1、微专题1切割线放缩【知识拓展】函数的凸性与切割线放缩：(1)下凸函数：如图1，对于函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，除端点外，线段AB始终在函数f(x)的图象的上方，在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0)，函数f(x)在点C处的切线yf(x0)(xx0)f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数，满足f(x)0的函数f(x)为下凸函数.对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)f(x0)(xx0)f(x0), 当x(x1，x2)时，f(x)(xx1)f(x1).【类型突破】类型一切线放缩证明不等式例1 (2023武
2、汉质检)已知函数f(x)exx2.(1)求曲线f(x)在x1处的切线方程；(2)求证：当x0时，ln x1.(1)解由题设得f(x)ex2x，所以曲线f(x)在x1处的切线方程为yf(1)f(1)(x1)，即y(e2)x1.(2)证明要证当x0时，ln x1，即证ex(1e)xxln x10，因为f(0)1，且曲线f(x)在x1处的切线方程为y(e2)x1. 故可猜测：当x0且x1时，f(x)的图象恒在切线y(e2)x1的上方，下面证明：当x0时，f(x)(e2)x1，设(x)f(x)(e2)x1(x0)，则(x)ex2x(e2)，令F(x)(x)，F(x)ex2，当x(0，ln 2)时，F(
3、x)0，(x)单调递增，又(0)3e0，(ln 2)0，0ln 20；当x(x0，1)，(x)0).设t(x)xln x1(x0)，t(x)1，当x(0，1)时，t(x)0，t(x)单调递增，所以t(x)mint(1)0，从而有t(x)xln x10即xln x1(当且仅当x1时取等号).所以xln x1，即ln x1(当且仅当x1时等号成立).规律方法切线放缩证明不等式的原理：f(x)l切g(x)或f(x)l切g(x).训练1 已知f(x)excos 2x2x2x2.(1)求f(x)在x0处的切线；(2)求证：f(x)ln(2x1).(1)解由题意知f(x)ex2sin 2x4x1，则f(0
4、)2，而f(0)0，所以f(x)在x0处的切线方程为y02(x0)，即y2x.(2)证明因为f(0)0，且曲线f(x)在x0处的切线方程为y2x，故可猜测，f(x)的图象恒在切线y2x的上方，先证f(x)2x，令g(x)f(x)2xexcos 2x2x2x2，则g(x)ex2sin 2x4x1，g(x)ex4cos 2x40恒成立，g(x)单调递增，又g(0)0，易知g(x)g(0)0，f(x)2x(当且仅当x0时等号成立).再证2xln(2x1)，令h(x)2xln(2x1)，h(x)2，令h(x)0，解得x0.当x0时，h(x)0，则h(x)在(0，)上单调递增；当x0时，h(x)0都成立
5、，求k的取值范围.解由ex2xln xkx10，得k2ln x，设(x)2ln x，(x)，令(x)0，得1ex(x1)2x0，ex20，记(x)ex2，则x1时，(x)单调递增，x1时，(x)0.设其根为x0，则x0(1，2)，所以(x)的极值点在x1附近.因此考虑在x1处进行切线放缩，而y在x1处的切线为yxe2，所以有xe2，即(x)xe22ln x.设h(x)x2ln xe2，h(x)1，可得h(x)在x2处取最小值，h(2)e2ln 2，即ke2ln 2.k的取值范围为(，e2ln 2.规律方法利用切线放缩求参数范围：可先分离参数，然后找到所设函数的极值点范围后运用切线放缩.训练2
6、已知函数f(x)ex1，(1)若直线yxa为f(x)的切线，求a的值；(2)若对x(0，)，恒有f(x)bx，求b的取值范围.解(1)设直线yxa与曲线f(x)相切于点(x0，y0)，因为f(x)exx，则f(x0)ex0x01，解得x00，则y0f(x0)0，即0a0，解得a0.(2)因为f(0)0，且曲线f(x)在x0处的切线方程为yx.故可猜测f(x)的图象恒在切线yx的上方，先证当x(0，)时，f(x)x，即证当x(0，)时，exx10，设h(x)exx1(x0)，则h(x)exx1，设P(x)h(x)exx1，则P(x)ex1，因为P(x)0在(0，)上恒成立，所以h(x)在(0，)
