1、第二章第二章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型2.3 传递函数与系统动态结构图传递函数与系统动态结构图2.3.1 传递函数定义传递函数定义设系统标准微分方程为C(t)为输出量，r（t）为输入量第1页在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到整理得传递函数，记作G（s）第2页 传递函数定义：对线性定常系统（步骤），在零初始条件下，输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比，记作G(s)用方框图表示 G(s)R(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)第3页2.3.2传递函数性质传递函数性质1）只适合用于线性定常系统，不适合用于非线性系统或时变系统。）只适合用于
2、线性定常系统，不适合用于非线性系统或时变系统。2）传递函数是表征线性定常系统或元件本身固有特征，取决于它本身）传递函数是表征线性定常系统或元件本身固有特征，取决于它本身结构和参数，与其输入信号大小、形式无关。结构和参数，与其输入信号大小、形式无关。3）表示了特定输出量与输入量之间关系。）表示了特定输出量与输入量之间关系。4）传递函数是复变量）传递函数是复变量S有理分式，且分子、分母多项式各项系数均为有理分式，且分子、分母多项式各项系数均为实数，分母多项式次数实数，分母多项式次数n大于等于分子多项式次数大于等于分子多项式次数m。5）传递函数含有正、负号（输入量和输出量改变方向）。）传递函数含有正
3、、负号（输入量和输出量改变方向）。6）传递函数单位是输出量单位与输入量单位之比。）传递函数单位是输出量单位与输入量单位之比。7）传递函数能够写成）传递函数能够写成 ，K=bm/an，称为增益。称为增益。-zj(j=1,2,m)成为传递函数零点，成为传递函数零点，-pi(i=1,2,n)成为传递函数极点成为传递函数极点第4页上图所表示是零、极点分布图。第5页百百分分比比步步骤骤传传递递函函数数r(t)c(t)t0百分比步骤（无惯性步骤）：百分比步骤（无惯性步骤）：c(t)=kr(t)c(t)=kr(t)传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=kG(S)=C(S)/R(S)=k阶跃响应：
4、阶跃响应：R(S)=1/SR(S)=1/S C(S)=kR(S)=k/S C(S)=kR(S)=k/S方框图：方框图：C(t)=kC(t)=kk kR(S)R(S)C(S)C(S)1测速发电机：测速发电机：U(t)=KU(t)=Kt td d(t)/dt=k(t)/dt=kt t(t)(t)G(S)=U(S)/G(S)=U(S)/(S)=K(S)=Kt tR R2 2R R1 1R RC(t)r(t)运算放大器：运算放大器：C(t)=RC(t)=R2 2/R/R1 1 r(t)r(t)G(S)=C(S)/R(S)=RG(S)=C(S)/R(S)=R2 2/R/R1 1=K K 2.2 2.2
5、传递函数传递函数传递函数传递函数第6页微微分分步步骤骤传传递递函函数数微分步骤：微分步骤：c(t)=c(t)=K Kdr(t)/dtdr(t)/dt 传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=G(S)=C(S)/R(S)=K KS S方框图：方框图：K KS SR(S)R(S)C(S)C(S)4因为微分步骤含有惯性实际因为微分步骤含有惯性实际经常以经常以G(S)=kTS/(TS+1)G(S)=kTS/(TS+1)形形式出现式出现 。其中。其中T T为时间常数，为时间常数，T T越小微分作用越强，当越小微分作用越强，当T T0 0 而而 K TK T保 持 有 限 值 时，方保 持 有
6、限 值 时，方程变为纯微分步骤了。程变为纯微分步骤了。输入量取角度时传递函数即为微分步骤。表示电机单位角速度输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间关系为进行拉氏变换得到那么该元件传递函数为测速发电机：测速发电机：2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数第7页微微分分步步骤骤传传递递函函数数一阶微分步骤一阶微分步骤：c(t)=c(t)=T Tdr(t)/dt+r(t)dr(t)/dt+r(t)传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=G(S)=C(S)/R(S)=T TS+1S+1方框图：方框图：T TS+1S+1R(S)R(S)C(S)C(S)5百分比微分调整器：百分比
