1、第1章 数字电路基础1.1 概述1.2 几种常用的数制和码制1.3 逻辑函数中三种最基本的逻辑运算1.4 复合逻辑运算1.5 逻辑函数的几种表示方法及其相互转换1.6 逻辑代数1.7 逻辑函数的卡诺图化简法1.8 关于正逻辑和负逻辑的规定及其转换第第1 1章章 数字电路基础数字电路基础第1章 数字电路基础1.1.1 数字信号和数字电路数字信号和数字电路电子系统中的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号(如图1-1所示)。模拟信号是时间连续、数值也连续的信号。数字信号是在时间上和数值上均离散的信号。具有对模拟信号进行放大、滤波、调制、解调、传输等处理能力的电路叫做模拟电路。而数字电路就是能对数字
2、信号进行产生、存储、传输、变换、运算及处理的电路。数字电路主要是研究输出与输入信号之间的对应逻辑关系，其分析的主要工具是逻辑代数，因此数字电路又称为“逻辑电路”。1.1 1.1 概概 述述第1章 数字电路基础图1-1 模拟信号和数字信号示意图(a)模拟信号；(b)数字信号第1章 数字电路基础1.1.2 数字电路的特点数字电路的特点 数字电路具有以下一些特点：(1)便于高度集成化。由于数字电路采用二进制数，凡具有两种状态的电路都可用来表示0和1两个数。因此基本单元电路的结构简化对实现数字电路的集成化十分有利。(2)工作可靠性高、抗干扰能力强。数字电路用1和0来表示信号的有和无，数字电路辨别信号的
3、有和无是很容易做到的，从而大大提高了电路的工作可靠性。同时，只要外界干扰在电路的噪声容限范围内，电路都能正常工作，因此抗干扰能力强。第1章 数字电路基础(3)便于长期保存。比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。(4)产品系列多、通用性强且成本低。可采用标准的逻辑部件和可编程逻辑器件来实现各种各样的数字电路和系统，使用灵活。(5)保密性好。可以采用多种编码技术加密数字信息，使其不易被窃取。(6)具有“逻辑思维”能力。数字电路不仅具有算术运算能力，而且还能按人们设计的规则进行逻辑推理和逻辑判断。第1章 数字电路基础1.1.3 数字电路的分类数字电路的分类数字电路具有以下一些分类：(1)按结构不
4、同，数字电路分为分立元件电路和集成电路。分立元件电路是将晶体管、电阻和电容等元器件用导线在线路板上连接而成的电路。集成电路(如图1-2所示)则是将元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。根据集成度的不同把集成电路分为4类，见表1-1。这里的集成度是指组成集成电路的逻辑门或元器件个数。第1章 数字电路基础图1-2 集成电路第1章 数字电路基础表表1-1 集成电路分类集成电路分类第1章 数字电路基础(2)按所集成的元件不同，数字电路分为双极型(TTL电路)和单极型(CMOS电路)两种。(3)按电路工作原理不同，数字电路分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两种。关于这两种
5、电路的特点和具体电路将在后面的章节详细介绍。第1章 数字电路基础1.1.4 数字电路的应用数字电路的应用如今，数字电路已广泛应用于计算机、自动化装置、医疗仪器与设备、交通(如交通灯等)、电信(如卫星通信等)、文娱活动等几乎所有的生产生活领域中，可以毫不夸张地说，几乎每人每天都在与数字电路打交道。第1章 数字电路基础1.2.1 数制数制数制是数的表示方法，为了描述数的大小或多少，人们采用进位计数的方法，称为进位计数制，简称数制。组成数制的两个基本要素是进位基数与数位权值，简称基数与位权。基数：一个数位上可能出现的基本数码的个数，记为R。例如二进制一个数位上包含0、1两个数码，基数R=2。十进制有
6、十个数码，则基数R=10。1.2 1.2 几种常用的数制和码制几种常用的数制和码制第1章 数字电路基础位权：位权是基数的幂，记为Ri，它与数码在数中的位置有关。例如，十进制数137=1102+3101+7100，102、101、100分别为最高位、中间位和最低位的位权。同一串数字，数制不同，代表的数值大小也不同。第1章 数字电路基础1.各种数制及其表示方法各种数制及其表示方法1)十进制十进制的基数R=10，有09十个数码，进位规则是逢十进一，各位的权值为10的幂。任意一个十进制数(D)10，可以表示为(D)10=kn10n1+kn110n2+k1100+k0101+km10m1(1.1)第1章
