1、微专题2必要性探路【知识拓展】1.必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法.2.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的类别，降低思维难度.【类型突破】类型一取点探路例1 (2023烟台模拟节选)已知f(x)ln(ax1)(x1)，若f(x)ln 2恒成立，求实数a的取值范围.解必要性：对于x1，f(x)ln 2恒成立，即ln(ax1)ln 20在
2、(1，)上恒成立.令g(x)ln(ax1)ln 2，所以g(1)ln(a1)ln 20，解得a1.充分性：当a1时，g(x)ln1(x1).令t1，则令h(t)ln t1(t1)，所以h(t)(t1)，则h(t)在(1，)上单调递增，所以h(t)h(1)0，所以g(x)0恒成立，综上所述，a的取值范围是1，).规律方法已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取0或1，对数函数常取1或e等.训练1 已知f(x)ax24ln(x1)，对x2，e1，f(x)1恒成立，求实数a的取值范围.解必要性：因为对x2，e1，f
3、(x)1恒成立.即ax24ln(x1)10，令g(x)ax24ln(x1)1，则g(2)4a10，则a.充分性：当a时，g(x)ax24ln(x1)1x24ln(x1)1，根据ln x1(证明略)，在x2，e1上，有x24ln(x1)1x2410，所以g(x)0，即f(x)1，故a的取值范围是.类型二极值点探路例2 (2023济南模拟)已知函数f(x)ln(x1)ae2(x1)1，a0.(1)当a1时，求f(x)在(0，)上的零点个数；(2)若关于x的不等式lnae2(x1)xa2e(x1)在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)ln(x1)1e2(x1).当x(0，
4、1)时，f(x)ln(x1)1e2(x1)1e2(x1)110，此时无零点.当x1，)时，f(x)2e2(x1)，当x1，)时，f(x)单调递减，且f(x)f(1)20，f(2)ln 31e20时，令m(x)ln，x1，m(x)，当x时，m(x)0，m(x)单调递减，当1x0，m(x)单调递增，所以m(x)m0.当a0时，x，0aea2，则ae0，即10，得a2.综上，a的取值范围为0，2，充分性：当a0，2时，lnae2(x1)ae(x1)0，当a0，2时，e2(x1)ae(x1)e2(x1)2e(x1).令n(x)e2(x1)2e(x1)，x1，则n(x)2e2(x1)2e.当x1时，n(
5、x)单调递增，且n2e2e0，故当x时，n(x)0，n(x)单调递增，n(x)nee0，x1，an(x)0.由已知得x1，ln0.式成立，a0，2.规律方法1.已知f(x)0(或f(x)0)，找f(x)的极大值(或极小值)点探路；2.对于f(x)g(x)，找f(x)的极大值点，g(x)的极小值点探路.训练2 已知a0，函数f(x)ax2x，g(x)ln x.是否存在实数a，使f(x)g(ax)恒成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.解必要性：令(x)f(x)g(ax)ax2xln ax，x0，则(x)2ax1.因为0，又(x)0，则是(x)的一个极小值点，则0，解得a1.充分性：
6、当a1时，(x)2x1.当0x1时，(x)1时，(x)0，(x)单调递增，从而(x)(1)0，符合题意.综上，可知a1.类型三保号性探路例3 已知函数f(x)axln xxa，其中aR.若f(x)在(1，)上单调递减，求正数a的取值范围.解必要性：因为f(x)在(1，)上单调递减，所以f(x)aln xaaxa1a(ln x1xa1)0在(1，)内恒成立.令g(x)ln x1xa1，则g(x)ln x1xa10在(1，)内恒成立，因为g(1)0，g(x)(a1)xa2，则g(1)0，即g(1)1(a1)0，则a2.充分性：因为a2，所以a11，因为x1，所以xa1x，则g(x)ln x1xa1
