1、18.3几何应用几何应用一一平面曲线切线与法线平面曲线切线与法线二二.空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面三 曲面切平面与法线四四小结小结第1页问题提出问题提出我们能够利用偏导数来确定空间曲线切向量和空间曲面法向量第2页切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为某邻域内满足隐函数定理条件，则一一.平面曲线切线与法线平面曲线切线与法线第3页求曲线上过点求曲线上过点切线方程，这里切线方程，这里设曲线用参数方程表示为设曲线用参数方程表示为二二.空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面第4页因为切线是割线极限位置，从而考虑经过点因为切线是割线极限位置，从而考虑经过点和点和点割线方程割线方程在上式各端
2、分母都除以在上式各端分母都除以第5页因为切线是割线极限位置，在上式中令因为切线是割线极限位置，在上式中令取极限，就取极限，就得到曲线在点得到曲线在点切线方程：切线方程：由此可见，曲线在点由此可见，曲线在点切线一组方向数是切线一组方向数是第6页曲线在点曲线在点法平面就是过法平面就是过点且与该点切线垂直平面，点且与该点切线垂直平面，于是切线方向数就是法平面法方向数，从而过于是切线方向数就是法平面法方向数，从而过点法平面方程是点法平面方程是假如曲线方程表示为假如曲线方程表示为能够把它写成以下以能够把它写成以下以为参数参数方程为参数参数方程于是可得曲线在点于是可得曲线在点切线方程和法平面方程以下：切线
3、方程和法平面方程以下：第7页普通地，假如曲线表示为两个曲面普通地，假如曲线表示为两个曲面交线：交线：设设，设上述方程组在点，设上述方程组在点确定了一对函数确定了一对函数由这两个方程可解出由这两个方程可解出这时轻易把它化成刚才讨论过情形：这时轻易把它化成刚才讨论过情形：第8页从而可得曲线在点 切线方程：和法平面方程第9页解：解：在（在（1，1，1）点对应参数为）点对应参数为t=1切线方程：切线方程：法平面方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：即：x+2y+3z=8例例1求曲线求曲线在点在点处切处切线及法平面方程。线及法平面方程。第10页例例2、求曲线、求曲线在点在点（1
4、，-2，1）处切线及法平面方程。）处切线及法平面方程。法平面方程：法平面方程：x-z=0切线方程：切线方程：第11页例 求曲线在点 切线与法平面方程解解在曲线方程中分别对 求导，得对应于点 参数 ，于是从而切线方程为法平面方程为第12页例 求两柱面交线在点：处切线方程。第13页解解在方程组中分别对 求导数，得于是从而在点 有：第14页所以切线方程为：即此直线可看作是 平面与平面 交线。第15页三 曲面切平面与法线 设曲面方程为过曲面上点 任作一条在曲面上曲线 ，设其方程为显然有在上式两端对 求导，得第16页曲线在M处切向量第17页上式说明向量 与切线向量 正交。从而曲面在 点切平面方程为因为
5、任意性，可见曲面上过 任一条曲线 在该点切线都与 正交，所以这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点切平面，而 就是切平面法向量。在 点（设 点对应于参数 ）有第18页过 点与切平面垂直直线，称为曲面在 点法线，其方程为该法线一组方向数为：第19页总而言之若曲面方程为则该曲面在 点切平面方程为过 点法线方程为第20页设 分别为曲面在 点法线与 轴正向之间夹角，那末在 点法线方向余弦为第21页 若曲面方程为轻易把它化成刚才讨论过情形：于是曲面在 （这里 ）点切平面方程为法线方程为第22页 若曲面方程为参数形式：假如由方程组 能够确定两个函数：于是能够将 看成 函数，从而能够将问题化为刚才已
6、经讨论过情形。代入方程 ，得所以需分别计算 对 偏导数。第23页将 分别对 求导，注意到 为 函数按隐函数求导法则有解方程组，得第24页法线方程于是曲面在 点切平面方程为第25页例 1 求球面 在点 切平面及法线方程解解设则所以在点 处 球面切平面方程为法线方程第26页曲面夹角曲面夹角两个曲面在交线上某点处两个法线夹角称为这两个曲面在该点夹角。假如两个曲面在该点夹角等于 90 度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例 2 证实对任意常数 ，球面 与锥面 是正交。第27页即证实证实球面 法线方向数为锥面 法线方向数为在两曲面交线上任一点 处，两法向量内积因 在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥面正交。第28页解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为第29页解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程第30页解解设设为曲面上切点为曲面上切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得第31页因为因为是曲面上切点，是曲面上切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程第32页2空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面3曲面切平面与法线曲面切平面与法线四四 小结小结1平面曲线切线与法线平面曲线切线与法线第33页
