1、第4章 控制系统的根轨迹法第四章 控制系统的根轨迹法4.1 4.1 根根轨迹的基本概念轨迹的基本概念4.2 4.2 常常规根轨迹的绘制法则规根轨迹的绘制法则4.3 4.3 广广义根轨迹义根轨迹4.4 4.4 根根轨迹系统性能分析轨迹系统性能分析习题四习题四第4章 控制系统的根轨迹法本章主要讲述根轨迹的概念、绘制常规根轨迹的基本法则、广义根轨迹以及根轨迹系统性能分析等。第4章 控制系统的根轨迹法4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念从第三章分析可知，一个系统可以通过找出其闭环极点来分析系统的稳定性情况，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在 s 平面上的位置密切相关。但对于高阶系统，采用
2、解析法求取系统的闭环特征方程根(闭环极点)通常很困难，特别是在系统参数(如开环增益)发生变化时求根，每变化一次都需要重新计算一次，因此解析法就显得很不方便。第4章 控制系统的根轨迹法我们知道，一个闭环系统开环传递函数的分子加分母就是该系统闭环传递函数的特征方程，这样，由已知闭环系统的开环传递函数确定其闭环极点分布，实际上就是解决系统特征方程的求根问题。1948 年，伊文思(W.R.Evans)根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，称之为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，使用简单，所以在控制工程中获得了广泛应用。本节主要讲述根轨迹的涵义，根轨迹与
3、系统性能分析，闭环零、极点与开环零、极点之间的关系，以及根轨迹的条件等。第4章 控制系统的根轨迹法4.1.1 根轨迹的涵义根轨迹的涵义根轨迹是当开环系统某一参数(如开环增益)从零变化到无穷时，该闭环系统特征方程的根在 s 平面上移动的轨迹。根轨迹的作用：从根轨迹的变化趋势中不仅可以直接获得闭环系统时间响应的动态和稳态信息，还可以获得系统开环零、极点应该如何变化才能使闭环系统的性能指标达到最佳。而且用根轨迹法求高阶系统的近似根，比其他方法要直观、简单。第4章 控制系统的根轨迹法根轨迹法是在已知反馈系统开环极点与零点分布的基础上，根据系统参数变化研究闭环系统特征方程根分布的一种图解方法。应用根轨迹
4、法通过简单计算就可确定系统的闭环极点分布，同时可以看出参数变化对闭环极点分布的影响。在介绍根轨迹法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的涵义。控制系统如图 41 所示。第4章 控制系统的根轨迹法图 41 控制系统结构图第4章 控制系统的根轨迹法其开环传递函数为闭环传递函数为第4章 控制系统的根轨迹法闭环特征方程为特征根为当系统参数 K 从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表 41。第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法将闭环极点绘制在 s 平面上并用光滑曲线连接起来，便得到 K 从零到无穷大时闭环极点在 s 平面上移动的轨迹，如图 42 所示，这就是根轨迹。根轨迹图直观地表示
5、了闭环极点随参数 K 变化时的情况，可清晰地观察参数 K 对闭环极点分布的影响。第4章 控制系统的根轨迹法图 42 系统根轨迹图第4章 控制系统的根轨迹法4.1.2 根轨迹与系统性能分析根轨迹与系统性能分析通过根轨迹图，可以分析系统性能随参数(如 K)的变化规律：1.稳定性稳定性若系统轨迹越过虚轴进入 s 右半面，则在相应 K 值下系统不稳定，根轨迹与虚轴交点处为临界稳定，此时的 K 值，就是临界开环增益。图 41 所示系统对所有 K 0 的值其根都在 s 左半平面，故系统是稳定的。第4章 控制系统的根轨迹法2.稳态性能稳态性能可通过在坐标原点的极点个数来判断系统的型次。图 4 1 中系统属
6、型系统，从图42 中也可见坐标原点只有一个极点，因而根轨迹上的 K 值就等于静态误差系数 K v。3.动态性能动态性能当 K 值不同时，系统的闭环极点所处的位置不同，可以判断系统阶跃响应的形式。由图 42 可见：当 0 K 0.5 时，闭环极点为共轭复数，系统为欠阻尼振荡，阶跃响应为衰减振荡过程，且超调量正比于 K 值。分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利用根轨迹可以分析当系统参数增大时系统动态性能的变化趋势。然而，对于高阶系统，用解析方法绘制系统根轨迹图显然是不适用的，我们希望能有简便的图解方法。因为开环传递函数相对容易得到，因此要求能够根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根
