1、复习：复习：1 1、概率加法公式。、概率加法公式。2 2、概率乘法公式。、概率乘法公式。（若（若A，B互不相容时）互不相容时）独独=P(B)P(A|B)P(AB)=P(A)P(B|A)第1页*3 3、事件独立性、事件独立性显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生概发生概率率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，比如比如 将将一颗均匀骰子连掷两次，一颗均匀骰子连掷两次，设设第2页定义定义 若两事件若两事件A、B满足满足P(AB)=P(A)P(B)则称则称A、B独立，
2、或称独立，或称A、B相互独立相互独立.1）设设A、B是两事件，是两事件，若若A、B独立，则独立，则 P(A|B)=P(A)或或P(B|A)=P(B).反之亦然反之亦然.性质性质2 2）若事件）若事件 相互独立，则相互独立，则也相互独立也相互独立.3 3）若）若 个事件个事件是相互独立，是相互独立，则有则有第3页例例6 6 假如幼儿在学语前就失聪，则极难学会说话，故有假如幼儿在学语前就失聪，则极难学会说话，故有“十十聋九哑聋九哑”一说，表明失聪与失语关系一说，表明失聪与失语关系.那么，辨音能力是否也那么，辨音能力是否也影响辨色能力呢？临床积累资料见表：影响辨色能力呢？临床积累资料见表：耳聋（A）
3、非聋（）累计色盲（B）0.00040.07960.0800非色盲（）0.00460.91450.9200累计0.00500.99501.0000解解 二者是否相互联络可由事件二者是否相互联络可由事件A和和B是否相互独立是否相互独立 来判断来判断.已知已知因为因为故故A与与B相互独立，从而推断两种状态无联络相互独立，从而推断两种状态无联络.第4页例例7 7 甲、乙两名射手同时向一个目标进行射击，甲命中率甲、乙两名射手同时向一个目标进行射击，甲命中率为为0.60.6，乙命中率为，乙命中率为0.50.5，求目标被击中概率。，求目标被击中概率。解解 设设另解另解 第5页例例8 8 某种彩票每七天开奖一
4、次，每次中大奖概率是十某种彩票每七天开奖一次，每次中大奖概率是十万分之一万分之一 ，若你每七天买一张彩票，尽管你坚持买了，若你每七天买一张彩票，尽管你坚持买了十年，（每年十年，（每年5252周），试求你从未中过大奖概率。周），试求你从未中过大奖概率。解解 设设第6页第7页主要内容n一、全概率公式n二、逆概率公式第8页一、全概率公式一、全概率公式定理定理 设事件设事件两两互不相容，且两两互不相容，且若若则对任一事件则对任一事件B都有都有-全概率公式全概率公式B第9页在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是伴伴总是伴伴随某个随某个Ai出现，适当地去结构这一组出现，适
5、当地去结构这一组Ai往往能够简往往能够简化计算化计算.全概率公式来由全概率公式来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它理论和实用意义在于它理论和实用意义在于:第10页 某某一一事事件件B发发生生有有各各种种可可能能原原因因(i=1,2,n)，假如，假如B是由原因是由原因Ai所引发，则所引发，则B发生概率是发生概率是 每一原因都可能造成每一原因都可能造成B发生，故发生，故B发生发生概率是各原因引发概率是各原因引发B发生概率总和，即发生概率总和，即全全概率公式概率公式.P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式
6、全概率公式.我们还能够从另一个角度去了解我们还能够从另一个角度去了解第11页 由此能够形象地把全概率公式看成为由此能够形象地把全概率公式看成为“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果发发生生有有一一定定“作作用用”，即即结结果果发发生生可可能能性性与与各各种种原原因因“作作用用”大大小小相相关关.全全概概率率公公式式表表示示了了它它们们之之间间关关系系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果第12页全概率公式使用全概率公式使用我们把事件我们把事件B看作某一过程结果，看作某一过程结果，依据历史资料，每一原因发生概率已知，依据历史资料，每一原因发生概
7、率已知，而且每一原因对结果影响程度已知，而且每一原因对结果影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生概率则我们可用全概率公式计算结果发生概率第13页例例1 1 设某医院仓库中有设某医院仓库中有1010盒一样规格盒一样规格X X光片，已知其光片，已知其中有中有5 5 盒、盒、3 3盒、盒、2 2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产。盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产。且甲、乙、丙三厂生产该种且甲、乙、丙三厂生产该种X X光次品率依次为光次品率依次为1/101/10、1/151/15、1/201/20，现从这，现从这1010盒中任取一盒，再从这盒中盒中任取一盒，再从这盒中任取一张任取一张X X光片，求取得光
