1、第十章第十章 曲曲 面面 积积 分分对面积曲面积分（第一型曲面积分）对面积曲面积分（第一型曲面积分）第1页一、对面积曲面积分定义一、对面积曲面积分定义 1定义定义:2物理意义物理意义:二、对面积曲面积分性质二、对面积曲面积分性质 1.线性性质：线性性质：2.可加性：可加性：曲面曲面 质量质量。表示面密度为表示面密度为 3.面积：面积：第2页三、对面积曲面积分计算方法三、对面积曲面积分计算方法 方法：方法：化为二重积分计算化为二重积分计算4.奇偶对称性：奇偶对称性：关键：关键：找到投影区域找到投影区域D,确定二重积分积分变量确定二重积分积分变量 普通有三种方法，终究利用哪种方法取决于普通有三种方
2、法，终究利用哪种方法取决于 方程方程 中哪个变量能用其它另外两个变量显示形式中哪个变量能用其它另外两个变量显示形式 表示，若表示，若 方程既可化为方程既可化为 ，又可化为，又可化为 或或 ，则我我们可从三种方法中取可从三种方法中取优。0关于关于xoy面对称，面对称，为为z奇函数奇函数关于关于xoy面对称，面对称，为为z偶函数偶函数第3页（1）若）若 ，。（2）若）若 ，。（3）若）若 ，。四、对面积曲面积分应用四、对面积曲面积分应用1几何应用几何应用 求曲面面积：求曲面面积：第4页2物理应用物理应用质量质量 质心质心转动惯量转动惯量第5页一、对坐标曲面积分概念一、对坐标曲面积分概念1定义定义
3、2物理意义物理意义单位时间内流过曲面单位时间内流过曲面 一侧流量。一侧流量。表示流体密度表示流体密度 速度场为速度场为 ,对坐标曲面积分（第二型曲面积分）对坐标曲面积分（第二型曲面积分）第6页二、对坐标曲面积分性质二、对坐标曲面积分性质1可加性可加性 2反号性反号性 3奇偶对称性奇偶对称性 关于关于xoy面对称，面对称，R为为z偶函数偶函数关于关于xoy面对称，面对称，R为为z奇函数奇函数第7页（2）设设 ，。则。则 前侧取前侧取“+”，后侧取，后侧取“”。1直接投影法直接投影法（化为二重积分）（化为二重积分）（1）设设 ，。则。则 上侧取上侧取“+”，下侧取，下侧取“”。三、对坐标曲面积分计
4、算方法三、对坐标曲面积分计算方法第8页或或 这里这里 是是 外侧边界，外侧边界，为曲线为曲线 上点上点 处法向量方向余弦。处法向量方向余弦。2高斯（高斯（Gauss）公式计算法）公式计算法（3）设）设 ，。则。则 右侧取右侧取“+”，左侧取，左侧取“”。第9页4斯托克斯（斯托克斯（Stokes）公式计算法）公式计算法（这里（这里 是有向曲面是有向曲面 正向边界曲面正向边界曲面)3转化为第一型曲面积分计算法转化为第一型曲面积分计算法其中其中 为曲面为曲面 在点在点 处法向量处法向量 方向余弦方向余弦。第10页五、对坐标曲面积分解题方法五、对坐标曲面积分解题方法四、散度与旋度四、散度与旋度 设设
5、，都有一阶连续偏导数都有一阶连续偏导数。（1）散度）散度（2）旋度）旋度 第11页 确定确定对对 补上特殊补上特殊 曲面曲面 确定确定 侧侧 封闭封闭应用应用Guass公式公式转化为二重积分转化为二重积分在封闭曲面在封闭曲面上应用上应用Gauss公式公式求求 在各坐标在各坐标面上投影面上投影转化为二重积分转化为二重积分YesNo求求 方向方向余弦余弦转化为第一转化为第一型曲面积分型曲面积分Yes 为平面块为平面块No解题方法流程图解题方法流程图第12页由上图能够看出，计算第二型曲面积分时，首先应找出函数由上图能够看出，计算第二型曲面积分时，首先应找出函数 特点，考虑将对坐标曲面积分转化为对面积
