,解决了复杂系统的性能分析的难题,这就是著名的根轨迹法。所谓根轨迹,就是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹。由于根轨迹图直观、完整,且可以推算出系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势,所以对研究及改善系统性能都具有重要意义。其分析问题的思路如图 42 所示。单元四 根轨迹分析法和频域
3、分析法图 42 根轨迹法的基本思路单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.1.2 根轨迹绘制根轨迹绘制1.开开/闭环传递函数零极点表达式闭环传递函数零极点表达式图 43 所示为一个常见的负反馈控制系统,其开环函数为 G k s()=G(s)H(s)。开环传递函数中分子多项式方程的根称为开环零点,分母多项式方程的根称为开环极点。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 43 反馈系统框图单元四 根轨迹分析法和频域分析法为了直观获取自控系统传递函数的零点和极点,我们习惯性地将 n 阶负反馈控制系统的开环传递函数表达为以下零、极点形式式中,zi 为开环零点;p j 为开环极点;K g 为根轨迹增益。单元四 根
4、轨迹分析法和频域分析法闭环系统根轨迹增益也等于开环系统前向通路根轨迹增益。一般我们研究的就是 K g变化时的根轨迹。在根轨迹图中,“”表示开环极点,“”表示开环零点,实线表示根轨迹,箭头表示参数增加的方向。单元四 根轨迹分析法和频域分析法例 41 在复平面上标出开环传递函数的零、极点。解解 由开环函数,求得零点 s=-1极点:s=0,s=-4,s=1j1所以,零极点分布图如图 44 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 44 例 41单元四 根轨迹分析法和频域分析法2.绘制根轨迹绘制根轨迹绘制根轨迹有两种常用方法,其中一种是伊文斯图解法。利用伊文斯图解法(手工画法)获得系统根轨迹是一种很实
5、用的工程方法,只需要依据几条规则做简单的计算,不需要求解系统特征方程。其绘制方法如下:1)连续性与对称性系统根轨迹的各条分支是连续的,而且由于特征方程的根为实数或共轭复数(包括一对纯虚根),所以根轨迹必然对称于实轴。单元四 根轨迹分析法和频域分析法2)根轨迹的分支数n 阶系统根轨迹的分支数为 n。开环传递函数为 n 阶,故开环极点和闭环极点数目都为n 个,当 K g 从 0+变化时,n 个根在 s 平面上连续形成 n 条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随 K g 的连续变化轨迹。注:根轨迹的分支数=系统的阶数。单元四 根轨迹分析法和频域分析法3)根轨迹的起点和终点系统的特征方程为即化简后可以
6、得到单元四 根轨迹分析法和频域分析法4)实轴上的根轨迹在 s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是,在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。假设一个特征根为 s1,若它右边的实数零、极点(开环)个数的总和为奇数,则 s1 位于根轨迹上。5)根轨迹的渐近线当特征根沿根轨迹无限远离原点或无限接近间断点时,即到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条根轨迹的渐近线。若 n m,当 K g 从 0+时,有(n-m)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角为 、截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。单元四 根轨迹分析法和频域分析法其中,与实轴交点坐标为(,j0),且常见的渐近线如图 45 所示。单元
7、四 根轨迹分析法和频域分析法图 45 常见渐近线单元四 根轨迹分析法和频域分析法6)根轨迹的分离点和会合点若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开,则称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根(实根和共轭复数根),一般多出现在实轴上。分离点的求解在本书中不做要求。7)根轨迹的出射角和入射角出射角是指始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角。入射角是指止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角。出射角和入射角的求解在本书中不做要求。单元四 根轨迹分析法和频域分析法8)根轨迹与虚轴的交点随着 K g 的增大,根轨迹可能由 s 左半平面变到右半平面,系统会从稳定变为不稳定,根轨迹与
