1、选修选修4-1几何证实选讲几何证实选讲第一讲第一讲 相同三角形判定和相关性质相同三角形判定和相关性质1/47若直线若直线l1l2l3 ，ACA1C1 ，AB=BC.那么那么A1B1 与与 B1C1 是否相等呢？是否相等呢？ABCA1 1B1 1C1 1l2l1l3观察与思考ABCA1 1B1 1C1 1l1l3l22/47 假如一组平行线在一条直线上截假如一组平行线在一条直线上截得线段相等，那么在其它直线上截得得线段相等，那么在其它直线上截得线段也相等线段也相等.一、平行线等分线段定理ABCA1 1B1 1C1 1l2l1l3图图1图图2ABCA1 1B1 1C1 1l1l3l23/47？AE
2、BCF推论推论1 1 经过三角形一边中点与另一边经过三角形一边中点与另一边平行直线，必平分第三边。平行直线，必平分第三边。符号语言：符号语言：ABCABC中，中，EFBCEFBC，AE=EBAE=EB AF=FC AF=FC4/47推论推论2 2 经过梯形一腰中点，且与底边经过梯形一腰中点，且与底边平行直线平分另一腰。平行直线平分另一腰。？ABCDEF符号语言：符号语言：在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADEFBCADEFBC，AE=EBAE=EBDF=FCDF=FC5/47ADBCE例例1:D、E 分别是分别是ABC中中AB边和边和AC边中点边中点.求证求证:DE/BC且且FE作作DE/
3、BCE 与与E重重合合作作DF/ACBF=FC=DE6/47二、平行线分线段成比例定理7/47除此之外，还有其它对应线段成百分比吗除此之外，还有其它对应线段成百分比吗？ABCDEFl1l2l3ll 8/47?反反反反 比比比比合合合合 比比比比合合合合 比比比比反反反反 比比比比合比合比合比合比9/47平行线等分线段成百分比定理平行线等分线段成百分比定理三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得所得对应线段成百分比对应线段成百分比.10/47l2l3l1l3ll 推论：推论：平行平行于三角形一边直线于三角形一边直线截其它两边截其它两边(或两或两边延长线边延长线)所得所得对应线段对应线段成百
4、分比成百分比.ABCDEl2ABCDEl1ll 11/47平行线分线段成百分比定理平行线分线段成百分比定理与与平行平行线等分线段定理线等分线段定理有何联络？有何联络？ABCDEFABCDEF结论：后者是前者一个特殊情况！结论：后者是前者一个特殊情况！12/47例例2：如图如图,ABC中中,DE/BC,DF/AC,AE=4,EC=2,BC=8.求求BF和和CF长长.FACB分析分析:利用平行线分线段成百分比定理推论利用平行线分线段成百分比定理推论分别列出百分比式求解分别列出百分比式求解.解DE/BCDF/ACDE13/47例例3：如图：如图,ABC中中,DE/BC,EF/CD.求证求证:AD是是
5、AB和和AF百分比中项百分比中项.FEBACD分析分析:分别在分别在ABC及及ADC中利中利用平行线分线段成百分比定理推论用平行线分线段成百分比定理推论证实AD2=ABAF,即AD是AB和AF百分比中项14/47例例4 4：用平行于三角形一边且和其它两：用平行于三角形一边且和其它两边相交直线截三角形边相交直线截三角形,所截得三角形三所截得三角形三边与原三角形三边对应成百分比边与原三角形三边对应成百分比.FEBACD已知:如图,DE/BC,DE分别交AB、AC于点D、EDE/BCEF/ABDE=BF15/47 如图如图,直线直线l1,l2被三个平行平面被三个平行平面,所截所截,直线直线l1与它们
6、交点分别为与它们交点分别为A,B,C,直线直线l2分别为分别为D,E,F探究：探究：16/47三三 相同三角形判定及性质相同三角形判定及性质1.相同三角形定义相同三角形定义对应角相等，对应边成百分比两个三角对应角相等，对应边成百分比两个三角形叫做相同三角形形叫做相同三角形.相同三角形对应边相同三角形对应边比值叫做相同比比值叫做相同比(或相同系数或相同系数).BACA C B 17/47判定两个三角形相同简单方法判定两个三角形相同简单方法(1)(1)两角对应相等两角对应相等,两三角形相同两三角形相同;(2)(2)两边对应成百分比且夹角相等两边对应成百分比且夹角相等,两三角形相同两三角形相同;(3
7、)(3)三边对应成百分比三边对应成百分比,两三角形相同两三角形相同.BACACB怎样证实？18/47EBACDA=AADEABCDE/BCADE=BAED=C在在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC边边上点，且上点，且DEBC，则在，则在ABC中有：中有：19/47EAD=CABADE=ABCAED=ACBEF/DBED/BCFBDE为ED=FBAECBDF作作 E F/D B交交CB延延长长线线于于 FADEABC20/47预备定理平行于三角形一边直线和其它两边平行于三角形一边直线和其它两边(或两或两边延长线边延长线)相交相交,所组成三角形与原三角所组成三角形与原三角形相同形相同.AE