6、曲面积分来特点，考虑将对坐标曲面积分转化为对面积曲面积分来 后将上面二积分相减，便得原曲面积分值，即后将上面二积分相减，便得原曲面积分值，即 是否封闭，若是否封闭，若 是封闭曲面，则可直接利用是封闭曲面，则可直接利用Gauss公式，将公式，将 所求积分转化为三重积分来计算。若所求积分转化为三重积分来计算。若 不是封闭曲面，则可不是封闭曲面，则可 深入判别深入判别 是否为平面块，是否为平面块，是平面块，则可依据题目标是平面块，则可依据题目标 计算。若计算。若 不是平面块，此时，普通有两种方法，一个是通不是平面块，此时，普通有两种方法，一个是通 过补特殊曲面过补特殊曲面 ，使，使 组成一封闭曲面，
7、然后在封闭曲组成一封闭曲面，然后在封闭曲 面面 上应用上应用Gauss公式，并计算在曲面公式，并计算在曲面 上积分，最上积分，最，及积分曲面及积分曲面 ；然后判别；然后判别 第13页另一个方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来另一个方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来计算，即直接计算方法。计算，即直接计算方法。第14页六、对面积曲面积分经典例题六、对面积曲面积分经典例题【例【例1】计算曲面积分】计算曲面积分 ，其中，其中 为平面为平面 在第一卦限中部分。在第一卦限中部分。分析因为分析因为 ：，可恒等变形为，可恒等变形为 ：，故我们可采取框图中线路故我们可采取框图中线路2解题方法求
8、解。又因被积函数解题方法求解。又因被积函数 与与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将函数，即将 代入，从而简化计算。代入，从而简化计算。解：平面解：平面 方程为方程为 （见下列图），（见下列图），第15页在在 面上投影区域为：面上投影区域为：面积元素面积元素 从而从而 注：注：本题亦可框图中线路本题亦可框图中线路1或线路或线路3解题方法来求解。解题方法来求解。第16页【例【例2】计算曲面积分计算曲面积分 ，其中，其中 为为 在在 与与 之间部分。之间部分。分析分析 因为因为 ：，即，即 ，所以我们可采取框图中线路所以我们可采取框图中线路1或线路或
9、线路3解题方法求解。解题方法求解。从从 中能确定中能确定 ，或，或 ；下面仅用线路下面仅用线路1方法计算。方法计算。解：令解：令 ：；：。则。则（如图）（如图）（1）求求 和和 在在 平面上投影区域：平面上投影区域：因因 和和 在在 平面上投影区域相同，平面上投影区域相同，：，。设为设为第17页（3）转化为二重积分：转化为二重积分：（2）求微元求微元 ：在：在 和和 上，上，第18页【例【例3】计算曲面积分】计算曲面积分 ，其中，其中 为曲面为曲面。分析分析 注意到积分曲面注意到积分曲面 为旋转抛物面为旋转抛物面 ，它关于它关于 面和面和 面对称，且被积函数面对称，且被积函数 关于变量关于变量
10、 和和 均为偶函数，所以只要计算均为偶函数，所以只要计算 在第一在第一 卦限部分，再卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。解：设解：设 在第一卦限部分为在第一卦限部分为 ，则，则 在在 面上投影面上投影区域为：区域为：于是于是 第19页（令（令 ）第20页【例【例4】计算曲面积分计算曲面积分 ，其中，其中 为球面为球面。分析分析 因为积分曲面因为积分曲面 为球面为球面 ，它关于三个，它关于三个 坐标面含有轮换对称性，所以坐标面含有轮换对称性，所以 ，而，而，故本题利用轮换对称性和奇偶对，故本题利用轮换对称性和奇偶对 称性计算比较简单。称性计算
