1、Centre for Robotics 分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。去分析系统的性能。线性系统：线性系统：时域分析法，时域分析法，根轨迹法，根轨迹法，频率法频率法 非线性系统：非线性系统：多输入多输出系统：多输入多输出系统：描述函数法描述函数法，相平面法相平面法 采样系统：采样系统：Z 变换法变换法状态空间法状态空间法Centre for Robotics3.1 测试输入信号和时域性能指标测试输入信号和时域性能指标 3
2、.1.13.1.1典型输入信号典型输入信号典型输入信号典型输入信号 动态性能，静态性能。动态性能，静态性能。动态性能动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准-典型输入信号典型输入信号。条件：。条件：1 能反映实际输入能反映实际输入；2 在形式上尽可能简在形式上尽可能简单，便于分析单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态使系统运行在最不利的工作状态。t f(t)01考查系统对恒值信号的跟踪能力考查系统对恒值信号的跟踪能力考查
3、系统对恒值信号的跟踪能力考查系统对恒值信号的跟踪能力Centre for Robotics A=1A=1，称单位斜坡函数，称单位斜坡函数，称单位斜坡函数，称单位斜坡函数,记为记为记为记为 t t1(t)1(t)2.2.斜坡函数斜坡函数斜坡函数斜坡函数 （等速度函数）（等速度函数）（等速度函数）（等速度函数）t f(t)0考查系统对匀速信号的跟踪能力考查系统对匀速信号的跟踪能力Centre for Robotics 3.3.抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）A=1A=1，称单位抛物线函数，称单位抛物线函数，称单位抛物线函数，称
4、单位抛物线函数,记为记为记为记为t f(t)0考查系统的机动跟踪能力考查系统的机动跟踪能力Centre for Robotics 4.4.脉冲函数脉冲函数脉冲函数脉冲函数t (t)0考查系统在脉冲扰动下的恢复情况考查系统在脉冲扰动下的恢复情况Centre for Robotics 各函数间关系：各函数间关系：各函数间关系：各函数间关系：5.5.正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数Centre for Robotics 3.1.2 3.1.2 阶跃响应的时域性能指标阶跃响应的时域性能指标阶跃响应的时域性能指标阶跃响应的时域性能指标c(t)=cc(t)=ct t(t)+c(t)+cssss(t)(t)
5、=暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应 +稳态响应稳态响应稳态响应稳态响应 1.1.暂态性能指标暂态性能指标暂态性能指标暂态性能指标 图图图图3-2 3-2 (1)(1)延迟时间延迟时间延迟时间延迟时间t td d：c(t)c(t)从从从从0 0到到到到0.5c()0.5c()的时间。的时间。的时间。的时间。(2)(2)上上上上升升升升时时时时间间间间t tr r：c(t)c(t)第第第第一一一一次次次次达达达达到到到到c()c()的的的的时时时时间间间间。无无无无超超超超调调调调时时时时,c(t)c(t)从从从从0.1 0.1 c()c()到到到到0.9 c()0.9 c()的时间。的时间。的时
6、间。的时间。(3)(3)峰值时间峰值时间峰值时间峰值时间t tp p：c(t)c(t)到达第一个峰值的时间到达第一个峰值的时间到达第一个峰值的时间到达第一个峰值的时间(4)(4)调节时间调节时间调节时间调节时间t ts s：c(t)c(t)衰减到与稳态值之差不超过衰减到与稳态值之差不超过衰减到与稳态值之差不超过衰减到与稳态值之差不超过 2%2%或或或或 5%5%所需的所需的所需的所需的时间。通常该偏差范围称作误差带时间。通常该偏差范围称作误差带时间。通常该偏差范围称作误差带时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号用符号用符号用符号表示，表示，表示，表示，即即即即 =2%=2%或或或或 =5%=5
7、%。(5)(5)超超超超调调调调量量量量s s s s%：c(t)c(t)最最最最大大大大峰峰峰峰值值值值偏偏偏偏离离离离稳稳稳稳态态态态值值值值的的的的部部部部分分分分，常常常常用用用用百百百百分分分分数数数数表表表表示示示示，描述的系统的描述的系统的描述的系统的描述的系统的平稳性平稳性平稳性平稳性。Centre for Robotics2.2.稳态性能指标稳态性能指标稳态性能指标稳态性能指标 稳态误差稳态误差稳态误差稳态误差e essss：稳定系统稳定系统稳定系统稳定系统误差的终值。即误差的终值。即误差的终值。即误差的终值。即最后一节细讲。最后一节细讲。Centre for Robotic
8、s凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。T TRCRC，时间常数。，时间常数。，时间常数。，时间常数。其典型传递函数及结构图为：其典型传递函数及结构图为：其典型传递函数及结构图为：其典型传递函数及结构图为：3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 R C r(t)c(t)1Ts+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)Centre for Roboticstc(t)T 2T 3T 4T 当输入信号当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。称作其单位阶跃响应。3.2.1 3.2.1 单位阶跃响应
