1、第4章 空间力系第4章 空间力系4.1 空间汇交力系空间汇交力系4.2 力对点之矩及力对轴之矩力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系空间力偶系4.4 空间力系向一点简化空间力系向一点简化 主矢与主矩主矢与主矩4.5 空间力系的平衡方程及应用空间力系的平衡方程及应用4.6 物体的重心物体的重心思思 考考 题题第4章 空间力系4.1 空间汇交力系空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影与分解力在直角坐标轴上的投影与分解1)直接投影法(一次投影法)在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z 轴间的方向角为、,则F 在三个坐标轴上的投影为这种投影的方法称为直接投影法,也称为一次投影
2、法。第4章 空间力系图4-1第4章 空间力系2)间接投影法(二次投影法)若将力F 先投影到xy 平面上得Fxy,然后再将Fxy 分别投影到x、y 轴上,则F 在三个坐标轴上的投影分别为这种投影方法称为间接投影法或二次投影法,如图4-2所示。第4章 空间力系图4-2第4章 空间力系3)力沿坐标轴分解第4章 空间力系2.空间汇交力系的合成空间汇交力系的合成1)几何法对于空间汇交力系应用力多边形法则求其合力,合力的作用线过各力的汇交点。合力FR 为第4章 空间力系2)解析法这就是空间汇交力系的合力投影定理。即合力在任一轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。第4章 空间力系合力的大小为 合
3、力的方向为第4章 空间力系3.空间汇交力系的平衡空间汇交力系的平衡由于空间汇交力系的合成结果为一合力,因此空间汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力为零,即由式(4-8),有由此可得空间汇交力系平衡的充要条件是力系中各力在空间汇交力系平衡的充要条件是力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。第4章 空间力系【例【例4-1】图4-3所示的圆柱斜齿轮,其上受啮合力Fn 的作用。已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角)和压力角,试求力Fn 沿x、y 和z 轴的分力。解解 先将力Fn 向z 轴和Oxy 平面投影,得再将力Fxy向x、y 轴投影,得则Fn 沿各轴的分力为第4章
4、空间力系图4-3第4章 空间力系【例【例4-2】简易起重机如图4-4所示,吊起重物Q=20kN。已知:AB=3m,AE=AF=4m,不计杆重,求绳子BF、BE 的拉力及AB 杆的支承力。解解 以C 点为研究对象,受力如图4-4(c)所示,其中N1为AC 杆的作用力,T1 为绳子BC 的拉力。列平衡方程解得第4章 空间力系以B 点为研究对象,受力有绳子BE、BF、BC 的拉力T2、T3、T1 及杆 AB 的支承力N2,如图4-4(b)所示。列平衡方程:解得第4章 空间力系图4-4第4章 空间力系4.2 力对点之矩及力对轴之矩力对点之矩及力对轴之矩1.力对点之矩力对点之矩力对刚体的作用效应有移动和
5、转动两方面。其中力对刚体移动效应用力矢量来度量;而力对刚体的转动效应可用力对点之矩(简称力矩)来表示,即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。第4章 空间力系在图4-5中,力F 的作用点A 可用矢量r 确定,在矢量r 与力F 构成力矩的作用面OAB 内,力矩使刚体产生转动效应,由右手螺旋法则(见图4-6)可确定矢量MO(F),该矢量大小为式中为矢量r与力F 的夹角,h 为点O 到力F的作用线的垂直距离。第4章 空间力系图4-5第4章 空间力系图4-6第4章 空间力系由右手螺旋法则知,力矩在作用面内的转动方向与矢量MO(F)的方向相对应。这样力F对点O 之矩可表示为即力对点之矩等于矢径r与该力矢F
6、 的矢量积,其单位为 Nm。第4章 空间力系2.力对轴之矩力对轴之矩在图4-7中,作用在刚体上A 点的力为F,z 为过点O 的转轴。力F 对z 轴之矩定义为式中,Fxy为力F 在xy 平面上的分量,h 为z 轴到力Fxy 作用线的距离,O 点为z 轴与平面xy 的交点。从z 轴的正方向向下看去,MO(Fxy)逆时针转动取“+”,顺时针转动取“-”。第4章 空间力系图4-7第4章 空间力系第4章 空间力系3.力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩与力对轴之矩的关系第4章 空间力系【例【例4-3】机构如图4-8所示,已知P=2000N,力作用点C 在Oxy 平面内。求:力P对三个坐标轴之矩;力P
