1、第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 力对点之矩力对点之矩 合力矩定理合力矩定理 2.4 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡思思 考考 题题第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法在工程实际中,平面汇交力系的例子很多。如图2-1(a)所示钢筋混凝土预制梁起吊时,作用在吊钩上的钢绳拉力FT、FT1和FT2(见图2-1(b),在同一平面内汇交于一点,组成平面
2、汇交力系;图2-2(b)所示是屋架图2-2(a)的一部分,图中各杆所受的力F1、F2、F3、F4、F5 在同一平面且作用线汇交于点O,也组成一个平面汇交力系。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-1 图2-2第2章 平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法设在刚体上作用一平面汇交力系F1、F2、F3、F4,如图2-3(a)所示。为求该力系的合力,可在图2-3(a)上连续作力的平行四边形,即先由平行四边形法则求出F1 与F2的合力FR1,再同样求出FR1与F3 的合力FR2,如此类推,最后得到一个作用线也过力系汇交点A 的合力FR,即第2章 平面汇交力系与平面
3、力偶系图2-3第2章 平面汇交力系与平面力偶系按一定的比例尺,将力的大小表示为适当长度的线段,然后从刚体外的任一点a 处开始作图。具体作法如下:第2章 平面汇交力系与平面力偶系上述方法可推广到有n 个力的情形,于是可得如下结论:平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过力系的汇交点,合力矢等于原力系中所有力的矢量和,可由力多边形的封闭边来表示,即或简写为第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-4第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-1】用几何法确定作用在环钩上的三个力的合力(见图2-5(a)图2-5第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.平面汇交力系平衡
4、的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件设有汇交力系F1,F2,Fn-1,Fn 作用于刚体(见图2-6(a),按力多边形法则,将其中n-1个力F1,F2,Fn-1合成为一个合力FR(n-1),则原力系F1,F2,Fn-1,Fn 与力系FR(n-1),Fn 等效(见图2-6(b)。由二力平衡条件可知,力系FR(n-1)、Fn平衡的必要和充分条件是:FR(n-1)与Fn两力等值、反向、共线,即力系FR(n-1)、Fn 的合力等于零,即而第2章 平面汇交力系与平面力偶系所以,要该刚体平衡,必有于是得到结论:平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。由于平面汇交力系的合力矢是由力多边形的封闭边
5、矢量表示的,因此合力等于零就是力多边形的分力矢折线的起点与终点重合,即力多边形自行封闭(见图2-6(c)。所以,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:力系的力多边形自行封闭。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-6第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-2】如图2-7(a)所示,门式刚架在C 点受到力F=30kN 作用,不计刚架自重,试用几何法求支座A、B 的约束力。图2-7第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-3】如图2-8(a)所示的压路碾子,自重P=20kN,半径R=0.6m,障碍物高h=0.08m。碾子中心O 处作用一水平拉力F。试求:(1)当水
