1、2023年怀化市初中学业水平考试数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1下列四个实数中，最小的数是（）A5B0CD22023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录数据122254用科学记数法表示为（）A12.2254104B1.22254104C1.22254105D0.1222541063下列计算正确的是（）Aa2
2、a3a5Ba6a2a3C（ab3）2a2b9D5a2a34剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD5在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点P的坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）6如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，160，则2的度数为（）A30B60C100D1207某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.
3、4关于这组数据，下列说法正确的是（）A众数是9.6B中位数是9.5C平均数是9.4D方差是0.38下列说法错误的是（）A成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B一元二次方程x2+x+30有两个相等的实数根C任意多边形的外角和等于360D三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：FpS当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）ABCD10如图，反比例函数y（k0）的图象与过点（1，0）的直线AB相交于A、B两点已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点如果SABC9，那么点C的坐标为（）A（3，0）B
4、（5，0）C（3，0）或（5，0）D（3，0）或（5，0）二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11要使代数式有意义，则x的取值范围是 12分解因式：2x24x+2 13已知关于x的一元二次方程x2+mx20的一个根为1，则m的值为 ，另一个根为 14定义新运算：（a，b）（c，d）ac+bd，其中a，b，c，d为实数例如：（1，2）（3，4）13+2411如果（2x，3）（3，1）3，那么x 15如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PEAD于点E，PE3则点P到直线AB的距离为 16在平面直角坐标系中，AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）把
5、A0B按如图所示的方式放置，并将AOB进行变换：第一次变换将AOB绕着原点O顺时针旋转60，同时边长扩大为AOB边长的2倍，得到A1OB1；第二次旋转将A1OB1绕着原点O顺时针旋转60，同时边长扩大为A1OB1边长的2倍，得到A2OB2，依次类推，得到A2033OB2033，则A2023OB2033的边长为 ，点A2023的坐标为 三、解答题（本大题共8小题，共86分）17（8分）计算：|2|+（）1+（sin451）0（1）18（8分）先化简（1+），再从1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值19（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，
6、BC于点E，F（1）证明：BOFDOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形20（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30，在B点处测得碑顶D的仰角为60，已知AB35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD（1.732，结果保留一位小数）21（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状
7、况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为 ；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数22（12分）如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PA与O相切于点A，点C为O上的一点连接PC、AC、OC，且PCPA（1）求证：PC为O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PDOCPAOD；（3）若CAB30，OD8，求阴影部分的面积23（12分）某中学组织学生研学，原计划租
8、用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？24（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx8与x轴交于A（4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求P
9、AC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：ykx+k交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y上总存在一点E，使得MEN为直角2023年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1【2023怀化】下列四个实数中，最小的数是（）A5B0CD【答案】A2【2023怀化】2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了
10、托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录数据122254用科学记数法表示为（）A12.2254104B1.22254104C1.22254105D0.122254106【答案】C3【2023怀化】下列计算正确的是（）Aa2a3a5Ba6a2a3C（ab3）2a2b9D5a2a3【答案】A4【2023怀化】剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【答案】C5【2023怀化】在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于
11、x轴对称的点P的坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【答案】D6【2023怀化】如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，160，则2的度数为（）A30B60C100D120【分析】根据平移直线AB至CD，可得ABCD，所以BMF2，根据对顶角相等得BMF160，所以260【答案】B【解析】如图，平移直线AB至CD，ABCD，BMF2，BMF160，260故选：B【点评】本题考查了平移的性质和平行线的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和平行线的性质7【2023怀化】某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4关于
12、这组数据，下列说法正确的是（）A众数是9.6B中位数是9.5C平均数是9.4D方差是0.3【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可【答案】A【解析】在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项A符合题意；把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.5，故中位数是9.5，故选项B不符合题意；平均数是9.5，故选项C不符合题意；方差是：2（9.69.5）2+（9.29.5）2+（9.79.5）2+（9.49.5）20.032，故选项D不符合题意故选：A【点评】本题考查的是算术平均数，方差，中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，
