1、微专题9导数与不等式的证明高考定位导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等.【难点突破】高考真题 (2023新高考卷)已知函数f(x)a(exa)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a0时，f(x)2ln a.(1)解f(x)aex1，xR.当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得x0时，函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.(2)证明法一由(1)得当a0时，函数f(x)a(exa)x的最小值为f(ln a)a(eln a
2、a)ln a1a2ln a.令g(a)1a2ln a2ln aa2ln a，a(0，)，所以g(a)2a，令g(a)0，得a；令g(a)0，得0a0，所以当a0时，f(x)2ln a成立.法二当a0时，由(1)得f(x)minf(ln a)1a2ln a，故欲证f(x)2ln a成立，只需证1a2ln a2ln a，即证a2ln a.构造函数u(a)ln a(a1)(a0)，则u(a)1，所以当a1时，u(a)0；当0a0，所以函数u(a)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以u(a)u(1)0，即ln aa1，故只需证a2a1，即证a2a0.因为a2a0恒成立，所以当a0时，f(
3、x)2ln a成立.样题1 (2023郑州二模改编)已知函数f(x)x2ln x，证明：f(x)x1.证明f(x)x1等价于ln x0.令g(x)ln x，则g(x).当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增.故g(x)g(1)0，即f(x)x1.样题2 (2023天津模拟改编)已知函数f(x)k，(1)若f(x)0恒成立，求实数k的取值范围；(2)证明：ln ln ln 1).(1)解若f(x)0恒成立，则k，设g(x)，x(0，)，g(x)，由g(x)0，得0xe，由g(x)e，所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e)，所以k.(2)证明令
4、k，则f(x)0，即，则ln xx(当且仅当xe时等号成立)，因为ln，ln ，ln ，所以ln ln ln 1).样题3 (2023荆州调研改编)已知函数f(x)ln .若x(0，1)，求证：f(x)ex.证明法一f(x)ln 1ln x，欲证f(x)ex，只需证x(1ln x)0，g(x)单调递增，所以g(x)x3，所以1xx31，又1ex1，所以g(x)1h(x)，即原不等式成立.法二f(x)ln1ln x.欲证f(x)ex，只需证x20，exe01，则只需证1ln xx20，令t(x)ln xx2，x(0，1)，则t(x)2xt(1)ln 11210，所以ln xx20成立，即原不等式
5、成立.规律方法利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x)转化为证明f(x)g(x)0(或f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x).(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.训练 已知函数f(x)exaln(xa).当a1时，证明：f(x)0.证明先证不等式exx1与x1ln x，设g(x)exx1，则g(x)ex10，得x0，可得g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以g(x)exx1g(
6、0)0，即exx1；设h(x)x1ln x，由h(x)10，得x1，可得h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)x1ln xh(1)0，即x1ln x.于是，当a1时，exaxa1xa1ln(xa)，注意到以上三个不等号的取等条件分别为xa，a1，xa1，它们无法同时取等，所以当a1时，exaln(xa)，即f(x)0.【精准强化练】一、基本技能练1.已知函数f(x)x2axln x.若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1x2)2.故f(x1x2)(x1x2)2a(x1x2)ln(x1x2)ln ln .设g(a)ln (a2)，则g(a)0，故g(a)
7、在(2，)上单调递减，所以g(a)g(2)2ln.因此f(x1x2)1.证明不等式exln x1，等价于(exln x2)1，由常用不等式exx1，得ex1x.即1，故只需证exln x21，令f(x)exln x2(x0)，则f(x)e(ln x1)，易得当x时，f(x)0，故f(x)f1，等号不同时取到，故原不等式得证.3.(2023南昌模拟)已知函数F(x)eaxln a(a0)，G(x)ln x.(1)若F(x)与G(x)在x1处有相同的切线，求实数a的值；(2)当a1，x1时，求证：F(x)G(x)1.(1)解G(x)，G(1)1.F(x)eax，F(1)ea11，解得a1.(2)证
8、明由题意得F(x)G(x)eaxln aln x，令f(a)eaxln aln x(a1)，yeax与yln a在(1，)上均单调递增，f(a)在(1，)上单调递增，f(a)f(1)e1xln x. 令g(x)e1xln x(x1)，则g(x)e1x.令h(x)1xe1x(x1)，则h(x)(x1)e1x，易知当x1时，h(x)0，h(x)在(1，)上单调递增，h(x)h(1)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，g(x)g(1)1，f(a)g(1)1.综上，F(x)G(x)1.二、创新拓展练4.(2023安阳二模)已知函数f(x)(x1)exaln x的最小值为0.(1)求实数a的
9、值；(2)证明：eln 2 025.(1)解由题意可知f(x)xex(x0)，注意到f(1)0，由题意可得f(1)ea0，解得ae.当ae时，则f(x)xex(x0)，设(x)x2exe(x0)，则(x)x(x2)ex0对x0恒成立，则(x)在(0，)上单调递增，且(1)0，令(x)0，则x1；令(x)0，则0xlnln (n1)ln n，从而有eln 2ln 1，ln 3ln 2，ln 4ln 3，ln (n1)ln n，所以e(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)ln (n1)ln nln (n1).令n2 023，则eln 2 024.只需证明ln 2 024ln 2 025，即证.令h(x)，则h(x)e恒成立，则h(x)在(e，)上单调递减，故h(2 024)h(2 025)，所以，即ln 2 024ln 2 025，故eln 2 025.加微ABCYZXT可联系我我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123
