1、单元二 控制系统的数学模型 (1)会通过微分方程和传递函数来建立自动控制系统的数学模型。(2)理解传递函数的定义和性质。(3)能建立和变换系统方框图。(4)会利用梅森公式求解传递函数。(5)能用 MATLAB 化简结构图。单元二 控制系统的数学模型2.1 系统的微分方程系统的微分方程2.1.1 建立微分方程的步骤建立微分方程的步骤描述系统输入量和输出量之间关系的最直 接的数学 方法是列写系 统的微分方 程(DifferentialEquationofSystems)。当系统的输入量和输出量都是时间 t 的函数时,其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。微分方程式系统最基本的数学模型。单元二 控
2、制系统的数学模型建立微分方程的一般步骤是:(1)充分了解系统的工作原理、结构组成和支持系统运动的物理规律,找出个物理量之间所遵循的物理规律,确定系统的输入量和输出量。(2)一般从系统的输入端开始,根据各元件或环节所遵循的基本物理规律,列出相应的微分方程。(3)消除中间变量,将与输入量相关的项写在方程式等号的右边,与输出量有关的项写在等号的左边。单元二 控制系统的数学模型2.1.2 建立系统微分方程举例建立系统微分方程举例1.RC 电路电路RC 电路如图 21 所示。图 21 RC 无源网络单元二 控制系统的数学模型1)确定输入、输出量输入量为电压 u r,输出量为电压 u c。2)根据基尔霍夫
3、定律,列写方程3)消除中间变量,使公式标准化联立以上各式,将输出量有关的各项放在方程式等号的左边,与输入量有关的各项放在等号的右边,整理得到单元二 控制系统的数学模型2.有源电路有源电路有源电路网络如图 22 所示,根据电路图列写微分方程。图 22 有源电路网络单元二 控制系统的数学模型系统中,输入量为电压 u r,输出量为电压 u c。理想运算放大器有两个特点:“虚短”和“虚断”,因此 A 点的电位为 u A=0。因为一般输入阻抗很高,所以单元二 控制系统的数学模型根据该等式,可得所以单元二 控制系统的数学模型2.2 传传 递递 函函 数数2.2.1 传递函数的定义传递函数的定义对线性定常微
4、分方程进行拉氏变换,可以得到系统在复数域的数学模型,称其为传递函数。设系统的结构如图 23 所示,r(t)为系统的输入,R(s)为输入量的拉氏变换;c(t)为系统的输出,C(s)为输出量的拉氏变换。单元二 控制系统的数学模型图 23 系统的结构图单元二 控制系统的数学模型传递函数的定义为:在初始条件为零时,输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比,即单元二 控制系统的数学模型2.2.2 传递函数的性质传递函数的性质传递函数的性质如下:(1)传递函数是由微分方程变换得来的,它和微分方程之间存在着对应的关系。对于一个确定的系统(输入量与输出量都已确定),它的微分方程是唯一的,所以其传递函数也是唯
5、一的。单元二 控制系统的数学模型(2)传递函数是复变量 s(s=+j)的有理分式,s 是复数,而分式中的各项系数 a n,a n-1,a 1,a 0 及 b n,b n-1,b 1,b 0 都是实数,它们由组成系统的元件结构和参数决定,而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此传递函数代表了系统的固有特性,是一种用象函数来描述系统的数学模型,称为系统的复数域模型。单元二 控制系统的数学模型(3)传递函数是一种运算函数,由(4)传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程的多项式,即传递函数的分母是特征方程 a n sn+a n-1 sn-1+a 1 s+a 0=0 等号左边的部分。分析表明:特征