7、轨迹。为此，需要研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。第4章 控制系统的根轨迹法4.1.3 闭环零、闭环零、极点与开环零、极点与开环零、极点之间的关系极点之间的关系控制系统的一般结构如图 43 所示。第4章 控制系统的根轨迹法相应开环传递函数为 G(s)H(s)，闭环传递函数为设第4章 控制系统的根轨迹法其中，K G 为系统前向通路增益；K*G 为系统前向通路根轨迹增益；f 为系统前向通路传递函数零点数；g 为系统前向通路传递函数极点数。以及其中，K*H 为系统反馈通路根轨迹增益；l 为系统反馈通路传递函数零点数；h 为系统反馈通路传递函数极点数。第4章 控制系统的根轨迹法因此式中，K
8、*=K*G K*H，为系统开环根轨迹增益。对于 m 个开环零点和 n 个开环极点的系统，一定满足 f+l=m 和 g+h=n，整理后闭环传递函数可表示为第4章 控制系统的根轨迹法比较上面几式，可知：(1)闭环零点由前向通路传递函数 G(s)的零点和反馈通路传递函数 H(s)的极点组成。对于单位反馈系统，H(s)=1，闭环零点就是开环零点，且不随 K*变化。(2)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 K*均有关。因此根轨迹法也可理解为：由开环零、极点来确定闭环极点随 K*变化在 s 平面上得到的轨迹。根轨迹法的任务在于，由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。一旦闭
9、环极点确定后，可通过式(46)得到闭环零点，系统闭环传递函数也可确定。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换轻松得到。第4章 控制系统的根轨迹法4.1.4 根轨迹的条件根轨迹的条件闭环控制系统一般可用图 43 所示的结构图来描述。当系统有 m 个开环零点和 n 个开环极点时，开环传递函数可表示为系统的闭环传递函数为第4章 控制系统的根轨迹法系统的闭环特征方程为即显然，在 s 平面上凡是满足式(49)的点，都是根轨迹上的点。称式(49)为根轨迹方程，由根轨迹方程，可以画出当 K*由零变到无穷大时系统的根轨迹。第4章 控制系统的根轨迹法式(49)可以写成幅值和相角的复数形式
10、，即：幅值条件：相角条件：第4章 控制系统的根轨迹法式中，j、i 分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上某一点 s 的向量相角之和。可见，幅值条件与根轨迹增益 K*有关，而相角条件却与 K*无关。因此，在 s 平面上只要能满足相角条件，则该点一定会在根轨迹上。而该点所对应的 K*值可由幅值条件得出。换句话说:在 s 平面上能满足相角条件的点，必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹 s 平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件。实际中绘制根迹时，只需用相角条件，幅值条件可用来确定根轨迹上的 K*值。第4章 控制系统的根轨迹法【例例 41】设某系统开环传递函数为画出其零、极点分布如图 44
11、 所示，判断 s 平面上某点是否是根轨迹上的点。第4章 控制系统的根轨迹法图 44 系统开环零级点分布图第4章 控制系统的根轨迹法解解 在 s 平面上任取一点 s1，找到所有开环零、极点到此点 s 1 的向量，如果该点处的相角条件能满足则 s 1 是根轨迹上的一个点。求该点对应的根轨迹增益 K*时，可根据幅值条件计算：第4章 控制系统的根轨迹法式中 B，C，D 分别表示各开环极点到 s1 点向量的幅值，E 表示开环零点到 s1点向量的幅值。应用相角条件，可以重复上述过程，找到 s 平面上所有的闭环极点。但这种方法繁杂并不实用，下面介绍根轨迹的简单绘制方法。第4章 控制系统的根轨迹法4.2 常规
12、根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则一般来说，绘制根轨迹时可以选择系统的任意参数作为可变参数，但实际系统中最常用的可变参数是系统的开环增益 K*，因此以系统开环增益为可变参数绘制的根轨迹就称为常规根轨迹。第4章 控制系统的根轨迹法本节讨论绘制常规根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。熟练地掌握这些法则，可以方便快速地绘制系统的根轨迹。当然，这些法则同样也适应于系统其他参数作为可变参数时的情况。绘制根轨迹的步骤：(1)寻找满足相角条件的所有 s 点，由这些点构成根轨迹；(2)根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的 K*值。第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 1】(根轨迹的起点和终点法则根轨
