1、数苑趣谈万精油 著天元数学文化丛书数苑趣谈万精油著份号也鼠忌北京内容简介把数学思维应用到日常生活中可以比较容易看到事物的本质。这里所说的数学思维并不是具体的解决数学问题、证明或运算，而是数学中的逻辑思路、推理方法的一般应用。数学思维是一种生活习惯。这本书收录了作者多年以来的数学杂文，以讲故事的形式展现生活中与数学有关的趣事、处理方法，比如面试中的数学问题，赌场里的数学思路，或者电影中的逻辑问题等等。昕故事，不需要太多数学基础，但相信读了这些文章，对读者养成数学思维的习惯会有帮助。本书可供所有对数学和数学文化感兴趣的读者阅读，也可供数学教育工作者参考。图书在版编目(CIP)数据数苑趣即万精油著一
2、北京:科学出版社，2021.8(天元数学文化丛书)ISBN 978-7-03-068812-5 l数.II万.1H.数学-普及读物W(01-49 中国版本图书馆CIP数据核字。021)第4073号责任编辑王丽平孙翠勤/责任扶对杨聪敏责任印制吴兆东/封面设计无板书装i-t(http:/www.global-sci.org/皿.c)于2010年正式创刊，刊物近十年的发展比我们开始的预测还要好，这主要得益于刊物有一个小而精的作者队伍。记得创刊号的文章只有少数的作者不是编委，非编委作者里面就有此书作者游志平博士，他贡献了两篇文章:(坐地日行八万里一一近代数学在航天飞行中的应用和数学史上的一桩错案。当然
3、按照游博士一贯的风格，他的文章用的是笔名:万精油。志平在数学文化的前七八年中，几乎每期都有文章，并长期主持了数学趣谈这个栏目。大概一两年前，他告诉我想休息一两年，我觉得合情合理，正好他也可以静下心来，把这几年的心血整理成书。因为有马拉松、羽毛球、围棋这些爱好，多点富裕时间对他来说并不容易。因此，今天此书的出版，也是他暂时停笔数学文化的一个副产品。同时我很高兴地看到此书的很多文章都出自志平博士为数学文化写的文章。数学文化目前已经催生了三本书，卢昌海的黎曼猜想漫谈(清华大学出版社，2012年)，蒋迅、王淑红的数学都知道(北京师范大学出版社，2017年)，以及即将由科学出版社出版的志平博士的大作。常
4、言道z以文会友。因为办刊，我结识了许多数学文化方面的写手，包括志平博士。记得四五年前，我在哈佛培训的时候，利用周末去他在波士顿的家里拜访，得到志平夫妇的热情接待，他们还带我去波士顿一家品牌川菜馆美餐了一顿。我们还有在湖南衡山相会的美好记忆。办刊的同时能够交友，这是人生的幸事。志平四川太学数学系毕业，是中国科学院数学研究所硕士，美国马里兰大学博士，他数学根基雄厚，理解问题深刻、独到，对复杂问题的描述深入浅出，再加上行文流畅、文笔幽默，使得此书有很强的可读性。我强烈推荐此书给广大的数学爱好者，我深信大家通过此书一定能享受到阅读数学的乐趣!汤涛中国科学院院士北京师范大学香港浸会大学联合国际学院202
5、1年1月10日从1993年开始，我周万精袖这个笔名在网上发表文章，小说、杂文、游记、科普，各种类型都有。20多年来，累计数百篇。由于我的专业是数学，我的文章有相当一部分都与数学有关:数学科普、数学历史、数学大会报道、数学札记等。不少文章被到处转发，两年前有出版社与我联系，说是要把我这些文章中与数学有关的收集起来，出一本数学科普杂文集。我当时觉得可行性不大，主要是觉得我写文章没有什么规范，想到什么写什么，没有主干，很难把这些东西融合在一起。最近我的大学同学建立了一个微信群，毕业30多年的同学有很多都不了解彼此近来的动向。我在群里贴了儿篇我过去的文章，算是做一个自我介绍。没想到反响很好，好几个同学
6、建议我把这些文章收集在一起出一个集子，认为这些东西都与数学有关，可以说数学就是它们的主干，理工科的大学生及毕业生、喜爱数学的高中生都应该会喜欢这些文章。如此看来，这些文章还是有一定市场的。于是我开始从我的文章中挑出一些与数学相关的文章，把它们归类到一起。选出来的文章分几大类。近期的文章好些都是这些年我在数学文化杂志当特邀作者时写的，比如三生万物枪打出头鸟等。另一类是我在网络杂志国风办灵机一动专栏时的系列文章。其他就是这些年零散写的，太部分部贴在我自己的网站和新语丝网站的读书论坛上，比如坐地日行八万里)人机对话等，其中，坐地日行八万里获新语丝科普文学奖。数学文化与国风的文章都有少许删节和改动，使