8、CBDEBACD21/47判定定理1 对于任意两个三角形,假如一个三角形两个角与另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相同.简述简述:两角对应相等两角对应相等,两三角形相同两三角形相同22/47CBA已知已知,如图如图,在在ABC和和A B C 中中,A=A,B=B,求证求证:ABCA B C ABCDE23/47证实:在在ABC边边AB(或或AB延长线延长线)上上,截取截取AD=AB,过点过点D作作DE/BC,交交AC于点于点E.由预由预备定理得备定理得:ADEABCADE=B,B=B ADE=B A=A,AD=A B ADEA B C A B C ABCABCCBADE24/47判定
9、定理判定定理2 对于任意两个三角形对于任意两个三角形,假如一个三假如一个三角形两边和另一个三角形两边对应成角形两边和另一个三角形两边对应成百分比百分比,而且夹角相等而且夹角相等,那么这两个三那么这两个三角形相同角形相同.简述简述:两边对应成百分比且夹角相等两边对应成百分比且夹角相等,两三角形相同两三角形相同25/47ABCCBADE已知:如图,在ABC和ABC中,A=A,求证:ABCABCADEABC?DE/BCABCADE26/47CBADE已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE/BCE证实:作 DE/BC,交AC于EAE=AE所以所以E与点与点E 重合即重合即DE 与
10、与DE重合重合,所以所以 DE/BC采取了“同一法”间接证实引理引理 假如一条直线截三角形两边假如一条直线截三角形两边(或两边延或两边延长线长线)所得对应线段成百分比所得对应线段成百分比,那么这条直线平行那么这条直线平行于三角形第三边于三角形第三边.27/47当一个命题条件和结论所指概念当一个命题条件和结论所指概念唯一唯一存在时，存在时，若直接证实有困难，就不妨改为去证它若直接证实有困难，就不妨改为去证它逆否命逆否命题题，然后依据，然后依据唯一性唯一性原理断言命题为真，这种原理断言命题为真，这种解题方法叫做解题方法叫做同一法同一法 用同一法解题普通有三个步骤：用同一法解题普通有三个步骤：先作出
11、一个符合结论图形，然后推证出所作先作出一个符合结论图形，然后推证出所作图形符合已知条件；图形符合已知条件；依据唯一性，证实所作出图形与已知图形是依据唯一性，证实所作出图形与已知图形是全等或重合；全等或重合；从而说明已知图形符合结论从而说明已知图形符合结论 28/47例例 如图如图,在在ABC内任取一点内任取一点D,连接连接AD和和BD.点点E在在ABC外外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证求证:DBEABC.BACDE分析分析:好轻易得出好轻易得出ABC=DBE只需要再证实只需要再证实 即证即证只要证实只要证实ABDCBE29/47判定定理判定定理3对于任意两个三角形对于任意两个三角形,假
12、如一个三角形假如一个三角形三条边和另一个三角形三条边对应成三条边和另一个三角形三条边对应成百分比百分比,那么这两个三角形相同那么这两个三角形相同.简述简述:三边对应成百分比三边对应成百分比,两三角形相同两三角形相同30/47ABCCBA已知已知:如图如图,在在ABC和和A B C 中中求证求证:ABCABC证实证实:在在ABC边边AB(或延长线或延长线)上截取上截取AD=A B,过点过点D作作DE/BC,交交AC于点于点E.DEADEABC AD=ABADEABCABCABC31/47例例 如图如图,已知已知D、E、F分别是分别是ABC三边、三边、BC、CA、AB中点中点.求证：求证：DEFA
13、BCFDEBAC证实证实:线段线段EF、FD、DE都都是是ABC中位线中位线DEFABC32/47直角三角形相同判定定理直角三角形相同判定定理假如一个直角三角形斜边和一条直角边与假如一个直角三角形斜边和一条直角边与另一个三角形斜边和一条直角边对应成百另一个三角形斜边和一条直角边对应成百分比分比,那么这两个直角三角形相同那么这两个直角三角形相同.(1)(1)假如两个直角三角形有一个锐角对应假如两个直角三角形有一个锐角对应相等相等,那么它们相同那么它们相同;(2)(2)假如两个直角三角形两条直角边对应假如两个直角三角形两条直角边对应成百分比成百分比,那么它们相同那么它们相同.33/47(1)相同三
14、角形对应高比、对应中线相同三角形对应高比、对应中线 比和对应角平分线比都等于相同比；比和对应角平分线比都等于相同比；(2)相同三角形周长比等于相同比；相同三角形周长比等于相同比；(3)相同三角形面积比等于相同比平方；相同三角形面积比等于相同比平方；2.相同三角形性质相同三角形性质34/47 已知已知:梯形梯形ABCD中中ADBC,AD=36cm,BC=60cm,延长两腰延长两腰BA,CD交于点交于点 O,OFBC,交交AD于于E,EF=32cm,则则OF=_.ABCDEFOF80cm35/47问题问题1、两个相同三角形外接圆直径比、周长、两个相同三角形外接圆直径比、周长比、面积比与相同比有什么
