1、地点地点理学院理学院A座座309下午晚上下午晚上期末答疑安排期末答疑安排6月月1717日日6月月1919日日全天全天1/78概率统计基础概率统计基础 复习复习2/78各各 章章 比比 重重第第一一章章(20)第第二二章章(15)第第三三章章(30)第第四四章章(10)第第五五章章(5)第第六六章章(5)第第七七章章(15)概率概率(80)统计统计(20)3/78 题题 型型 题题 量量选择题选择题(5)填空题填空题(5)计算题计算题(56)证实题证实题(01)4/78各各 章章 要要 点点第第一一章章1.概率性质概率性质古典概率古典概率2.条件概率条件概率乘法公式乘法公式全全、贝公式贝公式3.
2、事件独立性事件独立性第第二二章章1.分布律分布函数定义性质分布律分布函数定义性质2.七个惯用分布七个惯用分布3.随机变量函数分布随机变量函数分布5/78例例1(1)在古典概型随机试验中,()(2)若事件 A,B,C,D 相互独立,则与也相互独立.()事件q 若事件 A1,A2,An 相互独立,将它 们任意分成 k 组,同一事件不能同时 属于两个不一样组,则对每组事件进 行求和、积、差、逆 等运算所得到 k 个事件也相互独立.6/78(3)若事件 A 与 B独立,B 与 C独立,则事件 A与 C 也相互独立.()q 事件相互独立不含有传递性.7/78例例2对任意事件对任意事件A,B以下结论正确是
3、以下结论正确是()(a)(b)(c)(d)解解选选b.d,c 显然错显然错,可证可证 b 是正确是正确.b8/78例例3 3 小王忘了朋友家电话号码最终一位小王忘了朋友家电话号码最终一位数数,故只能随意拨最终一个号故只能随意拨最终一个号,则他拨三次则他拨三次由乘法公式设事件表示“三次拨号最少一次拨通”表示“第i次拨通”则解解可拨通朋友家概率为可拨通朋友家概率为0.39/78例例4 4 小王忘了朋友家电话号码最终一位小王忘了朋友家电话号码最终一位数数,他只能随意拨最终一个号他只能随意拨最终一个号,他连拨三次，他连拨三次，由乘法公式设表示“第 i 次拨通”解一求第三次才拨通概率求第三次才拨通概率.
4、解二从题目叙述看要求是无条件概率从题目叙述看要求是无条件概率.10/78产生误解原因是未能仔细读题，产生误解原因是未能仔细读题，未能分清条件概率与无条件概率区分未能分清条件概率与无条件概率区分.本题若改叙为：本题若改叙为：他连拨三次，已他连拨三次，已知前两次都未拨通知前两次都未拨通,求第三次拨通概率求第三次拨通概率.此时，求才是条件概率此时，求才是条件概率.11/78例例5 510件产品中有3件次品,从中任取2件.在所取2件中有一件是次品条件下,求另一件也是次品概率.解解1 1设事件表示“所取2件中有一件次品”事件表示“另一件也是次品”.则解解2 2“所取2件中最少有一件次品”“2件都是次品”
5、12/78某厂卡车运输防某厂卡车运输防“非典非典”用具下乡，用具下乡，顶层装顶层装10个纸箱，其中个纸箱，其中5箱民用口罩、箱民用口罩、2箱医用口罩、箱医用口罩、3箱消毒棉花箱消毒棉花.到目标地时到目标地时发觉丢失发觉丢失1箱，不知丢失哪一箱箱，不知丢失哪一箱.现从剩现从剩下下9箱中任意打开箱中任意打开2箱，结果都是民用口箱，结果都是民用口罩，求丢失一箱也是民用口罩概率罩，求丢失一箱也是民用口罩概率.例例6 6表示事件表示事件“丢失一箱为丢失一箱为 k”表示事件表示事件“任取任取2箱都是民用口罩箱都是民用口罩”解解分别表示民用口罩，医用分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花口罩，消毒棉花.13/
6、78由全概率公式由全概率公式由贝叶斯公式由贝叶斯公式14/78解二解二（缩减样本空间法）（缩减样本空间法）去掉去掉打开打开2箱民用口罩，箱民用口罩，解二比解一简单十倍！解二比解一简单十倍！基本事件总数基本事件总数有利基本事件数有利基本事件数15/78例例7 7(1)是是密度函数密度函数则则.()(2)若若,则则()实际上由实际上由2.4得得 非均匀分布函数非均匀分布函数(3)若若,则则()16/78内任一子区间上取值条件概率内任一子区间上取值条件概率例例8 8设随机变量设随机变量绝对值小于绝对值小于1；在事件在事件出现条件下，出现条件下，与该子区间长度成正比与该子区间长度成正比.(1)(1)分
7、布函数分布函数 (2)(2)取负值概率取负值概率 解解(1)(1)(2)(2)在在试求试求17/78三性质都不满足三性质都不满足单调减单调减右不连续右不连续未定义未定义18/78分布函数分布函数 三性质三性质单调不减单调不减 右连续右连续19/78解解当当当当推导较复杂先做准备工作推导较复杂先做准备工作.由题设知由题设知设设于是于是当当(1)(1)上式中令上式中令得得还可另还可另法求法求k20/78又又于是当于是当时，时，21/78(2)(2)22/78由题设由题设得得附附k 另一求法另一求法23/78落入区间落入区间(1,3)概率最大概率最大.例例9 9 设设当当时时,令令解解24/78第第