7、得它们从那些系列中独立出来。其他文章基本维持原样。许多文章都写于将近20年前，好在数学的东西几百年也不会过时，所以，太部分文章可以不做任何改动。本书的前五篇总共收集了40篇文章，凑出一个10的倍数。最后一篇是我的获奖小说墨绿。本来不应该把墨绿放在以数学杂文为主的集子里，现在把它归了进来，一方面因为它讲到许多人工智能的东西，许多读者告诉我，他们读墨绿很大程度是把它当科普文章在读，甚至有研究计算机围棋的网站把墨绿长期置顶，并介绍说任何想研究计算机围棋的人都应该先读一下墨绿。另外，集子里的人机对话提到的许多东西都与墨绿相关，我们可以把它看成人机对话的附录。万精油2020年12月28日丛书序序前言。第
8、一篇科学普及一一数学.统计、计算机/11.1坐地日行J万里一一近代数学在航天飞仔中的应用/31.2人机对话/71.3数学与选举/141.4两亿零两年的恐龙/171.5 降维攻击/211.6扬长避短一一极小极大:-p算法/野。第二篇灵机一动一一趣味题目背后的数学/352.1三生万物/372.2枪打出头鸟-入决斗问题越谈/甜2.3装球问题/四2.4 斐被那契和他的兔子们/522.5-个有趣的数学扑克滋戏/552.6 于无声处听惊雷/592.7关于趣味数学/61数苑l趣谈viii。第二篇开卷有益一一评论汇集/633.1 书评:打赢庄家)/65 3.2 白天鹅的反击书评:黑天鹅)/71 3.3 作家笔
9、下的数学与数学家/763.4 讽刺幽默大师:汤姆雷尔/79 3.5 书评:B C,2人:A C B,2人:B C A,4人:CBA。如果选举规则是每人只选一个人?根据上面列出的表?我们可以看出A会赢。只选一个人的结果是ACB(得票依次是5，4，2)。如果选举规则是每人可以选两人，然后再从前两名中挑出得票最多的(相当于初选加复选)，我们可以看到其结果是BCA(得票依次是9，8,5)。这个例子说明，同样的选民，同样的意向7因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论。还有一些地方(比如欧洲一些地方的选举)对意向采用Borda加权(起始于1770年)。对每个意向表，第一名得两分，第二名得一分。最后把每个
10、人的得分加起来看谁的分多谁当选。如果对上面的意向表采用这个Borda加权，我们得出另一个不同的结果CBA(依次得分是12，11,10)。如果用另外的加权方法?我们还可以得出别的不同结果。同样的意向表，不同的加权，到底会产生多少个不同的结果?有定理说:对N个候选人，存在一个意向表使得不同的加权会产生(N-l)(N-1)!个不同的结果。显然，对加权的限制是前面的权要大于等于后面的权。另外3还要求最后一名的权是0。在这种条件下，如果有10个候选人(比如美国的总统初选)，同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果。有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况7实际选举出现这14 第一篇/科学普及
11、一一数学、统计、计算机种特例的机会是不多的。对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答。该定理说:如果有三个候选人，他们的支持度差不多(同等的随机分布)，则有大于三分之二的可能性(实际数是69%)选举规则会改变选举结果。三分之二可不是一个小数，比一半大多了。也就是说当各方实力接近的时候，选举规则会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍。以今年为例，如果把全体美国人的意向列一个意向表，我们几乎可以肯定，不同的规则会产生不同的结果。也就是说，对这个意向表不同的加权可以产生Clinton赢，或者Obama赢，或者McCain赢。这种现象并不只在选总统的时候出现，在日常生活中也会冒出来，甚至影响到
12、你自己。比如你去面试一个工作，总共四个面试者，A，B,C,D。四个人每个人做一个报告。昕报告的一共30个人。听完报告后这30个人给出各自的意向表，结果如下:3人:A C D B,6人:A D C B,3人:B C D A,5人:B D C A,2人:C B D A,5人:C D B A,2人:D B C A,4人:DCBA。假设你是D，根据这个意向表，你就没有戏了。因为只有一个位置，所以只有一个人能得到。按第一票算，其次序是ABCD(得票依次是9，8,7,6)。显然A胜。正当他们准备打电话通知A面试成功的时候，C打电话来说他弃权1因为他已经接受了另一个工作。初看起来，C排第三，他的弃权对只选一