7、微分调整器：依据电路基本定律得到以下方程组依据电路基本定律得到以下方程组 那么该元件传递函数为那么该元件传递函数为消去中间变量得到输出、输入电压之间关系消去中间变量得到输出、输入电压之间关系第8页积积分分步步骤骤传传递递函函数数3积分步骤：积分步骤：dc(t)/dt=kr(t)dc(t)/dt=kr(t)传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/SG(S)=C(S)/R(S)=k/S阶跃响应：阶跃响应：R(S)=1/SR(S)=1/S，C(S)=kR(S)C(S)=kR(S)C(t)=ktC(t)=kt方框图：方框图：k/sk/sR(SR(S)C(SC(S)积分调整器：积分调整器：
8、C CU Uc c(t)(t)R RU Ur r(t)(t)i i1 1i i2 2A A在在A A点列方程可得：点列方程可得：i i2 2=i=i1 1,i i1 1=U=Uc c(t)/R(t)/RU Uc c(t)=1/Ci(t)=1/Ci2 2(t)dt=1/(RC)U(t)dt=1/(RC)Uc c(t)dt(t)dt设设RCRCT T（积分时间常数），则有：（积分时间常数），则有：U Uc c(t)=1/TU(t)=1/TUc c(t)dt(t)dt拉氏变换后为：拉氏变换后为：U Uc c(S)=1/(TS)U(S)=1/(TS)Uc c(S)(S)传递函数为：传递函数为：G(S)
9、=U G(S)=Uc c(S)/U(S)/Uc c(S)=1/(TS)(S)=1/(TS)k/Sk/S 2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数第9页惯惯性性步步骤骤传传递递函函数数惯性步骤惯性步骤：Tdc(t)/dt+c(t)=kr(t)Tdc(t)/dt+c(t)=kr(t)传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)阶跃响应：阶跃响应：R(S)=1/S R(S)=1/S C(S)=kR(S)C(S)=kR(S)方框图：方框图：C(t)=k(1-eC(t)=k(1-e-1-1/T)/T)2k/(TS+1)k/(TS
10、+1)R(S)R(S)C(S)C(S)电枢控制他励直流电动机：电枢控制他励直流电动机：T Td d T Tm m d d2 2n(t)/dtn(t)/dt2 2 +T+Tmm dn(t)/dt+n(t)dn(t)/dt+n(t)U Ua a(t)/C(t)/Ce e若初值为若初值为0 0，上式拉氏变换为：，上式拉氏变换为：(T(Td d T TmmS S2 2+T+Tmm S+1)N(S)=U S+1)N(S)=Ua a(S)/C(S)/Ce e传递函数为：传递函数为：1 1G(S)=N(S)/UG(S)=N(S)/Ua a(S)=(S)=C Ce e(T(Td d T TmmS S2 2+T
11、+TmmS+1)S+1)若电枢电感忽略不计，上式能够化简为：若电枢电感忽略不计，上式能够化简为：1 1G(S)=N(S)/Ua(S)=G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TmS+1)Ce(TmS+1)运算放大器：运算放大器：R R2 2R R1 1R RC(t)r(t)C Ci i1 1 i i2 2A A传递函数为：传递函数为：G(S)=G(S)=（R R2 2/R/R1 1)/(R)/(R2 2CS+1)CS+1)=K/(TS+1)=K/(TS+1)2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数当当T=T=时，惯性时，惯性步骤近似为积分步骤近似为积分步骤；当步骤；当T=0T=0时，时，
12、惯性步骤近似为惯性步骤近似为百 分 比 步 骤。百 分 比 步 骤。第10页振振荡荡步步骤骤传传递递函函数数振荡步骤：振荡步骤：T2 d2r(t)/dt2+2Tdr(t)/dt+r(t)T2 d2r(t)/dt2+2Tdr(t)/dt+r(t)r(t)r(t)传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2+2TS+1)G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2+2TS+1)方框图：方框图：6RLCRLC振荡电路：振荡电路：UcUcR RUrUri ic cL L电路微分方程为：电路微分方程为：LCdLCd2 2Uc/dtUc/dt2 2+RCdUc/dt+Uc=Ur+RCd
