1、第14章 虚位移原理第14章 虚位移原理14.1 约束与约束方程约束与约束方程 虚位移与虚功虚位移与虚功 14.2 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 14.3 虚位移原理虚位移原理思思 考考 题题第14章 虚位移原理14.1 约束与约束方程约束与约束方程 虚位移与虚功虚位移与虚功1.约束与约束方程约束与约束方程不受任何限制可在空间自由运动的质点系称为自由质点系;若质点系中任一质点在空间的运动受到一定的限制,则此质点系称为非自由质点系。限制质点或质点系运动的各种条件称为约束,这些限制条件的数学方程表示称为约束方程。根据约束的形式和性质的不同,约束可分为以下几类:第14章 虚位移原理(1)几何约束
2、和运动约束。只限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。例如,图14-1所示的以无重刚杆为摆杆的单摆,其中质点 M 可绕固定点 在平面xy内摆动,摆长为l。由于刚杆OM 的限制,质点 M 必须在以点 为圆心、l为半径的圆周上运动。若以x、y 表示质点的坐标,则其位置坐标必须满足条件式(14-1)称为约束方程。第14章 虚位移原理图14-1第14章 虚位移原理又如,质点 M 在图14-2所示的半径为r 的球面上运动,那么球面方程就是质点 M 的约束方程,即第14章 虚位移原理图14-2第14章 虚位移原理除几何约束外,还有限制质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。对于图14-3所示
3、的半径为r 的圆轮,它在水平面上沿直线轨道只滚不滑就是运动约束。式(14-3)建立了轮心速度与轮子角速度间的关系,称为运动约束方程。第14章 虚位移原理图14-3第14章 虚位移原理(2)定常约束和非定常约束。如果约束方程中不显含时间t,即约束不随时间而变,那么这种约束称为定常约束。如前述单摆的约束方程不显含时间t,属于定常约束。若约束方程中显含时间t,约束条件随时间变化,则这种约束称为非定常约束。如图14-4所示,与弹簧相连的滑块 A 可沿光滑水平面往复滑动,设其运动规律为xA=asint。又在滑块上连接一单摆,摆杆长为l,则质点 M 的约束方程为式(14-4)中显含时间t,所以它是非定常约
4、束。第14章 虚位移原理图14-4第14章 虚位移原理(3)双面约束和单面约束。在两个相对方向上限制质点或质点系的运动的约束称为双面约束。如图14-5所示单摆,小球 M 用长为l的刚杆铰接于球形支座O 上,小球只能在半径为l的球面上运动,其约束方程为将图14-5中刚杆换成柔索,则柔索将不限制小球在圆域内部的运动,这种只在一个方向限制质点或质点系运动的约束称为单面约束。其约束方程为第14章 虚位移原理图14-5第14章 虚位移原理(4)完整约束和非完整约束。如果约束方程中不包含坐标对时间的导数,或者约束方程中的微分项可积分为有限形式,这种约束称为完整约束。例如,对于式(14-3)所示的运动约束方
5、程,其积分式为因此,轮子受到的约束是完整约束。第14章 虚位移原理2.虚位移虚位移由于约束的存在,非自由质点系中各质点的位移受到一定的限制,有些位移是约束所允许的。在某瞬时,质点系在约束所允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移,也可以是角位移。虚位移通常用变分符号表示。例如,在如图14-6所示的被约束在固定曲面上的质点 M,过 M 点的切面内任何微小位移r 都是约束所允许的,都是质点 M 的虚位移。第14章 虚位移原理在定常约束条件下,如图14-6中的曲面为固定曲面,由于约束不随时间而改变,质点的微小实位移只是所有虚位移中的一个,而虚位移视约束情况,可以有多个,
6、甚至无穷多个。在非定常约束情况下,如图14-7所示的曲面是运动的,设t瞬时曲面的位置为,经过dt时间后的位置为,在dt时间内质点M 的实位移为dr。而某瞬时的虚位移是将时间固定后,约束所允许的位移。质点 M 在t瞬时的虚位移为r,r,实位移不能固定时间,所以这时的实位移不一定是虚位移中的一个。第14章 虚位移原理图14-6第14章 虚位移原理图14-7第14章 虚位移原理3.虚功虚功设某质点受力F 作用,假想地给它一虚位移r,则力F 在虚位移r上所做的功称为虚功,即也可用解析式表示,即第14章 虚位移原理由于虚功是在假想的虚位移中所做的功,因而虚功是假想的。例如,图14-8所示曲柄连杆机构,对
7、于图示虚位移,力 F 的虚功为W=-FrB,力偶 M 的虚功为W=M。图示机构处于静止平衡状态,显然任何力都没做实功,但力可以做虚功。由虚功的概念可知,第第12章中所述的理想约束的概念也章中所述的理想约束的概念也可定义为可定义为:在质点系的任何虚位移中在质点系的任何虚位移中,约束反力所做的虚功之约束反力所做的虚功之和为零。和为零。第14章 虚位移原理图14-8第14章 虚位移原理14.2 自由度和广义坐标自由度和广义坐标确定一个质点系在空间的位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数目,简称为自由度。如图14-8所示曲柄连杆机构,机构简化为销A 和滑块B 两个质点组成的质点系。它们受到的约束有