13、个人的结果不会有影响。其实不然，如果你把上面的意向表中的C都去掉，你会发现结果完全不同了。因为C的7票有2票给了B，5票给了你(D)。最后的结果是DB A(得票依次是11，10,9)。如此的例子还有很多，单就上面的这个例子看，任何一个人弃权都会改变结果的次序。对这样的混乱现象有人用混沌来形容。最后再回到开始的那句话:在竞选人实力差不多的情况下，选举结果是对选15 数苑l趣谈举规则的反映，而不一定是对选民意向的反映。(2008年4月17日)16 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机1.4 两亿苓两年的恐龙晚上随意翻换电视频道时看到一个节目叫十的军方(Power of Ten)。这节目是让参加者
14、回答一些问题，问题的答案都是百分数的形式。比如，有多少比例的美国人认为电视里放的职业摔跤是真的?或者，有多少比例的美国人认为应该允许摩门教徒实行他们的多妻制?等等。参加节目的一般是两人7每人给一个答案7谁的答案更接近真实答案谁赢，然后是下一个问题。所谓真实答案就是节目主持者用同样的问题事先问随机抽样的一百个美国人，得出一个百分比。我这个人对数字方面的信息特别感兴趣，这个节目一下就抓住我，于是停止换台，继续看下去。有一个问题问:美国人中有多少比例的人与美国总统握过于?如果让我来答，我肯定答小于1%0让我惊讶的是两个参赛者一个答8%，另一个答9%，我觉得很不可思议。更让我惊讶的是，节目公布的真实答
15、案竟然是11%。让我们来粗略地估算一下:美国现有人口3亿，3亿的11%等于3300万。如果总统每天与1000人握手，那他要花90年的时间才能握完这些手。总统竞选期间，他或许有可能每天与1000人握手。当上总统后，如果每天与1000人握手，那他就不要干别的事了。就算把所有活着的前任总统们加上，也就是说可以同时有四五个总统，每个总统平均每天也要与几百个人握手，仍然是不现实的事。从另一个角度看，11%相当于每十个人中就至少有一个与美国总统握过手。我认识的美国人不下1000人，从来没听说谁与美国总统握过手。如果用我的样品做假设检验7不要说11%，就是1%也过不了。我把这个问题告诉我的朋友，朋友说，这有
16、什么稀奇的，美国大众对数字从来都是稀里糊涂的。我在美国生活了二十多年，对这美国大众的数字或算术水平真是不敢恭维。商店门口如果没有收银机，我想绝大多数收钱的人是算不清楚账的。有时利用排队时间，我用心算把账(包括税)算到精确到分，然后把精确到分的零钱一起给收钱的人。他们算出账后发现我给得正好，都以看外星人的眼光看我。相比之下，中国的商贩就不得了。葡萄一块四一斤，我捡出两大枝给他，他边称边说:两斤八两，二块九毛二?给你加几颗，四块钱就不用找了。说话都没有停顿。不单是美国大众，有些大学生也缺乏基本算术能力。我从前教微积分的时候，一个学生在把答案从2.4小时换算成分钟的时候算错了，我扣了他一分。他来与我
17、吵，说是这道题微积部分他是做对了的(2.4小时是对的)，只不过换算成分钟的时候算错了。还说他算错的原因是我不让他们考试的时候用计算器。更有甚者，有17 数苑l趣谈个学生居然不转换，直接就把两个答案加在一起，2.4小时加18分钟等于20.4。我在他卷子上写了个20.4what?，扣了他五分。他跑到我办公室来大吵，说是主要答案都对，只不过加错?没有理由扣五分(总共十分)。我让他看我办公室墙上的一张照片。照片是立在美国加利福尼亚州一个小镇入口的牌子(图1)，上面写着，New Cuyama 人口562，海拔2150，建镇于1951，总和4663。图1一个小镇入口的牌子他看后说，我不是那么笨，我知道不同
18、的东西不能加，相同的东西要把单位统一以后才能加(看来，来找我以前做了点家庭作业)。我本来想告诉他，统一单位后也不一定就可以加，但看他一脸的迷惑，我没有继续说下去，本来想给他讲的一个与此有关的笑话也硬给压了回去。相同的东西统一了单位以后就总是可以相加吗?我压在肚子里的笑话讲的就是这么一个问题。说是有一个博物馆的工作人员在给一群参观者解说一个恐龙骨架。她说:这个恐龙的年龄是两亿零两年。有个人问她怎么能知道得如此精确。她说:我刚到这里工作的时候，别人告诉我说这个恐龙的年龄是两亿年，我已经在此工作了两年，所以我知道它的年龄是两亿零两年。18 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机你或许要说，这只是一个