13、Uc/dt+Uc=Ur d d2 2Uc/dtUc/dt2 2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令令 n n=1/=1/LCLC，=0.5 R=0.5 R C/LC/L则上式拉氏变换为：则上式拉氏变换为：(S (S2 2+2+2 n n S+S+n n2 2)Uc(S)=)Uc(S)=n n2 2Ur(S)Ur(S)n n2 2 S S2 2+2+2 n n S+S+n n2 2传递函数为：传递函数为：G(S)=Uc(S)/Ur(S)G(S)=Uc(S)/Ur(S)1 1T T2 2S S2 2+2+2 TS+1TS+1R(S)R(S)C(S)C(
14、S)第11页延延迟迟步步骤骤传传递递函函数数延迟步骤：延迟步骤：c(t)=r(t-)c(t)=r(t-)传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=eG(S)=C(S)/R(S)=e-s-s方框图：方框图：7e e-s-sR(S)R(S)C(S)C(S)轧钢厂带厚度检测元件轧钢厂带厚度检测元件:则滞后时间为：则滞后时间为：l l/v v（S)S)测厚信号测厚信号c(t)c(t)与厚差信号与厚差信号r(t)r(t)之间关系为：之间关系为：c(t)c(t)r(t-r(t-)在零初始条件下，拉氏变换为：在零初始条件下，拉氏变换为：C(S)C(S)R(S)eR(S)e-S S传递函数为传递函数为
15、:G(S)=C(S)/R(S):G(S)=C(S)/R(S)e e-S SA A点产生误差在点产生误差在B B点才被检测点才被检测到。设测厚仪距支架距离为到。设测厚仪距支架距离为l l，带钢运行速度为，带钢运行速度为v v 2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数第12页2.3.1 动态结构图动态结构图动态结构图动态结构图动态结构图动态结构图是数学模型图解化，它描述了组成系统各元部件特征及相互之间信号传递关系，表示了系统中各变量所进行运算。动动态态结结构构图图组组成成 1）信号线带有表示信号传递方向箭头直线。普通在线上写明该信号拉氏变换表示式。2）综合点3）引出点4）方 框在信号线上“
16、”，表示信号引出位置。方框中为元部件或系统传递函数，方框输出量等于方框内传递函数与输入量乘积。它完成两个以上信号加减运算，以O 表示。假如输入信号带“”号，就执行加法；带“”号就执行减法。2.3 2.3 动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式第13页 2.3 2.3 动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式动态结构图建立步骤是 建立系统各元部件微分方建立系统各元部件微分方程。要注意，必须先明确系统程。要注意，必须先明确系统输入量和输出量，还要考虑相输入量和输出量，还要考虑相邻元件间负载效应。邻元件间负载效应。按照
17、系统中各变量传递次按照系统中各变量传递次序，依次连接序，依次连接3）中得到结构图，）中得到结构图，系统输入量放在左端，输出量系统输入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系统动态放在右端，即可得到系统动态结构图。结构图。将得到系统微将得到系统微分方程组进行拉氏分方程组进行拉氏变换。变换。按照各元部件输入、按照各元部件输入、输出，对各方程进行一输出，对各方程进行一定变换，并据此绘出各定变换，并据此绘出各元部件动态结构图。元部件动态结构图。1234一个动态结构图建立的例子第14页 2.3 2.3 动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式动态结构图与梅森公式一个动态结构图建立的例子
18、RCRC无源网络无源网络U U1 1(S)-U(S)-U2 2(S)=I(S)=I1 1(S)R(S)R1 1=I=I2 2(S)(S)CSCSI I1 1(S)+I(S)+I2 2(S)=I(S)(S)=I(S)CR2R1U1U2I1I2IU U2 2(S)=I(S)R(S)=I(S)R2 2R2U2(S)I I1 1(S)(S)I I2 2(S)(S)I(S)I(S)步骤一 列写方程组步骤二 画出对应方程部分结构图1R1U2(S)U1(S)_U(S)CSI I1 1(S)(S)I I2 2(S)(S)步骤三 依次连接得到系统结构图第15页例：2.3-1 画出该系统动态结构图解：该系统输入量