13、迹的起点和终点法则)根轨迹起源于开环极点，终止于开环零点。m和 n 分别为开环零点数和标点数。可以分三种情况讨论。(1)m=n，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有对应的值。(2)m n，即开环零点数大于开环极点数时，除有 n 条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有 m-n 条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。第4章 控制系统的根轨迹法证证明明根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益 K*=0 和 K*时的根轨迹点。由闭环特征方程式(49)知：其中，m 是系统的开环零点数，n 是系统的
14、开环极点数。上式可改写成：第4章 控制系统的根轨迹法起点：当 s=p i(开环极点)，i=1，2，n 时，K*=0，也就是根轨迹的起点，所以根轨迹必起于开环极点。终点：当 s=zj(开环零点)，j=1，2，m时，K*=，也就是根轨迹的终点，所以根轨迹必终于开环零点。第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 2】(根轨迹的分支数、对称性和连续性法则根轨迹的分支数、对称性和连续性法则)根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数 n 中的大者相等，连续并对称于实轴。证证明明常规根轨迹是系统开环增益 K*从零变到无穷时，闭环极点在 s 平面上的变化轨迹。因此，根轨迹分支数必定与闭环极点数一致，即根轨迹分支数
15、等于系统的阶数。由式(46)闭环传递函数可得闭环系统特征方程：第4章 控制系统的根轨迹法而闭环特征方程根的数目等于 m 和 n 中的大者，因此根轨迹的分支数必与开环零点数 m、开环极点数 n 中的大者相等。特征方程中的参数 K*从零连续变到无穷时，特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。实际闭环系统的特征方程根只有实根和复根两种，而实根位于实轴上，复根必共轭，因此根轨迹对称于实轴。由对称性，只须画出 s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 3】(根轨迹的渐近线法则根轨迹的渐近线法则)当 n m 时，有 n-m条根轨迹分支沿着与实
16、轴交角为 a，交点为 a 的一组渐近线趋向无穷远处。根轨迹的渐近线可由下式而定：第4章 控制系统的根轨迹法证证明明渐近线就是 s 时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。开环传递函数可写成式中，分别为系统开环零点之和及开环极点之和。第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法【例例 42】已知系统开环传递函数为试画出根轨迹的渐近线图形。解解按根轨迹绘制的法则:由法则 1 可知，3 个极点也是起点:0，-1，-2;无零点，则终点为:，。由法则 2 可知，分支数:n=3 m=0，有 3 条根轨迹对称于实轴。由法则 3 可知，渐近线:因为本系统中，n=3，m=0，所
17、以共有 n-m=3 条渐近线。第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法根据以上分析画出系统的根轨迹渐近线如图 45 所示。图 45 系统的根轨迹渐近线第4章 控制系统的根轨迹法【例例 43】设单位反馈系统开环传递函数为试根据已知的三个基本法则，绘制根轨迹的渐近线。第4章 控制系统的根轨迹法解解 将开环零、极点标在 s 平面上，如图 46 所示。图 46 开环零、极点渐近线第4章 控制系统的根轨迹法根据法则 2，系统有 4 条根轨迹分支，且有 n-m=3 条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴的交点及夹角为三条渐近线如图 46 所示。第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 4】(实轴上的
18、根轨迹分布法则实轴上的根轨迹分布法则)根轨迹在实轴上的分布：实轴上的某一区段，若其右边开环实数零点个数和实数极点个数之和为奇数，该区段必是条完整的根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分。证明证明 设系统开环零、极点分布如图 47 所示。图中，s0 是实轴上的点，i(i=1，2，3)是各开环零点到 s 0 点的向量的相角，j(j=1，2，3，4)是各开环极点到 s 0 点的向量的相角。由图 47 可见，复数共轭极点到实轴上任意一点(包括 s0 点)的向量之相角和为 2。对复数共轭零点，情况同样如此。第4章 控制系统的根轨迹法因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。图 47
