1、微专题6基本初等函数、函数与方程高考定位1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型； 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.【真题体验】1.(2023天津卷)若a1.010.5，b1.010.6，c0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A.cab B.cbaC.abc D.bac答案D解析法一因为函数f(x)1.01x是增函数，且0.60.50，所以1.010.61.010.51，即ba1；因为函数g(x)0.6x是减函数，且0.50，所以0.60.50.601，即cac.故选D.法二因为函数f(x)1.01x是增函数
2、，且0.60.5，所以1.010.61.010.5，即ba；因为函数h(x)x0.5在(0，)上单调递增，且1.010.60，所以1.010.50.60.5，即ac.综上，bac.故选D.2.(2023全国甲卷)已知函数f(x)e(x1)2.记af，bf，cf，则()A.bca B.bacC.cba D.cab答案A解析函数f(x)e(x1)2是由函数yeu和u(x1)2复合而成的函数，yeu为R上的增函数，u(x1)2在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x1对称，所以cff，又2
3、1，所以ffca，故选A.3.(多选)(2023新高考卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp20lg，其中常数p0(p00)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A.p1p2 B.p210p3C.p3100p0 D.p1100p2答案ACD解析因为Lp20lg随着p的增大而增大，且Lp160，90，Lp250，60，所以Lp1Lp2，所以p1p2，故A正确；假
4、设p210p3，则p01010p010，所以1010，所以Lp2Lp320，不可能成立，故B不正确；由Lp20lg，得pp010.因为Lp340，所以p3p010100p0，故C正确；因为1021，所以p1100p2，故D正确.综上，选ACD.4.(2021北京卷)已知f(x)|lg x|kx2，给出下列四个结论：若k0，则f(x)有两个零点；k0，使得f(x)有一个零点；k0，使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是_.答案解析令f(x)|lg x|kx20，可转化成两个函数y1|lg x|，y2kx2的图象的交点个数问题.对于，当k0时，y22与y1|lg x|的图象有两个交点，正确；
5、对于，存在k0，使y2kx2与y1|lg x|的图象相切，正确；对于，若k0时，过点(0，2)存在函数y1|lg x|(x1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故正确.5.(2023天津卷)若函数f(x)ax22x|x2ax1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为_.答案(，0)(0，1)(1，)解析(1)当a0时，f(x)2x|x21|2xx21(x1)20，不符合题意；(2)当a0时，若a240，即a2，0)(0，2时，f(x)ax22xx2ax1(a1)x2(a2)x1，()当a1时，f(x)x1，不符合题意；()当a1时，若f(x)有且仅有两
6、个零点，则(a2)24(a1)a20，得a2，0)(0，1)(1，2，符合题意；当a240，即a2或a2时，函数yax22x的图象开口向上，对称轴为直线x，且；函数yx2ax1的图象开口向上，对称轴为直线x，且1，当x时，y10.作出函数yax22x与y|x2ax1|的大致图象，如图(1)，函数图象恰有两个交点，符合题意；()当a2时，函数yax22x的图象开口向下，对称轴为直线x，且；函数yx2ax1的图象开口向上，对称轴为直线x，且1，当x时，y10且a1，b0且b1)，则函数f(x)ax与g(x)logx的图象可能是()(2)(2023天津模拟)已知ealg 2，blg(ln 2)，cl
7、n ，则a，b，c的大小关系是()A.cba B.bacC.acb D.bca答案(1)B(2)C解析(1)lg alg b0，ab1，a，g(x)logxlogax，f(x)ax与g(x)logx互为反函数，f(x)ax与g(x)logx的图象关于直线yx对称，且具有相同的单调性.故选B.(2)由ealg 2，得aln (lg 2)，因为lg 2lg ，所以ln (lg 2)ln ，即ac，因为lnln 21，所以1cln ln 2lg lg ，所以lg (ln 2)ln ，即bc，所以acb.规律方法1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看
8、底数a的取值范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.训练1 (1)(多选)(2023邯郸模拟)已知函数f(x)log2(x6)log2(4x)，则()A.f(x)的定义域是(6，4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)4的解集是(，4)(2，)D.f(x)在0，4上单调递增(2)(2023日照模拟)对任意正实数a，记f(x)|lg x|在a，)上的最小值为ma，g(x)sin在0，a上的最大值为Ma，若Mama，则a的所有可能值为_.答案(1)AB(2)或解析(1)由题意可得解得6x4，即f(x)的定义域是(6，4)，则A正确；f(x)log2(x22x24)，因为y
9、x22x24在(6，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，又ylog2x在(0，)上单调递增，所以f(x)在(6，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，所以f(x)maxf(1)2log25，则B正确；因为f(x)在(6，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，且f(4)f(2)4，所以不等式f(x)4的解集是(6，4)(2，4)，则C错误；因为f(x)在(1，4)上单调递减，所以D错误.(2)f(x) 和g(x) 的图象如图所示：当0a0时的情况).g(x)有且仅有三个零点，则f(x)和h(x)的图象有且仅有三个交点.当a0时，显然不成立；当a0时，由图可得解得a；当a0时，由对称性知a
10、.综上，a的取值范围是，故选A.考向3零点的代数式问题例4 (2023武汉模拟)设函数f(x)关于x的方程f(x)t有四个实根x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)，则x1x2x3x4的最小值为_.答案10解析作出f(x)的大致图象如图所示.由图可知x1x24，由|log2(x4)|f(2)4，得x或20，则5x420.又因为log2(x34)log2(x44)0，所以(x34)(x44)1，所以x34，则x3x4(x44)5，又x44(1，16)，所以x3x4256，当且仅当(x44)，即x46时等号成立.故x1x2x3x4的最小值为10.规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)