8、虚轴产生交点,即闭环特征方程出现纯虚根,出现临界稳定。由此根求解出的增益称为临界根轨迹增益。9)闭环极点的和当 n-m 2 时,开环极点之和=闭环极点之和=常数。单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 46 例 42 根轨迹单元四 根轨迹分析法和频域分析法例例 43 已知例 42 中根轨迹在实轴上的分离点为 s=-0.423,分离角为 90,试画出根轨迹图,并求临界根轨迹增益。解解 闭环特征方程为将 s=j 代入方程,舍去不可能的解,得 因此临界根轨迹增益为 6。根轨迹如图 47 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 47 例 43 根轨迹单元四 根轨迹分析法和
9、频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 4 8 例 4 4 根轨迹单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.1.3 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能由根轨迹分析闭环控制系统性能的一般步骤如下:(1)由给定参数确定闭环系统的零极点的位置;(2)分析参数变化对系统稳定性的影响;(3)分析系统的瞬态和稳态性能;(4)根据性能要求确定系统的参数;(5)对系统进行校正。单元四 根轨迹分析法和频域分析法1.稳定性稳定性由根轨迹在 s 平面的分布情况就可以分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于 s 平面左半部分,则说明系统是稳定的;如果根轨迹有一条或一条以上的分支全部位于 s
10、 平面的右半平面,则说明系统始终不稳定;如果根轨迹有一条或一条以上的分支有部分进入 s平面的右半平面,则说明系统是有条件的稳定,可以求出临界参数,为系统的设计和优化提供依据。单元四 根轨迹分析法和频域分析法例如,开环系统传递函数为其根轨迹如图 49所示,当 0 K g 14 和 64 Kg195 和 14 K g64 时,系统是不稳定的。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 4 9 根轨迹单元四 根轨迹分析法和频域分析法通过上述分析,可以得出以下两条结论:(1)开环放大系数 K 影响闭环极点分布;(2)K 与闭环极点一一对应,进而可确定系统稳定性及其他各项性能指标。单元四 根轨迹分析法和频域分析
11、法2.动态性能动态性能理论研究表明,系统的超调量、调整时间等动态性能指标与控制系统闭环传递函数极点的位置有关。首先,闭环极点越远离虚轴,系统调节时间就越小,快速性也越好。其次,闭环极点越靠近实轴,系统超调量就越小,系统稳定性也越高。单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 410 二阶系统极点分布单元四 根轨迹分析法和频域分析法分析动态性能时需要注意以下三点:(1)若非主导极点与主导极点实部比大于 5,且主导极点附近又无闭环零点,则非主导极点可忽略。(2)当主导共轭复数极点位于 =45 等阻尼线上,其对应最佳阻尼系数为 =0.707,系统的平稳性较好。(3)闭环零点可
12、以抵消或削弱附近闭环极点的作用。单元四 根轨迹分析法和频域分析法3.增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响已知系统开环传递函数增加-p=-2 或 z=-2,分别画出三幅零极点图,讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。图 411(a)为原系统的零极点分布图,图 411(b)为原系统增加极点后的零极点分布图,图 411(c)为原系统增加零点后的零极点分布图。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 411 开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响单元四 根轨迹分析法和频域分析法综上所述,增加开环零点对根轨迹的影响可以总结为以下四点:(1)改变了根轨迹在实轴上的分布。增加
13、开环零点会使根轨迹向左半 s 平面弯曲或移动,增加开环极点会使根轨迹向右半 s 平面弯曲或移动。(2)改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距。(3)可构成开环偶极子,改善系统性能。(4)根轨迹曲线向左偏移。单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.2 频频 域域 分分 析析 法法4.2.1 频率特性频率特性对于一个稳定的线性定常系统,在其输入端施加一个正弦信号时,当动态过程结束后,在其输出端必然得到一个与输入信号同频率的正弦信号,其幅值和初始相位为输入信号频率的函数。对于不稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下,其输出信号的瞬态分量不可能消逝,瞬态分量和稳态分量始终存在。系统的稳态分量是无法观察到的,但