7、 数字电路基础2)二进制二进制的基数R=2，有0、1两个数码，进位规则是逢二进一，各位的权值是2的幂。任意一个二进制数(D)2，都可表示为(D)2=kn2n1+kn12n2+k120+k021+km2m1(1.2)第1章 数字电路基础3)八进制八进制的基数R=8，有07八个数码，进位规则是逢八进一，各位的权值是8的幂。任意一个八进制数(D)8，都可表示为(D)8=kn8n1+kn18n2+k180+k081+km8m1(1.3)第1章 数字电路基础4)十六进制十六进制数的基数R=16，有09、AF共十六个数码，进位规则是逢十六进一，各位的权值是16的幂。任意一个十六进制数(D)16，都可表示为
8、(D)16=kn16n1+kn116n2+k1160+k0161+km16m1(1.4)第1章 数字电路基础5)任意进制(R进制)R进制的基数为r，有0(r1)个数码，一般表示为(D)r=knrn1+kn1rn2+k1r0+k0r1+kmrm1(1.5)第1章 数字电路基础为了便于对照，将常用的几种数制之间的关系列于表1-2中。表表1-2 几种常用数制及其对应关系几种常用数制及其对应关系第1章 数字电路基础2 数制间的转换数制间的转换1)R进制数转换为十进制数如果将R进制数转换为等值的十进制数，只需要将R进制数按位权展开，再按十进制运算规则运算即可得到十进制数。【例例1.1】将二进制数(110
9、1.11)2转换成十进制数。解解 (1101.11)2=123+122+021+120+121+122=(13.75)10第1章 数字电路基础【例例1.2】将八进制数(73.51)8转换成十进制数。解解 (73.51)8=781+380+581+182=(59.64)10【例例1.3】将十六进制数(F3D.54)16转换成十进制数。解解 (F3D.54)16=15162+3161+13160+5161+4162=(3901.328 125)10。第1章 数字电路基础2)十进制数转换为R进制数十进制数转换为R进制数时，需将十进制数的整数部分和小数部分分别转换，然后将转换结果合并起来。(1)十进制
10、数转换成二进制数。整数部分：用除2取余的方法进行转换，先余为低，后余为高。小数部分：用乘2取整的方法进行转换，先整为高，后整为低。第1章 数字电路基础【例例1.4】将(27.625)10转换成二进制数。解解 整数部分：小数部分：所以，有(27.625)10=(11011.101)2。第1章 数字电路基础(2)十进制数转换成八进制数。整数部分：用除8取余的方法进行转换，先余为低，后余为高。小数部分：用乘8取整的方法进行转换，先整为高，后整为低。【例例1.5】将(207.5)10转换成八进制数。解解 整数部分：小数部分：0.5008=4.000。取出整数4，余数为0，转换结束。综上可得(207.5
11、)10=(317.4)8。第1章 数字电路基础(3)十进制数转换成十六进制数。整数部分：用除16取余的方法进行转换，先余为低，后余为高。小数部分：用乘16取整的方法进行转换，先整为高，后整为低。第1章 数字电路基础【例例1.6】将(254.3584)10转换为十六进制数。解解 整数部分：小数部分：最终转换结果为(254.3584)10=(FE.5BC)16。第1章 数字电路基础3)二进制数与八进制数、十六进制数相互转换二进制数转换成八进制数(或十六进制数)的规则如下：从小数点算起，向左或向右每3(或4)位分成一组，最后不足3(或4)位用0补齐，每组用1位等值的八进制数(或十六进制数)表示，即得
12、到要转换的八进制数(或十六进制数)。第1章 数字电路基础【例例1.7】将(10111011.01111)2转换成八进制数和十六进制数。解解二进制 010 111 011.011 110 八进制 2 7 3 .3 6所以(10111011.01111)2=(273.36)8。二进制 1011 1011.0111 1000十六进制 B B .7 8所以(10111011.01111)2=(BB.78)16。反之，八进制数(或十六进制数)转换成二进制数时，只要将每位八进制数(或十六进制数)分别写成相应的3(或4)位二进制数，按原来的顺序排列起来即可。第1章 数字电路基础1.2.2 码制码制 1.二二
13、-十进制码十进制码用4位二进制数码表示1位十进制数的代码，称为二-十进制码，简称BCD码(Binary CodedDecimal)。4位二进制数有16种组合，而1位十进制数只需要10种组合，因此，用4位二进制码表示1位十进制数的组合方案有许多种。几种常用的BCD码如表1-3所示。第1章 数字电路基础表表1-3 几种常用的几种常用的BCD代码代码第1章 数字电路基础1)8421码8421码是最常用的一种BCD码，它和自然二进制码的组成相似，4位的权值从高到低依次是8、4、2、1。但不同的是，它只选取了4位自然二进制码16个组合中的前10个组合，即00001001，分别用来表示09十个数码，称为有