13、最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数8【2023怀化】下列说法错误的是（）A成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B一元二次方程x2+x+30有两个相等的实数根C任意多边形的外角和等于360D三角形三条中线的交点叫作三角形的重心【分析】根据随机事件的定义可以判断A；根据根的判别式可以判断B；根据任意多边形的外角和都是360可以判断C；根据三角形重心的定义可以判断D【答案】B【解析】成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；一元二次方程x2+x+30，12413110，一元二次方程x2+x+30无实数根，故选项
14、B错误，符合题意；任意多边形的外角和等于360，故选项C正确，不符合题意；三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；故选：B【点评】本题考查三角形的重心、根的判别式、三角形的重心、随机事件，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确9【2023怀化】已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：FpS当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）ABCD【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可【答案】D【解析】压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：FpS当F为定值时，压强p与受力面积
15、S之间函数关系是反比例函数，故选：D【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象10【2023怀化】如图，反比例函数y（k0）的图象与过点（1，0）的直线AB相交于A、B两点已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点如果SABC9，那么点C的坐标为（）A（3，0）B（5，0）C（3，0）或（5，0）D（3，0）或（5，0）【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据SACD+SBCDSABC9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标【答案】D【解析】把点A（1，3）代入y（k0）得，3，k3，反比例函数为y，设直线AB为yax
16、+b，代入点D（1，0），A（1，3）得，解得，直线AB为yx+，解，得或，B（2，），SABC9，SACD+SBCD，CD4，点C的坐标为（5，0）或（3，0）故选：D【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11【2023怀化】要使代数式有意义，则x的取值范围是 【分析】根据代数式有意义，可得x90，进一步求解即可【答案】x9【解析】代数式有意义，x90，x9.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握
17、二次根式有意义的条件是解题的关键12【2023怀化】分解因式：2x24x+2 【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解a22ab+b2（ab）2【答案】2（x1）2【解析】2x24x+22（x22x+1）2（x1）2【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式13【2023怀化】已知关于x的一元二次方程x2+mx20的一个根为1，则m的值为 ，另一个根为 【分析】将x1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于2，即可求出方程的另一个根【答案】1，2【解析】将x1代入原方程可得1m20，解得：m
18、1，方程的两根之积为2，方程的另一个根为2（1）2【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键14【2023怀化】定义新运算：（a，b）（c，d）ac+bd，其中a，b，c，d为实数例如：（1，2）（3，4）13+2411如果（2x，3）（3，1）3，那么x 【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案【答案】1【解析】（2x，3）（3，1）3，6x33，解得：x1【点评】此题主要考查了实数的运算，正确将原式变形是解题关键15【2023怀化】如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PEAD于点E，PE3则点P到直线AB的距
19、离为 【分析】过点P作PFAB于点F，根据正方形的性质易得AEP为等腰直角三角形，AEPE3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解【答案】3【解析】如图，过点P作PFAB于点F，四边形ABCD为正方形，ABBCCDAD，DABBBCDD90，PAE45，AEP为等腰直角三角形，AEPE3，PEAD，PFAB，FAEAEPAFP90，又AEPE，四边形AFPE为正方形，AEPF3，点P到直线AB的距离为3【点评】本题主要考查正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键16【2023怀化】在平面直角坐标系中
20、，AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）把A0B按如图所示的方式放置，并将AOB进行变换：第一次变换将AOB绕着原点O顺时针旋转60，同时边长扩大为AOB边长的2倍，得到A1OB1；第二次旋转将A1OB1绕着原点O顺时针旋转60，同时边长扩大为A1OB1边长的2倍，得到A2OB2，依次类推，得到A2033OB2033，则A2023OB2033的边长为 ，点A2023的坐标为 【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题【答案】22023，（22022，22022）【解析】由题意OA12，OA1221，OA2422，OA3823，OAn2n，A2023OB2033的边长为220
21、23，202363721，A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，22022）【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型三、解答题（本大题共8小题，共86分）17【2023怀化】计算：|2|+（）1+（sin451）0（1）【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案解：原式2+33+1+14【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键18【2023怀化】先化简（1+），再从1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值【分析】直接利用分式的混合运
22、算法则化简，进而把已知数据代入得出答案解：原式，当a1或2时，分式无意义，故当a1时，原式，当a0时，原式【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键19【2023怀化】如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F（1）证明：BOFDOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形【分析】（1）根据矩形的对边平行得到ADBC，于是有EDOFBO，根据点O是BD的中点得出DOBO，结合对顶角相等利用ASA可证得BOF和DOE全等；（2）由（1）BOFDOE可得BFDE，结合DEBF，可得四边形EBFD是平行四边形，再根
23、据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证证明：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，EDOFBO，点O是BD的中点，DOBO，又EODFOB，BOFDOE（ASA）；（2）：由（1）已证BOFDOE，BFDE，四边形ABCD是矩形，ADBC，即DEBF，四边形EBFD是平行四边形，EFBD，四边形EBFD是菱形【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键20【2023怀化】为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组