19、中，s 0点左边的开环实数零、极点到 s 0点的向量之相角均为零，而 s 0点右边开环实数零、极点到 s 0点的向量之相角均为 ，故只有落在 s 0右方实轴上的开环实数零、极点，才有可能对 s 0的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为 。如果令 i 代表 s 0点之右所有开环实数零点到 s 0点的向量相角之和，j 代表s 0点之右所有开环实数极点到 s 0点的向量相角之和，那么，s 0点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成立：第4章 控制系统的根轨迹法由于 与-表示的方向相同，于是等效有式中，m 0、n 0 分别表示在 s 0 右侧实轴上的开环零点和极点个数，2 k+1 为
20、奇数。不难判断，图 47 实轴上，区段 p 1，z 1 ，p 4，z 2 以及-，z 3(均为实轴上的根轨迹。第4章 控制系统的根轨迹法图 47 实轴上的根轨迹第4章 控制系统的根轨迹法【例例 44】设系统的开环传递函数为试求实轴上的根轨迹。解解零极点分布如图 48 所示，粗线所示为实轴上根轨迹，为-10，-5 和-2，-1。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。第4章 控制系统的根轨迹法图 48 零、极点分布图第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 5】(根轨迹的分离点与分离角法则根轨迹的分离点与分离角法则)两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离
21、点的坐标 d 是式(414)的解。式中，p j 为开环极点，z i 为开环零点。分离角：在分离点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角 d，d 与相分离的根轨迹分支数 l 有关，第4章 控制系统的根轨迹法实轴上的分离点有以下两个特点：(1)若实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段有根轨迹，则这两相邻点之间必有一个分离点。这两个相邻的极点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点。如图 49 所示。(2)如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则此区段上要么没有分离点，如有，则不止一个。第4章 控制系统的根轨迹法图 49 实轴上的分离点第4章 控制系统的根轨迹法证证明明由根轨迹方程，
22、有所以闭环特征方程为或第4章 控制系统的根轨迹法根轨迹在 s 平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现。设重根为 d，根据代数中重根条件，有或第4章 控制系统的根轨迹法将式(415)、式(416)等号两端对应相除，得从上式解出的 s 中可得分离点 d。第4章 控制系统的根轨迹法【例例 45】控制系统开环传递函数为试绘制系统根轨迹。解解将系统开环零、极点标于 s 平面。(1)分支：根据法则 1 和 2，系统有 3 条根轨迹分支，且有 n-m=2 条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘制如下：(2)渐近线：根据法则 3，根轨迹的渐近线与实轴交点和交角为第4章 控制系统的根轨迹法(3)实轴上的根轨迹：根据法则
23、4，实轴上的根轨迹区段为(4)分离点：根据法则 5，分离点坐标为经整理得(d+4)(d2+4d+2)=0，故 d 1=-4，d 2=-3.414，d 3=-0.586，显然分离点位于实轴上-1，0 间，故取 d=-0.586。第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图 410 所示。图 410 根轨迹图第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法即 d+4 d+2=0，解得:d 1=-3.414，d 2=-0.568(舍去)，作出该系统的根轨迹如图411 所示。图 411 根轨迹图第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 6】(根轨迹的起始角和
24、终止角法则根轨迹的起始角和终止角法则)根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角;根轨迹进入复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角。(1)起始角：其中，z j p i 为零点到此极点连线与正实轴的夹角；p j p i 为其他极点到此极点连线与正实轴的夹角。第4章 控制系统的根轨迹法证明证明 在根轨迹上十分接近待求起始角(或终止角)的复数极点 p i(或复数零点 zi)处取一点 s1，此点处除 p i(或 z i)外，其他所有开环零、极点到 s 1 点的夹角 z j s 1 和 p j s 1 都可以用它们到 p i(或 zi)的夹角 z j p i(或 z i z j)和 p