14、效码；剩下的6个组合10101111没有采用，称为无效码。第1章 数字电路基础8421码是一种有权码，因而根据代码的组成便可知道它所代表的值。设8421码的各位为a3a2a1a0，则它所代表的值为N=8a3+4a2+2a1+1a0 8421码编码简单直观，能很容易地实现8421码到十进制数的转换。8421码与十进制数之间的转换只要直接按位转换即可，例如，(509.37)10=(0101 0000 1001.0011 0111)8421第1章 数字电路基础2)余3码余3码由8421码加3(0011)得到。或者说是选取了4位自然二进制码16个组合中的中间10个，而舍弃头、尾3个组合而形成。因此余3
15、码所代表的十进制数可由下式算得：N=8a3+4a2+2a1+1a03式中，a3、a2、a1、a0为余3码的各位数(0或1)。余3码是一种无权代码，该代码中的各位“1”不表示一个固定值，因而不直观，且容易搞错。余3码也是一种自反代码。例如，4的余3码为0111，将它的各位取反得1000，即5的余3码，而4与5对9互反。第1章 数字电路基础余3码也常用于BCD码的运算电路中。若将两个余3码相加，其和将比所表示的十进制数及所对应的二进制数多6。当和为10时，正好等于二进制数的16，于是便从高位自动产生进位信号。一个十进制数用余3码表示时，只要按位表示成余3码即可，例如，(85.93)10=(1011
16、 1000.1100 0110)余3第1章 数字电路基础2.可靠性编码可靠性编码1)格雷码格雷码有多种编码形式，但所有格雷码都有两个显著的特点：一是相邻性，二是循环性。相邻性是指任意两个相邻的代码间仅有1位状态不同；循环性是指首尾的两个代码也具有相邻性。因此，格雷码也称循环码。表1-4列出了典型的格雷码与十进制码及二进制码的对应关系。第1章 数字电路基础表表1-4 典型格雷码与十进制码及二进制码的对应关系典型格雷码与十进制码及二进制码的对应关系第1章 数字电路基础2)奇偶校验码数码在传输、处理过程中，难免发生一些错误，即有的1错成0，有的0错成1。奇偶校验码是一种能够检验出这种差错的可靠性编码
17、。它的编码方法是在信息码组外增加1位监督码元。增加监督码元后，使得整个码组中1的数目为奇数或者为偶数。若为奇数，称为奇校验码；若为偶数，称为偶校验码。以4位二进制代码为例，采用奇偶校验码时，其编码示于表1-5中。第1章 数字电路基础表表1-5 奇偶校验码奇偶校验码第1章 数字电路基础1.3.1 逻辑函数和逻辑变量逻辑函数和逻辑变量1.逻辑函数逻辑函数在研究事件的因果关系时，决定事件变化的因素称为逻辑自变量，对应事件的结果称为逻辑因变量，也叫逻辑结果，以某种形式表示逻辑自变量与逻辑结果之间的函数关系称为逻辑函数。例如，当逻辑自变量A、B、C、D、的取值确定后，逻辑因变量Y的取值也就唯一确定了，则
18、称Y是A、B、C、D、的逻辑函数，记作Y=f(A,B,C,D,)。1.3 1.3 逻辑函数中三种最基本的逻辑运算逻辑函数中三种最基本的逻辑运算第1章 数字电路基础2.逻辑变量逻辑变量逻辑代数中的变量称为逻辑变量。逻辑变量分为两类，即输入逻辑变量和输出逻辑变量。无论是输入逻辑变量还是输出逻辑变量，它们的取值都只有两种即0和1。这里的0和1并没有数的含义，它们表示两种完全对立的逻辑状态。例如，若用1表示开关闭合，则0表示开关断开；1表示电灯亮，则0表示电灯灭；1表示高电平，则0表示低电平等。第1章 数字电路基础1.3.2 三种基本逻辑关系及其表示方法三种基本逻辑关系及其表示方法1.与逻辑与逻辑当决
19、定某个事件的全部条件都具备时，才发生该事件，这种因果关系称为“与逻辑”。与逻辑最为常见的实际应用是控制楼道照明的开关电路(如图1-3所示)。开关A和B的状态(闭合或断开)与电灯Y的状态(亮和灭)之间存在确定的因果关系。显然只有当串联的两个开关都闭合时，灯才能亮。如果规定开关闭合及灯亮为逻辑1态，开关断开及灯灭为逻辑0态，则开关A和B的全部状态组合与灯Y状态之间的关系如表1-6所示。这种图表叫做逻辑真值表，简称为真值表。第1章 数字电路基础图1-3 控制楼道照明的开关电路第1章 数字电路基础表表1-6 与逻辑的真值表与逻辑的真值表第1章 数字电路基础上述逻辑关系可用下式表示：Y=AB (1.6)