11、的三种方法训练2 (1)(2023北京西城区模拟)设cR，函数f(x) 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是()A.(0，1) B.01，)C. D.0答案D解析画出函数g(x)的图象如图所示，函数f(x)可由g(x)分段平移得到，易知当c0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c0时，图象往下平移，若当02c1时，函数有两个零点；若当2c1，即当c时，f(x)恰有一个零点，满足题意.综上，可得c的取值范围是0.(2)(2023深圳模拟)定义开区间(a，b)的长度为ba.经过估算，函数f(x)x的零点属于开区间_(只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间).答案(答案不唯一)解析因
12、为y，yx都是减函数，所以f(x)x是减函数，又f(1)10，f0，即ffcb B.bacC.bca D.abc答案D解析因为a20.1201，0blog0.20.3log0.20.21，clog20.3bc.2.函数f(x)的零点有()A.2个 B.3个 C.5个 D.无数个答案B解析f(x)的定义域为(5，5)，令f(x)0，得sin x0，xk，kZ，又x(5，5)，x0或x，故f(x)有3个零点.3.(2023济南模拟)自然数22 023的位数为(参考数据：lg 20.301 0)()A.607 B.608 C.609 D.610答案C解析因为lg 22 0232 023 lg 22
13、0230.301 0608.923，所以22 02310608.923，即22 023的位数为6081609.4.(2023衡阳模拟)已知函数f(x)2xlg ，则()A.f(1)f(1)0C.f(1)f(2)0答案D解析由题意可知f(x)的定义域为(3，3)，f(x)2xlg f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)0，故A，B错误；又因为f(x)2xlg 2xlg，3x0，当x(3，0)时，f(x)0，故C错误；f(1)f(2)f(2)f(1)0，故D正确.5.(2023金华调研)指数函数yax的图象如图所示，则yax2x图象顶点横坐标的取值范围是()A. B.C. D.答案A
14、解析由图可知a(0，1)，而yax2xa(a0)，顶点横坐标为x，所以.6.(多选)(2023淄博模拟)已知函数f(x)2sin x，则下列结论中正确的有()A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的值域为D.f(x)在区间上单调递增答案AD解析对于A，因为f(x2k)2sin(x2k)2sin xf(x)(kZ)，所以f(x)是周期函数，故A正确；对于B，因为f(x)2sin(x)2sin xf(x)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)的图象不关于原点对称，故B错误；对于C，因为1sin x1，所以212sin x21，即f(x)2，所以函数f(x)的值域为，故C错
15、误；对于D，令tsin x，得y2t，因为t sin x在上单调递增，y2t在R上单调递增，所以f(x)在上单调递增，故D正确.7.(多选)(2023湖北七市(州)联考)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E4.81.5M，则下列说法正确的是()A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍D.记地震里氏震级为n(n1，2，9，10)，地震释放的能量为an，则数列
16、an是等比数列答案ACD解析对于A，当E1015.3时，由题意得lg 1015.34.81.5M，解得M7，即地震里氏震级约为七级，故A正确；对于B，八级地震即M8时， lg E14.81.5816.8，解得E11016.8，所以101.5106.3，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的101.5倍，故B错误；对于C，六级地震即M6时，lg E24.81.5613.8，解得E21013.8，所以1031 000，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍，故C正确；对于D，由题意得lg an4.81.5n(n1，2，3，9，10)，所以an104.81.5n，所以an1
17、104.81.5(n1)106.31.5n，所以101.5，且a1106.3，故数列an是等比数列，故D正确.8.已知9m10，a10m11，b8m9，则()A.a0b B.ab0C.ba0 D.b0a答案A解析因为9m10，所以mlog910，所以a10m1110log910 1110log910 10log1011 .因为log910log10110，所以a0.b8log910 98log910 8log89 ，因为log910log890，所以b0.综上，a0b.故选A.9.(2023汉中模拟)已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，且当x(0，)时，f(x)则方程f(x)x
18、22根的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6答案D解析要求方程f(x)x22根的个数，即为求yf(x)与y2图象的交点个数.由题设知yf(x)与y2在(0，)上的图象如图所示.由图知两函数图象有3个交点，又由f(x)在(，0)(0，)上是偶函数，所以两函数图象在(，0)上也有3个交点，故一共有6个交点.10.(2023河北名校联考)已知函数f(x)|x23x1|a|x|恰有4个零点，则a的取值范围是()A.(5，) B.(1，5)C.(1，) D.(0，1)(5，)答案D解析当x0时，f(0)10，所以x0不是f(x)的零点；当x0时，由f(x)0，即|x23x1|a|x|0，得a.f(x
19、)的零点个数等价于直线ya与函数y的图象的交点个数.利用y1x的图象，通过变换作出函数y的大致图象如图所示.由图可知a(0，1)(5，).11.已知3x，ylog331，则xy_.答案2log32解析因为3x，ylog331，所以xlog31log32，y1，xy2log32.12.函数f(x)若关于x的方程2f2(x)af(x)10有6个不相等的实数根，则a的取值范围是_.答案(2，3)解析函数f(x)的图象如图所示，令tf(x)，则关于x的方程2f2(x)af(x)10有6个不相等的实数根，等价于关于t的方程2t2at10在0，1)上有2个不相等的实数根，则解得2a3.二、创新拓展练13.
