1、专题06 向量坐标表示与应用知识聚焦考点聚焦知识点1 向量的坐标表示1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2、始点为原点的向量坐标与其终点坐标关系：若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.3、向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；设、，则4、特殊向量的坐标：【注意】（1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向
2、量OA=a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)（2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)（3）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等（4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变知识点2 向量线性运算的坐标表示1、向量加减法的坐标运算：已知，则，结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差2、向量数乘的坐标运算：若，则；结论：实数与向量的
3、积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。知识点3 向量数量积的坐标表示1、数量积坐标表示：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab=x1y1+x2y2两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则abx1y1+x2y2=03、用坐标表示模长、距离、夹角（1）向量的模公式：若a=(x1,y1)，则a=x12+y12（2）两点间的距离公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为，则cos=abab=x1x2+y1y2x
4、12+y12x22+y22知识点4 线段的定比分点与设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：(内分)(外分)() (外分) ()（1）定比分点坐标公式：若点，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.（2）点的位置与的范围的关系：当时，与同向共线，这时称点为的内分点；当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. 考点剖析考点1 向量的坐标表示【例1】（2023江西高一校联考期末）若点，则（）A B C D【变式1-1】（2023高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（）A， B， C， D，【变式1-2】（2023新疆乌
5、鲁木齐高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（）A B C D【变式1-3】（2023四川绵阳高一南山中学实验学校校考期中）已知点，向量，则向量（）A B C D【变式1-4】（2023四川南充高一统考期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（）A B C0 D1考点2 向量线性运算坐标表示【例2】（2023陕西西安高一阶段练习）已知向量，则（）A B C D【变式2-1】（2023西藏林芝高一校考期末）已知向量，则等于（ ）A B C D【变式2-2】（2023河南商丘高一校考阶段练习）已知向量，则（）A B C D【变式2-3】（2023福建龙岩高一校联考
6、期中）若向量，则（）A B C D【变式2-4】（2023四川眉山高一校考期中）已知向量满足，则（）A-1 B0 C1 D考点3 向量数量积的坐标表示【例3】（2023河北沧州高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（）A B C0 D4【变式3-1】（2023广东阳江高一广东两阳中学校考期末）已知，若，则x等于（）A6 B5 C4 D3【变式3-2】（2023江西宜春高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，点E是BC上一点，满足，则（）A B C D【变式3-3】（2023河北石家庄高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，P为腰AD所在直线上任意一点，
7、则的最小值是（）A B1 C D考点4 利用坐标解决向量垂直问题【例4】（2023云南昆明高一校考期中）已知向量，且，则（）A2 B3 C4 D5【变式4-1】（2023全国高一随堂练习）已知向量，若，则（）A B C D【变式4-2】（2023全国高一随堂练习）已知，若，则.【变式4-3】（2023甘肃临夏高一统考期末）已知点及平面向量，（1）当点P在x轴上时，求实数m的值；（2）当时，求实数k的值考点5 利用坐标求向量的模长【例5】（2023全国高一随堂练习）已知向量，则（）A10 B5 C D【变式5-1】（2023北京顺义高一牛栏山一中校考期中）已知向量，则向量的模为.【变式5-2】（