19、为ur，输出量为uc，依据电路其微分方程为：取拉氏变换第16页动态结构图以下：第17页例2.3-2 画出两级RC滤波网络动态结构图解：该系统输入量为ur，输出量为uc，依据电路其微分方程为：第18页取拉氏变换取拉氏变换动态结构图第19页2.4 系统结构图等效变换与信号流程图、梅逊公式系统结构图等效变换与信号流程图、梅逊公式2.4.1 系统结构图等效变换系统结构图等效变换 标准：变换前后保持系统中各信号间传递关系不变一、三条基本法则：1、串联步骤等效传递函数为各步骤传递函数之积对于n个步骤串联，则有第20页2、并联步骤等效传递函数等于各并联步骤传递函数代数和 G1(s)G2(s)G(s)若若G2
20、(s)为负反馈，为负反馈，对于n个步骤并联，则有第21页3、反馈联接（闭环）G(s)H(s)(+)(s)第22页负反馈时，分母项取负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取；正反馈时，取“-”（1）前向通道：G(s)（2）反馈通道：H(s)（3）闭环开环传递函数：（4）单位反馈系统：H(s)=1第23页任意一个非单位反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统任意一个非单位反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统G(s)H(s)H(s)G(s)Hm(s)(s)Gc(s)Gv(s)Go(s)Cm(s)E(s)U(s)D(s)C(s)God(s)第24页二、其它等效变换法则1、连续综合点或引出点之间次序可任意
21、交换，但相邻综合点与引出点之间不能任意简单交换（P44图2.4-2）第25页2、综合点或引出点只能在紧靠步骤前后两端移动，移动时中间不得夹杂引出点或综合点，并要等效。综合点前移，所加方框所加方框为移移过方框方框传递函数倒数函数倒数，如图（a）所表示。综合点后，所加方框所加方框为移移过方框方框传递函数函数，如图（b）所表示。第26页 引出点前移，所加方框所加方框为移移过方框方框传递函数函数，如图（a）所表示。引出点后移，所加方框所加方框为移移过方框方框传递函数倒数函数倒数，如图(b)所表示。3、通常综合点应有由综合点方向移动，引出点应向引出点方向移动第27页例2.4-1求下面系统结构图传递函数
22、解：该结构图有三个闭环相互交叉，不能直接应用三条基本法则，先要移动其综合点或引出点，接触交叉。这里有1、2、3三个综合点和a、b、c三个引出点1、将综合点2移至综合点1之前综合点前移，所加方框为移过方框传递函数倒数，相邻综合点能够任意交换2、引出点b移至引出点c后面引出点后移，所加方框为移过方框传递函数倒数，相邻引出点能够任意交换第28页等效为：等效为：第29页 例2.4-2 已知系统结构图以下，试用等效变换法求传递函数(s)解：a既是综合点又是引出点，应把a点分成综合点a1和引出点a2，以下C(s)C(s)第30页思索题思索题1：化简所表示系统结构图，求传递函数。解：解：化简方法是，先经过移
23、动引出点和综合点，消除交叉连接，使用权动态结构图变成独立回路，然后再进行串联、并联及反馈等效变换，最终求得系统传递函数。第31页第32页思索思索题2:用方块图等效法则，求所表示系统传递函数C(s)/R(s)。解：解：这是一个含有交叉反馈多回路系统，假如不对它作适当变换，就难以应用串联、并联和反馈连接等效变换公式进行化简。本题求解方法是把图中点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简。第33页 串联和并联 反馈公式第34页第35页思索题3：化简解：解：综合点1和2交换第36页第37页2.4.2信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式1.信号流图基本概念及绘制信号流图基本概念及绘
24、制节点点用以表示变量或信号点称为节点，用符号 表示，相当于结构图上信号线。传输两节点间增益或传递函数称为传输。支路支路联接两个节点并标有信号流向定向线段称为支路。输出支路出支路背向节点支路输入支路入支路指向节点支路源点源点只有输出支路而无输入支路节点称为源点或输入节点。阱点阱点只有输入支路而无输出支路节点称为阱点或输出节点。混合混合节点点现有输入支路也有输出支路节点称为混合节点。结构图变为信号流图不一样处结构图变为信号流图不一样处 P49 表表2.4-2第38页例2.4-4 已知两级RC滤波网络动态结构图以下所表示，试画出对应系统信号流图解：在结构图上用小圆圈表示各变量对应节点。综合点之后，引