7、对O 点之矩。第4章 空间力系图4-8第4章 空间力系第4章 空间力系第4章 空间力系4.3 空间力偶系空间力偶系1.空间力偶矩矢空间力偶矩矢图4-9所示的三个力偶,分别作用在三个同样的物块上,力偶矩都等于200Nm。因为前两个力偶的转向相同,作用面又相互平行,因此这两个力偶对物块的作用效果相同。第三个力偶作用在平面上,虽然力偶矩的大小相同,但其与前两个力偶对物块的作用效果不同。前者使静止物块绕平行于x 轴的轴转动,而后者则使物块绕平行于y 轴的轴转动。第4章 空间力系图4-9第4章 空间力系力偶对刚体的作用除了与力偶矩大小有关外,还与其作用面的方位及力偶的转向有关。所以,空间力偶对刚体的作用
8、效果取决于下列三要素:(1)力偶矩的大小。(2)力偶作用面的方位。(3)力偶的转向。第4章 空间力系空间力偶可用矢量表示,矢量的长度表示力偶矩的大小,矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同,矢量的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方向,则拇指的方向为矢量的指向;或从矢量的末端看去,应看到力偶的转向是逆时针转向。这样,该矢量包括了上述力偶三个要素,称其为力偶矩矢,记作 M,如图4-10所示。由此可知由此可知,空间力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢空间力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢 M 所所决定。决定。第4章 空间力系图4-10第4章 空间力系在图4-11,中组成力偶
9、的两个力F 和F对空间任一点O 之矩的矢量和为式中rA 与rB 分别为由点O 到二力作用点A、B 的矢径。因F=-F,故上式可写为第4章 空间力系图4-11第4章 空间力系显而易见,rBA F 的大小等于Fd,方向与力偶(F,F)的力偶矩矢 M 方向一致。计算表明,力偶对空间任一点的矩矢都等于力偶矩矢,且与矩心位置无关。即第4章 空间力系2.空间力偶系的合成空间力偶系的合成作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分力矩的矢量和,即第4章 空间力系将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,
10、z 上投影,有即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和。第4章 空间力系合力偶矩矢的大小和方向为式(4-18)中,、为M 在xyz 坐标系中的方向角。第4章 空间力系【例【例4-4】在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力F1=F1=400N,F2=F2=200N,力的方向如图4-12示,其中(F1,F1)、(F2,F2)分别构成两个力偶,试求它们的合成结果在x、y、z 轴上的投影。图4-12第4章 空间力系解解 设沿x,y,z 轴的单位矢量分别为i,j,k,则作用于三棱柱上的两个力偶其力偶矩矢为其合力偶矩矢为合力偶矩矢在坐标轴上的投影分别为第4章 空间力系3.
11、空间力偶系的平衡空间力偶系的平衡由于空间力偶系可用一个合力偶来等效,空间力偶系平衡的必要和充分条件是该力偶系的合力偶矩等于零,即由式(4-18)知,要使式(4-19)成立,必须同时满足上式称为空间力偶系的平衡方程,即空间力偶系平衡的必要和充分条件是各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。三个平衡方程可求解三个未知量。第4章 空间力系【例【例4-5】机构如图4-13所示,圆盘 O1、O2 上分别作用有力偶(F1,F1)、(F2,F2)。两圆盘半径均为200mm,F1=3N,F2=5N,AB=800mm,不计构件自重。求轴承A 和B 处的约束反力。图4-13第4章 空间力系解解 取整体为研
12、究对象,作用在其上的力有(F1,F1),(F2,F2),轴承A、B 处的约束反力偶(FAx,FBx)、(FAz,FBz),如图4-13(b)所示。由平衡方程式(4-20)有解得第4章 空间力系4.4 空间力系向一点简化空间力系向一点简化 主矢与主矩主矢与主矩1.空间力系向一点简化及主矢与主矩空间力系向一点简化及主矢与主矩空间力系的简化与平面力系的简化方法相同。在图4-14(a)所示刚体上作用着空间力系F1,F2,Fn,应用力线平移定理,依次将力系中各力向任选的一点O 简化(O 点称为简化中心),同时附加一个相应的力偶,这样就得到等效替换空间力系,即一个空间汇交力系F1,F2,Fn 和一个力偶系