6、方程的根反映了系统动态过程的性质,所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次 n 即为系统的阶次。单元二 控制系统的数学模型2.2.3 传递函数的求取传递函数的求取1.直接计算法直接计算法对于系统或元件,首先建立描述元件或系统的微分方程式,然后在零初始条件下,对方程式进行拉氏变换,即可按传递函数的定义求出系统的传递函数。2.阻抗法阻抗法求取无源网络或电子调节器的传递函数,采用阻抗法较方便。在电路中,电阻、电感、电容元件的复域模型电路如表 21 所示。单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型3.利用动态结构图求取传递函数利用动态结构图求取传递函数对于比较复杂的系统,以上两种
7、方法一般无法解决,可以利用动态结构图求取。该方法将在后面的内容中讨论。单元二 控制系统的数学模型2.3 自动控制系统的系统方框图自动控制系统的系统方框图2.3.1 系统框图的组成要素系统框图的组成要素方框图(BlockDiagram)又称结构图,它建立在传递函数图形化表示方式上,可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系。单元二 控制系统的数学模型方框图由信号线、引出点、比较点和功能框等部分组成,其图形如图 24 所示。方框图同时也遵循前向通道的信号从左向右、反馈通道的信号从右向左的基本绘制原则。图 24 系统框图的图形单元二 控制系统的数学模型1.信号线信号线信号线(Si
8、gnalLine)表示流通的途径和方向,用带箭头的直线表示。一般在线上标明该信号的拉式变换式,如图 24(a)所示。2.比较点比较点比较点(ComparingPoint)又称为综合点,其输出量为各输入量的代数和,“+”表示相加,“-”表示相减。通常“+”可以省略不写,如图 24(b)所示。单元二 控制系统的数学模型3.引出点引出点引出点(PickoffPoint)又称为分离点,如图 24(c)所示,它表示信号线由该点取出。从同一信号线上取出的信号,其大小和性质完全相同。4.功能框功能框功能框(BlockDiagram)表示系统或元件,如图 24(d)所示。框左边向内箭头为输入量(拉式变换式),
9、框右边向外箭头为输出量(拉式变换式)。框图为系统中一个相对独立的单元的传递函数 G(s),它们之间的关系为 C(s)=G(s )R(s )。单元二 控制系统的数学模型2.3.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数任何一个复杂的系统,都是由若干元件或部件有机组合而成的。从形式和结构上看,有各种不同的部件;从动态性能或数学模型来看,又可分成不同的基本环节,也就是典型环节。掌握这些典型环节的特性,可以更方便地分析较复杂系统内部各单元的联系。典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、时滞环节、振荡环节等,现介绍如下:单元二 控制系统的数学模型1.比例环节比例环节比例环节的传递函数为式中,K
10、为一常量。可用方框图来表示一个比例环节,如图 25 所示。比例环节的特点是其输出不失真,不延迟,可成比例地复现输入信号的变化。无弹性变形的杠杆、电位器、不计饱和的电子放大器、测速发电机等都可认为是比例环节。单元二 控制系统的数学模型图 25 比例环节单元二 控制系统的数学模型2.惯性环节惯性环节惯性环节的传递函数为式中,T 为惯性环节的时间常数。可用方框图来表示一个惯性环节,如图 26 所示。惯性环节的特点是其输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化。RC 电路、RL 电路、直流电动机电枢回路都可认为是惯性环节。单元二 控制系统的数学模型图 26 惯性环节单元二 控制系统的数学模型3.积分环节
11、积分环节积分环节的传递函数为式中,T 为积分时间常数。可用方框图来表示一个积分环节,如图 27 所示。积分环节的特点是输出量与输入量对时间的积分成正比。若输入突变,输出值要等时间 T 之后才等于输入值,故有滞后作用。输出积累一段时间后,即便使输入为零,输出也将保持原值不变,有记忆功能。单元二 控制系统的数学模型图 27 积分环节单元二 控制系统的数学模型4.微分环节微分环节微分环节的传递函数为式中,T 为微分时间常数。可用方框图来表示一个微分环节,如图 28 所示。微分环节的特点是输出量与输入量对时间的微分成正比,由微分环节的输出来反映输入信号的变化趋势,加快系统控制作用的实现。常用微分环节来