19、笑话，稍微有点常识的人不会犯这种明显的错误。那我现在就来告诉你一个真实例子。三年前，在互联网的围棋新闻组里，有人贴了一个关于世界围棋人口的帖子。在看这个帖于前，我先介绍一下这个新闻组。互联网的围棋新闻组是一些围棋爱好者(主要是美国和欧洲)讨论围棋的地方。西方的围棋爱好者组成与中国不一样。在中国，比如成都这种围棋爱好者众多的城市，下围棋的什么样的人都有。茶馆里、公园里到处都可以看到人下围棋。在西方，围棋没有那么普及，下围棋的主要以受过高等教育的人为主。几乎所有我认识的会下围棋的美国人都是在读大学或研究生时才知道围棋的。所以，在这围棋新闻组发帖或读中占的人应该说都是受过高等教育的。这个关于世界围棋
20、人口的帖子就是在这样一群人中贴出的。帖子说，通过努力，他在网上收集到各国围棋人口的数据。然后做了一个表格列出各国围棋人口。大致如下:中国10000000(10百万)韩国9000000(9百万)日本一一7000000(7百万)古巴110 智利一-30美国一-15000最后他把这些数加起来，得到了世界围棋总人口26902200。因为每个数据都是各国官方网站上的准确数据，所以大家都认为其最后的结果很可靠。而且还有不少跟帖讨论，没有人觉得有什么不对。所以我前面说这种现象并不只出现在笑话中。我实在忍不住，在他们的讨论帖后面跟了一个帖子泼冷水。我说:中国、韩国以及日本的数据都是以百万为单位，也就是说小于0
21、.5个百万的数据就被忽略了。在这些数据后面去加上别的国家的110和30之类的东西没有任何意义。如果我们只是要统计世界围棋人口的话，只需要把中国、日本、韩国这三个国家的数据加在一起就行了，最多再加上一百万用来包括世界其他所有地方的围棋人口。这样得出的结果的意义不会比上面精心统计出来的结果差。为了不激起众怒?我19 数苑l趣谈在后面又加了几句:当然，这并不是说别的国家的数据就不重要。恰恰相反，数字小的国家反倒更重要。因为对中国、日本和韩国来说，围棋人口已经饱和，没有太多的发展空间。而那些数字很小的国家，对围棋在世界的普及上却有很大的潜力J像这种把不同数量级的数加在一起的现象，在别的地方也经常出现。
22、比如对越战?韩战死亡人数的报道，有些国家精确到个位数，有的国家却以万为单位。而我们却总可以看到各种报道把这些数据加在一起。从统计意义上来说，如果一个数小于另一个数的误差范围，那么这两个数相加就没有意义，小于误差范围的差别也没有统计上的意义。因为其中任何一项的误差就可以抵消这样的差别。遗憾的是，许多人还是用这种没有意义的小差别来做重大问题的决定。最著名的例子就是2000年的总统选举。布什和戈尔在佛罗里达的选票相差只有1000多票，有一次重新数票后甚至说相差不到500票。这500票在六百万张选票中只占不到万分之一，而事后证明各地数票(机器数票与人工数票)的误差都大于千分之一?有的地方甚至大于1%。
23、也就是说这500票的差别远远小于数票误差。然而，就是这远远小于数票误差的差别决定了谁当美国总统。过去这七八年，美国人民(或者全世界人民)都为这个结果付出了沉重代价。眼看这就要扯到政治问题，还是就此打住。仔细观察，你会注意到这种数字问题无处不在，无时不有。如果你们家的财政总管要把年度预算精确到元，你可以告诉他?小心两亿零两年的恐龙从博物院跳出来找他算账。(2007年9月26日)20 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机1.5降维攻击前一阵的一个大新闻是中国科幻作家刘慈欣的科幻小说三体获得2015年的雨果奖(图1)。雨果奖是由国际科幻协会颁发的科幻成就奖，被普遍认为是科幻界的诺贝尔奖。截止到20
24、16年己颁发了63届。但到刘慈欣获奖以前，不仅是中国，整个亚洲还没人得过这个奖。刘慈欣是第一人?所以应该算是一个大新闻。【叫fI.f啪监裂中回科幻银河奖将到￥在夜奖作品如Jl!欣 帮图1(三体(图片来源于网络)在小说三体中，刘慈欣引进了一个降维攻击的概念，把高维的东西降到低维来打击。通过低维空间解决高维空间的问题是数学家常用的手段。刘慈欣加上科幻的内容后有了新意，很能抓眼球，所以我们借用了这个概念来做文章主要是想介绍数学上通过把高维的东西映射到低维来解决的一些于法和例子。21 数苑l趣谈讲数学以前先讲一个笑话。百度网站有许多贴吧，各种群体、各种话题都有自己的贴吧。比如军事吧、足球吧、围棋吧?或
25、者成都吧、深圳吧等等。三体迷们想建立自己的贴吧。可惜，三体吧这个名字被北京市第三体育运动学校的校友们占了。如果是个人，名字被占了或许就在名字后加一个后缀之类的，另起一个名字就算了。可是三体迷们不肯将就，一定要把三体吧这个名字夺回来。于是一大堆三体迷空降到原本属于北京第三体育学校的u三体吧。如果在现实生活中打架，(三体迷们肯定不是体育学校学生的对手。但是，在网上拼杀7从三维世界降到两维的荧光屏上，体校的学生就不是他们的对于了。很快贴吧里的各种话题都以小说三体为主，原来的体校学生基本上插不上话，据说现在己经完全被三体迷们占领。用成语来说这就叫鸪占鹊巢。用三体的语言来说?这就叫降维攻击。回头再来讲数