14、稳态分量是与输入信号同频率的正弦信号。单元四 根轨迹分析法和频域分析法所以,可以将线性定常系统的正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比定义为幅频特性A(),相位之差定义为相频特性 ()。系统的频率特性就是指系统的幅频特性和相频特性,通常用复数来表示单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.2.2 图示方法图示方法在工程分析和设计中,通常把频率特性画成一些曲线,从频率特性曲线出发进行研究。这些曲线包括幅频特性和相频特性曲线、幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线以及对数幅相曲线等。为例,我们可以根据相关定义作出几种常用的频率特性曲线,如图 412 图 414 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 412
15、幅相曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 413 幅频和相频特性曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 4 14 对数幅频特性和对数相频特性曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.2.3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据前面介绍了两种判断系统稳定性的方法,代数判据法是根据特征方程根和系数的关系判断系统的稳定性,根轨迹法是根据特征方程式的根随系统参量变化的轨迹来判断系统的稳定性。本节介绍另一种重要并且实用的方法奈奎斯特稳定判据。这种方法可以根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性,并能确定系统的相对稳定性。单元四 根轨迹分析法和频域分析法系统开环传递函数的频率特性称为开环频率特性。设系统的
16、特征方程为 F(s)=1+G(s)H(s)=0。闭环系统稳定的充分和必要条件是特征方程的根,即 F(s)的零点,都位于s 平面的左半部。可以选择如图 415 所示的一条包围整个 s 平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 415 奈奎斯特回线单元四 根轨迹分析法和频域分析法当 s 沿着 s 平面上的奈奎斯特回线移动一周时,F(s)的值随 s 的变化而变化,在 F(s)平面得到相应的映射曲线 F。系统开环传递函数为 G(s)H(s)=F(s)-1,其映射曲线 GH 可以由 F 向左平移一个单位得到。两个曲线的关系如图 416 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分
17、析法图 4 16 GH 和 F 的关系单元四 根轨迹分析法和频域分析法奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)表述如下:闭环控制系统稳定的充分和必要条件是,当 从-变化到+时,系统的开环频率特性曲线 G(j )H(j )按逆时针方向包围(-1,j0)点 N周,N 等于位于 s 平面右半部的开环极点数目 P。在实际应用中,常常只需画出 从 0 变化到+时的曲线,此时系统的开环频率特性曲线 G(j )H(j )按逆时针方向包围(-1,j0)点 N 周。这时稳定判据改写为:Z=P-2 N=0其中,Z 为闭环系统位于右半部的极点数。单元四 根轨迹分析法和频域分析法例 4-5 根据系统的幅相曲线及开环传递函数,
18、判断系统的稳定性。(系统开环传递函数有一极点在 s 平面的原点处,因此 从 0 到 0+时,幅相曲线应以无穷大半径顺时针补画1/4 周。)单元四 根轨迹分析法和频域分析法解解(1)由图 417 可知,当 0 K 1 时,幅相曲线逆时针包围(-1,j0)点 1/2周,N=1/2,Z=P-2N=0,系统是稳定的。(2)在幅相曲线上顺时针补画 1/4 周后可以发现,系统的开环传递函数在右半 s 平面没有极点,开环频率特性 G(j )H(j )又不包围(-1,j0)点,闭环系统是稳定的。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 417 例 45 幅相曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.2.4 稳定裕量稳