8、三三章章2.边缘分布边缘分布条件分布条件分布3.随机变量独立性随机变量独立性第第四四章章1.期望期望方差定义方差定义性质性质2.相关系数相关系数相关性相关性3.期望应用期望应用1.联合分布律联合分布律分布函数定义性质分布函数定义性质4.随机变量函数分布随机变量函数分布25/78例例1010设独立同分布,且已知求行列式概率分布.解解令则独立同分布,可能取值为则26/78练练4设设i.i.d.几何分布求概率分布.答案答案27/78具具体体推推导导28/78 设A,B 为随机试验 E 两个事件，0P(A)1,0P(B)1,例例 证实:若 XY=0,则随机变量X,Y 相互独立.证证由 XY=0而令29
9、/78错误原因错误原因而这并不表明X,Y 相互独立.？事件A,B 相互独立X,Y 相互独立.30/78X Y pij 1 0 10p1 p2p3 p4 pip1+p3 p2+p4p jp1+p2p3+p4即本题要证实离散随机变量X,Y 相互独立,必需证实以下四个等式都成立：正确证实正确证实由题设得(X,Y)联合分布：31/78由32/78同理可证:故X,Y 相互独立.因为事件A,B 相互独立,必有也相互独立，即33/78二维随机变量函数分布 p.d.f.或34/78练习练习设随机变量设随机变量 (均匀分布均匀分布)，(指数分布指数分布),),且它们相互独立，且它们相互独立，试求试求 密度函数密
10、度函数 答案答案35/78判断独立性简便方法判断独立性简便方法已知联合分布已知联合分布判断判断是否独立需要做是否独立需要做次次加法和乘法加法和乘法.共需运算共需运算1313次次.例例1111 求求值值独立独立.使使解解（一眼看出）（一眼看出）1 2 3 1 2 1/3 a b 1/6 1/9 1/18 36/78命命题题相互独立联合分布矩阵秩为1求表内各练习练习字母值,使独立.1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 d a 0.14 e b c 0.10 37/78解解由题意应有：从而有右表由归一性得(3)(1)1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 d 0.21 0.14 7d 0.
11、15k 0.1k 0.10 由(1)得(2)联立(2)(3)得或设38/78 1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 0.05 0.21 0.14 0.35 0.06 0.04 0.10 1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 0.0125 0.21 0.14 0.0875 0.24 0.16 0.10 或或0.48 0.32 0.20 0.0625 0.43750.5经检验经检验正确！正确！39/78例12 设随机变量 X、Y 相互独立,且都服.求从解解当 时，由独立性当 时，所以()因为因为X、Y 随机性随机性,故不能确保恒有故不能确保恒有或或40/78解解因为相互独立正态变量线性
12、组合仍是正态变量，故本题设本题设 是关键是关键.若不然若不然虽能算出但极难算41/78例例1313卡车装运水泥卡车装运水泥,设每袋重量设每袋重量(gk)X 服从服从问装多少袋水泥问装多少袋水泥,使总重量使总重量超出概率小于超出概率小于0.05.解一解一设装设装m 袋水泥袋水泥,总重量为总重量为mX,据题设有据题设有所以至多装所以至多装43袋水泥袋水泥.?要学会对答案粗略检验要学会对答案粗略检验42/78解二解二设装设装m 袋水泥袋水泥,总重量为总重量为mX,据题设有据题设有所以至多装所以至多装37袋水泥袋水泥.?要彻底随机！要彻底随机！43/78解解设装设装m 袋水泥袋水泥,表示第表示第袋水泥
13、重量袋水泥重量.于是总重量为于是总重量为所以至多装所以至多装39袋水泥袋水泥.44/78第第五五章章1.切贝雪夫不等式切贝雪夫不等式2.中心极限定理应用中心极限定理应用第第六六章章1.统计量统计量总体总体样本及其空间样本及其空间2.惯用惯用“三抽样分布三抽样分布”定义定义性质性质各分布分位点定义各分布分位点定义及及相互相互关系关系45/78例例1414某大卖场某种商品价格波动为随机某大卖场某种商品价格波动为随机变量变量.设第设第i天天(较前一天较前一天)价格改变为价格改变为独立同分布独立同分布,为为(元元/斤斤)为现在为现在价格价格.用切贝雪夫不等式预计用切贝雪夫不等式预计再用中心极限定理预计