26、学。高维空间，甚至像希尔伯特空间那样的无穷维空间都是数学里经常出现的研究对象。许多抽象定理(比如矩阵中的定理)都普适于任意维数N。但是，有时我们需要研究具体问题。因为我们是三维动物，二维以上的东西很难可视化(作图有困难)，理解起来有难度。于是，我们就通过一些手法把高维的东西映射到低维来?在不影响所研究的问题在高维空间中的性质的时候，这种映射就把原来的问题直观化了。庞加莱映射就是这样一种手法?我们这里就来介绍一下。动力系统理论(DynamicalSystems Theory)是数学的一个分支，主要研究一个满足某种条件的系统随着时间推进时的各种状态。时间有时可以离散，所以也可以是一个非连续的离散系
27、统。图2是著名的洛伦茨吸引子。它产生于数学家(气象学家)Edward Lorenz(爱德华洛伦茨)研究的一个微分方程动力系统(现在被称为洛伦茨系统)。这个系统在一定的参数下有混沌的特性，两个相近的点经过一段时间后会分隔得很远。洛伦茨蝴蝶因此而得名。后来被夸张到一种流行的说法:北京一个蝴蝶抖一下翅膀，造成的微小空气扰动连锁反应到美国加利福尼亚就可能形成一个大风暴。其他一些微分方程系统与此类似，甚至更复杂。在这样的系统中，一个点的轨迹错综复杂，研究起来不是很直观。于是人们想到一个比较直观的办法，只跟踪这些轨迹在一个平面上的映射。如图3。不管点X在平面S以外的轨迹，只管下一次这个轨迹与平面S相交的点
28、(图中的P(x)。注意?虽说是不管平面S以外的轨迹，计算(或者说解微分方程)还是需要的，否则怎么能知道P(x)在哪里。只22 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机不过我们只记录z与P(x)，略去了不必要的枝节，保持了本质的东西。这样一来，一个微分方程系统从视角上来说就变成了平面S上的一个离散变换。通过这个离散变换的一些特性，我们可以推出原来的系统的一些特性，比如图40图2洛伦茨吸引子S P(x)图3庞加莱映射如果一个点绕一圈(或者几圈)后回到原来的地方，我们知道这个轨迹是一个有周期的轨迹。如果两个相邻的点绕一圈后离得更远，那么我们知道其中一个点在另一个点的不稳定方向上面。反之，如果两个相邻的
29、点绕一圈后离得更近，那么我们知道其中一个点在另一个点的稳定方向上面。23 数苑l趣谈图4周期性与稳定性的研究这种方法在天文学上也很有用。比如我们研究某个星球的轨迹，就只记录它在某个截面上的踪迹即可。记录月亮轨迹时?一般用它在垂直于黄道的平面上的截点。这些都是庞加莱映射的应用。洛伦茨当年研究那个蝴蝶吸引子的时候，用的是另外一种降维法。他研究从一个制高点(一个圈中Z最大的)到下一个制高点的映射。总之，把维数降低以后就更有助于研究。注意?这个维数也不可以随便乱降。一定要保证所研究的性质在降维以后没布本质变化(比如上面提到的周期性以及稳定性)。否则，如果性质改变了，降维以后的结果就不能返回原来想研究的
30、高维系统。在保证研究性质不变的时候，有些时候可以阵更多维。比如把一个二维映射简化到一些离散区域之间的映射。比如图5(Baker映射)。研究这些区域之间的映射就变成了一个离散问题。-i-941i(见数学文化第三期)一文里提到许峰雄(打败世界国际象棋冠军的计算机程序深蓝的主要作者)，他在论述围棋程序的优化的时候提到四大点?其中一点就是这个-搜索。我在写Hex程序的时候用到了-搜索。对棋子的赋值问题，引进了势能函数，在当时还是比较独到的。不过，那个时候的计算机速度不够快，内存也不大。我的程序可以下过初学者，但下不过我，后来就没有再进行下去。趣味题目及分解A.证明Hex元和棋。也就是说即使两个瞎子在棋
31、盘上乱下，最终必然有一方会赢。B.证明Hex先走必赢。先看问题A。问题A的意思是说，如果把棋盘上填满黑子和自子，那么我们或者可以找到一条由黑子组成的连通线连接上下边，或者可以找到一条由白子组成的连通线连接左右边。直观上来说，这个题目似乎很明显。如果考虑把水从上面32 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机所有的黑子中倒进去，水沿着连通的黑子往下流(中间或许拐弯，如果我们把这个连通线想成一个管道，拐弯也没有问题)，如果水能流到下面，说明黑色管道从上连通到下。如果不能流到下面，说明有白色连通线从左到右全面堵住了黑子的去路，也就是说有白色管道左右连通。当然，上面只是一种不严格的比喻，如果要从数学上严