8、:销A 只能以点 为圆心,以r 为半径做圆周运动;滑块B 与销A 间的距离为杆长l;滑块B 始终沿滑道做直线运动。这三个约束方程为第14章 虚位移原理一般地,具有n 个质点的质点系,如果受有s个约束,则其自由度数目为除自由度外,也可适当选用k 个独立参变量来确定质点系的位置。用来确定质点系位置的独立参变量称为质点系的广义坐标。对于图14-8所示的曲柄连杆机构,只需选用曲柄与水平线的夹角 即可唯一地确定系统的位置,角 即为此机构的广义坐标。第14章 虚位移原理【例【例14-1】图14-9所示机构中,杆OA 和AB 铰接,B 端自由,设OA=a,AB=b,求A、B 点的虚位移。图14-9第14章
9、虚位移原理第14章 虚位移原理14.3 虚位移原理虚位移原理非自由质点系平衡问题的虚位移原理虚位移原理可叙述为:具有理想约束的质点系,平衡的必要和充分条件是作用于该质点系的所有主动力在任何虚位移上所做虚功之和为零。即式(14-11)称为虚功方程,也可表达为第14章 虚位移原理下面给出虚位移原理的证明。第14章 虚位移原理图14-1第14章 虚位移原理第14章 虚位移原理虚位移原理提出了求解非自由质点系平衡问题的一般方法,因此式(14-11)、式(14-12)也称为静力学普遍方程。需要指出的是,虽然虚位移原理要求质点系具有理想约束,但对于具有非理想约束的系统,只要把非理想约束反力看作主动力,虚功
10、方程仍可应用。例如,带有摩擦的非自由质点系的平衡问题,将摩擦力看成主动力,即可用虚功方程求解。第14章 虚位移原理【例【例14-2】在图14-11所示的连杆增力机构中,已知OA=AB=l,AOB=。如不考虑各杆的重量及各处摩擦,试求平衡时F1 和F2 之间的关系。图14-11第14章 虚位移原理第14章 虚位移原理【例【例14-3】图14-12所示的双锤摆中,摆锤A、B分别重W1 和W2,摆杆OA 长为a、AB 长为b。设在摆锤B 处加一水平力F 以维持平衡,不计摆杆重量,求平衡时摆杆的位置。解解 该系统具有两个自由度,取 和 为广义坐标,则对应于广义坐标的虚位移分别为和。在图14-12所示的
11、坐标系,有第14章 虚位移原理对坐标求变分,得由虚功方程,有第14章 虚位移原理将虚位移代入并整理,得由于变分、彼此独立,欲使上式成立,必有由此求得第14章 虚位移原理图14-12第14章 虚位移原理【例【例14-4】如图14-13所示,在螺旋压榨机的手柄AB 上作用一水平面内的力偶(F,F),其力偶矩 M=2Fl,螺杆的螺距为h。求机构平衡时加在被压榨物体上的力。解解 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象。构件间 的 摩 擦 略 去 不 计,则 系 统 的 约 束 是 理想的。设手柄转过角度为,则螺杆和压板向下的位移为 s。由 虚 功 方 程 得 作 用 于 手 柄 上 的 力 偶(F,F
12、)、被压物体对压板的阻力 FN 所做虚功之和为第14章 虚位移原理图14-13第14章 虚位移原理第14章 虚位移原理【例【例14-5】机构如图14-14所示,不计构件自重及各处摩擦,求在图示位置平衡时,主动力偶矩 M 与主动力F 之间的关系。图14-14第14章 虚位移原理第14章 虚位移原理【例【例14-6】图14-15所示为静定多跨连续梁,梁重忽略不计。作用在其上的荷载为F1=25kN,F2=30kN,q=5kN/m,M=12kNm。求支座E 的约束反力。图14-15第14章 虚位移原理第14章 虚位移原理可应用虚位移原理求解质点系平衡问题的类型有主动力之间的关系、平衡位置、内力、约束反
13、力等。在此过程中,关键是要找出各虚位移之间的关系,在具体应用中有几何法、变分法以及运动学方法(如刚体平面运动的速度瞬心法、速度投影法、基点法,点的合成运动方法等)。视具体问题采用相应的方法,有的例题可一题多解。第14章 虚位移原理思思 考考 题题14-1 什么叫虚位移?它与实位移有何不同?14-2 在应用虚位移原理给质点系以虚位移时,为什么特别强调虚位移必须是为约束所允许的无限小的位移?14-3 思考题14-3图所示的机构均处于静止平衡状态,试问图中所给各虚位移有无错误?如有错误,应如何改正?第14章 虚位移原理思考题14-3图第14章 虚位移原理14-4 应用虚位原理的条件是什么?其所建立的平衡条件与静力学所建立的平衡条件相比较,有哪些优点?14-5 如思考题14-5图所示的滑轮组,不计各滑轮质量,且绳子不可伸长,试分析系统的自由度数目?14-6 思考题14-6图所示的各机构,试用不同的方法确定虚位移与点A 的虚位移间的关系第14章 虚位移原理思考题14-5图第14章 虚位移原理思考题14-6图第14章 虚位移原理14-7 试分析如思考题14-7图所示平面机构的自由度数。思考题14-7图
