1、微专题8切线与公切线问题高考定位曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.【真题体验】1.(2023全国甲卷)曲线y在点处的切线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx答案C解析由题意可知y，则曲线y在点处的切线斜率ky|x1，所以曲线y在点处的切线方程为y(x1)，即yx，故选C.2.(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x1答案B解析f(1)121，切点坐标为(1，1)，又f(x)4x36x2，所以切线的斜率kf(1)41
2、36122，切线方程为y12(x1)，即y2x1.3.(2021新高考卷)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则()A.eba B.eabC.0aeb D.0bea答案D解析根据yex图象特征，yex是下凸函数，又过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则点(a，b)在曲线yex的下方且在x轴的上方，得0b0，解得a0，所以a的取值范围是(，4)(0，).5.(2022新高考卷)曲线yln |x|过坐标原点的两条切线的方程为_，_.答案yxyx解析先求当x0时，曲线yln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得y01，代入yln
3、x，得x0e，所以切线斜率为，切线方程为yx.同理可求得当x0时的切线方程为yx.综上可知，两条切线方程为yx，yx.【热点突破】热点一曲线的切线导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1 (1)(2023北京东城区模拟)过坐标原点作曲线yex21的切线，则切线方程为()A.yx B.y2xC.yx D.yex(2)(2023西安模拟)过点(1，2)可作三条直线与曲线f(x)x33xa相切，则实数a的取值范围为()A.(1，2) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，5)答案(1)A(2
4、)D解析(1)由yex21，可得yex2，设切点坐标为(t，et21)，可得切线方程为y(et21)et2(xt)，把原点(0，0)代入切线方程，可得0(et21)et2(0t)，即(t1)et21，解得t2，所以切线方程为y(e01)e0(x2)，即yx.(2)f(x)x33xa，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0a)，则切线方程为y(x3x0a)(3x3)(xx0)，切线过点(1，2)，则2(x3x0a)(3x3)(1x0)，整理得到a2x3x5，方程有三个不等根.令g(x)2x33x25，则g(x)6x26x，令g(x)0，则x0或x1，当x1时，g(x)0，g(x)在(，0)和
5、(1，)上单调递增；当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，极大值g(0)5，极小值g(1)4，函数ya与y2x3x5有三个交点，则4a0，使得曲线f(x)6a2ln x与g(x)x24axb在公共点处的切线相同，则b的最大值为()A. B. C. D.答案(1)B(2)D解析(1)设曲线f(x)x22m和g(x)3ln xx的公共点为(x0，y0)，则即解得x0m1.(2)设曲线yf(x)与yg(x)的公共点为(x0，y0)，f(x)，g(x)2x4a，2x04a，则x2ax03a20，解得x0a或3a，又x00，且a0，则x03a.f(x0)g(x0)，x4ax0b6a2ln x0，b3
6、a26a2ln 3a(a0).设h(a)b，h(a)12a(1ln 3a)，令h(a)0，得a.当0a0；当a时，h(a)0)，若有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，则a_.答案(1)(2)1解析(1)设直线l与曲线yln(x2)2和yln(x1)分别相切于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别求导得y，y，故l：y(xx1)，整理可得yxln(x12)2.同理得l：yln(x21)(xx2)，整理可得yxln(x21).因为直线l为两曲线的公切线，所以解得所以直线l的方程为y2x3ln 2，令y0，则x.则直线l与x轴的交点坐标为.(2)设l与C1相切于P(x1，ex1x1)，与C
7、2相切于点Q(x2，x2x2a)，由C1：yexx，得yex1，则与C1相切于点P的切线方程为yex1x1(ex11)(xx1)，即yx(1ex1)x1ex1ex1.由C2：yx22xa，得y2x2，则与C2相切于点Q的切线方程为yx2x2a(2x22)(xx2)，即yx(22x2)ax，因为两切线重合，所以1ex122x2，ex1x1ex1ax，由得x2，代入得4(1x1)ex14a12ex1e2x1，化简得e2x16ex14x1ex114a，可得x10，a1时等式成立.故a1.规律方法求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考
8、虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.训练2 (1)(2023济南调研)已知定义在(0，)上的函数f(x)2x2m，g(x)3ln xx，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为()A.2 B.5 C.1 D.0(2)直线l：ykxb是曲线f(x)ln(x1)和曲线g(x)ln(e2x)的公切线，则b()A.2 B.C.ln D.ln(2e)答案(1)C(2)C解析(1)根据题意，设两曲线yf(x)与yg(x)的公共点为(a，b)，其中a0，由f(x)2x2m，可得f(x)4x，则切线的斜率为kf(a)4a，由g(x)3