11、比较简单。解：因解：因 ，由由奇偶奇偶对称性可知，上述未写出称性可知，上述未写出项积分分值均均为0，而由，而由轮换对称性易知轮换对称性易知 ，故故第21页注：从以上几个例子能够看出，计算对面积曲面积分应注意注：从以上几个例子能够看出，计算对面积曲面积分应注意掌握以下几个关键点：掌握以下几个关键点：（1）因为积分范围因为积分范围 是曲面，所以点是曲面，所以点 坐标满足曲面坐标满足曲面 方程方程 ，计算中要善于利用曲面，计算中要善于利用曲面 方程方程 来化简被积函数；来化简被积函数；第22页（2）计算对面积曲面积分时，应注意观察积分曲面计算对面积曲面积分时，应注意观察积分曲面 对对 称性（包含轮换
12、对称性）和被积函数称性（包含轮换对称性）和被积函数 奇偶性，奇偶性，能够利用这类特殊性来简化积分计算；能够利用这类特殊性来简化积分计算；（3）将对面积曲面积分转化为二重积分计算，关键在于将对面积曲面积分转化为二重积分计算，关键在于 二重积分积分变量选择，这是由积分曲面二重积分积分变量选择，这是由积分曲面 方程方程 特点所决定，从以上例子即可看出。特点所决定，从以上例子即可看出。第23页【例【例5】求面密度为】求面密度为 均匀半球壳均匀半球壳 对于对于 轴转动惯量。轴转动惯量。分析分析 本题为曲面积分在物理中应用问题，只需按公式本题为曲面积分在物理中应用问题，只需按公式 将其转化为对面积曲面积分
13、进行计算即可。将其转化为对面积曲面积分进行计算即可。解：由题意解：由题意因因 ：；在；在 坐标面上投影区域为坐标面上投影区域为 第24页且且 。所以。所以（令（令 ）第25页六、对坐标曲面积分经典例题六、对坐标曲面积分经典例题【例【例1】计算曲面积分】计算曲面积分 。其中。其中 为球面为球面 在第一卦限部分上侧。在第一卦限部分上侧。分析分析 因为因为 不是封闭曲面，且只是对坐标不是封闭曲面，且只是对坐标 曲面积分，曲面积分，且且 在在 面上投影区域为面上投影区域为 解：因解：因 ：前侧，前侧，故从解题方法框图上看，采取线路故从解题方法框图上看，采取线路2 23方法计算。方法计算。第26页于是得
14、于是得【例【例2】计算曲面积分】计算曲面积分 。其中。其中 是是 柱面柱面 被平面被平面 及及 所截得在第一卦限内所截得在第一卦限内 部分前侧。部分前侧。分析分析 本题为计算对坐标组合积分，但因为本题为计算对坐标组合积分，但因为 不是封闭曲面，不是封闭曲面，且其中三个曲面积分化为二重积分计算又比较轻易（因为且其中三个曲面积分化为二重积分计算又比较轻易（因为 为柱面，在为柱面，在 坐标面上投影坐标面上投影 ，故从解题方法，故从解题方法 框图上看，采取线路框图上看，采取线路2 23方法计算即可。方法计算即可。第27页解：因在解：因在 坐标面上投影坐标面上投影 ，坐标面上投影区域为：坐标面上投影区域
15、为：又又 在在 ，所以所以 ；第28页【例【例3】计算曲面积分计算曲面积分 。其中其中 为上半球体为上半球体 ，表面外侧。表面外侧。分析因为分析因为 为封闭曲面，所以可采取框图中线路为封闭曲面，所以可采取框图中线路1方法计算。方法计算。解：本题中，解：本题中，。积分曲面。积分曲面 为封闭曲面，设为封闭曲面，设 所围成空间闭区域为所围成空间闭区域为 ，则，则：，；或或 ：，。于是由于是由Gauss公式，得公式，得第29页注：若将本题中积分曲面注：若将本题中积分曲面 改为上半球面改为上半球面 上侧，则因为上侧，则因为 不是封闭曲面，又不是平面块，从计算方法不是封闭曲面，又不是平面块，从计算方法 框
16、图上看，采取线路框图上看，采取线路2 22方法计算较为简便，现计算方法计算较为简便，现计算 以下：以下：补平面块补平面块 取下侧，取下侧，则则 与与 组成一封闭曲面，且取外侧。组成一封闭曲面，且取外侧。在封闭曲面在封闭曲面上应用上应用Gauss公式，公式，第30页又又 故故 第31页【例【例4】计算曲面积分】计算曲面积分 ，其中，其中 为为 下半球面下半球面 下侧。下侧。分析分析 因为因为 ，定义在曲面定义在曲面 上，所以被积函数满足曲面方程上，所以被积函数满足曲面方程 故应首先考虑用曲面方程化简被积函数故应首先考虑用曲面方程化简被积函数,即即 然后再计算。其次本题可考虑用高斯公式来计算，即采
