1、第三节第三节 二阶常系数线性微分方程解法二阶常系数线性微分方程解法一、二阶常系数线性微分方程解性质与通解结构一、二阶常系数线性微分方程解性质与通解结构二二阶常系数常系数线性微分方程性微分方程标准形式标准形式其中其中a,b是常数是常数.(1)(2)称称为二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性微分方程。线性微分方程。第1页1二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解性质线性方程解性质回顾回顾一阶齐次线性一阶齐次线性方程方程1 1、方程、方程(1)(1)任意两个解和仍是任意两个解和仍是(1)(1)解；解；2 2、方程、方程(1)(1)任意一个解常数倍仍是任意一个解常数倍仍是(1)(1)解；解；第2页2二阶常系
2、数二阶常系数齐次齐次线性方程解性质线性方程解性质1 1、方程、方程(2)任意两个解和仍是任意两个解和仍是(2)解；解；2 2、方程、方程(2)任意一个解常数倍仍是任意一个解常数倍仍是(2)解；解；也是也是(2)解解.(称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(2)通解通解.定理定理1 1(2)第3页3二、二阶常系数二、二阶常系数齐次齐次线性方程线性方程解法解法 代数方程代数方程(3)称称为微分方程微分方程(2)特征方程特征方程,它它根称根称为特征根特征根(或或特征值特征值).).(3)(2)第4页4故它故它们线性无关性无关,所以所以(2)通解通解为 (3)情形情形1 1 第5页5情形情形2
3、 2 需要求另一个特解需要求另一个特解第6页6情形情形3 3 能够证实能够证实,是是(2)解，解，且线性无关，且线性无关，所以方程所以方程(2)通解通解为 第7页7小结小结 特征根情况特征根情况通解表示式通解表示式 实根实根实根实根复根复根第8页8解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为第9页9解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为例例3 3特征根为特征根为第10页10对应齐次方程对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解性质及求解法线性方程解性质及求解法(1)(2)1 1
4、、方程方程(1)任意一个解加上方程任意一个解加上方程(2)任意一个解是任意一个解是(1)解；解；2 2、方程方程(1)任意两个解之差是任意两个解之差是(2)解解 .定理定理2 2那么方程那么方程(1)(1)通解为通解为第11页11问题归结为求方程问题归结为求方程(1)一个特解一个特解.只讨论只讨论 f(x)两种类型两种类型.用用待定系数法待定系数法求解求解.对应齐次方程对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解性质及求解法线性方程解性质及求解法(1)(2)那么方程那么方程(1)(1)通解为通解为定理定理2 2第12页12则则第13页13情形情形1 1 若若 r 不是特征根不
5、是特征根,即即情形情形2 2 若若 r 是特征方程是特征方程单根根,即即第14页14情形情形3 3 若若 r 是特征方程是特征方程二重二重根根,即即第15页15综上讨论综上讨论设特解为设特解为其中其中第16页16解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例4 4代入原方程代入原方程,得得 第17页17解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程，代入方程，原方程通解为原方程通解为例例5 5得得第18页18解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6代入方程代入方程,得得第19页19解解对应齐次方程通解对应齐次方程
6、通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6注意：注意：现即现即即得即得这么比代入原方程要简便得多。这么比代入原方程要简便得多。第20页20解解例例7 7对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根第21页21此此时原方程通解原方程通解为 第22页22能够证实能够证实,方程方程(1)含有以下形式特解含有以下形式特解:第23页23解解例例8 8所求所求通解通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得 第24页24解解例例9 9所求所求通解通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得
7、第25页25定理定理3(3(非齐次线性方程叠加原理非齐次线性方程叠加原理)和和特解特解,一个特解一个特解,第26页26例例1010解解代入得代入得第27页27解解代入得代入得原方程通解为原方程通解为例例1010第28页28解解例例1111是是对应齐次方程通解次方程通解,但没有原方程特解但没有原方程特解,故故(B)B)也不也不对；二二阶非非齐次次线性微分方程性微分方程 第29页29第30页30解解例例1212求导，求导，原方程改写为原方程改写为再求导，再求导，第31页31对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入得代入得 第32页32初始条件初始条件:第33页33练习：练习：P394 习题九习题九第34页34