32、格证明，需要花很多功夫。据说纳什(Nash)对这个问题的严格证明用了四页纸。我们在这里不想用太多数学符号吓退读者，而是选择用通俗语言做一个相对严格的证明。如图5，Hex棋盘上布满了X与0。假设左上与右下0区全是0，右上与左下X区全是Xo我们可以证明无论棋盘上的X，O如何分布，我们都可以构造一个连接左上到右下的0，或连接右上到左下的X通道。构造如下:钮v u 图5,v 从正上方包点出发，总是沿着X与0的分界线走(图5中从包发出的粗线)。因为每条路都是从X与0的分界线走过来，不管下面碰到的是X还是0，都可以有路继续走。而且可以证明，这样的走法不会循环。因为如果循环，只会从33 数苑l趣谈线路中间某
33、点开始(不会从包点循环，因为d上面没有点)。那一点一共有三条线。第一次经过那一点时，一进一出己经用掉两条线，再次进入只能从第三条线进入。很显然，不管与那个点共点的三个六边形的X，O如何分布，三个六边形中必有两个同色，不可能满足每条线都是X，O各占一边(这是我们这个线路的要求)。不能重复，而这个棋盘的点数有限，线路只能从图中叭叭u之一的点中出去。事实上，U点也不可能，因为我们的线路0区一直在前进方向的右边，而也点的O区在前进方向的左边。所以，只能在与d点结束。显然，如果先到v，则沿着构造线有一条连接左上到右下的0通道。如果先到V，则沿着构造线有一条连接右上到左下的X通道。证毕。这个结论实际上还可
34、以推广到N维Hex，不过，我们必须要先定义 N维Hex，比较麻烦，这里就省略了。有兴趣的读者可以自己去研究。这个结论的另一个有趣的相关结论是，它与著名的二维布劳威尔不动点定理等价。也就是说，有了Hex不能有和棋的结论，可以推出二维布劳威尔不动点定理，反之亦然。其证明也不麻烦，也就一页纸。不过，先得定义与Hex游戏棋盘等同的矩形棋盘，这里再次略过。问题B证明很简单。因为如果后走的人有必胜走法，那么先行的人可以随便乱走一步?然后采用后行必赢的走法，如果某一步走法需要在已经有子的地方下?则可再次随机下一个地方。最后总是可以赢。这个证明能够成立的关键是棋盘上多一个己方的于不会有坏处。这个条件在别的游戏
35、中就不一定成立，比如围棋，多一子有时反而气紧。在黑白反棋游戏(Reversi)中也不成立。需要说明的是，上面的证明只是存在性证明，不是构造性证明。没有构造先走的必胜走法。所以，游戏还是很有趣的。顺便说一句，现在的Hex研究者借助计算机，对9x9以下的棋盘己经有构造性证明。更大的棋盘还有待于计算机的进一步强大。34 篇第灵机一动一一趣昧题目背后的数学2.1 三生万物2.2 枪打出头鸟2.3 装球问题2.4 斐波那契和他的兔子们2.5 一个有趣的数学扑克游戏2.6 于无声处昕惊雷2.7 关于趣味数学第二篇/灵机一动一一趣昧题目背后的数学2.1三生万物道家有有我师焉飞。在中国传统文化里?三的地位是很
36、高的。本文想从数学的角度来说，在所有的数字系统中，平衡三进制也是最美丽、最优秀的。中国传统文化说三是大而广，数学上说三是小而精。三的地位妙不可言。一个闷热夏夜，一群人注意到天上的星星，这是热门电视剧生活大爆炸里谢耳朵给彭妮讲物理的起源时的开场白，说的是2600年前古希腊的故事。如果他要讲数的进制的起源，那他得再往前推大约3000年。语言使人类区别于动物;抽象数字、数字进位则又是文明的更进一步。数字进位使得我们能简易地写大数。然而，多少数进一位呢?大自然没有给我们一个简易答案。理论上来说，任何进位都可以行得通。我们现在通用十进制，其根本原因是我们有十个手指头。位的英文单词digit其实就有指头的
37、意思。也有一些文明用二十进制?大约是把脚趾头都算上了。美国土著用八进制，因为他们数的是指间缝隙，而不是指头本身。还有一些部落用5进制，大概他们只数一只手。除了以指头为依据的进位制，还有其他的进位制在一些文明中出现。比如12进制(美国现在用的长度单位1英尺=12英寸)，16进制(美国现在用的重量单位1英磅=16盎司)以及60进制(1小时=60分钟)，24进制，32进制等。每个进制的存在都有它的道理，我们就不一一细说了。什么进制最优?前面说大自然没有给我们一个简易答案。这个说法不完全准确。有些进制还是有先天优势的，比如二进制。二进制每位数只有两个不同的数，即0与1，在电子线路上这两个数可以用关和开
