1、习题课一、一、曲线积分计算法曲线积分计算法二、曲面积分计算法二、曲面积分计算法 线面积分计算 第十一章 第1页一、曲线积分计算法一、曲线积分计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终练习题:P244 题 3(1),(3),(6)第2页解答提醒解答提醒:计算其中L为圆周提醒提醒:利用极坐标,原式=说明说明:若用参数方程计算,则P244 3(1)第3页P244 3(3).计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 一段弧.提醒提醒:第4页P244 3(6).计算其中
2、由平面 y=z 截球面提醒提醒:因在 上有故原式=从 z 轴正向看沿逆时针方向.第5页(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线技巧加辅助线技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分联络公式.2.基本技巧基本技巧第6页例例1.计算其中 为曲线解解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(重心在原点)第7页例例2.计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径上半圆周.第8页解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思索思索:(2)若 L 同例2,怎样计算下述积分:(1)若L 改为
3、顺时针方向,怎样计算下述积分:则添加辅助线段第9页思索题解答思索题解答:(1)(2)第10页证证:把例例3.设在上半平面内函数含有连续偏导数,且对任意 t 0 都有证实对D内任意分段光滑闭曲线L,都有两边对t求导,得:则有所以结论成立.(考研)第11页计算其中L为上半圆周提醒提醒:沿逆时针方向.练习题练习题:P244 题 3(5);P245 题 6;11.3(5).用格林公式:第12页P245 6.设在右半平面 x 0 内,力组成力场,其中k 为常数,证实在此力场中场力所作功与所取路径无关.提醒提醒:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作功为第13页P245 11.求力沿有向闭曲线 所作
4、其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三提醒提醒:方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形整个边界,功,第14页设三角形区域为,方向向上,则方法方法2 利用利用公式 斯托克斯公式斯托克斯公式第15页例例4.设L 是平面与柱面交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算 解解:记 为平面上 L 所围部分上侧,D为 在 xOy 面上投影.由斯托克斯公式公式 第16页D 形心第17页二、曲面积分计算法二、曲面积分计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:一直非负第二类:有向投影(3)确定
5、二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面第18页思思 考考 题题1)二重积分是哪一类积分?答答:第一类曲面积分特例.2)设曲面问以下等式是否成立?不对不对!对坐标积分与 侧相关 第19页2.基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面技巧(辅助面普通取平行坐标面平面)(3)两类曲面积分转化第20页练习练习:P244 题题4(3)其中 为半球面上侧.且取下侧,原式=P244 题题4(2),P245 题题 10 一样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算提醒提醒:以半球底面为辅助面,利用第21页例例5.证实证实:设(常向量)则单位外法向向
6、量,试证设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n为 第22页例例6.计算曲面积分其中,解解:思索思索:本题 改为椭球面时,应怎样计算?提醒提醒:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.第23页例例7.设 是曲面解解:取足够小正数 ,作曲面取下侧使其包在 内,为 xOy 平面上夹于之间部分,且取下侧,取上侧,计算则第24页第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面方向!得第25页例例8.计算曲面积分中 是球面解解:利用对称性用重心公式第26页作业作业P244 3(2),(4);4(2)5 ;9第27页备用题备用题 1.已知平面区域L为D 边界,试证证证:(1)依据格林公式所以相等,从而左端相等
7、,即(1)成立.(考研)因、两式右端积分含有轮换对称性,第28页(2)由式由轮换对称性第29页(1)在任一固定时刻,此卫星能监视地球表面积是 2.地球一个侦察卫星携带广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面每一处景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为 H=0.25 R,卫星绕地球一周时间为 T,试求(2)在解解:如图建立坐标系.时间内,卫星监视地球表面积是多少?多少?设卫星绕 y 轴旋转第30页(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为(2)在时间内监视地球表面积为点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0 为盲区面积第31页(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为(2)在其中盲区面积时间内监视地球表面积为第32页
