1、椭圆的标准方程 江苏省丹阳高级中学 丁玲 普通高中课程标准实验教科书数学（选修21） 教学目标： 1掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求 椭圆的标准方程。 2能用标准方程判定曲线是否是椭圆。 压扁 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 F1F2 P 椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a ； 两焦点之间的距离：焦距，记为2c,即:F1F2 2c. 说明 注意 a c 0 椭圆标准方程的推导： 建立直角坐标系 列等式 求椭圆的方程可分为哪几步？ 设点坐标 代入坐标化简方程 如何建立适当的直角坐标系？ 原则：尽可能使方程的形
2、式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴。) y x o F1 F2 P 建立直角坐标系 y x o F1 F2 P 以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴， 建立如图坐标系。 化简方程建立直角坐标系设点坐标代入坐标列等式 F1F2 2c y x o F1 F2 P 设P(x,y)为椭圆上的任意一点， F1F22c(c0), 则：F1(-c,0)、F2(c,0) 以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴， 建立如图坐标系。 化简方程建立直角坐标系设点坐标代入坐标列等式 设设 则，椭圆的方程为：则，椭圆的方程为： 化简方程建立直角
3、坐标系设点坐标代入坐标列等式 方程的推导 P F2 F1 o o y y x x 以直线F1F2为y轴，线段 F1F2的垂直平分线为x轴， 建立坐标系。 方程的推导 P F2 F1 o o y y x x 建立如图坐标系建立如图坐标系。 设设P(x,yP(x,y) )为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点， FF 1 1F F2 2 2c(c0),2c(c0), 则：则：F F 1 1 (0(0，-c)-c)、F F 2 2 (0(0，c)c) 椭圆的标准方程 xO y F1 F2 P F1(0 ,-c)、F2(0, c) xO y F1F2 P F1(-c,0)、F2(c,0) 1、已知椭圆
4、的方程为： 则a_，b_，c_， 焦点 坐标为：_ ，焦距等 于_。该椭圆上一点P到焦点F1的距 离为8，则点P到另一个焦点F2的距离 等于_。 1010 6 6 8 8 (0,-8)(0,-8)、(0,8)(0,8) 1616 1212 2、若椭圆满足: a5 , c3 , 求它的标准方程。 焦点在焦点在x x轴上时：轴上时： 焦点在焦点在y y轴上时：轴上时： 焦点在x轴上 3 3、若动点、若动点P P到两定点到两定点F F 1 1 ( (4,0)4,0)， F F 2 2 (4,0)(4,0)的距离之和为的距离之和为8 8，则动点，则动点 P P的轨迹为（的轨迹为（ ） A. A. 椭圆
5、椭圆 B. B. 线段线段F F 1 1F F2 2 C. C. 直线直线F F 1 1F F2 2 D. D. 不存在不存在 B B xO y 例1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线 是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到 两个焦点的距离和为3 m，求这个椭圆的标准方程 F1F2 P 解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以 线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标 系，则这个椭圆的标准方程为 根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5， c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因 此椭圆的标准方程为 例2、将圆x2+y2=4上的点的
6、横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线 因为x2+y2=4,所以x2+4y2=4,即 这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆 o x y 解：设所得曲线上任一点P坐标为（x，y），圆x2+y2=4上 的对应点P的坐标为（x,y),由题意可得 P P 小 结 定 义 图图 形形 方 程 焦 点F(c，0)F(0F(0，c)c) a,b,c 的关系 P|PF1+PF2=2a,2aF1F2 1 2 y o FF P x y xo 2 F P F 1 思考题 怎样判断焦点在哪个轴上怎样判断焦点在哪个轴上? ? m0,n0,m0,n0, 当当n m 0n m 0时时, ,焦点在焦点在y y轴上轴上 当当m n 0m n 0时时, ,焦点在焦点在x x轴上轴上 且且mnmn 作业 1 1、教材、教材P26P26页习题页习题2.2(1)2.2(1)第第2,3,42,3,4 题题 2、推导：（用分子有理化） 焦点在y轴上的椭圆的标准方程