38、来表示?非常自然。超过两个值表达起来就没有这么简单了。便于电路表达是一个巨大优势，这也就是为什么我们现在用的计算机都是二进制。二进制的优势是便于表达。如果除开这个便于表达的优势，单从数学上，或者从信息传递的角度来看，它是不是最好的呢?我们这篇文章的主题就是要解释清楚这个问题，比二进制更好的进制是三进制。三进制好在哪里，要回答这个问题，我们先要号引|进简单说起来，u基需就是在一个固定基下表示一个数需要的开销。比如，要表示1000以下的数，二进制需要10位数，八进制需要4位数?而十进制只需要三位数。但是，位数短是有代价的。十进制每位数有十种不同的值7这比二进制的0，37 数苑l趣谈1麻烦多了。值少
39、位数多，位数短值就必须多。怎样把这两个量综合起来考虑呢?基需就是这样一个综合量。假设在基为b的时候，储存每一位数的开销与b成正比(因为每位数有b个不同的值)，位数所需的开销就与wx b成正比。对于任意数N，在基b下表示数字N需要logbN+1位数。这样我们就有了基需的精确定义:E(b,N)=b(logb N+1)基需取整比较容易看得清楚。比如，表示999时，二进制下的基需是2x 10=20,10进制的基需是10 x 3=30，而八进制的基需是8x 4=32。一个很自然的问题是，在什么基下，平均基需最小?如果把这个问题看成一个连续函数的极值问题，那么我们很容易得出b=e时基需最小。这是因为E(b
40、，N)=b(logb N+1)勾blogbN=(bjln(b)ln(N)。也就是说在基b下，任意数N的基需是ln(N)乘上一个固定数(bjln(b)。而我们知道，函数(bjln(b)在b二e时值最小。最接近e的整数是3，接下来是2与4。所以，我们从数学上证明了三进制是最经济的进制。图1是基需在不同基、不同位数下的曲线。可以清楚地看见，每条曲线都在e处取最小值。在所有整数中73处的值最小。38 4+气2H 悻H.出气3咀60 问20。图1基需在不同基、不同位数下的曲线第二篇/灵机一动一一趣昧题目背后的数学现在我们再来看一看三进制有什么特性。首先，从表达来说，二进制有两种表达方法。一种是非平衡表达
41、法。每位数由0，1，2表示，到3就进位。这与别的进位制基本相同。比如，100=81+0 x 27+2 x 9+0 x 3+1=1020130另一种叫平衡表达式。在介绍平衡表达式以前，我们先来看一个比较有趣的天平硅码问题。如果我们要求你用一个天平称出从1克到40克所有整数克的质量，你最少需要多少硅码?每个硅码是多重?显然?你需要一个质量为1克的硅码。如果用通常的2倍法，你可以有质量为1，2,4,8,16,32克的6个硅码解决问题。1到40内的所有整数都可以用这些硅码组合出来，这其实就是二进制，任何数都可以用二进制表示出来。能不能用少于6个硅码来完成这个任务呢?我们可以用3代替2。要称2克的东西，
42、只需把3放一边，1放另一边，在1那边能让天平平衡的质量就是2克。有了1，3，我们可以称出4克。下一个硅码是多少呢?用同样的道理，我们可以把下一个硅码质量设为9。用左右平衡的办法，我们用1，3,9可以称出1到13的所有数。以此类推，再下一个就是27。用1，3,9,27可以称出1到40的所有数。前面问题的答案是404个硅码就可以称出从1克到40克所有整数克的质量。这个问题可以推广到任意数。从数学上来说，1，3，9，27，护的和是(3k+l-1)/2，正好是3k+1一半下面最大的整数，3k+1一半以上的整数都可以用3k+1减去前面3的幕数达到。所以用3的幕数为硅码质量能够称出所有整数，而且是最省硅码
43、个数的方法。有了这个趣题作背景，我们现在可以回头来介绍三进制的平衡表示法。平衡表示法每位数由-1，0,1表示。为了进一步表现平衡，那个负号通常放在上面，也就是I。从上面的天平硅码问题可以看出，任何整数都可以通过加减3的罪数来达到。所以?任何数都可以在三进制下用1，0,1来表示。比如，100=81+27-9+1=111013。这个平衡表示法的另一个优点是，负数也可以用这样表达，而不需要在前面加负号。比如，-50=-81+27+3+1=110113。平衡表示法在运算中有很大优势。正负数不需要特殊符号，加法与减法基本上是一回事?乘法表也出奇地简单(因为只有1,0,1)。归整运算(就是我们平常说的四舍
44、五入)也比二进制简单。平衡三进制是如此优美，自然，以至于计算机大师Knuth在他的名著计算机编程艺术中说?最美的数字体系就是平衡三进制(Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation)。甚至预言未来世界的计算机应该是三进制的(图2)。著名科幻作家RobertHeinline 的一篇讲外星人的小说里?外星人把341640表述成122100122100，隐含外星先进39 数苑l趣谈文明的计算机是三进制的。唱h且牟lu n K)唱bb(a)计算机编程艺术计算机编程艺术及其作者在二进制下，每一位数叫