20、(2023广州二模)已知函数f(x)x33xb，且f(x)f(x)4恒成立，若h(x)恰好有1个零点，则实数a的范围为()A.(，2) B.C.(，2) D.答案C解析因为f(x)f(x)4恒成立，则2f(0)4，所以b2，则f(x)x33x2，又f(x)x33x2(x2)(x1)2，则f(x)的零点为2，1.又函数y26x的零点为.当a2时，h(x)在(，a上无零点，在(a，)上有零点，则a2符合题意；当2a时，h(x)在(，a上有零点2，在(a，)上有零点，则2a不合题意；当a1时，h(x)在(，a上有零点2，在(a，)上无零点，则a1)的零点为x1，函数g(x)x10xx10x(x1)的
21、零点为x2，则()A.x1x2x1x2 B.x1x211C.x1x29答案ABD解析由题意可得x1lg x1x1lg x10(x11)，令lg x1t0，则x110t，代入方程可得t10t10tt0(t0)，变形为10，令h(t)1，t0，可知函数h(t)在(0，)上单调递减，又g(x2)x210x2x210x2010(x21)，x2tlg x1，即x110x2.由x210x2x210x20，x2x1x2x10，即x2x1x2x1，因此A正确；x2x1x210x211011，因此B正确；x1x210x2lg x1，因此C不正确；令h(x)10xx(x1)，则h(x)10xln 1010，函数h
22、(x)在(1，)上单调递增，h(x)h(1)9，x1x210x2x29，因此D正确.15.(多选)(2023青岛适考二)已知函数f(x)ex3ax有四个零点x1，x2，x3，x4(x1x2x32B.aC.ln(x1x2x3x4)(x1x2x3x4)6D.若x2，则x4答案BCD解析由题意知ex3ax0有四个不同的根，显然x0，即a0，令t，即ta0，即e3t2e3at10.又yt，y，令y0得x1，故yt在区间(，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，当x时，yt0，如图所示.根据题意知e3t2e3at10存在两根t1，t2，不妨设t1t2，则满足0t1t2，t1t2，即有t1，t2，则由
23、图象可知0x1x21，所以x1x22，故A不正确；由于方程e3t2e3at10的两根t1，t2满足0t1t2，所以解得a1，所以m(x)11，且mln m(x4)，所以x4，故D正确.16.(2023烟台联考)已知函数f(x)的定义域为(0，)，当x2x10时，.若f(2)e21，则ln xf(ln x)xln x2的解集为_.答案(1，e2)解析由，得x1f(x1)x1ex1x2f(x2)x2ex2.令g(x)xf(x)xex，则g(x1)g(x2)，又x2x10，所以g(x)在(0，)上单调递减，得g(ln x)f(ln x)ln xxln x2.因为g(2)2f(2)2e22，所以g(l
24、n x)g(2)，所以0ln x2，解得1x3e2，函数f(x)有两个不同零点，则a的取值范围为_.答案e6，1)解析因为f(x)有两个不同零点f(x)0有两个不相等的实根，即ax2bxe2exln a2bxe20有两个不相等的实根，令txln a，则ete20，t显然不为零，所以，因为a(0，1)，b3e2，所以0，所以t0，令g(t)(t0)，则g(t)，令h(t)tet(ete2)(t0)，则h(t)ettetettet0，所以h(t)在(0，)上单调递增，又h(2)0，所以当t(0，2)时，h(t)0，所以当t(0，2)时，g(t)0，故g(t)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(t)ming(2)e2，所以e2，又b3e2，所以3，所以3，即ln a6，ae6，又a(0，1)，所以ae6，1).加微ABCYZXT可联系我我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123