6、平拉力F=5kN 时,碾子对地面及障碍物的压力;(2)欲将碾子拉过障碍物,水平拉力至少应为多大?(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力,此时力F 为多大?第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-8第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系再由图2-8(c)中各矢量的几何关系,可得解得根据作用 力 与 反 作 用 力 的 关 系,碾 子 对 地 面 及 障 碍 物 的 压 力 分 别 等 于 11.34kN 和10kN。第2章 平面汇交力系与平面力偶系(2)碾子能越过障碍物的力学条件是FAN=0。因此,碾子刚刚离开地面时,其封闭的力三角形如图2-8(d)所示。由几何关系知,此时
7、水平拉力:F=Ptan=11.55kN,此时B 处的约束力为(3)从图2-8(d)中可以清楚地看到,当拉力与FBN垂直时,拉动碾子的力为最小,即第2章 平面汇交力系与平面力偶系由上述例题可见,用几何法解题,各力之间的关系很清楚、一目了然。当运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时,需要根据平衡条件做封闭的力多边形,而这个力多边形是根据作用在某个刚体上的平衡力系作出的。因此,解题的步骤:(1)选取研究对象。(2)画研究对象的受力图。(3)做封闭的力多边形。(4)量取未知力的大小和方向。第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法几何法具有直观
8、、简捷的优点,可直接从图上量出要求的结果。但其缺点是作图有误差,影响精度。而用解析法则可得到较精确的结果。第2章 平面汇交力系与平面力偶系1.力在轴上的投影及合力投影定理力在轴上的投影及合力投影定理1)力在轴上的投影在图2-9中,力F 与x、y 轴在同一平面内,从力F 的起点A 和终点B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为a 和b,则线段ab 加上适当的正负号称为力F 在x 轴上的投影。若以Fx表示力F 在x 轴上的投影,则有同理,若以Fy 表示力F 在y 轴上的投影,则有第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系由图2-9可以看出,当力F 沿两个正交轴x、y 分解为Fx、F
9、y 两力时,这两个分力的大小分别等于力F 在两轴上的投影Fx、Fy 的绝对值。但当x、y 轴不相互垂直时,如图2-10所示,则分力Fx、Fy 的大小在数值上不等于力F 在两轴上的投影Fx、Fy。此外还需要注意,力在轴上的投影是代数量。由力F可确定其投影Fx 和Fy,但是由投影Fx 和Fy 只能确定力F 的大小和方向,不能确定其作用位置。力沿轴的分量是矢量,是该力沿该方向的分作用,由分量能完全确定力的大小、方向和作用位置。可见,力的分解和力的投影是两个不同的概念,只是在一定的条件下,两者才有确定的关系,二者之间不可混淆。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-9 图2-10第2章 平面汇交力系与平
10、面力偶系2)合力投影定理图2-11表示平面汇交力系的各力矢F1、F2、F3、F4 组成的力多边形,FR 为合力。将力多边形中各力矢投影到x 轴上,由图可见,力系的合力在x 轴上的投影与分力在同一轴上的投影关系:上式左端为合力FR 的投影,右端为四个分力的投影的代数和,即第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-11第2章 平面汇交力系与平面力偶系可见,合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和,此即合力投影定理。第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法对于给定的平面汇交力系,可在力系所在平面内任意选取一个直角坐标系Oxy。为了方便
11、,一般都取力系的汇交点为坐标原点。首先求出力系中各力在x、y 轴上的投影,然后根据式(2-3a)、(2-3b)和合力投影定理,分别确定出合力的大小和方向:其中,和分别是合力FR 与x、y 轴正向的夹角。第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-4】如图2-12所示,固定圆环上作用四根绳索。这四根绳索的拉力大小分别为FT1=0.2kN,FT2=0.3kN,FT3=0.5kN,FT4=0.4kN,它们与x 轴的夹角分别为1=30,2=45,3=0,4=60。试求它们的合力大小和方向。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-12第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章