9、单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应 响应曲线在响应曲线在0，）的时间区间中始终不会的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样超过其稳态值，把这样的响应称为的响应称为非周期响应非周期响应。无振荡无振荡0.6320.950.9820.8651.0Centre for Robotics一阶系统的瞬态响应指标调整时间一阶系统的瞬态响应指标调整时间一阶系统的瞬态响应指标调整时间一阶系统的瞬态响应指标调整时间t ts s 定义：定义：c(ts)1=(取取5%或或2%)一阶系统响应具备两个一阶系统响应具备两个一阶系统响应具备两个一阶系统响应具备两个重要的特点：重要的特点：重要的特点：重要的特点：可以用时间常
10、数可以用时间常数T去度量去度量系统输出量的数值。系统输出量的数值。响应曲线的初始斜率等响应曲线的初始斜率等响应曲线的初始斜率等响应曲线的初始斜率等于于于于1/1/T T。T 2T 3T 4T tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系统的反映了系统的惯性。惯性。T越小惯性越小，越小惯性越小，响应快！响应快！T越大，惯性越越大，惯性越大，响应慢。大，响应慢。Centre for Robotics3.2.2 3.2.2 单位斜坡响应单位斜坡响应单位斜坡响应单位斜坡响应 r(t)=t tc(t)0r(t)=tc(t)=t T+Tet/T 稳态响应稳态响应稳态响应稳态响应是一个与
11、输入斜坡函数斜率相同但在时间上是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数迟后了一个时间常数T的斜坡函数。的斜坡函数。TT稳态分量（跟踪项+常值）暂态分量Centre for Robotics 表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做置上仍有误差，一般叫做跟踪误差跟踪误差跟踪误差跟踪误差。比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于最终趋于0 0，而在初始
12、状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；最大；无差跟踪无差跟踪无差跟踪无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值最终趋于常值T T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于于0 0。有差跟踪有差跟踪有差跟踪有差跟踪。0 tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTTCentre for Robotics3.2.33.2.3单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应 R(s)=1 它恰是系统的闭环传函，
13、这它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以函数，以h(t)标志。标志。求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。对应对应T 2T 3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0
14、.05/TCentre for Robotics线性定常系统的重要性质线性定常系统的重要性质线性定常系统的重要性质线性定常系统的重要性质 2.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。积分常数由零初始条件决定。积分常数由零初始条件决定。积分
15、常数由零初始条件决定。1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数统的输出则为原来输出的导数统的输出则为原来输出的导数统的输出则为原来输出的导数。Centre for Robotics3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.3.1 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为：标准化二阶系统的结构图为：s(s+2 n)R(s)C(s)n2+闭环传递函数为闭环传递函数为 二阶系统有两个结构参数二阶系
16、统有两个结构参数 (阻尼比阻尼比)和和 n n(无阻尼振荡频无阻尼振荡频率率)。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。Centre for Robotics微分方程式为：微分方程式为：对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。含义是不同的。含义是不同的。含义是不同的。例如例如:RLC电路电路RCr(t)c(t)LCentre for Robotics j 03.3.23.3.2二阶系统的
17、闭环极点二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即二阶系统的闭环特征方程，即 s 2+2 n s+n2=0其两个特征根为：其两个特征根为：上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比 的不同取值，的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有平面上有不同的分布规律。分述如下：不同的分布规律。分述如下：s1s2(1)1 时，特征根为一对不等值时，特征根为一对不等值的负实根，位于的负实根，位于s 平面的负实轴上，平面的负实轴上，使得系统的响应表现为使得系统的响应表现为过阻尼过阻尼的。的。C