8、2023云南昆明高一校考阶段练习）设向量，则（）A B C D10【变式5-3】（2023河南周口高一统考期中）如图在直角梯形中，点P是腰上的动点，则的最小值为考点6 利用坐标求向量的夹角【例6】（2023广东佛山高一校联考阶段练习）已知向量，则与夹角的余弦值为【变式6-1】（2023河北邢台高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，向量，则与的夹角的余弦值为（）A B C D【变式6-2】（2023贵州毕节高一统考期末）已知向量，若，则（）A B C D【变式6-3】（2023上海高一校考期末）若向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围为考点7利用坐标求向量的夹角【例7】（2023上海高一控江中学
9、校考期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为.【变式7-1】（2023广东揭阳高三统考期中）已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是（）A B C或 D或【变式7-2】（2023贵州高一校联考阶段练习）已知，点分所成的比为，则与的值分别为（）A B C D【变式7-3】（2023山东枣庄高一统考期末）（多选）已知点是的重心，点，点是上靠近点的三等分点，则（）A B C D考点8 由坐标判断向量是否共线【例8】（2023全国高一课时练习）（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A BC D【变式8-1】（2023浙江嘉兴高一校考阶段练习）（多选）下列向量中与共线
10、的是（）A B C D【变式8-2】（2023贵州毕节高一校考期中）已知向量，则与向量共线的向量的坐标可以是（）A B C D【变式8-4】（2023北京平谷高一统考期末）已知向量，那么向量可以是（）A B C D考点9 由向量共线(平行)求参数【例9】（2023黑龙江齐齐哈尔高一齐齐哈尔中学校考期中）已知，若，则实数（）A B C D【变式9-1】（2023河北邢台高一邢台市第二中学校考阶段练习）向量，若，则.【变式9-2】（2023全国高一随堂练习）已知，当时，求实数x，y应满足的关系式【变式9-3】（2023上湖南长沙高二校考开学考试）平面给定三个向量，（1）若，求的值；（2）若向量与向
11、量共线，求实数k的值.考点10 由坐标解决三点共线问题【例10】（2023贵州安顺高一统考期末）若三点、共线，则实数的值为（）A B C D【变式10-1】（2023江苏无锡高一天一中学校考期末）已知点，若A，B，C三点共线，则的坐标为（）A B C D【变式10-2】（2023河北邯郸高一统考期中）已知向量，若B，C，D三点共线，则（）A16 B16 C D【变式10-3】（2023新疆高一八一中学校考期末）在平面直角坐标系中，向量，若A，B，C三点共线，则的值为（）A B C D 过关检测一、单选题1（2023重庆高一校考期中）已知，则的中点坐标是（）A B C D2（2023江苏淮安高一
12、统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A， B，C， D，3（2023甘肃武威高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知向量，若，则（）A B C D4（2023吉林长春高一长春外国语学校校考阶段练习）已知向量，若，则（）A B C D5（2023贵州安顺高一统考期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量（）A B C D6（2023河北保定高一统考期中）已知、三点共线，则（）A B C D7（2023江苏常州高一校联考期末）已知向量，则与的夹角为（）A B C D8（2023四川成都高一树德中学校考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方
13、向旋转角得到点已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A B C D二、多选题9（2023广西玉林高一校联考期末）已知是单位向量，且，则（）A与垂直 BC与的夹角为 D在上投影向量的坐标为10（2023云南大理高一统考期末）已知向量，则下列结论正确的是（）A B C D11（2023广东东莞高一校考阶段练习）（多选）已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则向量在上的投影向量为 D若，则向量与的夹角为锐角12（2023广东中山高一中山纪念中学校考阶段练习）在边长为2的正中，满足相交于点，则下列结论正确的是（）A BC D在上的投影向量为三、填空题1
14、3（2023上海闵行高一校考阶段练习）已知向量，则向量的单位向量是.14（2023河北石家庄高一校考期中）已知向量，若与共线，则m的值为15（2023江苏泰州高一统考期中）如图，在44的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，满足，则16（2023湖北黄冈高一校考阶段练习）设向量，且，则四、解答题17（2023河南省直辖县级单位高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量，（1）分别求，的坐标；（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值18（2023云南怒江高一校考阶段练习）已知，.（1）已知，在所给直角坐标系中标出A，B两点的位置；（2）求；（3）求.19（2023天津武清高一校考阶段练习）已知向量