12、改善系统的动态性能。单元二 控制系统的数学模型图 28 微分环节单元二 控制系统的数学模型5.时滞环节时滞环节时滞环节的传递函数为式中,为延时时间。可用方框图来表示一个时滞环节,如图 29 所示。时滞环节的特点是输出波形和输入波形相同,但是延迟了时间 。时滞环节的存在对系统的稳定性不利。单元二 控制系统的数学模型图 29 时滞环节单元二 控制系统的数学模型6.振荡环节振荡环节振荡环节也称二阶环节。振荡环节的传递函数为式中,T 为时间常数;为阻尼比。可用方框图来表示一个振荡环节,如图 210 所示。振荡环节的特点是若输入为阶跃信号,则其动态响应具有衰减振荡的形式。单元二 控制系统的数学模型图 2
13、 10 振荡环节单元二 控制系统的数学模型2.4 动态结构图的等效变换及化简动态结构图的等效变换及化简2.4.1 串联连接串联连接方框与方框首尾相连,前一个方框的输出作为后一个方框的输入,则该结构形式称为串联连接。传递函数分别为 G 1 (s)和 G 2(s)的两个方框,若 G 1(s)的输出量作为 G 2(s)输入量,则 G 1 (s)和 G 2(s)串联,如图 211 所示。单元二 控制系统的数学模型可以得出则式中,G(s)=G 1(s)G 2(s),是串联方框的等效传递函数,可用图 2 11(b)所示。两个传递函数串联的等效传递函数,等于该两个传递函数的乘积。这个结果可推广到n 个串联连
14、接的方框。单元二 控制系统的数学模型图 211 串联连接的框图运算单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型2.4.2 并联连接并联连接两个或两个以上方框有相同的输入量,以各方框输出的代数和作为总输出,则这种结构称为并联连接,如图 212 所示。图 212 并联连接的框图运算单元二 控制系统的数学模型由图 212(a)可以得出则式中,G(s)=G 1(s)G 2(s),是并联方框的等效传递函数,可用图 212(b)所示。两个传递函数并联的等效传递函数,等于该两个传递函数的乘积代数和。这个结果可推广到 n 个并联连接的方框。单元二 控制系统的数学模型例 22 传递函数的连接如图 2 1
15、3 所示,求输出量 C(s)与输入量 R(s)之间的关系。图 213 例题 22单元二 控制系统的数学模型解解 如图 213 所示,由于每个环节的输入与输出量之间的关系是单元二 控制系统的数学模型2.4.3 反馈连接反馈连接若传递函数 G(s)与 H(s)以如图 214(a)所示的形式连接,则称为反馈连接,其中“+”为正反馈,“-”为负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。图 214 反馈连接的等效变换单元二 控制系统的数学模型由图 214(a)可得则该反馈系统的等效框图如图 214(b)所示。单元二 控制系统的数学模型例例 23 传递函数的连接如图 215 所示,求输出量 C(s)与输入
16、量 R(s)之间的关系。图 215 例题 23单元二 控制系统的数学模型解解 由图 215 可得则当反馈环节 H(s)=1 时,常称为单位反馈。单元二 控制系统的数学模型2.4.4 综合点与引出点的移动综合点与引出点的移动在部分电路中,反馈回路都不是相互独立的,而是通过综合点或引出点相互交叉在一起,所以需要进行化简。在保持总的传递函数不变的情况下,设法将综合点或引出点的位置进行移动,消除回路中的交叉联系后再作进一步变换。移动分为四种情况:单元二 控制系统的数学模型1.相邻综合点之间的移动相邻综合点之间的移动图 216 为相邻两个综合点前后移动的变换。由于总的输出 C(s)是 R(s)、X(s)
17、、Y(s)3 个信号的代数和,因此更换综合点的位置,不会影响总的输出输入关系。移动前移动前:C(s)=R(s)X(s)Y(s),如图 216(a)所示;移动后移动后:C(s)=R(s)Y(s)X(s),如图 216(b)所示。经比较后可得出,多个相邻综合点之间可以任意调换位置。单元二 控制系统的数学模型图 216 相邻综合点之间的位置变换单元二 控制系统的数学模型2.综合点相对方框的移动综合点相对方框的移动图 217 为综合点前移的变换。若将图 217 中的综合点前移到方框的输入端,并且要保持信号之间的关系不变,那么必须在被移动的通路上串上 G(s)倒数的方框。移动前移动前:C(s)=G(s)