19、定裕量1.幅相曲线和伯德图之间的关系幅相曲线和伯德图之间的关系系统开环频率特性的幅相曲线和伯德图(Bode 图)之间存在着一定的对应关系。奈氏图上|G(j )H(j )|=1 的单位圆与伯德图对数幅频特性的零分贝线相对应,单位圆以外对应于 L()0;奈氏图上的负实轴对应于伯德图上相频特性的-线,如图 418 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 418 幅相曲线和伯德图之间的关系单元四 根轨迹分析法和频域分析法2.伯德图和系统相对稳定性伯德图和系统相对稳定性利用这种方法不仅可以定性地判别系统的稳定性,而且可以定量地反映系统的相对稳定性,即稳定的裕度。后者与系统的暂态响应指标有着密切的关系。
20、系统的相对稳定性通常用相角裕度 和幅值裕度 G m 来衡量。单元四 根轨迹分析法和频域分析法相角裕度 在频率特性上对应于幅值 A()=1 的角频率称为剪切频率 c(或称截止频率)。在剪切频率 c 处,使系统达到稳定的临界状态所要附加的相角迟后量称为相角裕度,以 或 m 表示。不难看出 =180+(c ),其中 (c )为开环相频特性在 =c 处的相角。幅值裕度 G m 在频率特性上对应于相角 ()=-弧度处的角频率称为相角交界频率 g,开环幅频特性的倒数 1/A(g)称为幅值裕度,以 G m 表示,即单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 419 将稳定系统与不稳定系统的频率特性进行对比。幅值裕度
21、 G m 是一个系数,若开环增益增加该系数倍,则开环频率特性曲线将穿过(-1,j0)点,闭环系统达到稳定的临界状态。开环增益增大有可能会导致系统不稳定。在伯德图上,幅值裕度用分贝数来表示:h=-20lg A(g)(dB)。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 419 稳定和不稳定系统的频率特性单元四 根轨迹分析法和频域分析法保持适当的稳定裕度,可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响,提高相对稳定性。为了得到较满意的暂态响应,一般相角裕度 应当在 30 至 70 之间,而幅值裕度应大于 6dB。在大多数实际系统中,要求开环对数幅频曲线在截止频率 c 附近的斜率为-20dB/dec,且有一定的
22、宽度。如果此斜率设计为-40dB/dec,系统即使稳定,相角裕度也过小;如果此斜率为-60dB/dec 或更小,则系统是不稳定的。单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.3 MATLAB 仿真仿真1.直接求特征多项式的根直接求特征多项式的根设 p 为特征多项式的系数向量,则 MATLAB 函数 roots()可以直接求出方程 p=0 在复数范围内的解 v,该函数的调用格式为单元四 根轨迹分析法和频域分析法2.由根创建多项式由根创建多项式如果已知多项式的因式分解式或特征根,可由 MATLAB 函数 poly()直接得出特征多项式的系数向量,其调用格式为:单元四 根轨迹分析法和频域分析法3.利用利用
23、MATLAB 绘制系统单位阶跃响应曲线绘制系统单位阶跃响应曲线命令格式:step(num,den)step(num,den,t)y,x =step(num,den)函数格式 l:给定 num、den,求系统的阶跃响应。时间向量 t 的范围自动设定。函数格式 2:时间向量 t 的范围可以人工给定(例如,t=00.110)。函数格式 3:返回变量格式。计算所得的输出 y、状态 x 及时间向量 t 返回至命令窗口,不作图。单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.绘制系统根轨迹绘制系统根轨迹命令格式:rlocus(sys)rlocus(num,den)注意注意:如果开环传递函数写成零极点的形式,则需要用下
24、列语句先将该形式写成多项式形式 num,den =zp2tf(z,p,k)单元四 根轨迹分析法和频域分析法5.绘制奈氏曲线绘制奈氏曲线控制系统工具箱中提供了一个 MATLAB 函数 nyquist(),该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。命令格式nyquist(num,den)nyquist(G)单元四 根轨迹分析法和频域分析法6.利用利用 MATLAB 绘制系统伯德图绘制系统伯德图命令格式:bode(num,den)bode(num,den,w)mag,phase,w =bode(mun,den)函数格式 1:在当前图形窗口中直接绘制系统的伯德图,角频率的范围自动设定。函
25、数格式 2:用于绘制系统的伯德图,为输入给定角频率,定义绘制伯德图时的频率范围或者频率点。函数格式 3:返回变量格式,不作图。单元四 根轨迹分析法和频域分析法7.计算稳定裕度计算稳定裕度命令格式:margin(num,den)Gm,Pm,g,c =margin(num,den)(Gm 指相角裕度,Pm 指幅值裕度)函数格式 1:给定开环系统的数学模型,作伯德图,并在图上标注增益裕度和对应频率,相位裕度和对应频率。函数格式 2:返回变量格式,不作图。单元四 根轨迹分析法和频域分析法例 46 某一控制对象的传递函数为画出根轨迹并判断系统稳定性。解解 由题意可知系统没有零点,有两个极点 1=6.94