15、，（1）向量在向量上的投影向量的坐标；（2）求（3）若与垂直，求实数的值.20（2023广东佛山高一校考阶段练习）已知，（1）若，且、三点共线，求的值（2）当为何值时，有与垂直21（2023四川成都高一树德中学校考期末）已知，（1）为何值时，点在轴上？（2）若与的夹角是钝角，求的取值范围22（2023高一单元测试）已知坐标平面内三点，（1）若，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；（2）若是线段上一动点，求的取值范围专题06 向量坐标表示与应用知识聚焦考点聚焦知识点1 向量的坐标表示1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一
16、个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2、始点为原点的向量坐标与其终点坐标关系：若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.3、向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；设、，则4、特殊向量的坐标：【注意】（1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA=a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)（2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x
17、2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)（3）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等（4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变知识点2 向量线性运算的坐标表示1、向量加减法的坐标运算：已知，则，结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差2、向量数乘的坐标运算：若，则；结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。知识点3 向量数量积的坐标表示1、数量积坐标表示：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab=x1y1+x2y2两个向量
18、的数量积等于它们对应坐标乘积的和。2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则abx1y1+x2y2=03、用坐标表示模长、距离、夹角（1）向量的模公式：若a=(x1,y1)，则a=x12+y12（2）两点间的距离公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为，则cos=abab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22知识点4 线段的定比分点与设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：(内分)(外分)() (外
19、分) ()（1）定比分点坐标公式：若点，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.（2）点的位置与的范围的关系：当时，与同向共线，这时称点为的内分点；当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.知识点4 向量平行的坐标表示坐标表示：一般地，设向量，则特别的，当且时，有，即两个向量的相应坐标成比例。【注意事项】（1）两个向量，平行的条件容易写错，该条件的正确记法为“交叉相乘，差为0”；（2）当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时，反向。 考点剖析考点1 向量的坐标表示【例1】（2023江西高一校联考期末）若点，则（）A B C D【答案
20、】B【解析】因为，所以，故选:B.【变式1-1】（2023高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（）A， B， C， D，【答案】C【解析】根据平面直角坐标系，可知，故选：C.【变式1-2】（2023新疆乌鲁木齐高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（）A B C D【答案】A【解析】设，故，而，故，故，故，故选：A.【变式1-3】（2023四川绵阳高一南山中学实验学校校考期中）已知点，向量，则向量（）A B C D【答案】A【解析】设，则，故，解得，所以，又因为，所以.故选：A【变式1-4】（2023四川南充高一统考期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位
21、置，则点的横坐标为（）A B C0 D1【答案】C【解析】因为，所以向量与轴正方向的夹角为，向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为，此时点在轴上，点的横坐标为0，故选：C.考点2 向量线性运算坐标表示【例2】（2023陕西西安高一阶段练习）已知向量，则（）A B C D【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.【变式2-1】（2023西藏林芝高一校考期末）已知向量，则等于（ ）A B C D【答案】C【解析】向量，则.故选:C【变式2-2】（2023河南商丘高一校考阶段练习）已知向量，则（）A B C D【答案】D【解析】因为，所以.故选：D【变式2-3】（2023福建龙岩高