18、entre for Robotics(2)=1时，特征根为一对等值的负实根，位于时，特征根为一对等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，平面的负实轴上，使得系统的响应表现为使得系统的响应表现为临界阻尼临界阻尼的。的。(3)0 1 时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面平面 的左半平面上，使得系统的响应表现为的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼欠阻尼的。的。j 0s1=s2=n ns1s2 j d n j 0Centre for Robotics(4)=0 时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上
19、，使平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡等幅振荡过程。过程。(5)1 j 0s1=s2=1 ns1s2 j d n j 0 ns2 j d 0 1 j 0 j n =0 阻阻尼尼比比取取不不同同值值时时，二二阶阶系系统统根根的的分分布布Centre for Robotics3.3.33.3.3单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应由式由式，其输出的拉氏变换为其输出的拉氏变换为式中式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。是系统的两个闭环特征根。对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表
20、达式。式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s s 平面上平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分。下面分别加以讨论。别加以讨论。Centre for Robotics(1)欠阻尼情况欠阻尼情况 0 0变化率为正，变化率为正，c(t)单调上升；单调上升；t ，变化率趋于，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调，整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差稳态误差0。tc(t)01Centre for Robotics(4)过阻尼情况过阻尼情况 1 响应特性包含响应特性包
21、含两个单调衰减的指数项两个单调衰减的指数项两个单调衰减的指数项两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过且它们的代数和不会超过1，因而响应是，因而响应是非振荡非振荡的。的。调节速度慢调节速度慢。（不同于一阶系统不同于一阶系统）0 tc(t)1.0tsCentre for Robotics(5)不稳定系统不稳定系统 0总结：总结：1）1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢；慢；3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；4）01时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，时，响应有超调，但上升速度
22、快，调节时间短，合理合理选择可使既快又平稳，工程上把选择可使既快又平稳，工程上把0.707的二阶系统称为的二阶系统称为二阶最优系统二阶最优系统；Centre for RoboticsMp3.3.4 3.3.4 二阶系统的动态性能指标二阶系统的动态性能指标二阶系统的动态性能指标二阶系统的动态性能指标1.1.欠阻尼欠阻尼 用用tr,tp,Mp,ts 四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。c(t)t 010.50.05或或0.02tr tp tstdCentre for Robotics(1)上升时间上升时间tr：从零上升至：从零上升至第一次第一次到达稳态值所需的时间，
23、到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。是系统响应速度的一种度量。tr 越小，响应越快。越小，响应越快。(2)峰值时间峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。时间。Centre for Robotics(3)超调量超调量超调量超调量MMp p：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。表示。Centre for Robotics Mp只是只是 的函数，其大小与自然频率的函数，其大小与自然频率n无关无关。Mp(4)调节时间调节时间ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过：响应曲线衰减到与稳态值之差不超
24、过5%所需要的时间。所需要的时间。c(t)c()c()(t ts)Centre for Robotics 工程上，当工程上，当0.1 0.9 时，通常用下列二式近似计时，通常用下列二式近似计算调节时间。算调节时间。=5%c()=2%c()总结：总结：各性能指标之间是有矛盾的。各性能指标之间是有矛盾的。(1)n 一定，使一定，使tr tp 使使 ts (一定范围一定范围)必须必须必须必须必须(2)一定，使一定，使 tr tp ts n (3)Mp 只由只由 决定决定必有必有Centre for Robotics例例3-1单位负反馈随动系统如图所示单位负反馈随动系统如图所示(1)(1)确定系统特征
25、参数与实际参数的关系确定系统特征参数与实际参数的关系确定系统特征参数与实际参数的关系确定系统特征参数与实际参数的关系 。(2)(2)若若若若K=K=16(rad/s)16(rad/s)、T=T=0.25(s)0.25(s)，试计算系统的动态性能指标。试计算系统的动态性能指标。试计算系统的动态性能指标。试计算系统的动态性能指标。解解:(1)系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为与典型二阶系统比较可得：与典型二阶系统比较可得：K/T=n2 1/T=2ns(Ts+1)R(s)C(s)K+Centre for Robotics(2)K=16，T=0.25时时(=0.05)K/T=n2 1/T=2nC