9、ln xx，可得g(x)1，则切线的斜率为kg(a)1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以4a1，解得a1或a(舍去)，又由g(1)1，即公共点的坐标为(1，1)，将点(1，1)代入f(x)2x2m，可得m1.(2)设直线l与曲线f(x)ln(x1)相切于点A(x1，y1)，直线l与曲线g(x)ln(e2x)相切于点B(x2，y2).f(x)ln(x1)，则f(x)，由f(x1)k，可得x1，则y1f(x1)ln(x11)ln k，即点A，将点A的坐标代入直线l的方程可得ln kkb，可得bkln k1，g(x)ln(e2x)2ln x，则g(x)，由g(x2)k，可得x2，
10、y2g(x2)2ln k，即点B，将点B的坐标代入直线l的方程可得2ln kkbb1，b 1ln k，联立可得k2，b1ln 2ln .【精准强化练】一、基本技能练1.函数f(x)2f(1)xxln x 在x1处的切线方程为()A.y2x2 B.y2x1C.yx1 D.yx1答案C解析因为f(x)2f(1)ln x1，所以f(1)2f(1)1，即f(1)1，所以f(1)2f(1)2，所以切线方程为y(2)(x1)，即yx1.2.(多选)(2023漳州模拟)已知函数f(x)ex，则下列结论正确的是()A.曲线yf(x)的切线斜率可以是1B.曲线yf(x)的切线斜率可以是1C.过点(0，1)且与曲
11、线yf(x)相切的直线有且只有1条D.过点(0，0)且与曲线yf(x)相切的直线有且只有2条答案AC解析对于A，令f(x)ex1，得x0，所以曲线yf(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f(x)ex1，无解，所以曲线yf(x)的切线斜率不可以是1，故B错误；对于C，因为点(0，1)在曲线上，所以点(0，1)是切点，则f(0)1，所以切线方程为y1x，即yx1，所以过点(0，1)且与曲线yf(x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，因为点(0，0)不在曲线上，所以设切点(x0，ex0)，则切线方程为yex0ex0 (xx0)，因为点(0，0)在切线上， 所以ex0x0ex0，解得
12、x01，所以过点(0，0)且与曲线yf(x)相切的直线有且只有1条，故D错误.3.(2023丹东质检)若直线y2x是曲线yx(exa)的切线，则a()A.e B.1 C.1 D.e答案B解析设切点坐标为(x0，x0(ex0a)，因为yx(exa)，所以y(exa)xex(1x)exa，所以在切点处的切线的斜率为(1x0)ex0a，切线方程为yx0(ex0a)(1x0)ex0a(xx0)，即y(1x0)ex0axxex0，由题意知解得4.动直线l分别与直线y2x1，曲线yx2ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A. B. C.1 D.答案A解析设A是直线y2x1上任意一点，B是曲线
13、yx2ln x上任意一点，当点B处的切线和直线y2x1平行时，这两条平行线间的距离|AB|的值最小.因为直线y2x1的斜率等于2，由yx2ln x得y3x，令y2，可得x1或x(舍去)，故此时点B的坐标为，|AB|min.5.(2023广州调研)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与抛物线yax2(a2)x1相切，则a的值为()A.0 B.0或8 C.8 D.1答案C解析由yxln x得y1，当x1时，切线的斜率k2，切线方程为y2(x1)12x1.因为该切线与抛物线相切，所以ax2(a2)x12x1有唯一解，即ax2ax20有唯一解，故解得a8.6.(2023渭南模拟)已知直线yaxb
14、(aR，b0)是曲线f(x)ex与曲线g(x)ln x2的公切线，则ab()A.e2 B.3C.e1 D.2答案D解析设(t，et)是f(x)图象上的一点，f(x)ex，所以f(x)在点(t，et)处的切线方程为yetet(xt)，yetx(1t)et，令g(x)et，解得xet，g(et)ln et22t，所以et，1t(1t)et，所以t0或t1，当t1时，为yex，b0，不符合题意，舍去，所以t0，此时可化为y11(x0)，yx1，所以ab112.7.(2023南京调研)曲线y2xln x3过点的切线方程是()A.2xy10 B.2xy10C.2x4y10 D.2x4y10答案B解析由题
15、意可得点不在曲线y2xln x3上，设切点为(x0，y0)，因为y2ln x2，所以所求切线的斜率k2ln x02，所以y02x0ln x02x0ln x01.因为点(x0，y0)是切点，所以y02x0ln x03，所以2x0ln x02x0ln x012x0ln x03，即2x0ln x020.设f(x)2xln x2(x0)，显然f(x)在(0， )上单调递增，且f(1)0，所以2x0ln x020有唯一解x01，则所求切线的斜率k2，故所求切线方程为y22x1，即2xy10.8.(2023烟台检测)已知f(x)是定义在R上的函数，且函数yf(x1)1是奇函数，当x0)，过点P(a，b)可
16、作两条直线与yf(x)相切，则下列结论正确的是()A.ab0B.0abb答案B解析设切点为，x00，又f(x)，则切线的斜率kf(x0)，所以切线方程为y(xx0)，代入点P(a，b)，得b(ax0)，整理得bx2x0a0.因为过点P(a，b)可作两条直线与曲线yf(x)相切，所以关于x0的方程有两个不同的正根，设为x1，x2，则得所以0ab2，故C错误；对于D，取a，b4，则eaee14b，故D错误.10.(2023黄山模拟)已知f(x)mex2x3，曲线yf(x)在不同的三点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(x3，f(x3)处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是()A. B.C.