20、多变量的与逻辑关系可用下式表示：Y=ABC (1.7)式中的“”表示逻辑乘，又称为“与逻辑运算”。实现与逻辑运算的电路称为“与门”。在不需要强调的地方，“”可省略。国际标准、常用及美日等国家所用的与门逻辑符号分别如图1-4所示。第1章 数字电路基础图1-4 与门逻辑符号第1章 数字电路基础2.或逻辑或逻辑当决定某个事件的全部条件中有一个或一个以上条件具备时，才发生该事件，这种因果关系称为“或逻辑”。或逻辑最为常见的实际应用是并联开关控制的电灯电路，如图1-5所示。或逻辑的真值表如表1-7所示。第1章 数字电路基础图1-5 并联开关控制的电灯电路第1章 数字电路基础表表1-7 或逻辑的真值表或逻
21、辑的真值表第1章 数字电路基础上述逻辑关系可用下式表示：Y=A+B(1.8)多变量的或逻辑关系可用下式表示：Y=A+B+C+(1.9)式中的“+”表示逻辑加，又称为“或逻辑运算”。实现或逻辑运算的电路称为“或门”。国际标准、常用及美日等国家所用的或门逻辑符号分别如图1-6所示。第1章 数字电路基础图1-6 或门逻辑符号第1章 数字电路基础3.非逻辑非逻辑非逻辑也称为“逻辑反”，数字电路中的反相器即为实现非逻辑的电子元件，在实际中经常使用。决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。非逻辑的实际应用是开关与负载并联的控制电路，如图1-7所示。非逻辑的真值表如表1-8所示。第1章 数字电路
22、基础图1-7 开关与负载并联的控制电路第1章 数字电路基础表表1-8 非逻辑的真值表非逻辑的真值表第1章 数字电路基础非逻辑表达式为 (1.10)在变量上方的“”号表示非，读作“A非”。显然，A和互为反变量。实现非运算的电路称为“非门”。由于非门的输出信号和输入信号反相，故“非门”又称为“反相器”。国际标准、常用及美日等国家所用的非门逻辑符号分别如图1-8所示。第1章 数字电路基础图1-8 非门逻辑符号第1章 数字电路基础与、或、非是三种基本逻辑运算，实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂得多，不过这些复杂的逻辑运算都可以通过三种基本的逻辑运算组合而成。最常见的复合逻辑运算有：与非运算、或非运算、
23、异或运算、同或运算以及与或非运算。它们所对应的逻辑门分别是与非门、或非门、异或门、同或门及与或非门。其逻辑表达式、真值表、逻辑符号及逻辑功能特征如表1-9、表1-10所示。1.4 1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算第1章 数字电路基础表表1-9 几种常见的复合逻辑运算几种常见的复合逻辑运算第1章 数字电路基础表表1-10 与或非运算真值表与或非运算真值表第1章 数字电路基础1.5.1 已知真值表求逻辑表达式和逻辑图已知真值表求逻辑表达式和逻辑图由真值表求逻辑表达式的一般方法：(1)找出使逻辑函数Y=1的行，每一行用一个乘积项表示，其中变量取值为“1”时用原变量表示，变量取值为“0”时用反变量表示
24、。(2)将所有的乘积项或运算，即可以得到Y的逻辑表达式。1.5 1.5 逻辑函数的几种表示方法及其相互转换逻辑函数的几种表示方法及其相互转换第1章 数字电路基础由真值表求逻辑图的一般方法是：(1)根据真值表写出逻辑函数的逻辑表达式。(2)对逻辑表达式进行化简(化简的方法将在1.6节中作详细介绍)。(3)把逻辑表达式中各个变量之间的逻辑运算用相应的逻辑符号表示出来，就得到了对应的逻辑图。第1章 数字电路基础【例例1.8】已知一个函数的真值表(见表1-11)，试写出它的逻辑表达式并画出逻辑图。解解 在表1-11中查到，使函数Y为1的变量取值组合是：A=0，B=1，C=1A=1，B=0，C=1 A=
25、1，B=1，C=0A=1，B=1，C=1 第1章 数字电路基础得到乘积项为、和ABC，将这四个乘积项相加，得到的逻辑表达式为有了逻辑表达式，按照先后顺序，用逻辑符号表示并正确连接起来就可以画出如图1-9所示的逻辑图。第1章 数字电路基础表表1-11 例例1.8的真值表的真值表第1章 数字电路基础图1-9 例1.8的逻辑图第1章 数字电路基础1.5.2 已知逻辑函数式求真值表和逻辑图已知逻辑函数式求真值表和逻辑图【例例1.9】已知逻辑表达式，求与它对应的真值表和逻辑图。解解观察表达式中的A、B、C三个输入变量，因此它们的各种可能取值有23=8组，将每组取值一一代入表达式，求出对应Y值，列成表格，
26、即得其真值表如表1-12所示。根据逻辑表达式，得逻辑图如图1-10所示。第1章 数字电路基础表表1-12 例例1.9的真值表的真值表第1章 数字电路基础图1-10 例1.9的逻辑图第1章 数字电路基础1.5.3 已知逻辑图求逻辑函数式和真值表已知逻辑图求逻辑函数式和真值表【例例1.10】试写出图1-11所示逻辑图的逻辑表达式并列出其真值表。解解 由图1-11知:，故其真值表如表1-13所示。第1章 数字电路基础表表1-13 例例1.10的真值表的真值表第1章 数字电路基础图1-11 例1.10的逻辑图第1章 数字电路基础1.6.1 基本公式、定律和常用规则基本公式、定律和常用规则1.逻辑代数的