26、entre for Robotics例例3-2已知已知单位单位负反馈系统的负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。试求系统的开环传递函数。解：由系统的单位阶跃响应解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时曲线，直接求出超调量和峰值时间。间。Mp=30%tp=0.1求解上述二式，得到求解上述二式，得到 =0.357，n=33.65(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为于是二阶系统的开环传递函数为1c(t)t 01.30.1Centre for RoboticsG(s)，H(s)一般是复变量一般是复变量s 的多项式之比，故上式可记为的
27、多项式之比，故上式可记为3.4高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3.4.13.4.1高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应 控制系统的基本结构如图所示。控制系统的基本结构如图所示。其闭环传递函数为其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)+H(s)Centre for Robotics 式中式中0 k 0 (i,j=1,2,n)即，即，闭环特征方程各项同号且不缺项闭环特征方程各项同号且不缺项闭环特征方程各项同号且不缺项闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式
28、，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。给现系统稳定的充分必要条件。1.1.劳斯判据劳斯判据 系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，特征方程式的全部系数为正，特征方程式的全部系数为正，特征方程式的全部系数为正，且且且且由该由该由该由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。若不满足，则不稳定若不满足，则
29、不稳定若不满足，则不稳定若不满足，则不稳定 劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半于右半s平面上根的个数。平面上根的个数。表中：表中：1 1）最左一列元素按）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作的幂次排列，由高到低，只起标识作 用，不参与计算。用，不参与计算。2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。a0 0 a2 a4 a1 1 a3 a5 b1
30、1 b2 b3 ansnsn1 sn2 s1 s0 劳斯表的构造：劳斯表的构造：Centre for Robotics 2.2.劳斯判据的应用劳斯判据的应用 （1 1）判断系统的稳定性判断系统的稳定性判断系统的稳定性判断系统的稳定性 例例3-3 设有下列特征方程设有下列特征方程 D(s)=s4 +2s3+3s2+4s+5=0，试用劳试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解解：劳斯表劳斯表第一列元素第一列元素 符号改变了符号改变了2次，次，系统不稳定，且系统不稳定，且s 右半平右半平面有面有2个根。个根。s4s3s2s1s01 3 52 4 6155C
31、entre for Robotics例例3-4 系统的特征方程为系统的特征方程为 D(s)=s3 3s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为解：系统的劳斯表为第一种特殊情况第一种特殊情况第一种特殊情况第一种特殊情况：劳斯表中某劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：此情况，可作如下处理：s3s2s1s01 3 0 2用一个很小的正数用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而使劳来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。斯表继续下去。可用因子可用
32、因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可为任意正数可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。，再对新的特征方程应用劳斯判据。Centre for Robotics 0+时，时，b1 0，劳斯表中，劳斯表中第一列元素符号改变了两次第一列元素符号改变了两次 系统有两个正根，不稳定。系统有两个正根，不稳定。用（用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4 +3s3 3s2 7s+6=0s3s2s1s01 3 0()22s4s3s2s1s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 6会得到相同的判断结果会得到相
33、同的判断结果会得到相同的判断结果会得到相同的判断结果Centre for Robotics例例3-5 设某线性系统的闭环特征方程为设某线性系统的闭环特征方程为 D(s)=s4 +s3 3s2 s+2=0 试用劳斯判据判断系统稳定性。试用劳斯判据判断系统稳定性。解解:该系统的劳斯表如下该系统的劳斯表如下第二种特殊情况：第二种特殊情况：第二种特殊情况：第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：数根）。对此情况，可作如下处理：s