13、(m1,m2,mn),如图4-14(b)所示。第4章 空间力系图4-14第4章 空间力系第4章 空间力系2.空间力系简化结果分析空间力系简化结果分析空间力系向一点简化可能出现下列几种情况:1)力系平衡主矢R=0、主矩 MO=0是空间力系平衡的情形,将在下一节讨论。2)空间力系简化为一合力偶当力系的主矢R=0,而主矩 MO 0时,原力系与一力偶等效。此时空间力系简化为一合力偶,合力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩 MO,这种情况下主矩与简化中心的位置无关。第4章 空间力系3)空间力系简化为一合力(1)当主矢R0,而主矩 MO =0时,原力系与一个力等效。此时空间力系简化为过O点的一合力,合力的大
14、小和方向与原力系的主矢相同。当简化中心位于合力作用线上时就会出现这种情况。(2)当主矢R0,主矩 MO 0,且RMO 时,一个力和一个力偶共面,此种情况可进一步合成为一个力,如图4-15所示。合力R 的作用线过O点,大小和方向与主矢相同,其作用线到O 点的距离d=|MO|/R。第4章 空间力系图4-15第4章 空间力系第4章 空间力系4)空间力系简化为力螺旋当力系向一点简化时,R0,MO 0,且R与MO 不垂直而成任一角,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R平行、垂直的两个分量 MO/、MO,如图4-16(a)所示。其中,MO/=MOcos、MO=MOsin。MO 与R进一步合成为作用在
15、A 点的一个力R,OA=MOsin/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO/平移到A 点与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一个力偶MO/。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所组成的力系称为力螺旋。第4章 空间力系图4-16第4章 空间力系4.5 空间力系的平衡方程及应用空间力系的平衡方程及应用1.空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程空间力系向任一点简化可得到一个作用于简化中心的力R(主矢)和一个力偶 MO(主矩)。其中主矢是空间汇交力系的合力,使刚体产生移动效应;主矩为空间力偶系的合成结果,使刚体产生转动效应。当主矢、主矩都等于零时,原力系是平衡的,即刚体处于平衡状
16、态。反之若刚体处于平衡状态,即作用于刚体上的力系是平衡的,则主矢、主矩都等于零。第4章 空间力系因此,空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零对任一点的主矩都等于零,即即由式(4-8)、(4-18)可知,为满足式(4-23)必有上式称为空间力系的平衡方程。第4章 空间力系由此可得,空间力系平衡的解析条件:力系中所有各力在同一坐标轴上投影的代数和为零力系中所有各力在同一坐标轴上投影的代数和为零,且且各力对同一轴之矩的代数和也为零。各力对同一轴之矩的代数和也为零。对于空间平行力系,设z 轴与力系中各力的作用线平行,由于各力在x、y
17、上的投影等于零,且对z 轴的力矩等于零恒成立,故由式(4-24)有平行力系的平衡方程由式(4-25)可求出3个未知量。第4章 空间力系2.空间约束空间约束一般情况下,当刚体受空间任意力系作用且处于平衡状态时,在每个约束处,未知的约束力可能有1个到6个。确定每种约束的约束力个数的基本方法是观察被约束物体在空间可能的6种独立的位移中(沿x,y,z 轴的移动和绕此三轴的转动),有哪几种位移被约束所阻碍。阻碍移动的是约束力,阻碍转动的是约束力偶。现将几种常见的约束及其相应的约束力综合列表,如表4-1所示。第4章 空间力系第4章 空间力系第4章 空间力系【例【例4-6】简易起重机如图4-17所示,自重G
18、=100kN,轮 A、B、C 与地面为光滑接触且构成一等边三角形,重力过等边三角形的形心E 点。起重臂FHD 可绕铅直轴HD 转动。已知a=5m,l=3.5m,=30时,起重量P=20kN。求地面作用于三个车轮的反力。第4章 空间力系解解 以起重机为研究对象,其受力有重力、地面反力。重力、地面反力形成空间平行力系如图4-17所示。选图示坐标系Oxyz,列出三个平衡方程第4章 空间力系图4-17第4章 空间力系【例【例4-7】如图4-18所示的铰车结构,其皮带拉力T1 为T2 的两倍,皮带轮半径为r1、鼓轮半径为r2,提升重物的重量为P。不计铰车自重,求匀速提升重物时,皮带的拉力以及轴承A、B