25、 j p i(或 p j z i)来替代，而 p i(或 z i)到 s 1 的夹角即为起始角 p i(或终止角 z i)。所以有式(418)和式(419)成立。第4章 控制系统的根轨迹法【例例 47】系统零极点数据为：-p 1=-1+j1，-p 2=-1-j1，-p 3=0，-p 4=-3，-z=-2，试确定 p 1 处的根轨迹的起始角。解解将零、极点画在图 412 中，计算起始角：画图时注意：(1)相角要注意符号，逆时针为正，顺时针为负；(2)注意向量的方向。第4章 控制系统的根轨迹法图 412 根轨迹的起始角第4章 控制系统的根轨迹法【例例 48】设系统开环传递函数为试绘制系统根轨迹。解
26、解将开环零、极点标于 s 平面上，如图 4 13 所示，开环零点为-1.5，-2+j，-2-j，开环极点为 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5。第4章 控制系统的根轨迹法图 413 例 48 的根轨迹图第4章 控制系统的根轨迹法(1)实轴上的根轨迹：-1.5，0，(-，-2.5；(2)渐近线：n=4，m=3，根轨迹有 4 条分支，有一条 180 的渐近线与(-，-2.5 重合;始于 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5;终于-1.5，-，-2+j，-2-j；(3)分离点:根轨迹在零、极点之间，无分离点。(4)起始角和终止角：作各开环零、极点到复数极点(-0.5
27、+j1.5)的向量，由相角条件得起始角：同理得到复数零点(-2+j)处的终止角：第4章 控制系统的根轨迹法起始角见图 414(a)，而终止角见图 414(b)。图 414 根轨迹的起始角和终止角第4章 控制系统的根轨迹法同样可作各开环零、极点到复数零点(-2-j)的向量，算出复数零点(-2-j)处的终止角 z 3=-149.5，见图 4 14 所示。本例的根轨迹图见图 413。例 48 的 MATLAB 程序如下：第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 7】(根轨迹与虚轴的交点法则根轨迹与虚轴的交点法则)若根轨迹与虚轴相交，则系统处于临界稳定状态，闭环特征方程至少有一对共轭虚根。这时系统的增益
28、K*称为临界根轨迹增益。交点上的 K*值和 可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 s=j，然后分别令其实部和虚部为零而求得。证明证明此法则的结论明显，免证。第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法图 415 系统的根轨迹图第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法(2)实轴上的根轨迹：(3)分离点：经整理得解出显然，分离点位于实轴上-1，0 间，故取 d=-0.47。第4章 控制系统的根轨迹法显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为 s=j 5，对应的根轨迹增益 K*=30。
29、第4章 控制系统的根轨迹法方法方法 2 用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表为劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。本劳斯阵列中有两行可能全为零。第4章 控制系统的根轨迹法当 K*=30 时，s1行元素全为零，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由 s2行的辅助方程求得：第4章 控制系统的根轨迹法图 416 根轨迹图第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 8】(根之和法则根之和法则)当系统开环传递函数 G(s)H(s)的分子、分母阶次差 n-m大于等于 2 时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和，且为常数。式中，1，2，n 为系统的闭环极点(特征根)；p 1，p 2，p n 为系统
30、的开环极点。第4章 控制系统的根轨迹法证明证明 设系统开环传递函数为式中第4章 控制系统的根轨迹法设 n-m=2，即 m=n-2，系统闭环特征式为另外，根据闭环系统 n 个闭环特征根 1，2，n，可得系统闭环特征式为第4章 控制系统的根轨迹法可见，当 n-m 2 时，特征方程第二项系数与 K*无关。比较系数并考虑式(420)，有式(422)表明，当 n-m 2 时，随着 K*的变化，部分闭环极点在复平面上向右移动(变大)，则另一些极点必然向左移动(变小)，且左、右移动的距离增量之和为 0。利用根之和法则可以确定闭环极点的位置，判定分离点所在范围。第4章 控制系统的根轨迹法【例例 411】某单位