12、平面汇交力系与平面力偶系【例2-5】简易起重机吊起重W=20kN 的重物,如图2-13所示。重物通过卷扬机上绕过滑轮的钢索吊起,杆件的A 端铰接在固定架上,B 端以钢索与固定架连接。A、C、D 三处均为铰链约束。不计杆件AB、CB 和滑轮的重量及摩擦,不计滑轮尺寸。试计算杆件BC和杆件AB 所受的力。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-13第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例2-6】重P=100N 的球放在图2-14(a)所示的光滑斜面上,并且由与斜面平行的绳AB 系住。试求绳的拉力及球对斜面的压力。图2-14第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力
13、系与平面力偶系由上述例题可以看出,用解析法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤:(1)选取研究对象。(2)画受力图。(3)选取投影轴,建立平衡方程。平衡方程要能反映已知量(主要是已知力)和未知量(主要是未知力)之间的关系。(4)求解未知量。由于平面汇交力系只有两个独立的平衡方程,故选一次研究对象只能求解两个未知量。第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.3 力对点之矩力对点之矩 合力矩定理合力矩定理力对物体的运动效应有两种基本形式移动和转动。力使物体移动的效应取决于力的大小和方向。而物体的转动效应是用力对点之矩来度量的。第2章 平面汇交力系与平面力偶系1.力对点之矩力对点之矩如图2-15 所 示,用
14、 扳 手 拧 螺 母 时,螺母的轴线固定不动,轴线在图面上的投影为点 O。图2-15第2章 平面汇交力系与平面力偶系可见,力F 使物体绕点O 转动的效应,取决于以下两个因素:(1)力的大小与力作用线到点O 的垂直距离的乘积Fd。(2)力使物体绕点O 转动的方向。第2章 平面汇交力系与平面力偶系以上可推广到普遍的情形。如图2-16所示,平面上作用一力F,在同平面内任取一点O,点O 称为矩心,点O 到力F 作用线的垂直距离d 称为力臂。在平面问题中,力F 对点O 之矩定义为:力F 使物体绕矩心逆时针转向时,力对点之矩为正(见图2-16(a),顺时针转向时则为负(见图2-16(b)。第2章 平面汇交
15、力系与平面力偶系图2-16第2章 平面汇交力系与平面力偶系由图2-16可以看出,力F 对点O 之矩的大小正好等于三角形ABO 面积的两倍,即第2章 平面汇交力系与平面力偶系力矩有如下性质:(1)力F 对点O 之矩,不仅取决于力的大小,同时还与矩心的位置有关。同一力对不同点之矩是不同的。(2)当力的作用线过矩心或力的大小等于零时,力对点之矩等于零。(3)当力F 沿其作用线移动时,不改变力对点之矩。(4)等值、反向、共线的两个力对任一点之矩的代数和等于零。第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-7】图2-15中扳手所受的力F=200kN,l=40cm,=60。试求力F 对点O之矩。解解 由式(
16、2-7)有负号表示扳手绕O 点做顺时针方向转动。第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.合力矩定理合力矩定理平面汇交力系的合力对力系所在平面内任一点之矩,等于力系中各力对同一点之矩的代数和,即合力矩定理。证明证明:设刚体上的A 点作用一平面汇交力系F1,F2,Fn,该力系的合力FR=Fi,如图2-17所示。在力系所在平面内任取一点O 为矩心,建立直角坐标系Oxy,并使x 轴通过各力的汇交点A,力F1,F2,Fn 和FR 在y 轴上的投影分别为F1y,F2y,Fny 和FRy。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-17第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-8】力
17、F 作用于子支架上的点C,如图2-18所示,设F=100N,试分别求力F 对点A、点B 之矩。解解 因为计算力F 对A、B 两点之矩的力臂比较麻烦,所以利用合力矩定理求解。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-18第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.4 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡当两个等值、反向、平行不共线的力同时作用于物体时,能使物体只产生转动效应。例如,用两个手指拧动水龙头、钢笔套,用两只手转动汽车方向盘(见图2-19),以及用丝锥攻丝(见图2-20)都属于这种情形。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-19 图2-20第2章 平面汇交力系与平面力偶系1.力偶和力偶矩力偶