18、R(s)X(s),如图 2 17(a)所示;移动后移动后:C(s)=G(s)R(s)G(s)-1 X(s)=G(s)R(s)X(s),如图 2 17(b)所示。经比较后可得出,两者是完全等效的。单元二 控制系统的数学模型图 217 综合点前移的等效变换单元二 控制系统的数学模型同理,综合点后移的变换如图 218 所示。图 218 综合点后移的等效变换单元二 控制系统的数学模型3.相邻引出点之间的移动相邻引出点之间的移动图 219 为相邻两个引出点前后移动的变换。若干个引出点相邻,是同一个信号送到不同的地方。所以,引出点之间相互交换位置,完全不会改变引出信号的性质。图 219 相邻引出点的移动变
19、换单元二 控制系统的数学模型4.引出点相对方框的移动引出点相对方框的移动图 220 为引出点后移的变换。若将图 219 中的引出点后移到方框的输出端,并且要保持信号之间的关系不变,那么必须在被移动的通路上串上 G(s)倒数的方框。移动后:如图 221(b)所示。同理,引出点前移的等效变换如图 221 所示。单元二 控制系统的数学模型图 2 20 引出点后移的等效变换单元二 控制系统的数学模型图 221 引出点前移的等效变换单元二 控制系统的数学模型例 24 用结构图的等效变换,求图 222 所示系统中的传递函数。图 222 例 24 结构图单元二 控制系统的数学模型解解 图 223 所示系统是
20、一个有相互交叉的回路,所以先要用引出点或综合点的移动来消除相互交叉的回路,然后应用串并联和反馈连接等变换规则求取其等效传递函数。化简步骤如图 223 图 227 所示。图 2 23 例 24 结构图变换步骤一单元二 控制系统的数学模型图 224 例 24 结构图变换步骤二单元二 控制系统的数学模型图 225 例 24 结构图变换步骤三单元二 控制系统的数学模型图 226 例 24 结构图变换步骤四单元二 控制系统的数学模型图 227 例 24 结构图变换步骤五单元二 控制系统的数学模型2.5 信信 号号 流流 图图信号流图与结构图一样,都是控制系统中信号传递关系的表示方法。信号流图起源于梅逊的
21、图解法,信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络,用来描述一个或一组线性代数方程式。信号流图与结构图相比,容易绘制和运用。典型的信号流图如图 228(b)所示,与图 228(a)结构图相对应。单元二 控制系统的数学模型图 228 多回路系统的结构图与信号流图单元二 控制系统的数学模型2.5.1 关于信号流图的一些概念关于信号流图的一些概念1.节点节点节点代表方程式中的变量,用小圆圈表示,如图 228(b)中的 R、x 1 等。2.支路支路支路是用来连接两个节点的定性线段。支路增益可用来表示方程式中两个变量的因果,因此支路相当于乘法器,标记在相应的支路线段旁。单元二 控制系统的数学模型3.输
22、入节点输入节点在输入节点上,只有信息输出的支路,而没有信号输入的支路。如图 228(b)中的 R,一般表示系统的输入信号。4.输出节点输出节点在输出节点上,只有信息输入的支路,而没有信号输出的支路。如图中 C,一般表示系统的输出信号。单元二 控制系统的数学模型5.混合节点混合节点既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点,如图 2 28(b)中的 x 1、x 2 等。在混合节点上,如果有多个输入支路,则它们相加后成为混合节点信号的值,从该混合节点输出的支路都取该值。6.前向通路前向通路前向通路是指从输入节点开始到输出节点传递时,每个节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积,称为前向通路