8、片，求取得X X光片是次品概率。光片是次品概率。解解第14页例例1 1 设某医院仓库中有设某医院仓库中有1010盒一样规格盒一样规格X X光片，已知其光片，已知其中有中有5 5 盒、盒、3 3盒、盒、2 2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产。盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产。且甲、乙、丙三厂生产该种且甲、乙、丙三厂生产该种X X光次品率依次为光次品率依次为1/101/10、1/151/15、1/201/20，现从这，现从这1010盒中任取一盒，再从这盒中盒中任取一盒，再从这盒中任取一张任取一张X X光片，求取得光片，求取得X X光片是次品概率。光片是次品概率。解解第15页第16页例例2 2 某药厂用从甲
9、、乙、丙三地收购而来药材加工某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来药材加工生产出一个中成药，三地供货量分别占生产出一个中成药，三地供货量分别占40%40%、35%35%和和25%25%，且用这三地药材能生产出优等品概率分别为，且用这三地药材能生产出优等品概率分别为0.650.65、0.700.70和和0.850.85，求从该厂产品中任意取出一件，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品概率成品是优等品概率.解解 第17页解解 由全概率公式：由全概率公式：第18页该该球球取取自自哪哪号号箱箱可可能能性性最最大大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问
10、题在实际中更为常见，它所求是条件这一类问题在实际中更为常见，它所求是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小能性大小.某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发觉是红球发觉是红球,求该球是求该球是取自取自1 1号箱概率号箱概率.1 12 23 31 1红红4 4白白或者问或者问:第19页二、逆概率公式二、逆概率公式例例3 3 假如在假如在 例例1 1 中已知抽到中已知抽到X X光片是次品，求该次光片是次品，求该次品是由甲厂、乙厂、丙厂生产概率。品是由甲厂、乙厂、丙厂生产概率。解解第20页例例3 3 假如在假如在 例例1
11、 1 中已知抽到中已知抽到X X光片是次品，求该次光片是次品，求该次品是由甲厂、乙厂、丙厂生产概率。品是由甲厂、乙厂、丙厂生产概率。解解第21页定理定理 设设完备事件组，且完备事件组，且则在事件则在事件B已发生情况已发生情况下，下，条件概率为条件概率为上式就是上式就是贝叶斯公式贝叶斯公式，又称为，又称为逆概率公式逆概率公式.第22页 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它能够帮助贝叶斯公式在实际中有很多应用，它能够帮助人们确定某结果（事件人们确定某结果（事件 B）发生最可能原因）发生最可能原因.该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在它是在观察到事件观察到事件B已发
12、生条件下，寻找造成已发生条件下，寻找造成B发生每个原发生每个原因概率因概率.第23页BayesBayes公式使用公式使用我们把事件我们把事件B看作某一过程结果，看作某一过程结果，依据历史资料，每一原因发生概率已知，依据历史资料，每一原因发生概率已知，而且每一原因对结果影响程度已知，而且每一原因对结果影响程度已知，假如已知事件假如已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个原因个原因引发概率，则用引发概率，则用Bayes公式公式返回主目录第24页例例4 4 用血清诊疗肝癌，临床实践表明，患肝癌病人中有用血清诊疗肝癌，临床实践表明，患肝癌病人中有95%95%试验呈阳性，也有试
13、验呈阳性，也有2%2%非肝癌患者化验呈阳性。若将此非肝癌患者化验呈阳性。若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%0.2%，现某，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌概率。人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌概率。解解 令令A=被化验者确患肝癌症；被化验者确患肝癌症；B=被化验者结果呈阳性；被化验者结果呈阳性；第25页解解 令令A=被化验者确患肝癌症；被化验者确患肝癌症；B=被化验者结果呈阳性；被化验者结果呈阳性；第26页现在来分析一下结果意义现在来分析一下结果意义2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于