27、基本公式、定律逻辑代数的基本公式、定律逻辑代数的基本公式和定律见表1-14。1.6 1.6 逻辑代数逻辑代数第1章 数字电路基础表表1-14 逻辑代数的基本公式和定律逻辑代数的基本公式和定律第1章 数字电路基础2.逻辑代数常用公式逻辑代数常用公式利用表1-14中的运算定律可以得到更多的公式。公式1(1.11)证明证明公式1的含义是：两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。第1章 数字电路基础公式2(1.12)证明证明公式3(1.13)证明证明第1章 数字电路基础公式4(1.14)证明证明 由反演律得由于，A，所以式(1.14)可写为 B(1.15)第1章 数
28、字电路基础3.逻辑代数的常用规则逻辑代数的常用规则1)代入规则在任一个逻辑等式中，若将等式两边出现的某变量A都用同一个逻辑函数替代且替代后等式仍然成立，这个规则称为“代入规则”。代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的，因为逻辑变量只有0和1两种取值，无论A=0或A=1代入逻辑等式，等式一定成立；而逻辑函数值也只有0和1两种取值，所以用它替代逻辑等式中的变量A后，等式当然仍成立。代入规则在推导公式中有很大用途，因为将已知等式中的某一变量用任一个函数代替后得到一个新的等式，所以扩大了等式的应用范围。第1章 数字电路基础【例例1.11】已知，试证明。证明证明 将中两边的变量B都用同一
29、个函数f(B,C)=BC替代得：第1章 数字电路基础2)反演规则对任何一个逻辑函数式Y，如果将式中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则可得到原来逻辑函数Y的反函数，这种变换规则称为“反演规则”。在应用反演规则变换时必须注意下面的问题。(1)不能改变原来的运算顺序，变换后的运算顺序要保持变换前的运算优先顺序，必要时可加括号表明运算的顺序。(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，而与非及或非等运算的长非号则保持不变。第1章 数字电路基础【例例1.12】已知逻辑函数，试用反演规则求反函数。解解 根据反演规则，可写出：第1章
30、数字电路基础3)对偶规则对任何一个逻辑函数式Y，如果将式中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则可得到一个新的逻辑函数式Y。Y和Y是互为对偶式，这种变换规则称为“对偶规则”。对偶变换要注意保持变换前运算的优先顺序不变。第1章 数字电路基础【例例1.13】已知下列逻辑函数表达式，求其相应的对偶式：解解 根据对偶规则，可写出：对偶规则的意义在于若两个函数式相等，则其对偶式也一定相等。因此对偶规则也适用于逻辑等式，如将逻辑等式两边同时进行对偶变换，则得到的对偶式仍然相等。利用对偶规则，可以把基本逻辑定律和公式扩展一倍。第1章 数字电路基础1.6.2 逻辑函数的代
31、数化简法逻辑函数的代数化简法1.简化逻辑函数的意义简化逻辑函数的意义我们知道，同一个逻辑函数可以写成不同的表达式。用基本逻辑门电路实现某函数时表达式越简单，需用门电路的个数就越少，因而也就越经济可靠。进行逻辑设计时根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，并且可以有不同的形式，因此实现这些逻辑函数就会有不同的逻辑电路。实现逻辑函数之前，往往要进行简化，即求出其最简表达式，然后根据最简表达式实现逻辑函数。简化和变换逻辑函数可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简捷的逻辑电路。对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力非常重要。第1章
32、数字电路基础2.逻辑函数式的几种常见形式及其变换逻辑函数式的几种常见形式及其变换逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能相互变换，这种变换在逻辑分析和设计中经常用到。常见的逻辑式主要有与或式、与或非式、或与式、与非与非式和或非或非式。例如，的5种形式分别如下：(1)最简与或式：(2)对最简与或式两次求反，上面的反号不动，下面的反号用德摩根定律，就可以得到最简与非与非式。第1章 数字电路基础(3)用反演规则求的反函数的最简与或式，再对求反，就可以得到最简与或非式：第1章 数字电路基础(4)对最简与或非式两次用德摩根定律，可以得到最简或与式：(5)对最简或与式两次求反，上面的反号不动，下