17、取然后再计算。其次本题可考虑用高斯公式来计算，即采取框图中线路框图中线路222方法计算。方法计算。第32页解：先以解：先以 代入被积表示式中，得代入被积表示式中，得补有向曲面补有向曲面 取上侧，则组成封闭取上侧，则组成封闭 曲面，且方向为外侧。由曲面，且方向为外侧。由 所围成空间闭区域为所围成空间闭区域为 应用高斯公式，得用高斯公式，得（如图）（如图）：第33页又因又因 所以所以 第34页【例【例5】计算曲面积分】计算曲面积分其中其中 为连续函数，为连续函数，是平面是平面 在第四卦在第四卦 限部分上侧。限部分上侧。分析分析 因为因为 ，其中其中 未知，而积分曲面未知，而积分曲面 为平面块，故可
18、考虑为平面块，故可考虑利用两类曲面积分之间关系，把给定第二型曲面积分利用两类曲面积分之间关系，把给定第二型曲面积分转化为第一型曲面积分，即采取转化为第一型曲面积分，即采取框图中线路框图中线路2 21方法计算。方法计算。解解:在面上投影区域在面上投影区域(如如图)第35页，故，故 注注:此题若用定义直接计算，因为被积函数中含有未知函数此题若用定义直接计算，因为被积函数中含有未知函数，那么转化成三个二重积分后，下一步计算二重积，那么转化成三个二重积分后，下一步计算二重积 方向余弦为方向余弦为 分就极难进行了。普通情况下，若被积函数中含有抽象函数，分就极难进行了。普通情况下，若被积函数中含有抽象函数
19、，通常不采取直接计算方法，而是采取将第二型曲面积分转通常不采取直接计算方法，而是采取将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分或化为第一型曲面积分或Gauss公式方法来处理。公式方法来处理。第36页【例【例6】设设 含有连续导数，计算曲面积分含有连续导数，计算曲面积分 其中其中 为由为由 和和 所围成区域外侧。所围成区域外侧。分析分析 令令 ，因为被积函数含有抽象函数因为被积函数含有抽象函数 ，假如直接计算极难求出。，假如直接计算极难求出。考虑到考虑到 为封闭曲面，而且为封闭曲面，而且 所以可考虑应用高斯公式，即采取框图中线路所以可考虑应用高斯公式，即采取框图中线路1方法计算。方法计算。第37页解：
20、解：令令 ，则，则，围成区域为围成区域为 （如图）（如图）应用高斯公式，得应用高斯公式，得第38页于是，计算得于是，计算得在柱面坐标系下，在柱面坐标系下，：，第39页分析分析 本题为沿空间曲线积分，从所给曲线来看本题为沿空间曲线积分，从所给曲线来看,若采取若采取【例【例7】计算计算 其中其中 是平面是平面 与柱面与柱面 交线，交线，从从 轴正向看去，轴正向看去，为逆时针方向。为逆时针方向。参数法转化为定积分计算比较困难。现利用参数法转化为定积分计算比较困难。现利用Stokes公式将公式将 曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化 为二重积分时，曲面为二重积分时，曲面 侧与曲线侧与曲线 方向符合右手规则，方向符合右手规则，从而正确决定二重积分正负号。从而正确决定二重积分正负号。第40页解解:设设 为平面为平面 上上 所围成部分上侧，所围成部分上侧，为为在在 坐标面上投影区域，则坐标面上投影区域，则 ；由由Stokes公式，得公式，得第41页【例【例8】设】设 ，求，求 。分析分析 按梯度、散度定义直接计算即可。按梯度、散度定义直接计算即可。解解:因为因为 所以所以 从而从而 第42页0第43页