22、一校联考期中）若向量，则（）A B C D【答案】C【解析】因为向量，所以，故选：C.【变式2-4】（2023四川眉山高一校考期中）已知向量满足，则（）A-1 B0 C1 D【答案】B【解析】设，又，所以，且，解得，即，.所以，则，解得，故，故选：B.考点3 向量数量积的坐标表示【例3】（2023河北沧州高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（）A B C0 D4【答案】D【解析】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1，故，则.故选:D.【变式3-1】（2023广东阳江高一广东两阳中学校考期末）已知，若，则x等于（）A6 B5 C4 D3【答案】C【
23、解析】由题意，解得：.故选：C.【变式3-2】（2023江西宜春高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，点E是BC上一点，满足，则（）A B C D【答案】B【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，因为，所以，解得，故，则.故选：B【变式3-3】（2023河北石家庄高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（）A B1 C D【答案】C【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，又，则，则建立如图所示平面直角坐标系，则，又P为腰AD所在直线上任意一点，则设，则点P的坐标为，所以，又关
24、于的二次函数的对称轴为，则在上单调递减，所以当，即点P和点D重合时，取得最小值故的最小值是故选：C考点4 利用坐标解决向量垂直问题【例4】（2023云南昆明高一校考期中）已知向量，且，则（）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】因为，所以，解得故选：C.【变式4-1】（2023全国高一随堂练习）已知向量，若，则（）A B C D【答案】A【解析】法一：用坐标表示向量由题意可知，由得，整理得，所以则A对；法二：因为向量，所以，又，所以，所以.故选：A【变式4-2】（2023全国高一随堂练习）已知，若，则.【答案】【解析】由，得，又，则，解得.【变式4-3】（2023甘肃临夏高一统考期末）已知点
25、及平面向量，（1）当点P在x轴上时，求实数m的值；（2）当时，求实数k的值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）,因为点P在x轴上，所以，解得.（2），又因为，所以，解得.考点5 利用坐标求向量的模长【例5】（2023全国高一随堂练习）已知向量，则（）A10 B5 C D【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C【变式5-1】（2023北京顺义高一牛栏山一中校考期中）已知向量，则向量的模为.【答案】5【解析】因为，又，所以，.【变式5-2】（2023云南昆明高一校考阶段练习）设向量，则（）A B C D10【答案】C【解析】，故，又，故，解得.故选：C【变式5-3】（2023河南周口高一统考
26、期中）如图在直角梯形中，点P是腰上的动点，则的最小值为【答案】4【解析】由在直角梯形中，则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，设，则，故，所以，故，当且仅当即时取得等号，即的最小值为4.考点6 利用坐标求向量的夹角【例6】（2023广东佛山高一校联考阶段练习）已知向量，则与夹角的余弦值为【答案】【解析】由题意可得：，所以与夹角的余弦值.【变式6-1】（2023河北邢台高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，向量，则与的夹角的余弦值为（）A B C D【答案】A【解析】因为点，向量，所以，所以与的夹角的余弦值.故选：A【变式6-2】（2023贵州毕节高一统考期末）已知向量，若，则（）A
27、B C D【答案】D【解析】因为，所以，又因为，所以，解得，则，所以，所以.故选：D【变式6-3】（2023上海高一校考期末）若向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围为【答案】【解析】因为向量，且与的夹角为锐角，所以，且与不共线，由，得，解得，若与共线，则，得，所以当时，与不共线，综上，且，即的取值范围为.考点7利用坐标求向量的夹角【例7】（2023上海高一控江中学校考期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为.【答案】【解析】设点的坐标为，因为点，所以，因为，所以，解得，所以点的坐标为【变式7-1】（2023广东揭阳高三统考期中）已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是（）A