14、再用中心极限定理预计第第n天价格，天价格，46/78解解47/78(应用题应用题)备一笔现金备一笔现金,已知这批债券共发放了已知这批债券共发放了500张张每张须付本息每张须付本息1000元元,设持券人设持券人(一人一券一人一券)银行为支付某日即将到期债券须准银行为支付某日即将到期债券须准到期日到银行领取本息概率为到期日到银行领取本息概率为0.4,问银问银行于该日应准备多少现金才能以行于该日应准备多少现金才能以99.9%把握满足客户兑换把握满足客户兑换.48/78解解设设1第第i 个持券人到期日来兑换个持券人到期日来兑换0 第第i 个持券人到期日未兑换个持券人到期日未兑换则到期日来银行兑换总人数
15、为则到期日来银行兑换总人数为设银行需准备设银行需准备1000 m 元元,兑换总额为兑换总额为,由由中心极限定理中心极限定理所以银行需准备所以银行需准备23.4万元万元.49/78例例1515 一本书有一本书有1000000个印刷符号个印刷符号,排版排版时每个符号被排错概率为千分之一时每个符号被排错概率为千分之一.校校对时对时,每个排版错误被更正概率为每个排版错误被更正概率为0.99，求在校对后错误不多于求在校对后错误不多于15个概率个概率.解解设设1第第i 个印刷符号被排错个印刷符号被排错0第第i个印刷符号未排错个印刷符号未排错则总被排错印刷符号个数则总被排错印刷符号个数且且50/78设校对后
16、错误个数为设校对后错误个数为,则近似有则近似有由由中心极限定理中心极限定理于是于是则则51/78解解令令1第第i 个符号被排错校对后仍错个符号被排错校对后仍错0其其他他因为排版与校对是两个独立工作因为排版与校对是两个独立工作,因而因而设校对后错误个数为设校对后错误个数为,则则52/78由由中心极限定理中心极限定理53/78例例1616 一保险企业有一保险企业有10000人投保，每人每年人投保，每人每年付付12元保险费，已知一年内投保人死亡率元保险费，已知一年内投保人死亡率为为0.006.若死亡企业给死者家眷若死亡企业给死者家眷1000元元.求求(1)保险企业年利润为保险企业年利润为0概率；概率
17、；(2)保险企业年利润大于保险企业年利润大于60000元元概率；概率；解解设设 为投保为投保10000人中一年内死亡人中一年内死亡人数人数.则则54/78利用泊松定理，取(1)设保险企业年利润为,则55/78(2)由中心极限定理56/78例例1717从正态总体从正态总体N(,2)中取容量为中取容量为1616 样本样本,S2为样本方差为样本方差,则则D(S2)=()解解57/78例例1818设设是来自正态总体是来自正态总体X简单随机样本简单随机样本.证实证实证证从而从而58/78正态分布与由正态分布正态分布与由正态分布 导出分布间关系导出分布间关系间关系间关系推导推导（相仿相仿推导推导）59/7
18、8上上分位点关系分位点关系比如60/78证实证实设设X t(n),则则其中其中Z N(0,1)于是于是由由 t分布与分布与 F 分布分位点定义分布分位点定义61/78由由 t分布对称性分布对称性从而有从而有62/78第第七七章章点预计两种方法（矩预计与点预计两种方法（矩预计与极大似然预计）及评价标准极大似然预计）及评价标准63/78例例1919设总体设总体X 分布密度函数为分布密度函数为求求 矩预计量矩预计量 ,并计算并计算解解预计量是样本函数令令64/78例例20 20 设总体设总体 X X 密度函数为密度函数为解解极大似然预计量极大似然预计量.为为 X X 一个样本一个样本,求参数求参数6
19、5/78任一样本函数任一样本函数似然方程组为似然方程组为本题本题 预计并不能经过似然方程求得预计并不能经过似然方程求得66/78解解由题设，若由题设，若 必须必须即即越大，越大，越大，故越大，故极大极大似然似然预计可经过似然方程求得预计可经过似然方程求得.67/78是取自对数正态分布是取自对数正态分布例例2121设设总体总体一个样本，即一个样本，即求求 极大似然预计极大似然预计.解解密度函数密度函数密度函数密度函数68/78由极大似然预计不变性得：由极大似然预计不变性得：其中其中69/78普通正态普通正态 参数极大似然预计是：参数极大似然预计是：则对数正态参数极大似然预计是：则对数正态参数极大似然预计是：70/78例例2222设总体设总体X 服从,其密度函密度函数为数为.对于容量为对于容量为n 样本样本,求使得求使得点点极大似然预计极大似然预计解解71/78极大似然预计不变性极大似然预计不变性72/78设为总体X N(,2)一个样本，求常数k,使为 无偏预计量.解解例例2323令则73/7874/78故75/78解解注意到是X1,X2,Xn 线性函数,76/78 77/78故78/78
