1、北京电大开放教育 专科 会计、金融、工商管理、电子商务经济数学基础作业（二）讲评（一）填空题1.若，则.答案：分析：本题主要是考察原函数的概念，由不定积分知，f(x)是F(x)的导数，而F(X)是f(x)的一个原函数，所以，已知f(x)求其原函数是对f(x)求积分，已知F(x)求f(x)，是对等式右端求导数。正确解答：2. .答案：解：分析：本题主要考察导数（微分）与不定积分互为逆运算的性质。可能出现的错误：，没有用性质进行求解。，注意，我们的性质是先积分后求导结果为一个函数，即被积函数，先求导再积分结果为无穷多函数，即被积函数加任意常数C。 分析：本题主要考察不定积分是函数，其对应关系可看成
2、其次考察凑微分这里的，本题也是2010年1月的考题。思考一下，下面的例题结果是怎么求出的？4.设函数.答案：0分析：定积分是确定的数值，所以对定积分求导数，结果为0。可能出现的错误：计算定积分。当然能做，但计算量要大的多，其结果还是0，所以要明白定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0.，将不定积分的性质用到这里。5. 若，则.答案： 分析：本题主要考查变上限定积分的概念，即变上限定积分结果是被积函数的原函数，所以，对变上限定积分求导数结果应是被积函数再乘以上限的导数。同时，应注意：交换积分上下限，其结果应变号。（二）单项选择题1. 下列函数中，（ ）是xsinx2的原函数 Acosx2 B2
3、cosx2 C-2cosx2 D-cosx2 答案：D 分析：这道题目是求四个被选函数哪个是的原函数，即哪个函数的导数为。正确解答：因为，所以是的原函数，即答案D正确。选择A，错误；因为；选择B，错误；因为；选择C，错误；因为；2. 下列等式成立的是（ ） A B C D答案：C分析：本题主要考查的是一些常见凑微分的类型：有意识记住以上类型，对下面的作业题（不定积分的计算）就容易掌握了。3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ） A， B C D答案：C分析：A,B,D都是凑微分（第一换元法），对这种常见且基本的积分计算题要熟练掌握，是考试的重点而C是分部积分，同样，对这种常见且基本的
4、积分计算题要熟练掌握，被积函数是幂函数与三角函数乘积的积分、幂函数与指数函数乘积的积分、幂函数与对数函数乘积的积分是考试的重点4. 下列定积分计算正确的是（ ） A B C D 答案：D分析：由定积分的几何意义我们有重要推论：奇函数在对称区间的定积分结果为0，故D对。5. 下列无穷积分中收敛的是（ ） A B C D答案：B分析：利用无穷积分的定义计算。正确解答：，收敛。所以B正确。请记住结论：（1），当收敛，当时发散； （2）和，发散；（3）当发散，收敛；当发散，收敛。如果能够记住上述结论，就可以直接判断而免去计算。 (三)解答题1.计算下列不定积分分析：熟练掌握基本积分公式是学好这部分内容
5、的基础，且要注意把公式中的x 当成u来背,熟练掌握基本积分方法：直接积分法（用公式和性质）；第一换元法（凑微分）；分部积分法。（1） 答案： 分析：将被积函数 变形为，利用积分公式求解，这里.，正确解法：（利用对数的性质，可能出现的错误：不能将被积函数看成为，因此不知用什么公式求积分；用错公式，.（2） 答案： 分析：注意利用不定积分性质去做，即分项积分最简单，这里还要注意把，计算速度就会加快。（3） 答案：（4） 答案：分析：这是一个复合函数的积分计算，采用的方法是凑微分法.这里，则，于是，代入积分式中进行换元，再对直接用公式求积分.正确解法：= 可能出现的错误：不能正确地找出微分因子；用错
6、积分公式，如= （5） 答案：（6） 答案：（7） 答案：（8） 答案：分析：这是用分部积分法计算积分的题目，且注意这里用到了“在分子加1减1”的技巧。2.计算下列定积分（1） 答案：解：=.分析：注意到被积函数是一个带有绝对值的函数，积分时必须把绝对值符号去掉，根据绝对值函数的定义，就要看看在积分区间是否有变号（即由正变负或由负变正）的情况.因为，即是使函数改变符号的点，因此利用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和，即=可能发生的错误：=，这是将等同于，需要指出的是，定积分中的积分变量是与积分区间有关的，积分区间的不同，可能被积函数的表达式就不同，此题就是一个典型的例子；计算错误.（2）
7、 答案：（3） 答案：2分析：这是一个换元积分法求积分的题目，其中，设法将积分函数变为，然后对求积分即可.（此法没有换元，所以就不用换限）方法二：换元换限，令，当时，当时，于是=注意，定积分的换元积分法进行计算时，换元一定要换限，积分变量要和自己的积分限相对应，此题中，变量的区间是，而变量的积分区间是.在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值.可能出现的错误：换元不换限；计算错误，如，正确的是：；公式用错，没有把视为.（4） 答案：解：=分析：这是用分部积分法计算积分的题目，且，得出.可能出现的错误：由得出，注意是的一个原函数，当你写出时，要求导，验证一下是否正确.三角函数值计记错；正确的是，；（5） 答案：分析：这是幂函数与对数函数乘积的积分，一定要记住公式： 例：直接看成分部积分公式去做。（6） 答案：分析;做完上述作业，要熟练掌握基本积分方法，特别是第一换元积分法(凑微分)和分部积分，这是我们教学和考试的重点。下面是近年考题，由此看出作业的重要性（有的就是作业题，有的与作业大同小异）。9