33、面的反号用德摩根定律，可以得到最简或非或非式：第1章 数字电路基础【例例1.14】将最简与或式Y=AC+BC转换成最简与非与非式和最简或非或非式。解解 最简与非与非式：最简或非或非式：因为Y=AC+BC，所以第1章 数字电路基础3.逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1)并项法利用互补律，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。【例例1.15】化简函数，写出它的最简与或式。解解【例例1.16】试用并项法化简函数，写出它的最简与或式。解解第1章 数字电路基础2)吸收法利用 和A+AB=A，将多余项或因子吸收。【例例1.17】试用吸收法化简函数 ，写出它的最简与或式。解解【例例1.18】试用吸收
34、法化简函数Y=AD(B+C+D)，写出它的最简与或式。解解 Y=AD(B+C+D)=ADB+ADC+AD=AD+ADC=AD第1章 数字电路基础【例例1.19】试用吸收法化简函数，写出它的最简与或式。解解 3)配项法利用A+A=A，和配项或增加多余项，再和其他项合并。第1章 数字电路基础【例例1.20】试用配项法化简函数，写出它的最简与或式。解解第1章 数字电路基础【例例1.21】试用配项法化简函数，写出它的最简与或式。解解第1章 数字电路基础【例例1.22】试用配项法化简函数，写出它的最简与或式。解解第1章 数字电路基础4)消去法利用，和,消去多余项。【例例1.23】试用消去法化简函数，写出
35、它的最简与或式。解解第1章 数字电路基础【例例1.24】试用消去法化简函数，写出它的最简与或式。解解【例例1.25】试用消去法化简函数，写出它的最简与或式。解解第1章 数字电路基础1.7.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式逻辑函数的最小项及最小项表达式1.最小项的定义最小项的定义如果P是由n个变量组成的一个与项，在P中每个变量都以原变量或反变量作为一个因子出现一次且仅出现一次，则称P为n个变量的一个最小项。显然，n个变量一共有2n个最小项。1.7 1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第1章 数字电路基础以三个变量A、B和C为例，共有23=8种取值组合：000、001、010、0
36、11、100、101、110和111，其对应的与项表示为：、ABC第1章 数字电路基础2.最小项的编号最小项的编号为了书写方便，对最小项采用编号的形式。编号的方法是：(1)将最小项所对应的取值组合看成二进制数，原变量为1，反变量为0。(2)将二进制数转换成十进制数。(3)该十进制数就是最小项所对应的编号，记作mi。第1章 数字电路基础3.最小项的性质最小项的性质(1)任何一个最小项，都对应一组变量取值组合，有且只有一组变量取值组合使它的值为1。(2)任何两个最小项的乘积为0。例如。(3)全部最小项的和为1。(4)具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。第1章 数字电路基础4.最
37、小项表达式最小项表达式(标准与或式标准与或式)利用真值表可以直接写出逻辑函数的最小项表达式。其方法是：首先找出使逻辑函数输出值为1的所有的输入变量的取值组合，将每组取值组合按照1表示原变量、0表示反变量的方法用与项表示，然后将这些与项进行逻辑加，就得到该逻辑函数的最小项表达式。【例例1.26】某一含变量A、B、C的逻辑函数的真值表如表1-15所示，试写出该逻辑函数的标准与或式。第1章 数字电路基础表表1-15 某逻辑函数的真值表某逻辑函数的真值表第1章 数字电路基础解解 根据上述方法，其最小项表达式为式中，为累计或运算符号。对于任意一个逻辑函数，也可以表示成标准与或式，方法是将每个与项进行等值