31、反馈系统开环传递函数为试绘制系统根轨迹，并求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点。解解系统有 n-m=3 条根轨迹，且都趋于无穷远处。(1)渐近线：第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法显然第一组解是根轨迹的起点，舍去。根轨迹与虚轴的交点为 1，2=j 2，对应的根轨迹增益为 K*=6，因为当 0 K*n。前面已经指出，这种情况在实际系统中一般不会出现，然而在绘制参数根轨迹时，其等效开环传递函数却常常出现这种情况。第4章 控制系统的根轨迹法与 n m 情况类似，认为有 m-n 条根轨迹起始于 s 平面的无穷远处(无限极点)。因此，本例的 3 条根轨迹
32、的起点(T=0)分别为 p 1=-0.5+j0.866，p 2=-0.5-j0.866 无穷远处(无限极点)。由法则 4 知，实轴上的根轨迹是(-，-1 线段。由法则 6 求出两个等效开环复数极点的起始角分别为第4章 控制系统的根轨迹法由法则 7 可求出根轨迹与虚轴的两个交点，用 s=j 代入特征方程，得由此得到虚部方程和实部方程分别为解虚部方程得 的合理值为代入实部方程求得 T c=1s，所以 c=1 为根轨迹与虚轴的两个交点。第4章 控制系统的根轨迹法(3)绘制出以时间常数 T 为可变参数的根轨迹图如图 422 所示。第4章 控制系统的根轨迹法由根轨迹图可知，时间常数 T=T c=1s 时
33、，系统处于临界稳定状态，T 1s 时，根轨迹在 s 平面右半部，系统不稳定。由此可知，参数根轨迹用于研究非开环根轨迹增益的其他开环系统参数对系统性能的影响是很方便的。由上面两个例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下:(1)根 据 系 统 的 特 征 方 程 1+G(s)H(s)=0 求 出 系 统 的 等 效 开 环 传 递 函 数G*(s)H*(s)。(2)根据绘制普通根轨迹的八条基本法则和等效开环传递函数 G*(s)H*(s)绘制出系统的参数根轨迹。第4章 控制系统的根轨迹法4.3.2 零度根轨迹零度根轨迹前面介绍的系统都是在负反馈条件下绘制的根轨迹，根轨迹方程为 G(s)H(s)=-1，
34、相角条件为 G(s)H(s)=(2 k+1)，k=0，1，2，因此称这种条件下的常规根轨迹为 180 根轨迹;但是当系统在正反馈条件下，系统特征方程为 1-G(s)H(s)=0，根轨迹方程为 G(s)H(s)=1，相角条件为 G(s)H(s)=2 k ，k=0，1，2，则称这种条件下的根轨迹为零度根轨迹。第4章 控制系统的根轨迹法可见，零度根轨迹和 180 根轨迹的幅值条件相同而相角条件不同。因此，绘制 180 根轨迹法则中与相角条件无关的法则可直接用来绘制 0 根轨迹，而与相角条件有关的法则 3、法则 4、法则 6 需要相应修改。需作调整的法则如下：第4章 控制系统的根轨迹法【法则法则 3】
35、根轨迹的渐近线与实轴夹角：【法则法则 4】实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。【法则法则 6】根轨迹的起始角和终止角：第4章 控制系统的根轨迹法(1)起始角：其中，z j p i 为零点到此极点连线与正实轴的夹角，p j p i 为极点到此极点连线与正实轴的夹角。(2)终止角：其中，z i z j 为零点到此零点连线与正实轴的夹角，p j z i 为极点到此零点连线与正实轴的夹角。下面通过示例进一步说明零度根轨迹的绘制方法。第4章 控制系统的根轨迹法【例例 417】设单位正反馈系统的开环传递函数为试绘制根轨迹。解解系统为正反馈，故绘制零
36、度根轨迹。根轨迹绘制如下：(1)系统有一个零点：-2，三个极点:-3，(-1+j)，(-1-j)第4章 控制系统的根轨迹法(2)渐近线：(3)实轴上的根轨迹:实轴上-3 右边和-2 右边区间的零极点数之和为偶数，故在实轴(-，-3，-2，)上为根轨迹，这也说明系统在 s 右半平面有根轨迹，故正反馈系统很容易不稳定。第4章 控制系统的根轨迹法(4)分离点：经整理得显然，分离点位于实轴上，故取 d=-0.8。第4章 控制系统的根轨迹法(5)起始角:：根据绘制零度根轨迹的法则 7，对应极点 p 1=-1+j，根轨迹的起始角为系统根轨迹如图 423 所示。第4章 控制系统的根轨迹法图 423 系统根轨