7、上单调递增，又因为h(0)0，所以当x(0，)时，h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递增，所以h(x)h(0)0，所以exx10，即ex1x，由此可得只需xbx即可.解得b1.类型三切线夹的应用例3 (2023南京调研)已知函数f(x)(x1)ln(x1)，曲线yf(x)在点(1，0)处的切线方程为ykxb.(1)求k，b的值；(2)证明：f(x)kxb；(3)若函数g(x)f(x)m(mR)有两个零点x1，x2，证明：|x1x2|1m.(1)解函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)ln(x1)，f(1)ln 2.所以切线方程为yln 2(x1)，即kln 2，bln 2.(2)证明设
8、h(x)f(x)kxb(x1)ln(x1)xln 2ln 2，h(x)ln(x1)1ln 2.令F(x)h(x)ln(x1)1ln 2，则F(x)0，所以F(x)单调递增，即h(x)单调递增.又h(1)ln 211ln 20，所以当x(1，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)0，即h(x)0，所以f(x)xln 2ln 2.(3)证明g(x)f(x)m(mR)的两个零点x1，x2，即为f(x)m的两根，不妨设x1x2，由题知，曲线yf(x)在(1，0)处的切线方程为yxln 2ln 2，令(x)xln 2ln 2，即(x)m0，即(x)m的根为x2，则x21，由
9、(2)知，f(x2)(x2)，(x2)f(x2)(x2)，(x)单调递增，x2x2.设曲线yf(x)在(0，0)处的切线方程为yt(x)，f(0)1，t(x)x，设方程t(x)m0，即t(x)m的根为x1，则x1m，令T(x)f(x)t(x)，同理由(2)可得T(x)0，即f(x)t(x)，f(x1)t(x1)，t(x1)f(x1)t(x1)，又t(x)单调递减，x1x1，|x2x1|x2x1x2x11m.规律方法1.一般地，给出函数的表达式，证明关于函数零点差的不等式(无等号)，可以考虑切线夹技巧来解决.2.切线夹的本质是把两零点利用切线的零点来放缩不等式.训练3 已知函数f(x)(x1)(
10、ex1)，若方程f(x)m有两个实根x1，x2，且x1x2，证明：x2x11.证明如图，设f(x)在(1，0)处的切线方程为yh(x)，由f(x)(x2)ex1，易得，h(x)(x1)，令F(x)f(x)h(x)，即F(x)(x1)(ex1)(x1)，F(x)(x2)ex，当x2时，F(x)(x2)ex2时，则F(x)(x2)ex单调递增，又F(1)0，所以当x1时，F(x)1时，F(x)0，所以函数F(x)在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，故F(x)F(1)0，f(x1)h(x1)，设h(x)m的根为x1，则x11，且h(x1)f(x1)h(x1)，又函数h(x)单调递减，
11、故x1x1，又设f(x)在(0，0)处的切线方程为(x)，易得(x)x.令g(x)(x1)(ex1)x，g(x)(x2)ex2，当x2时，g(x)(x2)ex222时，g(x)(x2)ex2单调递增，又g(0)0，所以当x0时，g(x)0时，g(x)0，所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，故g(x)g(0)0，即(x1)(ex1)x，故f(x)(x)，则f(x2)(x2)，设(x)m的根为x2，则x2m，且(x2)f(x2)(x2)，又函数(x)单调递增，故x2x2，又x1x1，x2x1x2x1m1.类型四割线放缩及割线夹例4 证明：当0x1时，xesin xx
12、ln(x1)exx1恒成立.证明如图函数yex经过A(0，1)，B(1，e)的割线方程为y(e1)x1，易证当x(0，1)时，(e1)x1ex，故要证x(0，1)时，xesin xxln(x1)exx1成立，由于(e1)x1x1exx1，即(e2)xexx1成立，若xesin xxln(x1)(e2)x，即esin xxln(x1)e2成立，则原不等式成立.ett1，xln(x1)(ln 2)x，esin xxln(x1)2esin x3e(ln 2)x.由ysin x的割线如图，由割线放缩可得，sin xx(sin 1)x，0x1，sin 1sin ，()2()2，(sin 1)xx，sin
13、 x3e(ln 2)x(sin 1)x(ln 2)x3ex(ln 2)x3e(ln 2)x3e，令g(x)(ln 2)x3e，x(0，1)，g(x)ln 20，x(0，1)，g(x)单调递减，故g(x)g(1)3eln 2ln 20(e28，ln e ln 2)，故原不等式恒成立.规律方法1.割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当地割线放缩.2.割线夹本质与切线夹类似.训练4 (2023广州质检改编)已知函数f(x)xln x，若方程f(x)m有2个根x1，x2(x2x1)，求证：x2x11em.证明(割线夹)f(x)1ln x，f(x)在上单调递减，在上单调递