19、处的反力。图4-18第4章 空间力系解解 以铰车结构为研究对象,受力如图4-18所示。对于图示坐标系,可列出结构动平衡时的平衡方程解上面方程组,得第4章 空间力系【例【例4-8】如图4-19所示,均质长方形薄板重P=200N,用球铰链A 和蝶铰链B 固定在墙上,并用绳子CE 维持在水平位置。求绳子的拉力和支座约束力。图4-19第4章 空间力系解解 取薄板ABCD 为研究对象。板所受的主动力有作用于板的重心点G 的重力P;绳索CE 的拉力T;球铰链A 处的约束反力FAx,FAy,FAz;蝶铰链B 处的约束反力FBx,FBz。矩形板的受力图如图4-19(b)所示。第4章 空间力系设CD=a,BC=
20、b,列平衡方程解得第4章 空间力系4.6 物体的重心物体的重心1.平行力系中心平行力系中心平行力系中心就是平行力系合力通过的点。平行力系中心就是平行力系合力通过的点。在图4-20中,作用在刚体 A、B 两点处的两平行力F1 和F2 可以简化为一合力FR,即合力作用点C 把线段AB 分成为与两分力大小成反比的两段,即第4章 空间力系图4-20第4章 空间力系对于n 个力组成的空间平行力系,合力FR=Fi,由合力矩定理有由此推得第4章 空间力系2.物体的重心物体的重心在重力场中,组成物体的质点所受重力可近似看作平行力系,此时平行力系的中心即为物体的重心。假设组成物体的质点所受重力为Pi,位置为ri
21、,则由式(4-26)可求得物体的重心位置第4章 空间力系在直角坐标系下式(4-27)的投影式为第4章 空间力系第4章 空间力系 在工程实际中往往需要计算平面图形的形心。在图形所在的平面内建立坐标系Oxy,则平面图形形心的坐标为式中,Ai 是图形微小部分的面积,A=Ai 是图形的总面积。第4章 空间力系对于不能由简单图形组合而成的几何体的形心可采用积分法来求。将微单元上的力看作集中力,微单元的位置即为集中力的位置,则该几何体的形心为投影式为而式(4-31)变为第4章 空间力系凡具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体,其重心(形心)一定在它的对称面、对称轴或对称中心上。表4-2列出了几种
22、常用的简单图形的重心。第4章 空间力系第4章 空间力系3.求形心的几种方法求形心的几种方法1)积分法【例4-9】试求图4-21所示半径为R、圆心角为2 的扇形面积的重心。图4-21第4章 空间力系解解 建立图4-21所示坐标系。由于对称性,重心必在y 轴上,即xC=0,下面求形心坐标yC。第4章 空间力系2)组合法将一物体分割成若干个简单形状的物体,而这些简单形状物体的重心是已知的,利用式(4-28)求物体重心位置的方法称为组合法或分割法。若物体被挖去一部分,则将挖去部分的重量(体积、面积)取为负值,仍可用式(4-28)求物体的重心,这种方法称为负体积或负面积法。第4章 空间力系【例【例4-1
23、0】组合体图形如图4-22所示,其中S1和S2分别是长方形和半圆形均质薄板,试求该组合体图形的形心。图4-22第4章 空间力系第4章 空间力系【例【例4-11】求图4-23所示振动沉桩器中的偏心块的重心。已知:R=100mm,r=17mm,b=13mm。图4-23第4章 空间力系解解 将偏心块看成是由三部分组成,包括半径为R 的半圆S1,半径为r+b 的半圆S2 和半径为r 的小圆S3。建立图示坐标系,由于对称性,有xC=0。在此要注意到S3 应取负值。第4章 空间力系3)实验方法(1)悬挂法。如果需求出图4-24所示的薄板的重心,可先将板悬挂于任一点,根据二力平衡条件,重心必在过悬挂点的铅直
24、线上,于是可在板上画出此线。然后再将板悬挂于另一点,同样可画出另一直线,两直线交点C 就是重心。第4章 空间力系图4-24第4章 空间力系(2)称重法。对于形状复杂体积较大的物体常用称重法确定其重心的位置。图4-25所示的具有对称轴的连杆,只需要确定重心在此轴上的位置h 处。杆重W,杆长为l,将杆的B端放在台称上,A 端搁在水平面或刀口上,使中心线 AB 处于水平位置,测得B 端反力NB的大小,然后由平衡方程即可求得第4章 空间力系图4-25第4章 空间力系思思 考考 题题4-1 一个力和一个力偶能否合成一个力?如果能,是什么情况?4-2 一个空间力系向不同的点简化,简化的两种结果之间有什么关系?4-3 若空间力系中各力的作用线都平行于同一固定平面,则该力系的独立的平衡方程有几个?第4章 空间力系4-4-对于思考题4-4图示的正方体,若在其顶角A、B 处分别作用力F1、F2。求两力在x,y,z 轴上的投影和对x,y,z 轴的矩。若将力F1 和F2 向点O 简化,分析其简化的结果。思考题4-4图第4章 空间力系4-5 试证明力偶对某轴之矩等于力偶矩矢在此轴上的投影。4-6 若某一空间力系对不共线的三个点的主矩都等于零,此力系是否一定平衡?
