1、1.3 算法案例 第二课时 例2 求325，130，270三个数的最大 公约数. 因为325=1302+65，130=652， 所以325与130的最大公约数是65. 因为270=654+10，65=106+5， 10=52，所以65与270最大公约数是5. 故325，130，270三个数的最大公约 数是5. 问题提出 1.辗转相除法和更相减损术，是求 两个正整数的最大公约数的优秀算法， 我们将算法转化为程序后，就可以由计 算机来执行运算，实现了古代数学与现 代信息技术的完美结合. 2.对于求n次多项式的值，在我国古 代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算 法，我们将对这个算法作些了解和探究. 问
2、题1设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序. x=5 f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 PRINT f END 程序 点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高. 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考2:在上述问题中，若先计算x2的值 ，然后依次计算x2x，(x2x)x， (x2x)x)x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果，那么一共做 了多少次乘法运算和多少次加法运算？ 9次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法
3、相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果. 思考3:能否探索更好的算法,来解决任意多 项式的求值问题? f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=5
4、34 v5=v4x+7=5345+7=2677 所以,当x=5时,多项式的值是2677. 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法. 5次乘法运算，5次加法运算. 思考4:利用最后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0 =(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 = =(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0. 思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+ an -2)x+a1)x+a0，由内向
5、外逐层计算一 次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3. 第n步，计算vn=vn-1x+a0. 思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？ 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 第k步的算式是什么？ vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n) n次乘法运算， n次加法运算 知识探究(二):秦九韶算法的程序设计 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么
6、逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？ 第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i0是否成立.若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值v. 思考2:该算法的程序框图如何表示？ 开始 输入n，an，x的值 v=an v=vx+ai 输入ai i0？ i=n-1 i=i-1 结束 是 输出v 否 思考3:该程序框图对应的程序如何表述 ？ 开始 输入n，an，x的值 v=an v=vx+ai 输入ai i0？ i=n-1 i=i-1 结束 是 输出v 否 IN
7、PUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=an i=n-1 WHILE i=0 INPUT “ai=”；b v=v*x+b i=i-1 WEND PRINT y END 理论迁移 例1 已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求f(5)的值. f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v1=55+2=27； v2=275+3.5=138.5； v3=138.55-2.6=689.9； v4=689.95+1.7=3451.2； v5=3451.25-0.8=17255.2. 所以f(5)= =17255.2. 变式：例2 已知一个5
8、次多项式为 用秦九韶算法 求当x=5时，V1,V3的值及求f(5)的值做多 少次乘法运算. 解：f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8. v1=55+0=25； v2=255+3.5=128.5 ； v3=128.55+0=642.5； v4=642.55+1.7=3214.2； v5=3214.25-0.8=16070.8. 所以v1=25， v3=642.5 ，f(5)=16070.8. 例3 阅读 下列程序，说 明它解决的实 际问题是什么 ？ INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHILE n5 y=y+(n+1)*an n=n+1 WEND PRINT y END 求多项式 在x=a时的值. 小结作业 评价一个算法好坏的一个重要标志 是运算的次数，如果一个算法从理论上 需要超出计算机允许范围内的运算次数 ，那么这样的算法就只能是一个理论算 法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶 算法是一个优秀算法. 作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
