1、直线方向向量和平直线方向向量和平面法向量面法向量1/19研究立体几何问题立体几何问题 2/19OP3/19 ABP4/19PO5/19例例1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是分别是C1C、B1C1中点中点,求证求证:MN平面平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法法1:法法2:即即 可用可用 与与 线性表示线性表示,故故 与与 是共面向量是共面向量,MN平面平面A1BD6/19 假如表示向量假如表示向量 有向线段所在直线垂有向线段所在直线垂直于平面直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记记作作 ，假如，假如 ，那么向量，那么向量
2、叫做平面叫做平面 法向量法向量.二、平面法向量二、平面法向量(1)(1)定义定义7/19(2)了解了解1.1.平面法向量是平面法向量是非零向量非零向量;2.2.一个平面法向量一个平面法向量不是唯一不是唯一，其所，其所有法向量都相互平行有法向量都相互平行;二、平面法向量二、平面法向量3.3.向量向量 是平面是平面 法向量，法向量，若若 ，则有，则有8/19A 给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量 ,那那么过点么过点A A以向量以向量 为法向量平面为法向量平面是完全确定是完全确定.二、平面法向量二、平面法向量(3)(3)法向量确定平面位置法向量确定平面位置9/19二、平面法向量二、平面法向量
3、(4)(4)求法求法 步骤：步骤：10/19A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例2.2.在正方体在正方体中，中，E、F分分别是是BB1,1,，平面平面ADE 证实：设正方体棱长为证实：设正方体棱长为1，为单位正交为单位正交 基底，建立如图所表示坐标系基底，建立如图所表示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以11/19三、用方向向量和法向量判定位置关系三、用方向向量和法向量判定位置关系12/19三、用方向向量和法向量判定位置关系三、用方向向量和法向量判定位置关系13/19例例1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是分别是C
4、1C、B1C1中点中点,求证求证:MN平面平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法法3:建立如图所表示空间直角坐标系建立如图所表示空间直角坐标系.xzy设正方体棱长为设正方体棱长为1,则可求得则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是于是 设平面设平面A1BD法向量是法向量是则则 得得取取x=1,得得y=-1,z=-1,14/19练习一1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2方向向量方向向量,依据下依据下 列条件列条件,判断判断l1,l2位置关系位置关系.平行平行垂直垂直平行平行15/19练习二1.设设 分别是平面分别是平
5、面,法向量法向量,依据依据 以下条件以下条件,判断判断,位置关系位置关系.垂直垂直平行平行相交相交16/19练习三1、设平面、设平面 法向量为法向量为(1,2,-2),平面平面 法向量为法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k=；若；若 则则 k=。2、已知、已知 ，且，且 方向向量为方向向量为(2,m,1)，平面法，平面法向量为向量为(1,1/2,2),则则m=.3、若、若 方向向量为方向向量为(2,1,m),平面平面 法向量为法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m=.4-5-8417/19一、平行关系：一、平行关系：课时小结课时小结18/19二、垂直关系：二、垂直关系：19/19