14、诊疗一个人是否患有癌症这种试验对于诊疗一个人是否患有癌症 有没有意义有没有意义？假如不做试验假如不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者概率他是患者概率P(A)=0.002 若试验后得阳性反应，则依据试验得来信息，此人是若试验后得阳性反应，则依据试验得来信息，此人是患者概率为患者概率为 P(AB)=0.087 从从0.002增加到增加到0.087，快要增加约，快要增加约43倍倍.有意义第27页2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症概率为此人确患癌症概率为 P(AB)=0.087 即使你检出阳性，尚可无须过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可无
15、须过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有8.7%(平均来说，平均来说，1000个人中个人中大约只有大约只有87人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要经过再试，此时医生常要经过再试验来确认验来确认.第28页例例5 5 在某一季节，疾病在某一季节，疾病发病率为发病率为2%2%，病人中，病人中40%40%表现出症状表现出症状S S，疾病，疾病发病率为发病率为5%5%，其中，其中18%18%表现出症状表现出症状S S，疾病，疾病发病率为发病率为0.5%0.5%，症状，症状S S 在病在病人中占人中占60%60%。问任意一位病人有症状。问任意一位病人有症状S S 概率有多大？概率有多大？病人
16、有症状病人有症状S S时患疾病时患疾病概率各有多大？概率各有多大？解解 由全概率公式得：由全概率公式得：第29页由逆概率公式得由逆概率公式得第30页贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为原因先分别称为原因先验验概率概率和和后验概率后验概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有深入信息（不知道事件是在没有深入信息（不知道事件B是是否发生）情况下，人们对诸事件发生可能性大小认识否发生）情况下，人们对诸事件发生可能性大小认识.当有了新信息（知道当有了新信息（知道B发生），人们对诸事件发生可发生），人们对诸事件发生可能性大小能性大小P(Ai|B)有了新
17、预计有了新预计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种改变。贝叶斯公式从数量上刻划了这种改变。第31页小结：小结：全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式综合利用它们是加法公式和乘法公式综合利用,同学们同学们可经过深入练习去掌握它们可经过深入练习去掌握它们.值得一提是，以后学者依据贝叶斯公式思想发展值得一提是，以后学者依据贝叶斯公式思想发展了一整套统计推断方法，叫作了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式影响可见贝叶斯公式影响.第32页作 业预习预习 第三章第三章第33页例例1 1 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到1212岁以上概率为岁以
18、上概率为0.80.8，活到，活到2020岁以上概率为岁以上概率为0.40.4。假如现在有一个。假如现在有一个1212岁这岁这种动物，问它能活到种动物，问它能活到2020岁以上概率是多少？岁以上概率是多少？解解 设设A A表示表示“能活到能活到1212岁以上岁以上”,”,B B表示表示“能活能活到到2020岁以上岁以上”.”.则则由已知由已知从而所求概率为从而所求概率为第34页 例例2 2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出概率分别为出概率分别为1/51/5，1/31/3，1/41/4，问三人中最少有一人，问三人中最少有一人能将密码译出概率是多少？能将
19、密码译出概率是多少？解解 将三人编号为将三人编号为1 1，2 2，3 3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)第35页 练练习习 假假定定患患有有疾疾病病 中中某某一一个个人人可可能能出现症状出现症状 中一个或多个，其中中一个或多个，其中 S S1 1=食欲不振食欲不振 S S2 2=胸痛胸痛 S S3 3=呼吸急促呼吸急促 S S4 4=发烧发烧现从现从0 0份患有疾病份患有疾病 病历卡中统计得到以下数字：病历卡中统计得到以下数字：疾病
20、疾病人数人数出现出现S S中一个或几个症状中一个或几个症状人数人数 775075005250420070003500第36页试试问问当当一一个个含含有有S S中中症症状状病病人人前前来来要要求求诊诊疗疗时时，在在没没有有别别可可依依据据诊诊疗疗伎伎俩俩情情况况下下，诊诊疗疗该该病病人人患患有有这这三三种种疾病中哪一个较适当？疾病中哪一个较适当？解解 以以A A表示事件表示事件“患者出现患者出现S S中一些症状中一些症状”,”,表表示示事事件件“患患者者患患有有疾疾病病 ”（i i=1=1，2 2，3 3），因因为为该该问问题题观观察察个个数数很很多多，用用事事件件频频率率作作为为概概率率近近似似是是适当，由统计数字可知适当，由统计数字可知第37页从而从而第38页由贝叶斯公式可得由贝叶斯公式可得从而推测病人患有疾病从而推测病人患有疾病 较为合理。较为合理。第39页