25、出点综合点之后，引出点之前必须设置一个节点。之前必须设置一个节点。由结构图上信号传递关系，自左到右，依次画出各节点间支路，并表明对应增益增益为1能够省略，节点7处增加一条增益为1输出支路，并增画节点8，表示系统输出点第39页例2.4-5 依据结构图画信号流图第40页概念：概念：前向通路前向通路假如在从源点到阱点通路上，经过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输乘积，称为前向通路总增益。用Pk表示第K条前向通路总增益。例2.3-4中，前向通道只有1条：12345678，例2.3-5中，前向通路有3条：123456，12456，12356；P1=G1(s)G2(s)，P2=
26、G2(s)G3(s)，P3=G1(s)G4(s)单独回路单独回路起点与终点在同一个节点上，且信号经过任一节点次数小于一次回路。回路增益用La表示。例2.3-4中，单独回路有三个，它们分别是：2342，La1=-1/R1C1s；34563，La2=-1/R2C1s；5675，La3=-1/R2C2s。例2.3-5中，单独回路有2个，分别是：242，La1=-G1(s)H(s)；2342，La2=-G2(s)H(s)不接触回路不接触回路假如回路间没有任何公共节点。例2.3-4中La1与La3 第41页2、梅逊公式、梅逊公式第42页例2.4-6 利用梅逊公式求传递函数（1）单独回路：1：2342，L
27、a1=-1/R1C1s；2：34563，La2=-1/R2C1s；3：5675，La3=-1/R2C2s。三个单独回路中只有1和3两两互不接触，没有三个互不接触回路，所以LbLc=La1La3，LdLeLf=0第43页前向通道12345678，前向通路与三个单独回路都有接触。第44页（2）单独回路：1：242，La1=-G1(s)H(s)；2：2342，La2=-G2(s)H(s)两个单独回路相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0前向通道1：123456，P1=G1(s)G2(s)2：12456，P2=G2(s)G3(s)3：12356，P3=G1(s)G4(s)1=2=3=1第45页例
28、2.4-7依据系统结构图画出系统信号流图，并用梅逊公式求传递函数单独回路：1：3453，La1=-G1(s)；2：23462，La2=-G1(s)3：234562，La3=-G1(s)G2(s)单独回路两两相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0第46页前向通道1：1234567，P1=G1(s)G2(s)，1=12：1567，P2=G2(s),2=13：123467，P3=G1(s),3=14：153467，P3=-G1(s)，4=1 第47页例2.4-8 用梅逊公式求传递函数单独回路：1：454，La1=-G2(s)H1(s)；2：3453，La2=G1(s)G2(s)H1(s)3：4
29、564，La3=-G2(s)G3(s)H2(s)单独回路两两相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0第48页前向通道1：12345678，P1=G1(s)G2(s)G3(s)，1=12：1278，P2=G4(s),该前向通路与三个单独回路都不接触，所以2=第49页2.5系统经典传递函数及自动控制系统经典步骤系统经典传递函数及自动控制系统经典步骤一、控制系统经典传递函数一、控制系统经典传递函数第50页惯用闭环系统传递函数惯用闭环系统传递函数第51页 表示了表示了cm(t)能很好地跟踪能很好地跟踪r(t)改变，使跟踪误差改变，使跟踪误差e(t)=0，即跟踪准确、及时，即跟踪准确、及时第52页二
30、、自动控制系统经典步骤二、自动控制系统经典步骤 特点：输出不失真、不延迟、成百分比地复现输入信号改变，动态特征很好第53页惯性步骤特点：输出量不能瞬时完成与输入量完全一致改变，即信号传递存在惯性。第54页积分步骤特点：输出量与输入量对时间积分成正比，输出有滞后作用，输出积累一段时间后，即便使输入为零，输出也将保持原值不变，含有记忆功效。第55页微分步骤特点：输出与输入信号对时间微分成正比，即输出反应了输入信号改变率，而不反应输入量本身大小。可用微分步骤输出来反应输入信号改变趋势，加紧系统控制作用实现。第56页实际微分步骤及一阶微分步骤实际微分步骤及一阶微分步骤第57页第58页第59页第60页图2-31 振荡步骤及其阶跃响应曲线振荡步骤特点：若输入为一阶跃信号，则其动态响应含有振荡形式。第61页图2-32 积分步骤及其阶跃响应曲线 时滞步骤特点：输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。时滞步骤存在对系统稳定性不利。第62页