37、迹图第4章 控制系统的根轨迹法(6)临界开环增益：由图 423 可见，坐标原点对应的根轨迹增益为临界值(左边稳定，右边不稳定)，由模值条件求得因为因此临界开环增益 K c=1，为了使该正反馈系统稳定，开环增益应小于 1。例 417 的 MATLAB 程序如下：第4章 控制系统的根轨迹法4.4 根轨迹系统性能分析根轨迹系统性能分析通过根轨迹分析可以看出:(1)利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正；(2)由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；(3)分析参数变化对系统稳定性的影响；(4)分析系统的瞬态和稳态性能；(5)根据性能要求确定系统的参数；(6)对系统进行校正。第4章 控制系统的根轨
38、迹法4.4.1 条件稳定系统的分析条件稳定系统的分析条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做条件稳定系统。【例例 418】设开环系统传递函数为试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 K g 的取值范围。第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法(5)入射角:2=103(6)与虚轴的交点。这时的增益值:K gp=14，64，195，如图 424 所示。当 0 K g 14 和 64 K g 195 时，系统是稳定的当 14 K g 64 和 195 K g 时，系统是不稳定的。第4章 控制系统的根轨迹法图 424 系统根轨迹图第4章 控制
39、系统的根轨迹法4.4.2 闭环零、闭环零、极点和系统的瞬态性能分析极点和系统的瞬态性能分析从上面的分析可知，利用根轨迹可以清楚看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为第4章 控制系统的根轨迹法故第4章 控制系统的根轨迹法我们知道闭环二阶系统的主要性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下:其中，-为极点的实部。和 的关系图如图 425 所示。第4章 控制系统的根轨迹法图 425 和 的关系图第4章 控制系统的根轨迹法4.4.3 开环零、开环零、极点对根轨迹形状的影响极点对根轨迹形状的影响1.增加系统开环
40、极点增加系统开环极点下面三个系统零点相同，但极点在原来的基础上增加，分别得出根轨迹如图 426所示。第4章 控制系统的根轨迹法图 426 上述系统的根轨迹图第4章 控制系统的根轨迹法从图中可见，增加开环零点对根轨迹影响如下：(1)改变了根轨迹在实轴上的分布；(2)改变了根轨迹渐近线；(3)若增加的开环零点和某个极点重合或者相距很近，构成偶极子，则两者相互抵消，因此可以加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点；(4)增加一个开环零点，则原根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间，增加的零点越靠近虚轴，影响越大。由于闭环系统的动态性能与闭环极点以及闭环零、极点的分布有关，附加负实
41、部零极点必须合理配置才能提高系统的动态性能。第4章 控制系统的根轨迹法习习 题题 四四41 已知系统开环零极点分布如图 428 所示，试绘制相应的根轨迹图。42 已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数如下:K 0，画出各系统的根轨迹图。第4章 控制系统的根轨迹法图 428 开环系统零极点分布图第4章 控制系统的根轨迹法43 给定系统如图 429 所示，K 0，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。图 429 系统零极点分布图第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法47 给定控制系统如图 430 所示，K 0，试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益 K 为何值时能使闭环系
42、统极点阻尼比等于 0.7。第4章 控制系统的根轨迹法48 已知系统的开环传递函数为试绘制该系统完整的根轨迹图。49 已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。第4章 控制系统的根轨迹法要求系统的闭环极点有一对共轭复数极点，其阻尼比为 =0.5。试确定开环增益 K，并近似分析系统的时域性能。第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的
43、根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根
44、轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨
45、迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹
46、法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法第4章 控制系统的根轨迹法