15、关系？比、面积比与相同比有什么关系？OABCD问题问题2、两个相同三角形内切圆直径比、周、两个相同三角形内切圆直径比、周长比、面积比与相同比有什么关系？长比、面积比与相同比有什么关系？36/47结论：结论：1相同三角形外接圆直径比相同三角形外接圆直径比、周长比周长比等于相同比，外接圆面积比等于相同等于相同比，外接圆面积比等于相同比平方比平方2相同三角形内切圆直径比、周长相同三角形内切圆直径比、周长 比比等于相同比，内切圆面积比等于等于相同比，内切圆面积比等于 相同比相同比平方平方37/47四 直角三角形的射影定理38/471.射影射影点在直线上正射影点在直线上正射影 从一点向一直线所引垂线垂从
16、一点向一直线所引垂线垂足，叫做这个点在这条直线上正射影。足，叫做这个点在这条直线上正射影。一条线段在直线上正射影一条线段在直线上正射影 线段两个端点在这条线段两个端点在这条直线上正射影间线段。直线上正射影间线段。AAANMNMABAB点和线段正射影简称点和线段正射影简称射影射影39/47探究：探究：ABC是直角三角形，是直角三角形，CD为斜边为斜边AB上高。你上高。你能从射影角度来考查能从射影角度来考查AC与与AD，BC与与BD等关系。你等关系。你能发觉这些线段之间一些关系吗？能发觉这些线段之间一些关系吗？ABDC射影定理射影定理 直角三角形斜边上高是两条直角边直角三角形斜边上高是两条直角边在
17、斜边上射影百分比中项；两直角边分别是它在斜边上射影百分比中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边百分比中项。们在斜边上射影与斜边百分比中项。ABDC用勾股定理能证实吗用勾股定理能证实吗?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD=ADBD而而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可证得同理可证得BC=BDAB40/47ABDCO例例1 如图如图,圆圆O上一点上一点C在直径在直径AB上射影为上射影为D.AD=2,DB=8,求求CD,AC和和BC长长.41/47总结总结：已
18、知已知“直角三角形斜边上高直角三角形斜边上高”这一基本这一基本图形中六条线段中任意两条线段，就可图形中六条线段中任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程以求出其余四条线段，有时需要用到方程思想。思想。ABDC42/47习题习题1.41.ABDC直角直角 ABC中已知中已知:CD=60 AD=25 求：求：BD,AB,AC,BC长长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(广州一模广州一模)如图所表示，圆如图所表示，圆O上一上一点点C在直径在直径AB上射影为上射影为D，CD=4，BD=8，则圆，则圆O半径等于半径等于_BACDO543/47例例2 ABC中，顶点中，
19、顶点C在在AB边上射影为边上射影为D，且，且CD=ADDB 求求证：ABC是直角三角形。是直角三角形。ABDC证实证实:在在CDA和和BDC中中,44/47总结总结：1、知识知识：学习了直角：学习了直角 三角形中主要百分三角形中主要百分比式和百分比中项表示式比式和百分比中项表示式射影定理。射影定理。2、方法方法：利用射影定理基本图形求线段：利用射影定理基本图形求线段和证实线段等积式。和证实线段等积式。3、能力能力：会从较复杂图形中分解出射影：会从较复杂图形中分解出射影定理基本图形能力。定理基本图形能力。4、数学思想数学思想：方程思想和转化思想。：方程思想和转化思想。45/47平行线等分线段定理
20、平行线等分线段定理平行线分线段成百分比定理平行线分线段成百分比定理推论推论1推论推论2推论推论1.2节例节例3引理引理预备定理预备定理判定定理判定定理3判定定理判定定理1判定定理判定定理2相同三角形概念相同三角形概念直角三角形相同判定定理直角三角形相同判定定理射影定理射影定理相同三角形性质相同三角形性质射影概念射影概念勾股定理勾股定理46/471.从特殊到普通思索方法从特殊到普通思索方法.数学方法数学方法:在研究数学问题时在研究数学问题时,经过经过考查特殊性考查特殊性问题取得普通规律猜测问题取得普通规律猜测,并从中并从中得到证实得到证实普通规律思想方法启发普通规律思想方法启发;然后然后由特殊过渡由特殊过渡到普通到普通,对普通性结论作出严格证实对普通性结论作出严格证实.2.化归思想方法化归思想方法.在研究问题时在研究问题时,经常经常经过一定逻辑推经过一定逻辑推理理,将困难将困难,不熟悉问题不熟悉问题转化转化为轻易熟悉问为轻易熟悉问题题.恒等变形恒等变形,换元法换元法,数形结正当数形结正当,参数法参数法等等,都是详细化归方法都是详细化归方法.相同三角形证实采相同三角形证实采取了化归为预备定理方法取了化归为预备定理方法.47/47