7、ln x1x0，所以f(x)a(ln x1xa1)0，则存在0，当|xa|0(注意它的逆命题是假命题).训练3 (2023武汉质检改编)已知函数f(x)ln(x1)x，若当x1时，f(x)ax2，求实数a的取值范围.解必要性：令g(x)ln(x1)xax20，g(x)1x22ax，g(x)2x2a，因为g(0)0，g(0)0，所以g(0)0，则a.充分性：当a时，g(x)ln(x1)xx2x2，由三阶泰勒公式知ln(x1)xx20(证明过程略)，又x20，g(x)ln(x1)xx2x20，即g(x)0.故实数a的取值范围是.【精准强化练】一、基本技能练1.已知不等式ea2xaln(xa)ln
8、a10恒成立，求实数a的取值范围.解必要性：依题有a0，当x0时，ln aaln a0，解得0a1.充分性：下面证明0a1时，题设不等式恒成立.由exx1(证明略)易得ea2x1a2x，只需证明a2xaln(xa)ln a0.设g(x)a2xaln(xa)ln a，则g(x)a2a，则g(x)单调递增，令g(x)0，即a0，解得xa，所以当xa时，g(x)a时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)minga(1a2)(1a)ln0，当且仅当a1取等号.所以证得a2xaln(xa)ln a0成立，当且仅当x0，a1时等号成立.因此a(0，1时，不等式ea2xaln(xa)ln a10恒成立
9、.2.(2023杭州质检)已知函数f(x)x(ln x3ax2)3ax4.(1)若f(x)在1，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的最大值为6，求实数a的值.解(1)必要性：由题意知f(x)ln x6ax33a0在x1时恒成立，因此必有f(1)3a30，即a1.充分性：当a1时，由不等式ln xx1(当且仅当x1时取等号)，有f(x)ln x3a(2x1)3x13(2x1)35(1x)0，此时符合题意.综上，可知a(，1.(2)由题意得f(1)6.因为f(x)6，所以1为f(x)的一个极大值点.又f(x)ln x6ax33a，因此必有f(1)0，解得a1.当a1时，由不等式ln
10、 xx1(当且仅当x1时取等号)，有f(x)x(ln x3x2)3x4x(x13x2)3x462(x1)26，符合题意.综上，可知a1.3.已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2，若f(x)x2axb，求(a1)b的最大值.解对函数f(x)求导，得f(x)f(1)ex1f(0)x.由题意知f(1)f(1)f(0)1，则f(0)1.又f(0)f(1)e1，因此f(1)e.f(x)exxx2.f(x)x2axb，即ex(a1)xb0，令g(x)ex(a1)xb.当a10时，只需考虑b0情况.由题意知“g0”是“g(x)0”的必要条件.由g0，解得b.由均值不等式有b2，即(a1)
11、b(当a12b时取等号).存在a，b满足(a1)b，总有f(x)x2axb，取a1，b，此时g(x)exx0，当x时取等号.假设a10符合题意，此时(a1)b0.假设a10，此时g1)，令f(x)0，得x0，当x(1，0)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(1，0)，单调递增区间为(0，).(2)由题意得exx1kxln(x1)在x0，)上恒成立，令h(x)exx1kxln(x1)，则h(x)0在x0，)上恒成立，h(x)ex1k，则h(0)0，h(x)ex，h(0)1k，若h(0)1k1时，存在x(0，)使得x(0，x0)时，h(x)0，则在(0，x0)上h(x)
12、单调递减，此时h(x)h(0)0，则h(x)在(0，x0)上单调递减，且x(0，x0)使h(x)h(0)0，则h(x)0不恒成立.若h(0)1k0，即k1时，由(1)知f(x)xln(x1)的最小值为f(0)0，则h(x)exx1kxln(x1)exx1xln(x1)ex2x1ln(x1)(x0).令(x)ex2x1ln(x1)(x0)，(x)ex2x12220(当且仅当x0时取等号)，则(x)在0，)上单调递增，(x)(0)0，即k1时，h(x)0在0，)上恒成立，综上，k的取值范围是(，1.加微ABCYZXT可联系我我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123