38、变换，将与项中所缺变量补齐，即可得到该逻辑函数的标准与或式。第1章 数字电路基础【例例1.27】将逻辑函数Y=AB+BC展开成标准与或式。解解 利用公式，对所缺变量补齐，则得第1章 数字电路基础1.7.2 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法1.卡诺图卡诺图卡诺图是逻辑函数的一种图示表示方法。它是将逻辑函数的最小项按一定的规律(相邻性原则)排列成方格矩阵，每个方格对应一个最小项。如果两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。若将n变量的全部2n个最小项用2n个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，则所得的图形称为n变量卡诺图。第
39、1章 数字电路基础画变量卡诺图的步骤如下：(1)根据输入变量的个数确定卡诺图。n个输入变量的逻辑函数有2n个最小项，因此，应将卡诺图分割成2n个小方格，每个小方格对应一个最小项。(2)最小项的序号。最小项的序号与方格的序号相同，根据方格外边行变量和列变量的取值决定。方格左边是列输入变量，方格上边是行输入变量。如A=1，BC=01，对应的小方格序号为101(或5)，对应的最小项序号为m5(或5)。第1章 数字电路基础(3)变量取值顺序采用的是循环码(格雷码)顺序。变量卡诺图的变量取值之所以按循环码的顺序排列，是为了保证凡是几何相邻的最小项在逻辑上也相邻。下面介绍几何相邻和逻辑相邻的定义和特点。几
40、何相邻。最小项在卡诺图中凡是满足下面三种情况中的一种或一种以上的就叫几何相邻。相接挨着的最小项；相对一行或一列两头的最小项；相重对折起来能够重合的最小项。第1章 数字电路基础 逻辑相邻。只有一个变量不同，其余变量都相同的两个最小项叫做在逻辑上是相邻的。例如，和两个最小项，只有A的形式不同，其余变量都相同，所以 和 是逻辑相邻的最小项。图1-12是二至五变量的卡诺图。第1章 数字电路基础图1-12 二变量至五变量卡诺图 (a)二变量卡诺图;(b)三变量卡诺图；(c)四变量卡诺图；(d)五变量卡诺图第1章 数字电路基础2.逻辑函数的卡诺图的画法逻辑函数的卡诺图的画法用卡诺图表示逻辑函数，一般按下列
41、步骤进行：(1)根据逻辑式中的变量n，绘制n变量最小项卡诺图；(2)在卡诺图上，与逻辑函数中的最小项相对应的位置上填入1，其余填入0或不填。这样就得到了逻辑函数的卡诺图。第1章 数字电路基础【例例1.28】试绘制的卡诺图。解解第1章 数字电路基础图1-13 例1.28的卡诺图第1章 数字电路基础这是个三变量逻辑函数的最小项表达式，首先绘制一个三变量最小项卡诺图，在卡诺图的1、2、5和7中填入“1”，其余的位置不填，结果如图1-13所示。逻辑函数的卡诺图是逻辑函数的一种表示方法。逻辑函数的卡诺图也具有唯一性，即一个逻辑函数只有一个卡诺图。逻辑函数真值表和逻辑函数的标准与或式是一一对应的关系，所以
42、可以直接根据真值表填卡诺图。第1章 数字电路基础【例例1.29】已知逻辑函数Y的真值表如表1-16所示，试绘制逻辑函数Y的卡诺图。表表1-16 逻辑函数逻辑函数Y的真值表的真值表第1章 数字电路基础解解 首先画出三变量卡诺图，如图1-14所示。然后将真值表中Y=1对应的最小项m1、m2、m4、m7在卡诺图中对应的方格里填写1，其余方格不填。当一个逻辑函数为一般表达式时，可将其化成标准与或式后绘制卡诺图。但这样做往往很麻烦，实际上只需把逻辑函数式展开成与或式即可，然后根据与或式每个与项的特征直接填入卡诺图。具体方法是把每一个与项所含的最小项对应的卡诺图小方格中均填入1，直到填完逻辑式的全部与项。
43、第1章 数字电路基础图1-14 例1.29的卡诺图第1章 数字电路基础【例例1.30】已知逻辑函数，试绘制其卡诺图。解解 (1)把逻辑式展开成与或式：(2)绘制四变量最小项卡诺图，如图1-15所示。(3)将与或式每个与项所含的最小项对应的小方格中均填入1。第1章 数字电路基础图1-15 例1.30的卡诺图第1章 数字电路基础1.7.3 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数1.合并最小项的规律合并最小项的规律(1)若两个最小项逻辑相邻，则可合并为一项，同时消去一个互反变量。合并后的结果只剩下公共变量。图1-16(a)和图1-16(b)中画出了两个最小项相邻的情况。对于图1-16(a)，m0和
44、m2相邻，m3和m2相邻，m5和m7相邻，所以合并时可以消去一对互反因子。例如：第1章 数字电路基础图1-16 最小项合并时逻辑相邻的几种情况(a)2个最小项相邻；(b)2个最小项相邻；(c)4个最小项相邻；(d)4个最小项相邻(e)8个最小项相邻第1章 数字电路基础(2)若4个最小项逻辑相邻，则可合并为一项，同时消去两个互反的变量。合并后的结果只剩下公共变量。图1-16(c)和图1-16(d)的矩形框中是4个最小项相邻的情况。对于图1-16(d)，有3组4个最小项相邻情况，它们分别是m4、m5、m12和m13，m3、m7、m15和m11，m3、m2、m11和m10。第3组合并得到第1章 数字