34、4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 0 0Centre for Robotics 由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正系统有两个正根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：s1=1 和和 s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和和 s4=2。用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。方程求导，用所得方
35、程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 4 2F(s)=2s2+2 F(s)=4sCentre for Robotics（2 2）分析参数变化对稳定性的影响）分析参数变化对稳定性的影响）分析参数变化对稳定性的影响）分析参数变化对稳定性的影响 例例3-6 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。的取值范围。解：系统特征方程式解：系统特征方程式 s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。一列元素均大于零。0 K 6s3s2s1s0 1 2 3 K(6 K)/
36、3 Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)K+Centre for Robotics（3 3）确定系统的相对稳定性）确定系统的相对稳定性）确定系统的相对稳定性）确定系统的相对稳定性 例例3-7 检验多项式检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线右半平面，并检验有几个根在垂直线 s=1的右边？的右边？解：解：1)劳斯表中第一列元素均劳斯表中第一列元素均为正为正系统在系统在s 右半平面没有右半平面没有根，系统是稳定的。根，系统是稳定的。2)令令 s1=s 1 坐标平移，坐标平移，得新特征方程为得新特征方程为 2 s13+4 s12 s1
37、1=0s3s2s1s0 2 13 10 412.2 4-1sS1Centre for Robotics 劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系右半平面有一个根。因此，系统在垂直线统在垂直线 s=1的右边有一个根。的右边有一个根。s13s12s11s10 2 1 4 1 0.5 1Centre for Robotics3.6线性系统的误差分析线性系统的误差分析3.6.13.6.1误差的基本概念误差的基本概念误差的基本概念误差的基本概念 1.1.误差的定义误差的定义 误差的定义
38、有两种：误差的定义有两种：从系统输入端定义，从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与它等于系统的输入信号与它等于系统的输入信号与它等于系统的输入信号与反馈信号之差反馈信号之差反馈信号之差反馈信号之差，即即 E(s)=R(s)B(s)从系统输出端定义，它定义为从系统输出端定义，它定义为系统输出量的期望值与系统输出量的期望值与系统输出量的期望值与系统输出量的期望值与实际值之差实际值之差实际值之差实际值之差。Eo(s)=R(s)C(s)对于单位反馈系统，两种定义是一致的。对于单位反馈系统，两种定义是一致的。对于单位反馈系统，两种定义是一致的。对于单位反馈系统，两种定义是一致的。2.2.两种定义的关系
39、两种定义的关系G(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)B(s)Centre for Robotics 由图可知，由图可知，R R(s s)表示等效单位反馈系统的表示等效单位反馈系统的表示等效单位反馈系统的表示等效单位反馈系统的输入信号，输入信号，输入信号，输入信号，也就是输出的期望值也就是输出的期望值也就是输出的期望值也就是输出的期望值。因而，。因而，E(s)是从输出端定义的非是从输出端定义的非单位控制系统的误差。单位控制系统的误差。E(s)=R(s)B(s)=R(s)H(s)C(s)由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接由此可见，从系统
40、输入端定义的稳态误差，可以直接由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。G(s)H(s)R(s)C(s)1H(s)E(s)R(s)+Centre for Robotics 3.3.稳态误差稳态误差ess定义：定义：例例例例3-83-8设单位反馈控制系统的开环传函为：设单位反馈控制系统的开环传函为：(1)当当 r(t)=t2/2 R(s)=1/s3解法一：解法一：试求当输入信号分别为试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1
41、(t)，r(t)=t，r(t)=sint 时时，控制系统的稳态误差。控制系统的稳态误差。解：解：终值定理的条件：终值定理的条件：终值定理的条件：终值定理的条件：除原点外，在虚轴及除原点外，在虚轴及除原点外，在虚轴及除原点外，在虚轴及s s平平平平面的右半平面无极点。面的右半平面无极点。面的右半平面无极点。面的右半平面无极点。Centre for Robotics解法二解法二：e(t)=T(tT)+T2 e t/T(2)当当 r(t)=1(t)R(s)=1/s(3)当当 r(t)=t R(s)=1/s2Centre for Robotics(4)当当r(t)=sint R(s)=/(s2+2)终