18、和力偶矩大小相等、方向相反、作用线平行且不共线的两个力所组成的特殊力系称为力偶。力偶对刚体只产生转动效应。力偶通常用记号(F,F)表示,如图2-21所示。两力作用线之间的垂直距离d 称为力偶臂。力偶(F,F)中两个力的作用线所在的平面称为力偶作用面。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-21第2章 平面汇交力系与平面力偶系力偶具有以下性质力偶具有以下性质:性质性质1 力偶没有合力,不能用一个力来平衡,只能用一个力偶来平衡,力偶是一个基本的力学量。性质性质2-力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩,且与矩心的位置无关。因此,力偶对刚体的效应用力偶矩度量。在平面问题中,力偶是代数量。第2章 平面
19、汇交力系与平面力偶系设有力偶(F,F),其力偶臂为d,如图2-22所示。在力偶作用面内任取一点O 为矩心,力偶对点O 的矩应等于力F 与F分别对点O 的矩的代数和。若点O 到力F的垂直距离为x,则力 F 与F分别对点O 的矩的代数和为力偶对刚体的转动效应取决于以下两个因素:(1)力偶中力的大小和力偶臂的长度。(2)力偶在其作用平面内的转向。第2章 平面汇交力系与平面力偶系在平面问题中,把力偶中力与力偶臂的乘积Fd 加上适当的正负号,作为力偶使刚体转动效应的度量,称为力偶矩,记作 M(F,F),简记为 M,即式中,正负号表示力偶的转向。通常,规定逆时针转向为正,反之为负。第2章 平面汇交力系与平
20、面力偶系性质性质3 力偶等效定理力偶等效定理在同一平面内的两个力偶,如果力偶矩(包括大小和转向)相等,则此两力偶彼此等效。证明证明:设有一力偶(F,F)作用于刚体上,其力臂为d,力F 和F的作用点A、B 的连线AB 恰为力偶臂d,如图2-23所示。分别在A、B 两点沿其连线加上一对等值、反向、共线的平衡力FT 和FT。现将F 和FT 合成为F1,F和FT 合成为F1。显然,力F1和F1 组成一新的力偶(F1,F1)。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-23第2章 平面汇交力系与平面力偶系令新力偶(F1,F1)的力偶臂为d1,由图2-23可知则由此可得第2章 平面汇交力系与平面力偶系平面力偶的
21、等效定理,可直接由经验证实。例如,图2-24中,作用在方向盘上的力偶虽然(F1,F1)和(F2,F2)的作用位置不同,但如果它们的力偶矩大小相等、符号相同,则它们对物体产生的转动效果是一样的。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-24第2章 平面汇交力系与平面力偶系由上述力偶等效定理,可得出如下推论:推论推论1 任一力偶可在其作用面内任意移转,而不改变它对刚体的作用。推论推论2-只要保持力偶矩不变,可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短,而不改变力偶对刚体的效应。由上述推论可知,力偶臂和力的大小都不是力偶的特征量,只有力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。第2章 平面汇交力系与平面力偶系因此,在研
22、究与平面力偶有关的问题时,不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长短,需要考虑力偶矩的大小和转向。今后在力偶作用的平面内常用带箭头的弧线表示力偶,箭头的方向表示力偶的转向,弧线旁的字母 M 的数值表示力偶矩的大小,如图2-25所示。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-25第2章 平面汇交力系与平面力偶系必须指出,力偶的搬移或用等效力偶替代,对物体的运动效应没有影响,但会影响物体的变形效应。例如,如图2-26所示,如果将作用于A 点的力偶搬移到B 点,虽对梁的平衡没有影响,但却使梁的变形前后不同。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-26第2章 平面汇交力系与平面力偶系2.平面力偶系的合成与平衡平面