45、电路基础(3)若8个最小项逻辑相邻并且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去3个互反变量。合并后的结果只剩下公共变量。例如在图1-16(e)中左右两列的8个最小项是相邻的，可将它们合并为一项，其他3个变量被消去了。至此，可以归纳出合并最小项的一般规律：在n个变量的卡诺图中，若有2k个方格逻辑相邻，它们可以圈在一起加以合并，合并时消去k个变量，简化为具有nk个变量的乘积项。若k等于n则可以消去全部变量，结果为1。第1章 数字电路基础2.卡诺图化简逻辑函数的步骤卡诺图化简逻辑函数的步骤(1)卡诺图化简法的步骤：绘制逻辑函数的卡诺图。为填“1”的相邻最小项绘制包围圈。分别简化各图的包围圈。将各圈简化
46、结果进行逻辑加，得到逻辑函数的最简与或式。第1章 数字电路基础(2)绘制包围圈的原则：只有相邻的“1”方格才能合并，且每个包围圈内必须包围2n个相邻的“1”方格。为了充分简化，“1”可以被重复圈在不同的包围圈中，但新绘制的圈中必须有未被圈过的“1”。包围圈的个数尽量少，这样逻辑函数的与项就少。包围圈尽量大，这样消去的变量就多，与门输入端的数目就少。绘制包围圈时应包含所有的最小项，即覆盖卡诺图中所有的“1”。第1章 数字电路基础(3)绘制包围圈时应注意的问题：同一列最上边和最下边循环相邻，可绘制包围圈。同一行最左边和最右边循环相邻，可绘制包围圈。4个角上的“1”方格也循环相邻，可绘制包围圈。第1
47、章 数字电路基础【例例1.31】利用卡诺图化简解解 (1)用卡诺图表示该逻辑函数，如图1-17所示。(2)绘制包围圈。将相邻的“1”方格合并，如图1-17所示。第1章 数字电路基础(3)将所有包围圈最小项的合并结果进行逻辑加，得到逻辑函数的最简与或式。第一行两个“1”方格的包围圈对应的乘积项为：。第四行两个“1”方格的包围圈对应的乘积项为：。中间4个“1”方格的包围圈对应的乘积项为：。将三个乘积项求和得到结果，即第1章 数字电路基础图1-17 例1.31的卡诺图第1章 数字电路基础【例例1.32】用卡诺图简化逻辑函数Y=m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)为最简与或式。解解 (1)
48、绘制4变量逻辑函数卡诺图，如图1-18所示。(2)绘制包围圈。将相邻的“1”方格合并，注意卡诺图4个角上的“1”方格也是循环相邻的，应圈在一起，故应绘制4个包围圈，如图1-18所示。第1章 数字电路基础图1-18 例1.32的卡诺图第1章 数字电路基础(3)将所有包围圈最小项的合并结果进行逻辑加，得到逻辑函数的最简与或式为第1章 数字电路基础1.7.4 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简1.逻辑函数中的无关项逻辑函数中的无关项无关项是指那些与所讨论的逻辑问题没有关系的变量取值组合所对应的最小项，这些最小项有两种。(1)某些变量取值组合不允许出现，如在8421码中10101
49、111这6种代码是不允许出现的，即受到约束，称为“约束项”。(2)某些变量取值组合在客观上不会出现，如在联动互锁开关系统中，几个开关的状态互斥，每次只闭合一个开关。其中一个开关闭合时，其余开关必须断开。因此在这种系统中两个以上开关同时闭合的情况是客观不存在的，这样的开关组合称为“随意项”。第1章 数字电路基础2.具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简在卡诺图中无关项对应的方格常用“”和“”来标记。在对含有无关项的逻辑函数进行化简时，要充分利用无关项既可看做1也可看做0的特性，尽量扩大卡诺图上所画的圈，才能尽可能多地消除项或变量。在逻辑函数式中用字母d(或)和相应的编号表示无关项。
50、【例例1.33】简化逻辑函数Y=m(0,1,4,6,9,13)+d(2,3,5,7,10,11,15)式中d(2,3,5,7,10,11,15)表示最小项m2、m3、m5、m7、m10、m11和m15为无关项。解解 (1)绘制4变量逻辑函数的卡诺图，如图1-19所示。第1章 数字电路基础图1-19 例1.33的卡诺图第1章 数字电路基础(2)在函数式中含有的最小项方格中填入1，在无关项方格中填入。(3)合并最小项，与“1”方格圈在一起的无关项作为“1”方格，没有圈的无关项丢弃不用(作为0处理)。(4)写出逻辑函数的最简与或式：显然，利用无关项后的最简与或式更为简单。第1章 数字电路基础在数字电