23、增益。如图 228(b)中 R x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 C 的前向通路,其前向通路增益为 G 1 G 2 G 3。单元二 控制系统的数学模型7.回路回路如果通路的起点和中点在同一节点上,并且与任何其他节点相交不多于一次,则该通路称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。如图 228(b)中 x 1 x 2 x 3 x1的回路中,相应的回路增益为-G 1 G 2 H 1。8.不接触回路不接触回路在信号流图多个回路中,各回路之间没有公共节点,这种回路称为不接触回路。在图228(b)中,x 1 x 2 x 3 x 1 和 x 4 x 5 x 4 两个回路称为不接触回路。单元二 控
24、制系统的数学模型2.5.2 信号流图的绘制信号流图的绘制变换过程中注意以下两点:(1)变换过程中要注意对综合点的处理。结构图的节点表示的是所有输入到该节点的信号相加。在结构图中,综合点的“-”转化成信号流图支路上的负增益,如图 229 所示。(2)在信号流图中,若比较点之前没有引出点,但是比较点之后有引出点时,只需要在比较点后设置一个节点;若比较点之前有引出点时,需要在引出点和比较点各设置一个节点,分别标志两个变量,它们之间的支路增益为 1。单元二 控制系统的数学模型图 229 结构图综合点的处理单元二 控制系统的数学模型例 25 试将如图 230 所示系统的结构图转化为信号流图。图 230
25、例 25 系统的结构图单元二 控制系统的数学模型解解 首先,将结构图上的综合点和引出点在信号流图上用小圆圈标注(即节点);其次,在信号流图上用有向线段连接相邻节点(称为支点),并在支路旁标注上相应的传递函数(注意正负号);最后简化图形,去掉不必要的节点。如图 231 中,x 1 和 x 2 两个节点可以合并。单元二 控制系统的数学模型图 231 例 25 系统的信号流图单元二 控制系统的数学模型2.6 梅梅 逊逊 公公 式式信号流图与结构图情况类似,可经过等效变换求出传递函数。但应用梅逊公式,不经任何结构变换,就能直接得到系统的传递函数。单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型例
26、26 求出图 232 中信号流图的传递函数。图 232 例 26 系统的信号流图单元二 控制系统的数学模型解解 图中共有三个回路,各回路的传递函数分别为所以单元二 控制系统的数学模型系统的所有回路都相互接触,故特征式为图中共有前向通路一条,各前向通路的传递函数为该条前向通路与所有回路都有接触,所以余子式为单元二 控制系统的数学模型所以,由梅逊公式得到系统的传递函数为单元二 控制系统的数学模型2.7 控制系统的传递函数控制系统的传递函数闭环控制系统的典型动态结构图如图 233 所示。图中 R(s)为输入量,C(s)为输出量,N(s)为扰动量。系统的输入量包括给定信号和扰动信号。单元二 控制系统的
27、数学模型图 233 闭环控制系统的典型动态结构图单元二 控制系统的数学模型1.闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数定义闭环系统的开环传递函数为单元二 控制系统的数学模型2.系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数(1)在输入量 R(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出。若仅考虑输入量 R(s)的作用,暂时不考虑扰动量 N(s),则图 233 可简化如图 234统原理与应用单元二 控制系统的数学模型图 234 R(s)作用下系统的动态结构图单元二 控制系统的数学模型从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数 G R(s)为此时系统的输出量为单元二 控制系统的数学模型(2)在扰动量 N(s)作用下