45、一个比特(bit)，三进制下每一位数叫一个粹特(trit)。在二值逻辑下，1对应于真，0对应于假。它们之间的逻辑结合关系见表10图2二值逻辑z-0101 210 z-01 表1NMU-，=，3的时候，每一种情况部分析是不可能的。有没有更一般的方法，可以从每次称出的结果，就直接知道哪个球是坏球?题目都出来了，答案当然是肯定的。我们前面做了那么多的铺垫，现在总该轮到三进制闪亮登场了。对于一般N=(3k-3)/2的情况:把1到3k用三进制表示出来(我们用非平衡表达式便于描述)。去掉每位数都是0，或都是1，或都是2的数，剩下3k-3 个数。这些数因为不是每位数都相同，必然要在某位数上变化(从1变成立或
46、从2变成0等等)。去掉所有第一个变化是10，21，02的数。也就是说只保留第一个数字变化是01，12，20的数。比如:去掉221，保留112。由于对称性，显然这两组数对等，所以剩下的数正好是一半，也就是(3k-3)/2，这就是我们的N。把所有的球用这些数标号。现在开始称球。总共有k位数，称k次。第一次称法是，把第一位数是0的放左面，第一位数是2的放右面，第一位数是l的不称，井记录下称的结果。由于对称性，我们知道每位数是0，1,2的恰好是N/3，所以这种分法成立。如果称的结果是。那面重就记为0，2那面重就记为2。如果两面一样重就记为1。以后的每次称法与上面一样，只是把位数移一下。也就是说第I次称
47、法把第I位数是0的放左面，1位数是2的放右面，第I位数是1的不称。经过k次称法以后，记录结果合起来是一个三进制的k位数。如果这个数在你的球标号里，那么那个球就是坏球?而且那个坏球比标准球重。如果这个数不在你的球的标号内，把这个数的所有0和2对换，它所对应的数一定在你的球的标号以内，那个球就是坏球，而且它比标准球轻。我们现在来解释一下为什么如此。假设坏球比标准球重。如果第I次称的结果是0，根据前面称法描述?我们知道这次是左面重，左面的球有嫌疑。左面是什么球呢?根据前面称法的描述?左面放的都是第I位数上是0的数，恰好与称的结果相同。如果第I次称的结果是2，我们知道这次是右面重，而右面放的都是第I位
48、数上是2的数。如果第I次称的结果是1，我们知道这次是两面平衡，嫌疑在未称的那些球里，而未称的那些球都是第I位数上是1的数。总之，每次的嫌疑都恰好与那个位置对应的数相同。同时满足所有嫌疑的只能是每次位置都对应44 第二篇/灵机一动一一趣昧题目背后的数学于称球结果的k位数。如果坏球比标准球轻，我们只需要把0与2互换，则前面的描述结果都成立。所以说?称的结果合并出来的那个k位数正好对应那个坏球。如果觉得上面的描述太抽象，大家不妨对k=3(即N=12)的情况具体做一次就会很清楚了。顺便提一句，如果有一个额外的标准球，则我们可以多处理一个球。只需把这个标准球标为每位数都是2，多出来的那个球都标为0，结果
49、一样成立。如果不要求知道坏球是轻还是重，我们还可以再多处理一个球。只需把它标成每位数都是1。这种用三但定位的称法的最妙之处是，每次的称法都事先定好，不需要根据不同的结果来决定下一次的称法，而且根据每次称的结果可以直接指出哪个是坏球，它是轻球还是重球。三值逻辑大放光彩。(2014年11月11日)45 数苑l趣谈2.2 枪打出头鸟一一三人决斗问题趣谈三人决斗问题在网上流传很久了，甚至有人已经把它写进书里。我本来没有想把这个大家熟悉的题目放到我的微博上。可是，上周在数学文化的微博上看见其推荐了一个两人决斗问题，我觉得过于简单，于是把这个三人决斗问题拿出来作比较。题目出来一个星期了，想写一个答案算交差
50、，没想到越写越长，140字的微博不够，于是干脆把它加长成一篇博客文章。先说那个两人决斗问题。说是两个人进行俄罗斯轮盘赌气一个可以装六颗子弹的手枪里装了一颗子弹。随机转盘以后两个人轮流用枪对准对方额头射击。每次打枪后重新转盘。间是先开枪划算还是后开枪划算，并算先开枪和后开枪的存活率。因为每次打枪后重新转盘。所以想都不用想肯定是先开枪的划算。至于先后的存活率，后开枪的人要在第一枪没有被打死的情况下(概率是5/6)才能达到与先开枪的人相同的状态。所以，后开枪的人的存活率是先开枪的人的存活率的5/60再加上两人的存活率之和是1，可以得出先开枪与后开枪的存活率分别为6/11和5/110所以我说这个问题过