42、值定理的条件不成立！终值定理的条件不成立！终值定理的条件不成立！终值定理的条件不成立！终值定理的条件：终值定理的条件：终值定理的条件：终值定理的条件：除原点外，在虚轴及除原点外，在虚轴及除原点外，在虚轴及除原点外，在虚轴及s s平面平面平面平面的右半平面无极点。的右半平面无极点。的右半平面无极点。的右半平面无极点。Centre for Robotics3.6.23.6.2 给定作用下的稳态误差计算给定作用下的稳态误差计算给定作用下的稳态误差计算给定作用下的稳态误差计算不失一般性，闭环系统的开环传递函数可写为：不失一般性，闭环系统的开环传递函数可写为：=0 称为称为 0 型系统；型系统；=1 称
43、为称为型系统；型系统；=2 称为称为型系统。等等型系统。等等在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：Centre for Robotics1.1.1.1.阶跃输入作用下的稳态误差阶跃输入作用下的稳态误差阶跃输入作用下的稳态误差阶跃输入作用下的稳态误差令令称为系统的静态位置误差系数称为系统的静态位置误差系数称为系统的静态位置误差系数称为系统的静态位置误差系数 0 型系统：型系统：Kp=K ess=A/(1+K)型及型及型以上系统：型以上系统：Kp=ess=0Centre for Robotics2.2.2.2.单位斜坡输入作用下的稳态误差单位斜坡输入作用下的稳态误
44、差单位斜坡输入作用下的稳态误差单位斜坡输入作用下的稳态误差令令静态速度误差系数静态速度误差系数静态速度误差系数静态速度误差系数 0 型系统：型系统：Kv=0 ess=，0型系型系统无法跟踪斜坡无法跟踪斜坡输入入 型系统：型系统：Kv=K ess=B/K，有差跟踪有差跟踪型及型及型以上系统：型以上系统：Kv=ess=0，无差跟踪无差跟踪Centre for Robotics3.3.3.3.加速度输入作用下的稳态误差加速度输入作用下的稳态误差加速度输入作用下的稳态误差加速度输入作用下的稳态误差令令静态加速度误差系数静态加速度误差系数静态加速度误差系数静态加速度误差系数 0 型系统：型系统：Ka=0
45、 ess=型系统：型系统：Ka=0 ess=型系统：型系统：Ka=K ess=C/K 型及型及型以上系统：型以上系统：Ka=ess=0Centre for Robotics阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差r r(t t)=)=CtCt2 2/2/2r(t)=B tr r(t t)=)=A A1(1(t t)静态误静态误静态误静态误差系数差系数差系数差系数系统系统型别型别e essss=C=C/K Ka a ess=B/Kv e essss=A=A/(1+/(1+K Kp p)
46、K Kp p K Kv v K Ka a A A/(1+/(1+K K )K K 0 0 0 00 C C/K K 00 0 K K2B/K 0 0 K K 0 01Centre for Robotics例例3-9 已知两个系统如图所示，当参考输入已知两个系统如图所示，当参考输入 r(t)=4+6 t+3t 2，试分别求出两个系统的稳态误差。试分别求出两个系统的稳态误差。解：图（解：图（a），型系统型系统 Kp=，Kv=10/4，Ka=0图（图（b），型系统型系统Kp=，Kv=，Ka=10/4 10s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）+10(s+1)s2(s+4)R(s)C(s)E(s)
47、（b）+Centre for Robotics3.6.33.6.3 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差 所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。的抗干扰能力。计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样
48、可以采用拉氏变换终值定理。值定理。值定理。值定理。例例例例3-10 3-10 控制系统如图控制系统如图控制系统如图控制系统如图G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+HH(s s)=1)=1，G G1 1(s s)=)=K K1 1，G G2 2(s s)=)=K K2 2/s s(TsTs+1)+1)试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。解：（解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态
49、误差单位阶跃给定作用下的稳态误差:系统是系统是型系统：型系统：Kp=ess=0 （2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差。单位阶跃扰动作用下的稳态误差。系统误差的拉氏变换为系统误差的拉氏变换为 K1R(s)C(s)+E(s)K K2 2 s s(TsTs+1)+1)N(s)+Centre for Robotics 系系系系统统统统结结结结构构构构稳稳稳稳定定定定，且且且且满满满满足足足足终终终终值值值值定定定定理理理理的的的的使使使使用用用用条条条条件件件件。扰扰扰扰动动动动单单单单独独独独作用时稳态误差为作用时稳态误差为作用时稳态误差为作用时稳态误差为 （3 3）根根根根据据据据线线线线性性性性系
50、系系系统统统统的的的的叠叠叠叠加加加加原原原原理理理理，系系系系统统统统在在在在单单单单位位位位阶阶阶阶跃跃跃跃给给给给定定定定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为Centre for Robotics3.6.4 提高系统控制精度的措施提高系统控制精度的措施 上面的分析和例题可知：上面的分析和例题可知：通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如：通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如：增加积增加积增加积增加积分环节的个数或增大开环放大倍数分环节的个数或增大开环放大倍数分环