14、增，所以f(x)minf.又当0x1时，f(x)1时，f(x)0，mx1).当x时，可证得：f(x)x，故ym时，x1f(x)，故ym时，x21(e1)m，x2x11em.【精准强化练】一、基本技能练1.设函数f(x)x3，x0，1.求证：(1)f(x)1xx2；(2)，从而得到结论0且x1时，证明：曲线yf(x)的图象恒在切线ybx1的上方；(3)证明不等式：4xex1x33x2ln x0.(1)解f(x)4ex12ax，由曲线yf(x)在x1处的切线方程为ybx1知：解得a1，b2.(2)证明由题意只需证：当x0且x1时，4ex1x22x1；设g(x)4ex1x22x1，则g(x)4ex1
15、2x2，g(x)4ex12，易知g(x)在(0，)单调递增；且g(1)20，g(0)20，必定存在x0(0，1)，使得g(x0)0，则g(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，)单调递增，其中g(0)20且x1时，g(x)0成立；所以当x0且x1时，曲线yf(x)的图象在切线ybx1的上方.(3)证明要证4xex1x33x2ln x0，只需证4ex1x230.由(2)知x0时，4ex1x22x1.故只需证2x13，即证x2xln x0，设(x)x2xln x，则(x)2x1，易知(x)在(0，1)单调递减，在(1，)单调递增，(x)(1)0；即不等式4xex1x33x2ln x0成立.3.(2
16、023青岛模拟改编)已知x1ln x1x2ln x2a，且x1x2，求证：x2x10)，f(x)1ln x(x0).设p(x)1ln x(x0)，则p(x)(x0)，当x0时，p(x)0，因而f(x)在(0, )上单调递增，而当x时，f(x)0，所以当x时，f(x)0，f(x)xln x单调递增.而f(x)xln x0，解得x1.取其在xe2和x1处的切线，分别为l1：g(x)xe2和l2：m(x)x1，令h(x)f(x)g(x)xln xxe2(x0)，则h(x)2ln x，当0xe2时，h(x)e2时，h(x)0，h(x)单调递增.于是h(x)h(e2)0，从而f(x)g(x)，令(x)f
17、(x)m(x)xln xx1(x0)，则(x)ln x，当0x1时，(x)1时，(x)0，(x)单调递增，于是(x)(1)0，从而f(x)m(x)，如图.直线ya与直线l1，函数f(x)的图象和直线l2分别交于x1，x1，x2，x2，则有：x1x1x2x2，x2x11时，函数yf(x)的图象与x轴交于P，Q两点，且点Q在右侧.若函数yf(x)在点Q处的切线为yg(x)，求证：当x1时，f(x)g(x)；若方程f(x)t(0tn1)有两根a，b，求证：|ab|t.(1)解当n1时，f(x)(x1)ln x，f(x)ln x1，当0x1时，ln x0，10，故f(x)1时，ln x0，10，故f(
18、x)0，f(x)单调递增，综上，函数yf(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0，1).(2)证明当n1时，可知函数存在零点1和n，且n11，因此，Q点坐标为(n，0)；f(x)nxn1ln xxn1，所以f(n)nln n，则f(x)在点Q(n，0)处的切线方程为l1：g(x)nln n，令(x)f(x)g(x)，则(x)f(x)g(x)nxn1ln xxn1nln n，当1xn时，0ln xln n，0xn1n，nxn1ln xnln n，nxn1ln xnln nn，而n，xn1nn0，(x)n时，(x)单调递增，(x)(n)ln nln nnln nnln n0，所以当x1时，f
19、(x)g(x).f(1)1n，则f(x)在点P(1，f(1)处的切线方程为l2：m(x)(1n)(x1)，令k(x)f(x)m(x)，则k(x)nxn1lnxxn1(1n)nxn1ln x，当x(0，1)时，xn1，x1，ln x0，故k(x)1，x1，ln x0，故k(x)0，于是k(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以k(x)k(1)0，则f(x)m(x)，如图，不妨设0a1b，直线yt与直线l2，函数f(x)的图象和直线l1分别交于a，a，b，b，则有aabb，于是|ab|ab|bann1t.加微ABCYZXT可联系我我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123