28、的闭环传递函数和系统的输出。若仅考虑扰动量 N(s)的作用,暂时不考虑输入量 R(s),则图 234 可简化如图 235所示的形式。单元二 控制系统的数学模型图 235 N(s)作用下系统的动态结构图单元二 控制系统的数学模型从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数 G N(s)为此时系统的输出量为单元二 控制系统的数学模型(3)在输入量 R(s)和扰动量 N(s)同时作用下系统的总输出。由于设定此系统为线性系统,因此可以使用叠加定理,即当输入量和扰动量同时作用时,系统的输出可看成两个作用量分别作用的叠加,有单元二 控制系统的数学模型3.系统的误差传递函数系统的误差传递函数在系统分析时,除了要了
29、解输出量的变化规律之外,还经常需要考虑控制过程中误差的变化规律。定义系统的偏差为则可定义偏差传递函数如图 236 所示。单元二 控制系统的数学模型图 236 偏差传递函数单元二 控制系统的数学模型(1)在输入量 R(s)作用下的偏差传递函数。若仅考虑输入量 R(s)的作用,暂时不考虑扰动量 N(s),则图 236 可简化如图 2 37所示的形式。从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数 G ER(s)为单元二 控制系统的数学模型图 237 R(s)作用下系统的偏差传递函数框图单元二 控制系统的数学模型(2)在扰动量 N(s)作用下的偏差传递函数。若仅考虑扰动量 N(s)的作用,暂时不考虑输入量
30、R(s),则图 236 可简化如图 238所示的形式。从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数 G EN(s)为单元二 控制系统的数学模型图 238 N(s)作用下系统的偏差传递函数框图单元二 控制系统的数学模型(3)在输入量 R(s)和扰动量 N(s)同时作用下系统的偏差。由于设定此系统为线性系统,因此可以使用叠加定理,即当输入量和扰动量同时作用时,系统的偏差可看成两个作用量分别作用的叠加,有单元二 控制系统的数学模型2.8 控制系统数学模型的控制系统数学模型的 MATLAB 描述描述2.8.1 传递函数的多项式之比形式传递函数的多项式之比形式单输入、单输出线性系统的传递函数为是由分子与分母多
31、项式之比的形式表示的。单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型2.8.2 应用应用 MATLAB 函数化简结构图函数化简结构图应用 MATLAB 进行结构图化简,可以归为处理串联、并联和反馈三种基本情况。设 G 1(s)O 和 G 2(s)O 分别进行以串联、并联、反馈的形式连接,则连接后的传递函数由以下函数实现:单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型图 239 例 28 控制系统框图单元二 控制系统的数学模型单元小结单元小结(1)建立微分方程的一般步骤是:充分了解系统的工作原理、结构组成和
32、支持系统运动的物理规律,找出各物理量之间所遵循的物理规律,确定系统的输入量和输出量。一般从系统的输入端开始,根据各元件或环节所遵循的基本物理规律,分别列出相应的微分方程。消除中间变量,将与输入量相关的项写在方程式等号的右边,与输出量有关的项写在等号的左边。单元二 控制系统的数学模型(2)典型环节的传递函数有:单元二 控制系统的数学模型单元二 控制系统的数学模型(3)对动态结构图进行化简,并求得系统的传递函数。化简有两种方法:等效变换和梅逊公式。(4)系统的传递函数可分为开环传递函数、闭环传递函数和误差传递函数等。单元二 控制系统的数学模型习题习题图 240 习题 1 图1.利用结构图化简求图 240 所示系统的传递函数。单元二 控制系统的数学模型2.根据图 241 所示的系统结构图,求系统开环、闭环以及误差传递函数。图 241 习题 2 控制系统框图单元二 控制系统的数学模型3.求图 242 所示 RC 串联网络的传递函数。图 242 习题 3 控制系统框图单元二 控制系统的数学模型4.系统的信号流图如图 243 所示,试用梅逊公式求 C(s)/R(s)。图 243 习题 4单元二 控制系统的数学模型5.求图 244 所示系统的传递函数 C(s )/R(s )。244 习题 5