26、98,2=-6.9498。系统传递函数的根轨迹如图 420 所示,可以看出传递函数的一个极点位于右半平面,并且有一条根轨迹起始于该极点,并沿着实轴向左到位于原点的零点处,然后沿着虚轴向上。这意味着无论增益如何变化,这条根轨迹总是位于右半平面,即系统总是不稳定的。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 420 系统开环根轨迹单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 421 系统阶跃响应曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法例 47 绘制例 46 中系统的伯德图和奈奎斯特图,并分析系统性能。解解 用 MATLAB 绘制系统的伯德图如图 422 所示,程序如下:clear;num
27、=4.9;den=1,0,-48.3;G=tf(num.den);bode(G);grid单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 422 伯德图单元四 根轨迹分析法和频域分析法MATLAB 绘制系统的奈奎斯特图如图 4-23 所示,程序如下:clear;num=4.9;den=1,0,-48.3;G=tf(num.den);nyquist(G);grid单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 423 奈奎斯特图单元四 根轨迹分析法和频域分析法从图 423 可知系统没有零点,但存在两个极点,其中一个极点位于 s 右半平面,根据奈奎斯特稳定性判据,闭环系统稳定的充分必要条件是当 从-到+变化时,开环传递函
28、数 G(j )H(j )沿逆时针方向包围-1 点 P 圈,其中 P 为开环传递函数在 s 右半平面内的极点数。对于例 46 中的控制系统,开环传递函数在 s 右半平面有一个极点,因此G(j )H(j )需要沿逆时针方向包围-1 点一圈。可以看出,系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1 点一圈,因此系统不稳定,需要设计控制器来稳定系统。单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元小结单元小结(1)当系统开环传递函数中某参数(如根轨迹增益)在某一范围内连续变化时,闭环特征根在 s 平面上移动的轨迹称为根轨迹。开环零极点、开环增益等参数对根轨迹有影响,可通过开环传递函数来画出系统的根轨迹。单元四 根轨迹分析法和
29、频域分析法(2)根轨迹分析:根轨迹全部位于 s 平面的左半侧,且离虚轴越远系统越稳定。闭环极点的实部反映系统的调整时间,负实数极点离虚轴越远,系统的调节时间就越短,响应越快。闭环极点与负实轴的夹角 反映了系统的超调量。系统稳态误差的大小与系统的开环增益成反比,开环增益与根轨迹增益之间又有确定的比例关系。当系统具有多个闭环极点时,可借助于主导极点的概念,将系统简化成低阶系统来处理。单元四 根轨迹分析法和频域分析法(3)改变开环传递函数的参数可以达到改变系统性能的目的。增加开环零点使根轨迹向左移动或弯曲,可提高系统的相对稳定性;增加开环极点对根轨迹的影响,使根轨迹向右移动或弯曲,可降低系统的相对稳
30、定性。(4)频率特性是根据线性定常系统在正弦信号作用下输出的稳态分量而定义的,但它能反映系统动态过程的性能。频率特性既可以根据系统的工作原理,应用机理分析法建立起来;也可以由系统的其他数学模型(传递函数、微分方程等)方便地转换过来,或用实验法来确定。单元四 根轨迹分析法和频域分析法(5)在工程分析和设计中,通常把频率特性画成一些曲线,从频率特性曲线出发进行研究。这些曲线包括幅频特性和相频特性曲线、幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线以及对数幅相曲线等,其中幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线应用最广。(6)利用奈奎斯特稳定性判据,可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性,并可定量地反映系统的相对稳定性,即稳定裕度。稳定裕度通常用相角裕度和幅值裕度来表示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法习题习题1.绘制下列开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。2.设系统的开环传递函数为试画出概略的幅相曲线。单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 425 习题 6单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 426 习题 8
