1、第一讲 不等式和绝对值不等式1、不等式1/421、不等式基本性质：、对称:传递性：_ 、，a+cb+c、ab，那么acbc；ab，那么acbc、ab0，那么，acbd、ab0，那么anbn.（条件 ）、ab0 那么 （条件 ）2/42练习：1、判断以下各命题真假，并说明理由：（1）假如ab，那么acbc；（2）假如ab，那么ac2bc2；（3）假如ab，那么anbn(nN+)；（4）假如ab,cb-d。2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)大小。（假命题）（假命题）（假命题）（假命题）（真命题）（真命题）（假命题）（假命题）解：因为解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)
2、=x2+3x+2-(x2+3x-18)=200，所以所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)3/42由由可得可得4/42例3、若a、b、x、yR，则 是 成立（）A.充分无须要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也无须要条件C例5、已知f(x)=ax2+c，且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)取值范围。例4、对于实数a、b、c，判断以下命题真假：（1）若cab0，则（2）若ab,，则a0，b0，那么当且仅当a=b时，等号成立。证实：证实：因为因为 =a+b-2 00，所以所以a+b a+b ，上式当且仅当上式当且仅当 ，即，即a=ba=b时，等号成时，等号成立。立
3、。称为称为a,b算算术平均术平均称为称为a，b几几何平均何平均 两个正数算术平均大于它们几何平均。两个正数算术平均大于它们几何平均。如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式几何解释。CABDO9/42例例3 求证：（求证：（1）在全部周长相同矩形中，正方形面积最）在全部周长相同矩形中，正方形面积最大；（大；（2）在全部面积相同矩形中，正方形周长最短。）在全部面积相同矩形中，正方形周长最短。结论：已知结论：已知x,y都是正数。（都是正数。（1）假如积）假如积xy是定值是定值p，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值2 ；（
4、；（2）假）假如和如和x+y是定值是定值s，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值小结：了解并熟练掌握基本不等式及其应用，小结：了解并熟练掌握基本不等式及其应用，尤其要注意利用基本不等式求最值时，尤其要注意利用基本不等式求最值时，一定一定要满足要满足“一正二定三相等一正二定三相等”条件条件.10/42题型二题型二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【例例2 2】求以下各题最值求以下各题最值.（1 1）已知）已知x x0,0,y y0,lg 0,lg x x+lg+lg y y=1,=1,求求 最最 小值；小值；（2 2）x x0,0,求求 最小值；最小值；（3 3）x x3
5、0,0,y y00，且，且 求求x x+y y 最小值；最小值；（2 2）已知）已知x x 8abc；（2）a+b+c3、已知x、yR,求证：15/42小结：了解并熟练掌握基本不等式及其应用，尤其要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三一正二定三相等相等”条件。16/423、三个正数算术-几何平均不等式17/42例1：18/4219/42在对角线有相同长度全部矩形中，怎样矩形周长最长，怎样矩形面积最大？例3:在体对角线有相同长度长方体中，怎样长方体体积最大？类比20/42二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式 实数a绝对值|a|几何意义是表示数轴上坐标为a点A到原点距离：OaAx|a
6、|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上对应点分别为A、B，那么|a-b|几何意义是A、B两点间距离。21/42 联络绝对值几何意义，从“运算”角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间关系：分ab0和ab0时，以下列图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b22/42（2）当ab0,b0，以下列图可得：|a+b|a|+|b|Obaxa+b假如a0，以下列图可得：|a+b|00，|x-a|x-a|,|y-b|,|y-b|，求证：，求证：|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5.证实：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)
7、|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.所以所以|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|0，则|x|a解集是(-,-a)(a,+)Oa-axO-aax|x|a30/42（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式解法：换元法：令t=ax+b,转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式解集。分段讨论法：31/42例3 解不等式|3x-1|2例4 解不等式|2-3x|7补充例题：解不等式32/42|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解意义区分|ax+b|c-cax+b-c x
8、|ax+bcax+bcx|ax+bc,并33/42例例534/42补充练习：解不等式：（1）|x-1|-4|x+3.答案：（1）x|-5x-1或3x7 （2）35/4236/42x12-2-3ABA1B137/4238/42yxO-32-239/42利用绝对值不等式几何意义利用绝对值不等式几何意义零点分区间法零点分区间法结构函数法结构函数法40/42含参不等式解法【例【例7】已知关于】已知关于x不等式不等式|x-3|+|x-4|a.解集为空集解集为空集,求实数求实数a取值范围取值范围;41/42作出作出y=|x-3|+|x-4|与与y=a图象图象,若使不等式若使不等式|x-3|+|x-4|k恒成立恒成立,则实数则实数k取取值范围是值范围是_.(-,1)42/42