28、B C或 D或【答案】C【解析】因为，可得，又因为点是线段的三等分点，则或，所以或，即点的坐标为或.故选：C.【变式7-2】（2023贵州高一校联考阶段练习）已知，点分所成的比为，则与的值分别为（）A B C D【答案】D【解析】，分所成的比为，即，有，解得.故选：D.【变式7-3】（2023山东枣庄高一统考期末）（多选）已知点是的重心，点，点是上靠近点的三等分点，则（）A B C D【答案】AB【解析】点是的重心，点，设点，A选项正确；点是上靠近点的三等分点，则设则即,解得，B选项正确;因为，则，即，C选项错误;，D选项错误;故选:AB.考点8 由坐标判断向量是否共线【例8】（2023全国高
29、一课时练习）（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A BC D【答案】ABC【解析】能作为平面内的基底，则两向量与不平行，A选项，与不平行；B选项，与不平行；C选项，与不平行；D选项，.故选：ABC.【变式8-1】（2023浙江嘉兴高一校考阶段练习）（多选）下列向量中与共线的是（）A B C D【答案】ACD【解析】因为，所以与共线，因此选项A正确；因为，所以与不共线，因此选项B不正确；因为，所以与共线，因此选项C正确；因为零向量与任何向量平行，因此选项D正确，故选：ACD【变式8-2】（2023贵州毕节高一校考期中）已知向量，则与向量共线的向量的坐标可以是（）A B C D
30、【答案】A【分析】根据条件求出向量的坐标，再结合向量共线的坐标公式逐项计算判断即可.对选项A：因为，所以两向量共线，A正确；对选项B：因为，所以两向量不共线，B错误；对选项C：因为，所以两向量不共线，C错误；对选项D：因为，所以两向量不共线，D错误；故选：A.【变式8-4】（2023北京平谷高一统考期末）已知向量，那么向量可以是（）A B C D【答案】A【解析】向量，则存在，使得故只有向量符合，故选：A.考点9 由向量共线(平行)求参数【例9】（2023黑龙江齐齐哈尔高一齐齐哈尔中学校考期中）已知，若，则实数（）A B C D【答案】C【解析】,由得，解得，故选：C.【变式9-1】（2023
31、河北邢台高一邢台市第二中学校考阶段练习）向量，若，则.【答案】6或【解析】因为，所以设，则，若不共线，则，则，无实根，不符合题意；则共线，因为向量，所以，解得或.【变式9-2】（2023全国高一随堂练习）已知，当时，求实数x，y应满足的关系式【答案】【解析】由已知可得，.因为，所以，所以有，整理可得，.【变式9-3】（2023上湖南长沙高二校考开学考试）平面给定三个向量，（1）若，求的值；（2）若向量与向量共线，求实数k的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题知，所以，又因为，所以，解得，所以.（2）由题知，又因为与共线，所以，解得：.考点10 由坐标解决三点共线问题【例10】（2023
32、贵州安顺高一统考期末）若三点、共线，则实数的值为（）A B C D【答案】D【解析】已知三点、共线，则，由题意可知，所以，解得.故选：D.【变式10-1】（2023江苏无锡高一天一中学校考期末）已知点，若A，B，C三点共线，则的坐标为（）A B C D【答案】D【解析】由题意可知由于A，B，C三点共线，所以与共线，所以，所以,故选：D【变式10-2】（2023河北邯郸高一统考期中）已知向量，若B，C，D三点共线，则（）A16 B16 C D【答案】A【解析】由题意得，因为B，C，D三点共线，所以，则，得.故选：A.【变式10-3】（2023新疆高一八一中学校考期末）在平面直角坐标系中，向量，若
33、A，B，C三点共线，则的值为（）A B C D【答案】C【解析】因为A，B，C三点共线，则，即，则，解得.故选：C 过关检测一、单选题1（2023重庆高一校考期中）已知，则的中点坐标是（）A B C D【答案】B【解析】设的中点坐标是，由三点共线可知，即，解得；所以中点坐标为.故选：B2（2023江苏淮安高一统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A， B，C， D，【答案】D【解析】只要两个向量不共线，即可作为基底向量对于A，因为，所以，则共线，故A不符合；对于B，因为，所以，则共线，故B不符合；对于C，因为，所以，则共线，故C不符合；对于D，因为，所以，则不共线，故D符合；故选：D.
34、3（2023甘肃武威高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知向量，若，则（）A B C D【答案】B【解析】因为向量，所以，即，则.故选:B.4（2023吉林长春高一长春外国语学校校考阶段练习）已知向量，若，则（）A B C D【答案】C【解析】向量，且，故选：C5（2023贵州安顺高一统考期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量（）A B C D【答案】D【解析】因为，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D6（2023河北保定高一统考期中）已知、三点共线，则（）A B C D【答案】C【解析】因为、，则，因为、三点共线，则，所以，即故选：C.7（2023江苏常州高一校联考期末）已知
35、向量，则与的夹角为（）A B C D【答案】A【解析】因为，所以， 设与的夹角为，则，又，所以.故选：A8（2023四川成都高一树德中学校考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A B C D【答案】D【解析】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转，即将点绕点沿逆时针方向旋转，可得，化简可得，又因为，所以，解得，所以.故选：D二、多选题9（2023广西玉林高一校联考期末）已知是单位向量，且，则（）A与垂直 BC与的夹角为 D在上投影向量的坐标为【答案】AD【解析】，因为是单位向量，所以，所以