17、D.答案D解析因为曲线yf(x)在不同的三点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(x3，f(x3)处的切线均平行于x轴，所以f(x)mex6x20有三个不等实根，即m有三个不同的解.令g(x)，则g(x).当x2时，g(x)0，当0x0，所以g(x)在(，0)和(2，)上单调递减，在(0，2)上单调递增，且g(0)0，g(2)，画出函数g(x)的大致图象，如图所示.由图象可得m.11.(2023南通二模)过点(1，0)作曲线yx3x的切线，写出一条切线方程为_.答案2xy20(答案不唯一)解析yx3x，y3x21，设切点坐标为(x0，xx0)，则切线斜率为3x1，得方程y(xx0)(3x1
18、)(xx0)，代入点(1，0)，得2x3x10，即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0，当x01时，切线方程为2xy20；当x0时，切线方程为x4y10.12.(2023长沙调研)若曲线C1：y(x0)交于点Q，直线PQ与y轴交于点R，则_.答案2解析因为点P在曲线C1：y(x0)上，设点P的坐标为(x00)，即xPx0.由y得y，所以曲线C1在点P处的切线方程为y(xx0)，即yx.由消去y整理得x22x0x3x0，解得x3x0或xx0.因为x00)上，所以点Q的横坐标为xQx0.因为点R在y轴上，所以点R的横坐标为xR0，所以2.二、创新拓展练13.已知曲线yex在点(x1，ex1
19、)处的切线与曲线yln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x11)(x21)()A.1 B.2 C.1 D.2答案B解析已知曲线yex在点(x1，ex1)处的切线方程为yex1ex1 (xx1)，即yex1xex1x1ex1，曲线yln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yx1ln x2，由题意得得x2，ex1ex1x11ln x21ln1x1，则ex1.又x2，所以x2，所以x211，所以(x11)(x21)2.14.(2023西北工大附中段测)若函数f(x)x1ae1x存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是()A. B.C.(0，e) D.(
20、e，)答案B解析由题意得f(x)1ae1x，设切点坐标为(x0，x01ae1x0)，则过原点的切线斜率k1ae1x0，整理得a，x01.存在两条过原点的切线，方程a，x01存在两个不等实根，设g(x)，x1，则问题等价于直线ya与yg(x)的图象存在两个不同的交点.又g(x)，当x(，1)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(1，0)时，g(x)0，g(x)单调递增.当x0时，g(x)取得极小值g(0).作出g(x)的大致图象如图所示.若直线ya与yg(x)的图象存在两个不同的交点，则a.15.(多选)(2023湖北省联考)若存在直线与曲线f(x)x3x，g(x)x2a2a都相切，则a的值可
21、以是()A.0 B.C.log2 D.答案ABC解析设该直线与f(x)相切于点(x1，xx1).因为f(x)3x21，所以f(x1)3x1，所以该切线方程为y(xx1)(3x1)(xx1)，即y(3x1)x2x.设该直线与g(x)相切于点(x2，xa2a)，因为g(x)2x，所以g(x2)2x2，所以该切线方程为y(xa2a)2x2(xx2)，即y2x2xxa2a，所以所以a2ax2x2xx2xx，令h(x)x42x3x2，h(x)9x36x23x，当x(0，1)时，h(x)0；h(x)在，(0，1)上单调递减；在，(1，)上单调递增；又h，h(1)1，所以h(x)1，)，所以a2a1，解得a
22、，所以a的取值范围为，A显然正确；B中，0，所以0，所以B正确；C中，因为0log2log2222，所以D不正确.16.(多选)(2023华中师大附中适考)已知函数f(x)(1x)ex1，数列an满足函数f(x)的图象在点(an，f(an)处的切线与x轴交于点(ean1an1，0)，且a11，an0，则下列结论正确的是()A.anea n1ea n1B.0an1C.a2 0221答案ABD解析f(x)xex，函数f(x)的图象在点(an，f(an)处的切线为yanean(xan)(1an)ean1，令y0，解得xan1，ea n1，anea n1ean1，故A正确；anea n1ean1(an
23、1)1an，an(ea n11)0，a10，an0.下证数列an单调递减，即证ean+1ean，即证ean，即证ean1anean，即证(1an)ean10，即证f(an)0时，f(x)0，f(0)0，f(an)0，an1a2 023，故B正确，C错误；1，要证a1a2a3an1，下证an，只需证an1an，即证anean+1ane，即证ean1ane，即证eean2ln e，令xe.0an1，1x，则即证ln x(1x).令g(x)ln x(1x)，则g(x)0，g(x)在区间(1，e上单调递减，g(x)0，所以f(x)在R上单调递增，令x33x26x21，设其根为xP，则x3x6xP1.因为f(x)在点P处的切线与在点Q处的切线平行，所以f(x)k存在两实根，其中一个为xP，设另一个为xQ.即3x26x6k的两根为xP，xQ，由韦达定理得xPxQ2，则xQ2xP，所以f(xQ)x3x6xQ2(2xP)33(2xP)26(2xP)2x6x12xP83x12xP12126xP2(x3x6xP)1011，所以点Q的纵坐标为11.加微ABCYZXT可联系我我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123
