1、必刷小题8解三角形一、单项选择题1(2023重庆模拟)在ABC中，sin A，AC，B45，则BC等于()A2 B. C2 D2答案D解析由正弦定理知，BC2.2(2023南昌模拟)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3，c2，ABC的面积为2sin B，则cos A等于()A. B. C. D.答案D解析因为b3，c2，ABC的面积为2sin B，所以SABCacsin B2sin B，所以a2，由余弦定理得cos A.3在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin Ab(sin Bsin A)csin C，则C等于()A30 B60 C120 D150答案D
2、解析因为asin Ab(sin Bsin A)csin C，所以由正弦定理得a2b(ba)c2，化简得a2b2c2ab，所以由余弦定理得cos C，因为C(0，)，所以C150.4(2023郑州模拟)2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30，塔底为C(A，B，C在同一水平面上，DC平面ABC)，测得AB63 m，ACB30，则纪念塔的高CD为()A40 m B63 mC40m D63m答案B解析如图所示，DAC45，CBD30，
3、ACB30，设塔高CD为t，因为DC平面ABC，所以DCCA，DCCB，所以ACt，BCt，又AB2AC2BC22ACBCcosACB，即632t23t22tt，解得t63 m.5(2022南宁模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2，b2c2a2bc，则ABC外接圆的面积是()A. B. C2 D4答案B解析因为b2c2a2bc，所以b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，所以sin A，设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R，所以R，所以ABC外接圆的面积是R2.6设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A，且B为钝角则sin Asin C的取值范
4、围是()A. B.C. D.答案A解析由tan A以及正弦定理得，所以sin Bcos A，即sin Bsin，又B为钝角，所以A，故BA，C(AB)2A0A，于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A122，因为A，所以0sin A，由此0，设g(x)9x240m2x16m4，则方程g(x)0在(0，)上有解，所以g9240m216m40，解得m4，即m.二、多项选择题9(2022福州模拟)下列对ABC解的个数的判断中正确的是()Aa7，b14，A30，有一解Ba30，b25，A150，有一解Ca，b，A60，有一解Da6，b9，A45，有两解答案A
5、B解析选项A，bsin A14sin 307a，则三角形有一解，判断正确；选项B，bsin A25sin 150，则abbsin A，则三角形有一解，判断正确；选项C，bsin Asin 60，则absin A，则三角形无解，判断错误；选项D，bsin A9sin 45，则absin A，则三角形无解，判断错误10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若0，则ABC的形状为()A直角三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案AD解析0，变形得，结合余弦定理得，因为c0，所以sin Bcos Bsin Acos A，即sin 2Asin 2B.因为A，B(0，)，所以2A
6、2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形11(2023宁波模拟)已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccos Aasin C0，若角A的角平分线交BC于D点，且AD1，则下列结论正确的是()AA BACbc的最小值为2 Dbc的最小值为4答案AD解析由ccos Aasin C0及正弦定理，得sin Ccos Asin Asin C0，因为C(0，)，sin C0，所以cos Asin A0，即tan A，因为A(0，)，所以A，故A正确；SABCSABDSACD，所以bcsinc1sinb1sin，所以bcbc，即1，所以bc(bc)2224，当且仅当
7、bc2时，等号成立，所以bc的最小值为4，故D正确12(2023南昌模拟)已知O是ABC的外心，若2m2，且2sin Bsin C，则实数m可取的值为()A. B. C. D1答案AB解析设ABC的外接圆半径为R，因为O是ABC的外心，故可得|AO|R，且|2c2，|2b2，故2m2，即|AB|AC|AB|AC|2mR2，也即bc2mR2，则m，又2sin Bsin C，由正弦定理可得2bc2R，则R2，故m，当且仅当，即c2b时，m取得最大值，故结合选项知m可取的值为或.三、填空题13已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c，tan Atan Btan Atan B，则
8、a2b2的取值范围为_答案(5,6解析方法一由tan Atan Btan Atan B，得tan Atan B(tan Atan B1)，则，即tan(AB)，tan C.又0C，C，AB.又0A，0B，A.由正弦定理，得2，a2b2(2sin A)2(2sin B)24444.又A，2A，sin1，5a2b26，即a2b2的取值范围为(5,6方法二由tan Atan Btan Atan B，得tan Atan B(tan Atan B1)，则，即tan(AB)，tan C.又0C，C.设A，B.0，0，.由正弦定理，得2，a2b2(2sin A)2(2sin B)244442cos 2.，2
9、，cos 21，5a2b26，即a2b2的取值范围为(5,614ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2Csin2Acos2Bsin Asin C，且b6，则B_，ABC外接圆的面积为_答案12解析由cos2Csin2Acos2Bsin Asin C，可得1sin2Csin2A1sin2Bsin Asin C，即sin2Asin2Csin2Bsin Asin C，则由正弦定理得aca2c2b2，由余弦定理可得cos B，又因为B(0，)，可得B，所以ABC外接圆的半径R2，所以ABC外接圆的面积为R212.15(2023临汾模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
10、，且满足5a23b23c2，则tan A的最大值为_答案解析5a23b23c2，a2，cos A，当且仅当c24b2，即c2b时等号成立，又A(0，)，cos A，cos2A，tan A.16.(2023晋中模拟)如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC且夹角为120的公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM5千米，AN3千米若MPN60，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为_千米答案14解析在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2AN22AMANcos 12025925349，所以MN7千米设PMN，因为MPN60，所以PNM120，0120，在PMN中，由正弦定理得，所以PMsin(120)，PNsin ，因此PMPNsin(120)sin 14sin(30)，因为0120，所以3030150.所以当3090，即60时，PMPN取到最大值14千米