24、成综合实践小组进行测量他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30，在B点处测得碑顶D的仰角为60，已知AB35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD（1.732，结果保留一位小数）【分析】根据题意可得AMBNCE1.5m，ABMN35m，DEM90，DNE60，DME30，先利用三角形的外角性质可得DMNMDN30，从而可得DNMN35m，然后在RtDNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案解：由题意得：AMBNCE1.5m，ABMN35m，DEM90，DNE60，DME30，DNE是DMN的外角，MNDDNEDMN30，D
25、MNMDN30，DNMN35m，在RtDNE中，DEDNsin6035（m），DCDE+CE+1.5+1.531.8（m）答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键21【2023怀化】近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为 ；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生
26、3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数【分析】（1）由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；（2）用（1）的结论乘15%可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用360乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）用3000乘样本中“轻度近视”所占比例可得答案解：（1）200；（2）样本中“中度近视”的人数为：20015%30（人），“高度近视”的人数为：20090703010（人），补全条形统计图如下：扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360126；（3）30001050（人），答：估计该
27、校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22【2023怀化】如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PA与O相切于点A，点C为O上的一点连接PC、AC、OC，且PCPA（1）求证：PC为O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PDOCPAOD；（3）若CAB30，OD8，求阴影部分的面积【分析】（1）先由切线的性质得PAO90，然后依据“SSS”判定POC和POA全等，从而得PCOPA
28、O90，据此即可得出结论；（2）由DCODAP90，ODCPDA可判定ODC和PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（3）连接BC，过点C作CEOB于点E，先证OCB为等边三角形，再设OEa，则OAOBOC2a，在RtCDE和在RtDOC中，由勾股定理得CD2CE2+DE2OD2OC2，由此可求出a的值，进而得O的半径为4，然后根据S阴影SDOCS扇形BOC即可得出答案（1）证明：AB为O的直径，PA为O的切线，PAOA，即：PAO90，点C在O上，OCOA，在POC和POA中，POCPOA（SSS），PCOPAO90，即：PCOC，又OC为O的半径，PC为O的切线（2）证明：由（1
29、）可知：OCPD，DCODAP90，又ODCPDA，ODCPDA，即：PDOCPAOD（3）解：连接BC，过点C作CEOB于点E，CAB30，COB60，又OCOB，OCB为等边三角形，CEOB，OEBE，设OEa，显然a0，则OAOBOC2a，在RtOCE中，OEa，OC2a，由勾股定理得：，OD8，DEODOE8a，在RtCDE中，DE8a，由勾股定理得：，在RtDOC中，OC2a，OD8，由勾股定理得：CD2OD2OC282（2a）2，整理得：a22a0，a0，a2，OC2a4，又，【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾
30、股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答（3）时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径23【2023怀化】某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租
31、金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；（3）利用总租金每辆A种客车的租金租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金租用B种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次
32、研学去了（45x+30）人，根据题意得：45x+3060（x6），解得：x26，45x+304526+301200答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25y）辆，根据题意得：，解得：5y7，又y为正整数，y可以为5，6，7，该学校共有3种租车方案，方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；（3）选择方案1的总租金为3005+220205900（元）；选择方案2的总租金为3006+220195980（元）；选择方案3的总租金为3007+220186060
33、（元）590059806060，租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金24【2023怀化】如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx8与x轴交于A（4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y
34、kx+k交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y上总存在一点E，使得MEN为直角【分析】（1）运用待定系数法，将A（4，0）、B（2，0）代入yax2+bx8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y2x8，设P（t，t2+2t8），过点P作PFy轴，交AC于点F，则F（t，2t8），进而可得SPACSPAF+SPCF2（t24t）2（t+2）2+8，运用二次函数的性质即可求得答案；（3）由直线l1：ykx+k交抛物线于点M、N，可得x2+（2k）x+k0，利用根与系数关系可得xM+xN
35、k2，xMxNk，利用两点间距离公式可得MN2（xMxN）2+（yMyN）2（1+k2）2，设MN的中点为O，过点O作OE直线l2，垂足为E，OEMN，以MN为直径的O一定经过点E，所以MEN90，即证得结论（1）解：抛物线yax2+bx8与x轴交于A（4，0）、B（2，0）两点，解得：，抛物线的函数表达式为yx2+2x8，yx2+2x8（x+1）29，抛物线的顶点坐标为（1，9）；（2）解：抛物线yx2+2x8与y轴交于点C，C（0，8），设直线AC的解析式为ymx+n，则，解得：，直线AC的解析式为y2x8，设P（t，t2+2t8），过点P作PFy轴，交AC于点F，如图，则F（t，2t8）
36、，PF2t8（t2+2t8）t24t，SPACSPAF+SPCFPF（t+4）+PF（t）2PF2（t24t）2（t+2）2+8，20，当t2时，SPAC的最大值为8，此时点P（2，8）；（3）证明：直线l1：ykx+k交抛物线于点M、N，x2+2x8kx+k，整理得：x2+（2k）x+k0，xM+xNk2，xMxNk，yMkxM+k，yNkxN+k，yMyNk（xMxN），MN2（xMxN）2+（yMyN）2（1+k2）（xMxN）2（1+k2）（xM+xN）24xMxN（1+k2）（k2）24（k）（1+k2）2，设MN的中点为O，O（，k2），过点O作OE直线l2：y，垂足为E，如图，E（，），OEk2（）（1+k2），OEMN，以MN为直径的O一定经过点E，MEN90，在直线l2：y上总存在一点E，使得MEN为直角【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得OEMN，得出以MN为直径的O一定经过点E