23、力偶系的合成与平衡作用于同一刚体上的若干个共面力偶称为平面力偶系平面力偶系。1)平面力偶系的合成下面先讨论同一平面内两个力偶的合成情况,然后推广到任意个平面力偶合成的一般情形。设在同一平面内有两个力偶(F1,F1)和(F2,F2)作用于刚体,它们的力偶臂分别为d1和d2,如图2-27(a)所示。这两个力偶的力偶矩分别为 M1 和 M2。第2章 平面汇交力系与平面力偶系第2章 平面汇交力系与平面力偶系图第2章 平面汇交力系与平面力偶系2)平面力偶系的平衡条件由图2-27所示的平面力偶系合成过程可知,若两共线力平衡,即FR=FR=0,则原力偶系平衡。由式(2-11)可知,此时合力偶矩等于零。反之,
24、若合力偶矩等于零,则原力偶系必定是平衡力系。对于n 个力偶所组成的平面力偶系,可作同样的推理。由此可知,平面力偶系平衡的必要和充分条件是:力偶系中所有力偶的力偶矩的代数和等于零,即式(2-13)称为平面力偶系的平衡方程(可求一个未知量)第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-9】图2-28所示为一减速箱,在外伸的两轴上分别作用一个力偶,其力偶矩分别为 M1=2000Nm,M2=1000Nm。减速箱用两个相距 400 mm 的螺栓固定在地面 A、B 处,设A、B 处只有铅垂方向的约束力,减速箱重力不计。试求A 和B 处螺栓的约束力。解解:选减速箱为研究对象。减速箱在铅垂面内受两个力偶和两个螺
25、栓的约束力的作用。两个力偶合成后为一个力偶,根据力偶的性质,力偶只能与力偶相平衡。如果减速箱平衡,则两个螺栓的约束力必组成一个力偶。它们的方向假设如图2-28所示,FA=FB。第2章 平面汇交力系与平面力偶系由平面力偶系的平衡方程知得因为FA 是正值,故所假设方向是正确的。FA =7500N,方向向上,FB=7500N,方向向下。第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-28第2章 平面汇交力系与平面力偶系【例【例2-10】三铰拱的左半部 AC 上作用一力偶,其矩为 M,转向如图2-29所示。求铰A 和B 处的反力。解解:铰A 和铰B 处的反力FA 和FB 的方向都是未知的。但右边部分只在B、C
26、两处受力,故可知右边部分为二力构件,FB 必沿BC 作用,指向假设如图2-29所示的方向。现在考虑整个三铰拱的平衡。因整个拱所受的主动力只有一个力偶,所以FA与FB 应组成一力偶才能与之平衡。于是平衡方程为故第2章 平面汇交力系与平面力偶系图2-29第2章 平面汇交力系与平面力偶系思思 考考 题题2-1 试指出在思考题2-1图中,各力多边形哪个是自行封闭的?如果不是自行封闭,哪个力是合力?哪些力是分力?思考题2-1图第2章 平面汇交力系与平面力偶系2-2-刚体A、B、C 三点作用三个力F1、F2、F3,其指向如思考题2-2图所示。三力构成的力三角形封闭,请问该刚体是否平衡?思考题2-2图第2章
27、 平面汇交力系与平面力偶系2-3 力F 沿x 轴、y 轴的分力和力在两轴上的投影有何区别?试以思考题2-3图(a)、(b)两种情况为例进行分析说明。思考题2-3图第2章 平面汇交力系与平面力偶系2-4 用解析法求解平面汇交力系 的 平 衡 问 题,需 要 选 定 坐 标 系,再 建 立 平 衡 方 程Fx=0和Fy=0。这里选定的x 轴和y 轴是否必须垂直?2-5 下列陈述是否正确?为什么?(1)对任意一个平面汇交力系,都可以列出两个平衡方程。(2)当平面汇交力系平衡时,选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。(3)用解析法求解平面汇交力系的平衡问题时,投影轴的方位不同,平衡方程的具体形式也
28、不同,但其计算结果不变。2-6 试比较力对点之矩与力偶矩的异同。第2章 平面汇交力系与平面力偶系2-7 用手拔钉子拔不动,为什么用羊角锤就容易拔起?如思考题2-7图所示,如果锤把上作用50N 的推力,问拔钉子的力有多大?加在锤把上的力沿什么方向省力?思考题2-7图第2章 平面汇交力系与平面力偶系2-8 水渠的闸门有三种设计方案,如思考题2-8所示。试问哪种方案开关闸门时最省力。思考题2-8图第2章 平面汇交力系与平面力偶系2-9 主动力偶 M 和主动力F 作用在可绕中心轴转动的轮上,如思考题2-9图所示。若力偶矩 M=Fr,则轮平衡。这和力偶不能与一力平衡的性质是否矛盾?思考题2-9图第2章 平面汇交力系与平面力偶系2-10 如思考题2-10图所示,刚体受四个力F1、F2、F3、F4 的作用,其力多边形自行封闭且为一平行四边形,问刚体是否平衡?为什么?思考题2-10图
